Toán cao cấp giải tính bài 4

  • Số trang: 24 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 22 |
  • Lượt tải: 0
transuma

Đã đăng 28936 tài liệu

Mô tả:

Toaùn cao caáp: Chöông IX I. Giaûi tích 179 PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN Ñònh nghóa : • Phöông trình vi phaân laø phöông trình coù daïng f(x, y, y’, y’’, ..., y(n)) = 0 (1). Phöông trình vi phaân coù chöùa y(n) (hay coù vi phaân baäc n) goïi laø phöông trình vi phaân caáp n. • Neáu thay y = ϕ(x) vaøo (1) maø (1) thaønh ñoàng nhaát thöùc treân D ⊂ ℝ thì ta noùi y = ϕ(x) laø nghieäm cuûa (1) treân D ⊂ ℝ . • Nghieäm toång quaùt cuûa (1) thöôøng coù daïng y = ϕ(x, c1, c2, ..., cn) vôùi c1, c2,.., cn laø nhöõng haèng soá tuøy yù. Neáu cho (c1, c2, ..., cn) moät boä giaù trò cuï theå thì ta coù moät nghieäm rieâng. Ñònh lyù: Neáu f(x, y) lieân tuïc treân taäp môû vaø bò chaän treân D chöùa M(x0, y0) thì toàn taïi y = ϕ(x) laø nghieäm cuûa phöông trình vi ∂f phaân caáp 1: y’ = f(x, y) ñi qua M(x0, y0). Hôn nöõa neáu lieân tuïc ∂y trong moät laân caän cuûa (x0, y0) thì nghieäm ñoù laø nghieäm duy nhaát. Ví duï: i) Giaûi phöông trình xy’ + y = 0 (* ) dy (* )⇔ x + y = 0 ⇔ xdy + ydx = 0 ⇔ d(xy) = 0 dx ⇔ xy = C (haèng soá) ii) Tìm nghieäm cuûa (* ) qua M(3, -5) Nghieäm cuûa (* ) qua (3, -5) ⇒ xy = C qua (3, -5) ⇒ 3(-5) = C ⇒ C = -15. Vaäy nghieäm cuûa (* ) qua (3, -5) laø 15 xy = -15 hay y = − x II. Caùc phöông trình vi phaân caáp I thöôøng gặp: Toaùn cao caáp: 180 Giaûi tích 1) Phöông trình coù bieán phaân ly (coù theå taùch ra): laø phöông trình vi phaân coù daïng ϕ(y)dy = f(x)dx hay f1(x)g1(y)dx = f2(x)g2(y)dy (2) f ( x) g ( y) dx = 2 dy (2) ⇔ f2(x)g1(y) = 0 hay 1 f2 ( x) g1( y ) ⇔ f2(x)g1(y) = 0 hay f1( x) g ( y) dx = ∫ 2 dy g1( y ) 2 ( x) ∫f Ví duï : Giaûi phöông trình 3extgydx + (2 - ex)(1 + tg2y)dy = 0 (3) 3e x dx (1+ tg 2 y )dy (3) ⇔ tgy. (2 - e ) = 0 hay ∫ = −∫ 2 − ex tgy x ⇔ tgy. (2 - ex) = 0 hay 3ln|2 - ex| = ln|tgy| + C1, C1 ∈ ℝ ⇔ tgy. (2 - ex) = 0 hay ln ⇔ tgy. (2 - ex) = 0 hay tgy = ln eC2 , C2 = - C1∈ ℝ x 3 (2 − e ) tgy = ± eC2 = C , C∈ ℝ∗ x 3 (2 − e ) ⇔ (2 - ex) = 0 hay tgy = C (2 − e x )3 , C∈ ℝ Ví duï: i) Giaûi phöông trình (1 + ex)yy’ = ex ii) Tìm nghieäm rieâng trong tröôøng hôïp y(0) = 1. Giaûi: i) (1 + ex)y dy e x dx = ex ⇔ ydy = dx 1+ e x ii) y(0) = 1 ⇒ 1 = 2ln2 + C.2 ⇒ C = ⇒ nghieäm rieâng thoûa y (0) =1 laø: ⇔ y2 = ln(1 + ex) + C 2 1 −ln2 2 Toaùn cao caáp: Giaûi tích 181 y2 1 1+ e x 1 x = ln(1 + e ) + − ln2 = ln( ) + 2 2 2 2 ⇔ 1+ e x 1+ e x 2 y2 = 2 ln( ) + 1 ⇔ y = ± 1+ ln( ) 2 2 vì y(0) = 1 ⇒ y > 0 ⇒ y = 1+ e x 2 1+ ln( ) 2 2) Phöông trình ñaúng caáp caáp 1: laø phöông trình vi phaân coù daïng y’ = f( Ñaët u = y y ) (4) ⇔ dy = f( )dx x x y ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu, (4) thaønh x udx + xdu = f(u)dx ⇔ xdu = (f(u) − u))dx du dx ⇔ x(f(u) −u) = 0 hay = f (u ) − u x ñaây laø phöông trình coù bieán phaân ly. Ví duï 1: Giaûi phöông trình (2y2 −2xy + x2)dx − x.ydy = 0 (5) + Khi x = 0 ⇒ dx = 0 ⇒ x = 0 laø nghieäm. + Khi x ≠ 0, (5) thaønh: (2 Ñaët u = y2 y y − 2 + 1)dx − dy = 0 (5’) 2 x x x y ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu ⇒ (5’) thaønh : x (2u2 − 2u + 1)dx − u(udx + xdu) = 0 ⇔ (u −1)2dx − uxdu = 0 dx udu ⇔ u = 1 hay ∫ − ∫ =0 x (u − 1)2 ⇔ u = 1 hay ∫ (u − 1+ 1)du dx −∫ =0 2 (u − 1) x ⇔ u = 1 hay ln u −1 1 = C, C ∈ ℝ − x u −1 Toaùn cao caáp: Thay u = Giaûi tích 182 y y−x x ta coù y = x hay ln 2 − = C, C ∈ ℝ x x y−x laø nghieäm khi x ≠ 0. Vaäy nghieäm cuûa (5) laø: x = 0 hay y = x hay ln y−x x =C − 2 x y−x Ví duï 2: Giaûi phöông trình (x2 −2xy )dy − x.ydx = 0 (6) y y Caùch 1: (6) ⇔ x = 0 hay ( 1 − 2 )dy − dx = 0 (7) x x y Ñaët u = ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu ⇒ (7) thaønh: x (1 − 2u ) (udx + xdu) − u dx = 0 ⇔ (1 − 2u ) xdu − 2u2 dx = 0 ⇔ u = 0 hay −1 2 dx 1 c ( 2 + )du = − 2 ⇔ u = 0 hay + ln u 2 = ln 2 , c > 0 u u x u x x 1 c y ⇔ u = 0 hay u 2 .e u = 2 , c > 0 ⇔ y = 0 hay y 2 .e = c, c > 0 x Vaäy nghieäm cuûa (6) laø : x y x = 0 hay y = 0 hay y 2 .e = c , c > 0 Caùch 2: (6) ⇔ y = 0 hay ( Ñaët v = x2 x x − 2 )dy − dx = 0 (8) 2 y y y x ⇒ x = v.y ⇒ dx = vdy + ydv ⇒ (8) thaønh : y (v2 − 2v )dy − v(vdy + ydv) = 0 ⇔ − 2vdy − vydv = 0 2dy c ⇔ v = 0 hay dv = − ⇔ v = 0 hay v = ln 2 , c > 0 y y Toaùn cao caáp: Giaûi tích 183 x c y ⇔ v = 0 hay ev = , c > 0 ⇔ x = 0 hay y 2 .e = c , c > 0 2 y Vaäy nghieäm cuûa (6) laø: x y x = 0 hay y= 0 hay y 2 .e = c , c > 0 Ghi chuù: phöông trình vi phaân sau ñaây coù theå ñöa ñöôïc veà  ax + by + c  phöông trình vi phaân ñaúng caáp caáp 1: y ' = f  .  