Toán cao cấp giải tính bài 5

  • Số trang: 16 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 20 |
  • Lượt tải: 0
transuma

Đã đăng 28936 tài liệu

Mô tả:

Toaùn cao caáp : Chöông X Giaûi tích 203 ÖÙNG DUÏNG VAØO KINH TEÁ 1. Kyù hieäu : A : Advertising C : Cost, consumption D : Demand E : Elasticity G : Government I : Income, investment, investor K : Capital L : Labor, liquidity M : Money P : Price π : Profit Q : Quantity R : Revenue, rate of interest S : Supply T : Tax U : Utility W : Wage Y : Income 2. Caùc khaùi nieäm cô baûn: a- Bieân teá (bieân)( marginal): Trong kinh teá, khaùi nieäm bieân teá duøng ñeå chæ söï thay ñoåi cuûa moät bieán kinh teá naøy ñöôïc gaây ra bôûi söï thay ñoåi cuûa moät bieán kinh teá khaùc.Cho y = f(x) vaø f laø haøm khaû vi, ta coù bieân teá cuûa y taïi x laø My ( x) = f ' ( x ) Ví duï: Goïi x laø löôïng saûn phaåm cuûa moät xí nghieäp, y laø toång chi phí saûn xuaát. Giaû söû y phuï thuoäc vaøo x nhö sau : Toaùn cao caáp : 204 Giaûi tích y = f ( x ) = ax 2 + bx + c (a, b, c : haèng soá döông) Khi ñoù, ta coù chi phí bieân teá cuûa xí nghieäp laø : MC = f ' ( x ) = 2ax + b Chuù yù: Khi y = f ( x ) = ax + b thì My = a. Nhö vaäy, trong tröôøng hôïp haøm soá laø baäc nhaát, giaù trò bieân teá chính laø ñoä thay ñoåi cuûa haøm soá khi bieán soá taêng theâm 1 ñôn vò. Ví duï: Giaû söû toång chi phí cuûa moät nhaø maùy tính theo coâng thöùc C = WL − rK o Trong ñoù L chæ soá löôïng lao ñoäng, W chæ tieàn löông cho moãi lao ñoäng, Ko chæ tieàn voán, r laø laõi suaát cuûa voán. Ta coù chi phí bieân teá theo lao ñoäng laø : MC = W. Ñaây laø chi phí taêng theâm khi theâm moät lao ñoäng. b- Ñoä co daõn (Elasticity): Trong nhieàu öùng duïng kinh teá, toác ñoä thay ñoåi cuûa moät haøm soá thöôøng phuï thuoäc vaøo ñôn vò tính cuûa bieán ñoäc laäp x vaø bieán phuï thuoäc y. Ñeå traùnh ñieàu naøy, caùc nhaø kinh teá söû duïng khaùi nieäm ñoä co daõn. Ñoä co daõn cuûa bieán y theo bieán x ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : ε yx ( x) = dy / y dy x x = . = y '( x). dx / x dx y y Ví duï: Tìm ñoä co daõn cuûa y theo x, neáu : x x a) y = ex ; ε = y ' ( x ) . = e x . y y Khi x = 100 thì y = e100. Khi x = 101 thì y = e101 Ta coù Maët khaùc : dy/y = (e101 – e100)/e100 = e – 1 ≈ 1,7=170% 100 ε yx (100) = e100 . 100 = 100 ≠ dy / y e Toaùn cao caáp : b) y = 3x + 5 ; ε = y ' ( x ) . 205 Giaûi tích x 3x = y 3x + 5 Khi x = 100 thì y = 305. Khi x = 101 thì y = 308 Ta coù dy/y = (308 – 305)/305 = 3/305 = Maët khaùc ε = 3.100 / ( 3.100 + 5 ) = 300 % 305 300 = dy / y 305 Chuù yù: Khi y = f(x) = ax + b thì ñoä co daõn cuûa y theo x chính laø söï thay ñoåi cuûa y tính theo phaàn traêm khi x taêng theâm 1%. 