Tài liệu Toán giải tích đạo hàm_vi phân

Chương 1: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phần 1 Nội dung 1. Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y) 2. Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y) 3. Sự khả vi và vi phân. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1 Đạo hàm riêng cấp 1 của f(x, y) theo biến x tại (x0, y0) f (x0  x, y0)  f (x0, y0) f fx (x0, y0)  (x0, y0)  lim x0 x x (Cố định y0, biểu thức là hàm 1 biến theo x, tính đạo hàm của hàm này tại x0) Đạo hàm riêng cấp 1 của f theo biến y tại (x0, y0) f (x0, y0  y)  f (x0, y0) f fy (x0, y0)  (x0, y0)  lim y 0 y y Ý nghĩa của đhr cấp 1 Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b) Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c) Mphẳng y = b cắt S theo gt C1 đi qua P. (C1) : z = g(x) = f(x,b) g’(a) = f’x(a, b) f’x(a, b) = g’(a) là hệ số góc tiếp tuyến T1 của C1 tại x = a. f’y(a, b) là hệ số góc tiếp tuyến T2 của C2 ( là phần giao của Svới mp x = a) tại y = b Các ví dụ về cách tính. 1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx (1,2) : fx (1,2), fy (1,2) cố định y0 = 2, ta có hàm 1 biến f ( x , 2)  6 x  4 x 2 2  f (1,2) (6 x  x   4 x ) |x 1  12 x  4 |x 1  16 f(x,y) = 3x2y + xy2 fy (1,2) cố định x0 = 1, ta có hàm 1 biến f (1, y )  3y  y 2  fy (1,2)  (3y  y ) |y  2  (3  2 y ) |y  2  7 2 2/ f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx ( x , y ), fy ( x , y ) với mọi (x, y)  R2 fx ( x , y ) Xem y là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x 2  fx ( x , y )  6 xy  y , ( x , y ) Áp dụng tính: f  (1,2)  (6 xy  y 2 ) | x x 1, y  2  16 (Đây là cách thường dùng để tính đạo hàm tại 1 điểm) f(x,y) = 3x2y + xy2 fy ( x , y ) Xem x là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y 2  fy ( x , y )  3x  x 2 y , ( x , y ) Áp dụng tính: fx (1,2)  (3x  2 xy ) |x 1, y 2  7 2 2/ Tính fx (1,1), fy (1,1) với f(x, y) = xy y 1  fx ( x , y )  yx , x  0 11  fx (1,1)  1  1  1; y fy ( x , y )  x ln x , x  0  fy (1,1)  1 ln1  0 1  xy ,( x , y )  (0,0)  2 3/ Cho f ( x , y )   x  y 2 0, ( x , y )  (0,0)  a/ Tính f  (0,1) x b/ Tính f  (0,0) x  xy ,( x , y )  (0,0)  2 2 f (x, y )   x  y 0, ( x , y )  (0,0)  a/ Tính fx (0,1) (0,1) không phải là điểm phân chia biểu thức. fx ( x , y )  y (x  y )  2x y  fx (0,1)  1 2 2 2 (x  y ) 2 2 2 , ( x , y )  (0,0)  xy ,( x , y )  (0,0)  2 2 f (x, y )   x  y 0, ( x , y )  (0,0)  b/ Tính fx (0,0) (0,0) là điểm phân chia biểu thức  Tính bằng định nghĩa f ( x0  x , y 0 )  f ( x0 , y 0 ) fx ( x0 , y 0 )  lim x 0 x f (0  x ,0)  f (0,0) fx (0,0)  lim  lim 0  0 x  0 x  0 x 4/ Cho f ( x , y )  e  x2 y 2 tính fx ( x , y ) Hàm f xác định tại, mọi (x,y) fx ( x , y )   x x y 2 2 e  x2 y 2 , ( x , y )  (0,0) Công thức trên không đúng cho (x, y) = (0, 0) f (x, y )  e  x2 y 2 • Tại (0, 0): tính bằng định nghĩa f (0  x ,0)  f (0,0) x  lim x 0 e  x 2 x 1  e  x 2  1 f không có đạo hàm theo x tại (0, 0) (f’x(0,0) không tồn tại) . x 1 Ví dụ cho hàm 3 biến (Tương tự hàm 2 biến) Cho f ( x , y , z )  x  ye xz Tính fx , fy , fz tại (0, 1,2) fx  1  yze fy  e xz xz  fz  xye xz  fx (0, 1,2)  1  2  1 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO Xét hàm 2 biến f(x,y) f’x, f’y cũng là các hàm 2 biến Đạo hàm riêng cấp 2 của f là các đhr cấp 1( nếu có) của f’x, f’y f   f    f 2  fxx  2 x  x  x x   f   f   fxy    xy y  x    f   2f   fyx    y x x  y  f   f    f 2  fyy    y yy y  y  2 2 2 VÍ DỤ f ( x , y )  x 2  xy  cos( y  x ) Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của f fx  2 x  y  sin( y  x ) fy  x  sin( y  x ) fxx   fx  x   2 x  y  sin( y  x )  x  2  cos( y  x ) fxy   fx y  1  cos( y  x ) fy  x  sin( y  x ) fyx   fy  fyy   fy  x y  1  cos( y  x )   cos( y  x )  (0,  )  0, fyx  (0,  )  1 fyy  (0,  )  3, fxx  (0,  )  0 fxy Tổng quát thì các đạo hàm hỗn hợp không bằng nhau   fyx  f xy Định lý Schwartz: nếu f(x, y) và các đạo hàm riêng  , fyx  liên tục trong miền mở chứa (x0, y0) f x , fy , f xy  ( x 0 , y 0 )  f yx  ( x 0 , y 0 ) thì f xy (VD 2.28 trang 53, Toán 3, Đỗ Công Khanh) •Ñoái vôùi caùc haøm sô caáp thöôøng gaëp, ñònh lyù Schwartz luoân ñuùng taïi caùc ñieåm ñaïo haøm toàn taïi. •Ñònh lyù Schwartz cuõng ñuùng cho ñaïo haøm caáp 3 trôû leân.   f xyx   fyxx  f xxy