Tài liệu Toán tử monge ampere phức và bài toán dirichlet trong lớp f

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Trần Thị Mai Phương ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Công nghiệp Tỉnh Hoà Bình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 7 năm 2015 Tác giả Trần Thị Mai Phương iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii MỤC LỤC ..........................................................................................................iii MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................. 2 3. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 4. Bố cục của luận văn ..................................................................................... 3 Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 4 1.1. Hàm đa điều hoà dưới............................................................................... 4 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại ........................................................... 6 1.3. Hàm cực trị tương đối............................................................................... 7 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức ................................................................ 10 1.5. Nguyên lý so sánh................................................................................... 13 Chƣơng 2. TOÁN TỬ MONGE-AMPÈME PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP ................................................. 16 2.1. Mở đầu .................................................................................................... 16 2.2. Xấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dưới liên tục ........................................ 16 2.3. Tích phân từng phần ............................................................................... 18 2.4. Định nghĩa toán tử Monge-Ampere phức .............................................. 21 2.5. Lớp .................................................................................................... 25 2.6. Bài toán Dirchle đối với toán tử Monge-Ampere trong ................... 38 KẾT LUẬN....................................................................................................... 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 42 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết hàm biến phức nói chung và lý thuyết đa thế vị nói riêng đã được xuất hiện từ lâu, tuy nhiên nó chỉ được phát triển trong vòng 30 năm trở lại đây. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được biết đến từ khá sớm. Tuy nhiên sự phát triển của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học chỉ thực sự mạnh mẽ sau khi E. Berfod, và B. A. Taylor năm 1982, xây dựng thành công toán tử MongeAmpere phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị. E. Berfod và B. A. Taylor đã chỉ ra rằng toán tử này xác định trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và có ảnh trong lớp các độ đo không âm. Tiếp đó, năm 1984, Kiselman đã chỉ ra rằng không thể mở rộng toán tử này tới lớp các hàm đa điều hòa dưới bất kỳ mà vẫn có ảnh trong lớp các độ đo không âm. Do đó miền xác định của toán tử Monge-Ampere là rất quan trọng trong lý thuyết đa thế vị và nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Năm 1998, Cegrell đã định nghĩa các lớp năng lượng 0 ( ), p ( ), p ( ) trên đó toán tử Monge-Ampere phức là xác định. Năm 2004, Cegrell đã định nghĩa các lớp ( ), ( ) và chỉ ra rằng lớp ( ) là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampere phức. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge Ampère xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử Monge-Ampere và áp dụng các kết quả đạt được trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp năng lượng , chúng tôi chọn “Toán tử Monge-Ampere phức và bài toán Dirichlet trong lớp nghiên cứu của mình. ” làm đề tài 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp các hàm đa điều hòa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm test. Đây là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới hạn giảm dần. Nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp . 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó. - Trình bày việc xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới âm bởi các hàm đa điều hòa dưới, liên tục. - Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp các hàm đa điều hòa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm test. Đó là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới hạn giảm dần. - Trình bày một vài kết quả nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp . 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 3 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương trình bày việc xấp xỉ các hàm đa điều hòa dưới âm bởi các hàm đa điều hòa dưới, liên tục được sử dụng trong suốt chương này. Kế đến là việc mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức tới lớp các hàm đa điều hòa dưới và một vài kết quả về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp . Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 4 Chƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1. Định nghĩa. Cho n là một tập con mở của là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với liên thông nào của n và b a u(a trên bất kỳ thành phần b) là điều hoà dưới hoặc trùng :a trên mỗi thành phần của tập hợp dưới trong , . Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi , hàm này, ta viết u và u : b ( ) . ( ở đây kí hiệu . Trong trường hợp ( ) là lớp hàm đa điều hoà ). Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới: 1.1.2. Mệnh đề. Nếu u, v u ( ) và u v hầu khắp nơi trong , thì v. 1.1.3. Mệnh đề. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu u là một tập con mở liên thông bị chặn của PSH ( ), thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z u(z ) 1.1.4. Định lý. Cho (i) Họ u, v (ii) Nếu u lim u j j , y y ( ) là nón lồi, tức là nếu v là liên thông và ( ) hoặc u và sup lim sup u(y ) . n là một tập con mở trong ( ) , thì u n , . Khi đó là các số không âm và ( ). uj j . ( ) là dãy giảm, thì 5 (iii) Nếu u : , và nếu u j tập con compact của (iv) Giả sử u , thì u ( ) hội tụ đều tới u trên các j ( ). ( ) sao cho bao trên của nó u A sup u là bị A chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong . 1.1.5. Hệ quả. Cho n là một tập mở trong khác rỗng của . Nếu u mỗi y , thì công thức ( ), và lim v(x ) ( ), v max u, v u x trong trong xác định một hàm đa điều hoà dưới trong 1.1.6. Định lý. Cho n là một tập con mở của lồi, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong \ . và v 0 . Nếu : là . ( ), và v ( ), v u(y ) với y . (i) Cho u, v là các hàm đa điều hoà trong (ii) Cho u là một tập con mở thực sự và 0 trong . Nếu : là lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong . (iii) Cho u, v 0 trong : 0, ( ), u 0, là lồi và (0) 1.1.7. Định lý. Cho 0 , thì v (u / v) là một tập con mở của F z , và v 0 trong : v(z ) n và ( ). . Nếu 6 là một tập con đóng của  ở đây v ( ). Nếu u ( \ F ) là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi u(z ) (z lim sup u(y ) (z u (z ) \ F) F) y z y F là đa điều hoà dưới trong . n 1.1.8. Định nghĩa. Một miền bị chặn : tại hàm đa điều hòa dưới liên tục z c : (z ) c được gọi là miền siêu lồi nếu tồn ( , 0) sao cho với mọi c 0. 1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 1.2.1. Định nghĩa. Cho là một tập con mở của n và u : là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho tương đối G của v (G) và v u trên G , đều có v u trong G. Một số tính chất tương đương của tính cực đại. n 1.2.2. Mệnh đề. Cho là mở và u : là hàm đa điều hoà dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của v ( ), nếu lim inf(u(z ) z v(z )) 0, với mọi và với mỗi hàm G , thì u v trong G; (ii) Nếu v cho u v ( ) và với mỗi trong \ K , thì u 0 tồn tại một tập compact K v trong . sao 7 (iii) Nếu v u ( ), G là một tập con mở compact tương đối của v trên G thì u (iv) Nếu v , và v trong G; ( ), G là một tập con mở compact tương đối của lim inf(u(z ) v(z )) z 0, với mỗi G , thì u , và v trong G; (v ) u là hàm cực đại. 1.3. Hàm cực trị tƣơng đối 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử . Hàm cực trị tương đối đối với E trong uE , (z ) Hàm uE , * n là một tập con mở của sup v(z ) : v được định nghĩa là: ( ), v là đa điều hoà dưới trong và E là tập con của 0 (z 1, v E ). . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối. 1.3.2. Mệnh đề. Nếu E1 E2 1 thì uE , 1 1 uE , 2 1 uE , . 2 2 là siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của 1.3.3. Mệnh đề. Nếu , thì tại điểm bất kỳ ta có lim uE , (z ) z Chứng minh. Nếu 0. < 0 là một hàm vét cạn đối với 1 trên E . Như vậy M đó, M 2 uE , trong , thì với số M 0 nào . Rõ ràng, lim (z ) z 0 và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm. 1.3.4. Mệnh đề. Nếu cho uK* , K n là siêu lồi và K 1 thì uK , là hàm liên tục. là một tập compact sao 8 uE , và ký hiệu F  Chứng minh. Lấy u là hàm xác định của v u u trong (0,1) tồn tại v (0,1) . Thật vậy, lấy và K \ trong u trong 1 trên K. Khi đó sao cho cần chứng minh rằng với mỗi u ( ) là họ các hàm u . Giả sử . Chỉ C( ) F. Sao cho tồn tại 0 sao cho , trong đó z : dist (z , ) . Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini có 0 sao cho u thể tìm được và u trên 1 trên K . Đặt v trong max u \ trong , . Khi đó v  C( ) ∩ F và như vậy u tại mỗi điểm trong max u , v u . n 1.3.5. Mệnh đề. Cho là tập mở liên thông, và E . Khi đó các điều kiện sau tương đương: (i) uE* , 0; (ii) Tồn tại hàm v Chứng minh. (ii) v uE , với mọi ( ) âm sao cho E z : v(z ) (i) là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên (ii) , thì 0 , từ đó uE , 0 hầu khắp nơi trong . Như vậy 9 uE* , 0 . Bây giờ giả sử uE* , 0 . Khi đó tồn tại a , có thể chọn một v j Bởi vậy, với mỗi j vj 0, v j sao cho uE , (a ) 0. ( ) sao cho 2 j. 1 và v j (a ) E Đặt v(z ) v j (z ), j 1 Chú ý rằng v(a) 1 , v âm trong , và v z . . E Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dưới. Vì v nên ta kết luận v 1.3.6. Mệnh đề. Cho ( ). n là tập con mở liên thông của . Giả sử E j trong đó E j 1, 2,... . Nếu uE* , với j j Chứng minh. Chọn v j điểm a \ j 0 với mỗi j , thì uE* , ( ) sao cho v j v j 1( j vj ( ), v 1.3.7. Mệnh đề. Cho compact của 0 và v j 1 j và K E j 1 v j (a ) . Suy ra uE* , là tập con siêu lồi của . Giả thiết rằng sao cho Ej 0. . Lấy ) . Bằng cách mở rộng mỗi hàm v j bởi một hằng số dương thích hợp, ta có thể giả thiết v 0 và v j Ej , n 2 j . Khi đó 0. và K là một tập con là một dãy tăng những tập con mở của . Khi đó 10 lim uK , (z ) j Chứng minh. Lấy điểm z 0 rằng K z0 1 j0 0 là một hàm vét cạn đối với (0,1) sao cho (z 0 ) 1 sao cho tập mở ( z . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử . Giả sử 1 trên K. Lấy u uK , (z ), j (( , ) sao cho u )) là tập compact tương đối trong 0 trên j0 z z 1 và v K uK , (z 0 ) j j0 0 . Như vậy , nên ta có uK , (z 0 ) j0 Do đó ta có uK , (z 0 ) . Lấy \ uK , (z 0 ) . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ uK , uK , (z 0 ) j0 1 trên K . Khi đó và u xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa v v(z 0 ) . Khi đó tồn tại j 0 max u(z ) , (z ) , (z ), v(z ) sao cho uK , (z 0 ) với mọi j j j0 và nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức n Cho u là đa điều hoà dưới trên miền c dd u n : c dd u ... c dd u n với dV là yếu tố thể tích trong có thể xem như độ đo Radon trên n n C2 . Nếu u 4 n ! det thì toán tử: 2 u z j zk dV , 1 j ,k n gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên 11 n c C0 dd u . Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên un u và thì tồn tại dãy dd cun n C n 1 hội tụ yếu tới độ đo Radon dd cun lim n Hơn nữa un n tức là: trên d , C0 không phụ thuộc vào việc chọn dãy un sao cho . như trên, ta ký hiệu: (dd cu)n và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe. C p,p là p, p -dạng lớp C 1.4.1. Mệnh đề. Nếu và T là q, q -dòng với p dd cT n 1.4.2. Mệnh đề. Giả sử tụ yếu tới độ đo Radon q dd c j n T 1 thì d cT d dc T . là dãy các độ đo Radon trên tập mở . Khi đó G a) Nếu G là tập mở thì b) Nếu K là tập compact thì n trên tập mở lim inf G . j j K lim sup j j K . n hội 12 c) Nếu E compact tương đối trong E K b) Ta có K lim inf j inf j j j G . V :V c) Viết E j K IntE j lim sup j j G . 1 trên K . Khi đó 1 và lim j ,V=V0 . Giả sử V là một lân K ,V V Từ đó lim inf C0 V , 0 cận mở của K và lim sup j j j K . K . E . Khi đó E int E E lim sup j E lim sup lim inf int E j j j E lim sup j E lim inf j Mặt khác Từ đó G là tập 1 trên K . Khi đó 1 và lim G G . Giả sử K K :K sup 0 thì E . j j C0 G , 0 compact. Lấy Từ đó lim G Chứng minh. a) Ta có E sao cho j j E E . j lim j j E . j E . 13 n 1.4.3. Mệnh đề. Giả sử sao cho u, v 0 trên dương, đóng trên là miền bị chặn và u, v 0 . Giả sử T là n và lim u z z ( ) Lloc 1, n 1 -dòng . Khi đó vdd cu T Đặc biệt, nếu lim v z 0 thì z udd cv T . vdd cu T udd cv T . 1.5. Nguyên lý so sánh n 1.5.1. Định lý. (Nguyên lý so sánh) Giả sử ( ) L ( ) sao cho lim inf(u(z ) u, v sao cho u u v n 1.5.2. Hệ quả. Giả sử v và lim u(z ) z là miền bị chặn và u, v lim v(z ) z (dd cv )n ( ) Vậy u (dd cu )n . ( ) . Từ đó (dd cv )n ( ) Cho 0 trên 0 và kết luận là hiển nhiên). Khi đó nếu v trên (dd c u )n ( ) ( ) L ( ) 0 . Khi đó Chứng minh. Từ nguyên lí cực đại suy ra u v 0 . Khi đó (dd cu )n . u v u v(z )) z (dd cv )n là miền bị chặn và n (dd cu )n . ( ) 1 ta được điều cần chứng minh. (nếu ngược lại thì 1 thì u u trên . 14 n 1.5.3. Hệ quả. (Nguyên lý so sánh). Giả sử u, v lim inf(u(z ) ( ) L ( ) sao cho (dd cu)n (dd cv)n trên Chứng minh. Đặt . Khi đó u (z ) . Giả sử u trên z z 2 v trên là miền bị chặn và v(z )) 0 . Giả sử . M , với M được chọn đủ lớn sao cho v khác rỗng. Khi đó có 0 sao cho u 0 v khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Do Định lí 1.5.1 ta có (dd cu)n u v (dd c (v ))n u v (dd cv)n n u v (dd c )n u v (dd cv)n n 4n n ! n u v u v (dd cv)n u v (dd cu )n u v và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy u n 1.5.4. Hệ quả. Giả sử sao cho lim inf(u(z ) z sao cho lim inf(u(z ) n z v(z )) . là miền bị chặn và u, v 0 và (dd cu)n v(z )) 1.5.5. Hệ quả. Giả sử v trên (dd cv)n . Khi đó u là miền bị chặn và u, v (dd cu)n 0 và u v ( ) L ( ) v. ( ) L ( ) 0 . Khi đó u v trên . 15 Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.5.3. Giả sử u 0 sao cho u có Chú ý rằng do v 0 nên u (dd cu)n u v v u v . Khi đó như chứng minh (dd cu)n u v (dd cv)n u v và ta gặp mâu thuẫn. n 4n n ! . Khi đó và do đó có độ đo Lebesgue dương. của Hệ quả 1.5.3 ta có 0 v n u v 0