3. Baøi toaùn cöïc ñaïi, cöïc tieåu hoùa: a.Haøm loài, haøm loõm: i) Taäp loài: Cho D ⊂ ℝ n . D ñöôïc goïi laø taäp loài neáu ∀x, x '∈ D , ∀λ ∈ ( 0,1) ⇒ λ x + (1 − λ ) x ' ∈ D ii) Haøm soá y = f(x) goïi laø loài ngaët treân taäp loài D ⊂ ℝ n neáu f ( λ x + (1 − λ ) x ') < λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( x ') , ∀x, x '∈ D , ∀λ ∈ ( 0,1) . iii) Haøm soá y = f(x) goïi laø loõm ngaët treân taäp loài D ⊂ ℝ n neáu f ( λ x + (1− λ ) x ') > λ f ( x ) + (1− λ ) f ( x ') , ∀x, x ' ∈ ℝ , ∀λ ∈ ( 0,1) . b- Cöïc trò ñòa phöông, cöïc trò toaøn cuïc cuûa haøm soá thöïc theo moät bieán soá thöïc Xeùt haøm soá : y = f(x), x ∈ D ⊂ ℝ • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi xo ∈ D neáu : ∃ε > 0 : ∀x ∈ ( xo − ε , xo + ε ) ∩ D : f ( x ) ≤ f ( xo ) • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi xo neáu : ∃ε > 0 : ∀x ∈ ( xo − ε , xo + ε ) ∩ D : f ( x ) ≥ f ( xo ) • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D taïi xo neáu : ∀x ∈ D, f ( x ) ≤ f ( xo ) Toaùn cao caáp : • 206 Giaûi tích Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc treân D taïi xo neáu : ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ f ( xo ) Chuù yù: - Moät cöïc trò ñòa phöông khoâng chaéc laø cöïc trò toaøn cuïc. - Khoâng phaûi haøm soá naøo cuõng coù cöïc trò toaøn cuïc. - Trong caùc öùng duïng kinh teá, haàu heát caùc haøm soá chæ coù moät cöïc trò ñòa phöông duy nhaát vaø ñoù cuõng laø cöïc trò toaøn cuïc. - Treân taäp loài D ⊂ ℝ , ñoái vôùi caùc baøi toaùn kinh teá thöôøng gaëp ta coù: + Neáu f”(x) > 0, ∀x ∈ D thì f loài ngaët toaøn cuïc treân D. Khi ñoù, moät ñieåm cöïc tieåu ñòa phöông cuõng laø cöïc tieåu toaøn cuïc treân D. + Neáu f”(x) < 0, ∀x ∈ D thì f loõm ngaët toaøn cuïc treân D. Khi ñoù, moät ñieåm cöïc ñaïi ñòa phöông cuõng laø cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D. c- Cöïc trò ñòa phöông, cöïc trò toaøn cuïc cuûa haøm soá thöïc theo hai bieán soá thöïc Xeùt haøm soá z = f ( x, y ) , Ñaët B ( ( xo , yo ), ε ) = • { ( x, y ) ∈ D ⊂ ℝ 2 ( x, y ) / ( x − xo ) + ( y − yo ) 2 2 1/ 2   } < ε ,ε > 0 Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi ( xo , yo ) ∈ D neáu ∃ε > 0 : ∀ ( x, y ) ∈ B ( ( xo , yo ) , ε ) ∩ D : f ( x, y ) ≤ f ( xo , yo ) • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi ( xo , yo ) neáu ∃ε > 0 : ∀ ( x, y ) ∈ B ( ( xo , yo ) , ε ) ∩ D : f ( x, y ) ≥ f ( xo , yo ) • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc taïi ( xo , yo ) ∈ D neáu ∀ ( x, y ) ∈ D, f ( x, y ) ≤ f ( xo , yo ) • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc taïi ( xo , yo ) ∈ D neáu ∀ ( x, y ) ∈ D, f ( x, y ) ≥ f ( xo , yo ) Toaùn cao caáp : Giaûi tích 207 Caùc chuù yù ôû tröôøng hôïp haøm moät bieán vaãn ñuùng cho tröôøng hôïp hai bieán.  Ñieàu kieän caàn cuûa cöïc trò ñòa phöông (ñieàu kieän caáp 1) Neáu haøm f ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi (xo, yo) vaø f coù caùc ñaïo haøm rieâng taïi (xo, yo) thì f x ' ( x0 , y0 ) = f y ' ( x0 , y0 ) = 0  Ñieàu kieän ñuû cuûa cöïc trò ñòa phöông (ñieàu kieän caáp 2) Nhaéc laïi: Cho z = f (x,y) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 lieân tuïc, ta coù vi phaân caáp 1 vaø vi phaân caáp 2 cuûa f laàn löôït nhö sau : dz = f x' dx + f y' dy ; d 2 z = f xx" dx 2 + 2 f xy" dxdy + f yy" dy 2 2  f " dy   f " f " − f "2  Ta coù : d z = f  dx + xy "  +  xx yy " xy  dy 2 ( giaû söû f ''xx ≠ 0 ) f xx   f xx   2 " xx Suy ra: + Neáu f xx" < 0 vaø f xx" f yy" - f xy"2 > 0 thì d 2 z < 0 + Neáu f xx" >0 vaø f xx" f yy" - f xy"2 > 0 thì d 2 z > 0 Baây giôø, ta coù ñieàu kieän ñuû cuûa cöïc trò ñòa phöông nhö sau : • Neáu df(xo,yo) = 0 vaø d2f(xo,yo) < 0 thì f ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi (xo,yo). • Neáu df(xo,yo) = 0 vaø d2f(xo,yo) > 0 thì f ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi (xo,yo). Ta ñaët:  f xx" f H = "  f yx f   (H goïi laø ma traän Hesse); H1 = f // xx , H 2 = H " yy   " xy Ta coù : i) H1 < 0, H 2 > 0 thì d 2 f < 0 (cöïc ñaïi ñòa phöông) ii) H1 > 0, H 2 > 0 thì d 2 f > 0 (cöïc tieåu ñòa phöông) Toaùn cao caáp : 208 Giaûi tích + Neáu d 2 z ( x, y ) > 0, ∀ ( x, y ) ∈ D thì f loài ngaët toaøn cuïc treân D. Khi ñoù, moät ñieåm cöïc tieåu ñòa phöông cuõng laø cöïc tieåu toaøn cuïc treân D. + Neáu d 2 z ( x, y ) < 0, ∀ ( x, y ) ∈ D thì f loõm ngaët toaøn cuïc treân D. Khi ñoù, moät ñieåm cöïc ñaïi ñòa phöông cuõng laø cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D. d- Ñònh lyù: Cho z = f (x,y) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 lieân tuïc treân taäp môû vaø loài D ⊂ ℝ 2 . Giaû söû , taïi ( x0 , y0 ) ∈ D ta coù f x ' ( x0 , y0 ) = f y ' ( x0 , y0 ) = 0 .Khi ñoù i) Neáu H1 ( x, y ) > 0 , H 2 ( x, y ) > 0, ∀( x, y ) ∈ D thì f ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc treân D taïi ( x0 , y0 ) ii ) Neáu H1 ( x, y ) < 0 , H 2 ( x, y ) > 0, ∀( x, y ) ∈ D thì f ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D taïi ( x0 , y0 ) 3. Caùc ví duï veà kinh teá: Ví duï 1: Giaû söû haøm lôïi nhuaän cuûa moät xí nghieäp ñoái vôùi moät loaïi saûn phaåm coù daïng : ∏ = R − C − T = PQ − cQ − tQ − f trong ñoù ∏ laø lôïi nhuaän, R laø doanh thu, C laø chi phí goàm ñònh phí f (ñoäc laäp vôùi saûn löôïng) vaø bieán phí cQ (c : bieán phí ñôn vò treân 1 saûn phaåm, Q : saûn löôïng), t laø thueá treân moät ñôn vò saûn phaåm, T laø toång thueá. Giaû söû: P = a – bQ (a, b > 0) Khi ñoù, ta coù : ∏ = aQ − bQ 2 − ( c + t ) Q − f Ñeå ñôn giaûn, ta giaû söû : a = 10, b = 1, c = 2, f = 1. ta coù : Toaùn cao caáp : 209 Giaûi tích ∏ = 10Q − Q 2 − ( 2 + t ) Q − 1 Baøi toaùn ñaët ra laø xí nghieäp muoán xaùc ñònh möùc saûn löôïng Q ñeå lôïi nhuaän ñaït cöïc ñaïi. Ñoàng thôøi nhaø nöôùc cuõng muoán xaùc ñònh möùc thueá t treân moät ñôn vò saûn phaåm ñeå toång thueá T ñaït cöïc ñaïi. Tröôùc tieân, ta ñöùng treân cöông vò cuûa xí nghieäp, xem t nhö laø tham soá thì π laø haøm soá thöïc theo moät bieán soá thöïc Q. Ñieàu kieän caáp 1 : ∏Q/ = −2Q + 8 − t = 0 ⇔ Q = Ñieàu kieän caáp 2 : 8−t 2 ( 0 < t < 8) // ∏QQ = −2 < 0 Vaäy haøm π loõm ngaët toaøn cuïc neân ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi : 8−t Q = Q* = ( 0 < t < 8) 2 Vôùi Q = Q*, ta coù : T = tQ* = 8t − t 2 2 Ñieàu kieän caáp 1 : 8 − 2t =0⇔t=4 2 Ttt" = −1 < 0 Tt ' = Vaäy haøm T loõm ngaët toaøn cuïc neân ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi : t = t* = 4 (thoûa ñieàu kieän 0 < t < 8) Khi ñoù, ta coù : Q = Q* = 2 P = P* = a – bQ* = 10 – 2 = 8 Vaø ∏ = ∏* = 20 − 4 − 6.2 −1 = 3 Ví duï 2: Giaû söû haøm lôïi nhuaän cuûa moät coâng ty ñoái vôùi moät saûn phaåm laø : ∏ = R − C = PQ − wL − rK Toaùn cao caáp : 210 Giaûi tích trong ñoù ∏ laø lôïi nhuaän, R laø doanh thu, C laø chi phí, L laø löôïng lao ñoäng, w laø tieàn löông cuûa moät lao ñoäng, K laø tieàn voán, r laø laõi suaát cuûa tieàn voán, P laø ñôn giaù baùn. Giaû söû Q laø haøm saûn xuaát Cobb-Douglas daïng Q = L1/ 3 K 1/ 3 Giaû söû w = 1, r = 0,02, P = 3 Khi ñoù, ta coù : Π = 3 L1/ 3 K 1/ 3 − L − 0, 02 K ∏ /L = L−2 / 3 K 1/ 3 − 1; ∏ /K = L1/ 3 K −2 / 3 − 0, 02 Ta coù ñieàu kieän caàn ñeå Π ñaït cöïc trò taïi (L,K) laø: ∏ /L = L−2 / 3 K 1/ 3 − 1 = 0 vaø ∏ K/ = L1/ 3 K −2 / 3 − 0, 02 = 0 ⇔ K 2  L2 = 1  K = L  K = 2500 ⇔ ⇔    3 2 3 4  L = 50 ( vì L > 0 )  L = (0, 02) K = (0, 02) L  L = (0, 02)3  K 2 Ta coù ma traän Hesse :  2 −5 / 3 1/ 3 1 −2 / 3 −2 / 3  L K  ∏ //LL ∏ //LK   − 3 L K 3 H =  // =    // ∏ KL ∏ KK   1 L−2 / 3 K −2 / 3 − 2 L1/ 3 K −5 / 3  3  3  Ñieàu kieän caáp 2 : 2 H1 = − L−5 / 3 K 1/ 3 < 0 3 4 1 1 H 2 = L−4 / 3 K −4 / 3 − L−4 / 3 K −4 / 3 = L−4 / 3 K −4 / 3 > 0 do L > 0, K > 0 9 9 3 Suy ra Π loõm ngaët toaøn cuïc. Do ñoù, Π ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc taïi : K = 2500 vaø L = 50 Ví duï 3: Giaû söû moät xí nghieäp saûn xuaát moät loaïi saûn phaåm vaø baùn taïi hai thò tröôøng taùch bieät. Giaû söû ñôn giaù baùn taïi thò tröôøng 1 laø P1 cao hôn ñôn giaù baùn taïi thò tröôøng 2 laø P2 : P1 > P2 Toaùn cao caáp : 211 Giaûi tích Giaû söû toång chi phí laø : C = C(Q) + tq2 trong ñoù Q = q1 + q2 laø löôïng haøng baùn ñöôïc ôû caû hai thò tröôøng. q1, q2 laàn löôït laø löôïng haøng baùn ñöôïc ôû thò tröôøng 1 vaø thò tröôøng 2, t laø chi phí taêng theâm treân moät ñôn vò saûn phaåm ôû thò tröôøng 2. ∏ = Pq 1 1 + P2 q2 − C ( Q ) − tq2 Ta coù haøm lôïi nhuaän : Ñeå ñôn giaûn, ta giaû söû p1 = 7, p2 = 6, C (Q) = q12 + q1q2 + q22 + 3, t = 1 Khi ñoù ta coù : ∏ = 7q1 + 6q2 − q12 − q1q2 − q22 − 3 − q2 = − q12 − q22 − q1q2 + 7q1 + 5q2 − 3 Ñieàu kieän caáp 1 : / −2q1 − q2 + 7 = 0 2 q + q = 7 ∏ q1 = 0 ⇔ ⇔ 1 2  / − q1 − 2q2 + 5 = 0 2q1 + 4 q2 = 10 ∏ q2 = 0 q = 3 ⇔ 1 q2 = 1 Ñieàu kieän caáp 2 : Ma traän Hesse ∏ //q1q1 Π q//1q2   −2 −1 H =  // = // −1 −2 ∏ q2 q1 Π q2q2   H1 = −2 = −2 < 0, H2 = H = 3 > 0 Vaäy Π loõm ngaët toaøn cuïc, do ñoù Π ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi : q1 = q1* = 3 vaø q2 = q2* = 1 Khi ñoù : ∏ = ∏* = −9 − 1− 3 + 21+ 5 − 3 = 10 Ví duï 4: Moät coâng ty saûn xuaát ñoäc quyeàn moät loaïi saûn phaåm vaø tieâu thuï treân 2 thò tröôøng rieâng bieät. Giaû söû caùc haøm caàu treân 2 thò Toaùn cao caáp : 212 Giaûi tích tröôøng 1 vaø 2 laàn löôït laø QD1 = 80 - P1 P , QD2 = 80 - 2 , haøm toång 3 4 chi phí laø C(Q) = Q2 + 30Q + 10. Trong ñoù Pi laø ñôn giaù treân thò tröôøng thöù i, i = 1, 2 ; Q laø toång saûn löôïng. Tìm khoái löôïng saûn phaåm coâng ty cung caáp cho caùc thò tröôøng ñeå lôïi nhuaän cao nhaát ? Giaûi: Giaû söû coâng ty cung caáp cho thò tröôøng i laø Qi. Ta coù : P P Q1 = 80 - 1 , Q2 = 80 - 2 ; vaø Q1 + Q2 = Q 3 4 ⇒ P1 = 240 - 3Q1, P2 = 320 - 4Q2 ⇒ R1 = (240 - 3Q1)Q1 , R2 = (320 - 4Q2)Q2. Vôùi Ri laø doanh thu treân thò tröôøng thöù i, i = 1,2 Ñieàu kieän caàn ñeå π = R1 + R2 - Q2 - 30Q - 10 ñaït cöïc trò laø ∂π ∂π = =0 ∂Q1 ∂Q2 240 − 6Q1 = 30 + 2(Q1 + Q2 ) 4Q1 + Q2 = 105 ⇔ ⇔  320 − 8Q2 = 30 + 2(Q1 + Q2 ) Q1 + 5Q2 = 145 ⇔ (Q1, Q2) = (20, 25). ∂ 2π ∂ 2π ∂ 2π = − 8 ; = − 10 ; =−2 ∂Q12 ∂Q22 ∂Q1 ∂Q2 −8 − 2  −8 − 2  H=  > 0 , H1 = -8 < 0, ∀ ( Q1, Q2 )  , H2 = −2 − 10  −2 − 10  ⇒ π loõm ngaët toaøn cuïc ⇒ π ñaït cöïc ñaïi toøan cuïc taïi (Q1, Q2 ) = (20, 25). Vaäy coâng ty cung caáp cho : - Thò tröôøng thöù 1 laø Q1= 20 ñôn vò haøng vôùi ñôn giaù laø P1 = 240 - 3Q1 = 180 - Thò tröôøng thöù 2 laø Q2 = 25 vôùi ñôn giaù P2 = 320 - 4Q2 = 220 4. Cöïc trò raøng buoäc cuûa haøm soá thöïc theo hai bieán soá thöïc: Xeùt baøi toaùn tìm cöïc trò haøm f(x, y) vôùi raøng buoäc g(x, y) = go ( giaû söû g0 > 0) Toaùn cao caáp : 213 Giaûi tích Tröôùc tieân, ta laäp haøm Lagrange : L ( x, y; λ ) = f ( x, y ) + λ ( g o − g ( x , y ) ) ( λ goïi laø nhaân töû Lagrange) Ta thaáy cöïc trò cuûa haøm f vôùi raøng buoäc g(x, y) = go cuõng chính laø cöïc trò cuûa haøm Lagrange L. Ta coù ñieàu kieän caáp 1 töông töï tröôøng hôïp cöïc trò khoâng raøng buoäc Ñieàu kieän caáp : Neáu L ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi (xo, yo, λo ) thì L'x = 0, L'y = 0 = L'λ = 0 ( hay dL = 0 ) taïi (xo, yo, λo ) Ñieàu kieän caáp 2: Ta ñònh nghóa Hessian bao nhö sau :  L"xx  H =  L"yx  "  Lλ x Ñaët  L"xx H1 =  "  Lλ x L"xy L"yy L"λ y L''xλ   L"yλ   L''λλ  L''xλ   , H2 = H L''λλ  Ta coù caùc ñònh lyù sau : • Neáu dL(xo, yo, λo ) = 0 vaø H 1 < 0 taïi (xo, yo, λo ), H2 > 0 taïi (xo, yo, λo ) thì L ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi (xo, yo, λo ). • Neáu dL(xo, yo, λo ) = 0 vaø H 1 < 0 taïi (xo, yo, λo ), H2 < 0 taïi (xo, yo, λo ) thì L ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi (xo, yo, λo ). • Neáu dL(xo, yo, λo ) = 0 vaø H 1 < 0 , H 2 > 0 , ∀ ( x, y, λ ) thì (xo, yo) laø ñieåm cöïc ñaïi toaøn cuïc cuûa f vôùi raøng buoäc g(xo, yo) = go. Toaùn cao caáp : • 214 Giaûi tích Neáu dL(xo, yo, λo ) = 0 vaø H 1 < 0 , H 2 < 0 , ∀ ( x, y, λ ) thì (xo, yo) laø ñieåm cöïc tieåu toaøn cuïc cuûa f vôùi raøng buoäc g(xo, yo) = go. Chuù yù: Baøi toaùn tìm cöïc trò haøm f(x, y) vôùi raøng buoäc g(x, y) = go coù theå giaûi ñôn giaûn baèng caùch töø raøng buoäc, ruùt y theo x (hay x theo y) vaø theá vaøo f. Töø ñoù, baøi toaùn ñöa veà vieäc tìm cöïc trò cuûa haøm moät bieán. Tuy nhieân, khoâng phaûi luùc naøo ta cuõng ruùt ñöôïc bieán naøy theo bieán kia. Hôn nöõa, phöông phaùp Lagrange aùp duïng ñöôïc cho tröôøng hôïp haøm nhieàu bieán toång quaùt vôùi nhieàu raøng buoäc vaø nhaân töû Lagrange λ coù yù nghóa ñaëc bieät trong kinh teá. Ví duï 1: Giaû söû haøm lôïi ích ñoái vôùi hai saûn phaåm laø ∪ ( x, y ) = ln x + ln y trong ñoù x laø löôïng haøng thöù nhaát, y laø löôïng haøng thöù hai. Giaû söû ngöôøi tieâu duøng coù thu nhaäp I phaûi duøng heát ñeå mua hai saûn phaåm treân, Px vaø Py laàn löôït laø ñôn giaù cuûa hai maët haøng. Baøi toaùn ñaët ra laø caàn tìm x vaø y ñeå cöïc ñaïi hoùa ∪ vôùi raøng buoäc Pxx + Pyy = I ( ñieàu kieän I ≥ 2 Px ; I ≥ 2 Py ). Haøm Lagrange cuûa baøi toaùn : L = ln x + ln y + λ ( I − Px x − Py y ) Ñieàu kieän caáp 1 : 1  x − λ Px = 0  L'x = 0   ' 1  Ly = 0 ⇔  − λ Py = 0  ' y L 0 =  λ  I − Px x − Py y = 0   Toaùn cao caáp : Giaûi tích 215  2 λ = 1 1  I  λ = xP = yP  I 1   x y ⇔ ⇔ x = = λ Px 2 Px I = 2    1 I λ = y = λ Py 2 Py  Hessian bao :  −1/ x 2 0  1 H = 0 − 2  y   −P − P y  x H2 = H = − Px   −1/ x 2 − Px − Py  ; H1 = = − Px2 < 0,  − Px 0  0  2 Px2 Py + > 0, ∀x, y, λ ( x ≥ 1, y ≥ 1) y 2 x2 Vaäy ∪ ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc vôùi raøng buoäc g(x,y) = I taïi : x = x* = Khi ñoù : I I vaø y = y* = 2 Px 2 Py I I I2 ∪ = ln + ln = ln 2 Px 2 Py 4 Px Py Ví duï 2: Giaû söû haøm lôïi ích phuï thuoäc vaøo soá tieàn tieâu duøng taïi cuoái hai thôøi kyø 1 vaø 2 laø C1 vaø C2 nhö sau : ∪ = C1 C2. Giaû söû laõi suaát taïi cuoái thôøi kyø thöù 1 laø r = 0,5%, toång thu nhaäp taïi cuoái thôøi kyø thöù 1 laø I. Giaû söû ta coù raøng buoäc C C1 + 2 = I 1+ r (C2/(1+r) laø hieän giaù cuûa C2 taïi cuoái thôøi kyø thöù 1). Baøi toaùn ñaët ra laø tìm C1, C2 ñeå cöïc ñaïi hoùa haøm lôïi ích ∪ . Ta coù haøm Lagrange cuûa baøi toaùn : Toaùn cao caáp : 216 Giaûi tích C2   L ( C1, C2 , λ ) = C1C2 + λ  I − C1 − 1, 005   Ñieàu kieän caáp 1:  C − λ = 0  L'C1 = 0  2 λ = C2  ' λ   =0 ⇔ λ = 1, 005C1  LC2 = 0 ⇔ C1 − 1 , 005  '  2C = I  1   Lλ = 0 C2 I − C − = 0  1 1, 005  I  C1 = 2  I  ⇔ C2 = 1, 005 2  I  λ = 1, 005 2  Hessian bao :  0 1   0 H = 1  1   −1 − 1, 005   −1   1  − 1, 005    0   Ñieàu kieän caáp 2 : H1 = 0 −1 −1 0 = −1 < 0 , H 2 = H = 1 1 + >0 1, 005 1, 005 ∀ ( C1, C2 , λ ) Vaäy ∪ ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi C1 = C1* = I I , C2 = C2* = 1, 005 2 2 Toaùn cao caáp : 217 Giaûi tích Ví duï 3: Giaû söû moät xí nghieäp caàn xaùc ñònh löôïng lao ñoäng L, löôïng voán K ñeå cöïc tieåu hoùa chi phí C(L,K) = wL + rK. Trong ñoù w = 400 laø tieàn löông cho moãi lao ñoäng, r = 0,01 laø laõi suaát cuûa voán vay . Giaû söû xí nghieäp phaûi saûn xuaát Qo = 1000 ñôn vò saûn phaåm vaø haøm saûn phaåm laø :Q = F(L,K) = L1/2K1/2 Haøm Lagrange : F (L,K, λ ) = wL + rK + λ (Qo – L1/2K1/2) Ñieàu kieän caáp 1 :  K (800)2 1 −1/ 2 1/ 2   = w − 2 λ L K = 0 λ2  FL' = 0 L   '  L (0, 02)2  1 1/ 2 −1/ 2 =0⇔ =  FK = 0 ⇔  r − λ L K λ2  '  2 K  Fλ = 0 Q0 − L1/ 2 K 1/ 2  LK = 10 6 =0     λ = 4  ⇔ L = 5  K = 200.000  Hessian bao: 1  1 −3 / 2 1/ 2 − λ L−1/ 2 K −1/ 2 4 λL K 4  1 1 1/ 2 −3 / 2 H =  − λ L−1/ 2 K −1/ 2 λL K  4 4  1 1  − L−1/ 2 K 1/ 2 − L1/ 2 K −1/ 2 2  2 1 −1/ 2 1/ 2  L K  2  1 − L1/ 2 K −1/ 2   2   0  − 1 −3 / 2 1/ 2 1 λL K − L−1/ 2 K 1/ 2 1 4 2 H1 = = − L−1K < 0 1 4 − L−1/ 2 K 1/ 2 0 2 H2 = H = − 1 −1/ 2 −1/ 2 1 −1/ 2 −1/ 2 1 −1/ 2 −1/ 2 1 −1/ 2 −1/ 2 λL K − λL K − λL K − λL K <0 16 16 16 16 Toaùn cao caáp : Giaûi tích 218 ∀L, K , λ > 0 . Vaäy, haøm chi phí C ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc khi L = L* = 5, K = K* = 200.000.
- Xem thêm -