a'x + b' y + c' Ta coù hai tröôøng hôïp: • Neáu D = a b a' b' ≠ 0 thì ñaët u = x − x0 , v = y − y0 , vôùi x0 , y0 laø ax + by + c = 0 nghieäm cuûa heä phöông trình  a ' x + b ' y + c ' = 0 • Neáu D = a b a' b' = 0 ta ñaët z = ax + by Ví duï 1: Giaûi phöông trình vi phaân ( 2 x − 4 y + 6 ) dx + ( x + y − 3 ) dy = 0 Ñaët u = x − 1, v = y − 2 Ví duï 2: Giaûi phöông trình vi phaân ( 2 x + 4 y + 6 ) dx + ( x + 2 y −1) dy = 0 Ñaët z = x + 2 y 3) Phöông trình tuyeán tính (caáp 1): laø phöông trình vi phaân coù daïng y’ + p(x).y = q(x) (6); trong ñoù p(x), q(x) laø caùc haøm soá lieân tuïc. Toaùn cao caáp: 184 Giaûi tích i). Neáu q(x) ≡ 0, (6) thaønh y = 0 hay dy = −p(x)dx y ⇔ y = 0 hay ln y = − p ( x) dx + C1 , C1 ∈ ℝ ∫ − p ( x ) dx + C 1 ⇔ y = 0 hay y = ± e ∫ , C1 ∈ ℝ − p ( x ) dx C ⇔ y = 0 hay y = C.e ∫ , C = ±e 1 ≠0 − p ( x ) dx ⇔ y = C.e ∫ , C∈ ℝ (6’) ii). Neáu q(x) ≠ 0 ta giaûi baèng phöông phaùp “bieán thieân haèng soá”. Khi ñoù nghieäm cuûa (6) coù daïng (töông töï 6’) : − p ( x ) dx y = C(x). e ∫ (7), trong ñoù C(x) laø haøm caàn tìm. − p ( x ) dx − p ( x ) dx Ta coù: y’ = C’(x) e ∫ − p(x)C(x) e ∫ (8). − p ( x ) dx Theá (7) vaøo (8) ta ñöôïc: y’ = C’(x) e ∫ − p(x).y − p ( x ) dx ⇒ y’ + p(x).y = C’(x). e ∫ (9). − p ( x ) dx p ( x ) dx ⇒ C’(x) = q(x). e ∫ (6) vaø (9) ⇒ q(x) = C’(x). e ∫ ⇒ C(x) = ∫ (q( x).e ∫ p ( x ) dx ) dx Vaäy nghieäm cuûa (6) laø y =  ∫ (q ( x)e ∫  Ví duï 1: Giaûi phöông trình p ( x ) dx − p ( x ) dx )dx  .e ∫  y’ + 2xy = 2x e− x 2 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát y’+2xy=0 laø y= C. e− x ⇒ nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho coù daïng y=C(x). e− x ⇒ y’ = C’(x). e− x −2xC(x). e− x = C’(x) e− x −2xy 2 2 2 ⇒ 2x. e− x = C’(x). e− x ⇒ C’(x) = 2x ⇒ C(x) = x2 + C1 2 ⇒ y = [x2 +C1]. e− x 2 2 2 2 Toaùn cao caáp: 185 Giaûi tích Caùch khaùc: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø ( ) 2 − p ( x ) dx  p ( x ) dx - 2xdx 2xdx y=e ∫ . ∫ ( q ( x )e ∫ )dx  = e ∫ .[ ∫ 2 x.e − x .e ∫ dx]   = e- x 2 + C1 ( ) .∫ 2 x.e − x .e x 2 2 − C1 dx = e− x 2 ∫ ( 2 x.e − x2 ) .e x2 dx = e − x [ x 2 + C ] 2 Ví duï 2: a) (1 + y2)dx + (1 +x2)dy = 0 b) (1 + y2)dx + yxdx = 0  y 'sin x − y cos x = 0  c)  π  y ( 2 ) = 1 d) x 1+ y 2 + yy ' 1+ x 2 = 0 e) exsin3y + y’(1 + e2x)cosy = 0 f) xyy’ = y2 + 3x2 g) xy + y2 = (2x2 + xy).y’ h) 2x2y’ = x2 + y2 i) (y −x)dx + (y + x)dy j) xy’ + y = x3y4. Giải: Dành cho bạn ñọc 4. Phöông trình Bernoulli : laø phöông trình vi phaân coù daïng y / + yp(x) = q(x). yα , 0≠α≠1 Chia yα ta coù y / . y −α + y1−α p(x) = q(x). Ñaët v = y1−α thì v/ = (1 −α) y / . y −α . Khi ñoù phöông trình thaønh 1 / v + v.p(x)= q(x) 1− α ⇔ v/ + (1 −α)p(x).v = (1 −α)q(x) Ñaây laø phöông trình tuyeán tính Ví duï: Giaûi phöông trình Toaùn cao caáp: 186 Giaûi tích y '− x. y = y 5 e −2 x ⇔ y’ y −5 −x y − 4 = e−2 x 2 2 Ñaët v = y − 4 ⇒ v’ = −4y’ y −5 .Khi ñoù phöông trình thaønh: − 2 2 1 v’ − xv = e−2 x ⇔ v’ + 4xv = −4 e−2 x (* ) 4 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát v’ + 4xv = 0 laø x v = C. e ∫ − 4 xdx 0 = C. e−2 x 2 Nghieäm cuûa (* ) coù daïng v = C(x). e−2 x ⇒ v’ = C’(x) e−2 x − 4xC(x). e−2 x 2 2 2 ⇒ v’ + 4x.v = C’ e−2 x (= −4 e−2 x ) ⇒ C’ = −4 ⇒ C = −4x + C1. 2 2 ⇒ v = (−4x + C1) e−2 x ⇒ y−4 = (−4x + C1) e−2 x 2 2 2 e2 x ⇒ y = . − 4 x + C1 4 III. Sô löôïc veà soá phöùc: 1. Ñònh nghóa: Taäp hôïp taát caû caùc soá phöùc kyù hieäu laø ℂ , ñöôïc ñònh nghóa: ℂ = {a + bi / a, b ∈ ℝ vôùi i2 = −1} Vôùi soá phöùc z = a + bi ta noùi a = Rez laø phaàn thöïc, b = Imz laø phaàn aûo. Khi b = 0 ⇒ z = a ∈ ℝ . Vaäy ℝ ⊂ ℂ . Hai soá phöùc z = a + ib vaø z = a − ib goïi laø 2 soá phöùc lieân hôïp. Moãi soá phöùc z = a + ib öùng vôùi duy nhaát caëp (a, b) ∈ ℝ 2. 2. Caùc pheùp tính : Cho z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Ta coù: i) a1 = a2 z1 = z2 ⇔  ⇔ (a1, b1) = (a2, b2) b1 = b2 ii) z1 ± z2 = (a1 + ib1) ± (a2 + ib2) = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2) Toaùn cao caáp: iii) iv) Giaûi tích 187 z1.z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2) = (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + a2b1) z1 a1 + ib1 (a1 + ib1)(a2 − ib2 ) = = z2 a2 + ib2 a22 + b22 = (a1a2 + b1b2 ) + i (b1a2 − b2 a1 ) a22 + b22 Daïng z = a + ib goïi laø daïng ñaïi soá cuûa soá phöùc. 3. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: Cho soá phöùc z = a + ib. Ñaët M=(a,b). Ta goïi r = | z | = → a 2 + b 2 = z.z = | z | laø moâñul cuûa z → vaø ϕ = (Ox, OM ) laø argument cuûa z, kyù hieäu Argz. Ta coù : a = rcosϕ, b= rsinϕ ⇒ z = a + ib = rcosϕ + irsinϕ = r(cosϕ + isinϕ) (* ) Daïng (* ) goïi laø daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc z. Ví duï : i) z = i coù daïng löôïng giaùc laø z = i = 1 ( cos ii) z = 1 −i coù r = 2 , tgϕ = π 2 + i sin π 2 ) b π = −1 ⇒ choïn ϕ = − . a 4 ⇒ z = 1 −i coù daïng löôïng giaùc laø z= π π   2 cos(− ) + i sin(− )  . 4 4   Ghi chuù: Argument cuûa soá phöùc z ñöôïc xaùc ñònh sai khaùc nhau k2π, k ∈ ℤ . Giaû söû z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) vaø z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi ñoù z1. z2 = r1. r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2)] z1 r = 1 [cos(ϕ1 - ϕ2) + isin(ϕ1 - ϕ2)], z2 ≠ 0 z2 r2 Toaùn cao caáp: 188 Giaûi tích zn= rn [cosϕ + isinϕ]n = rn[cosnϕ + isinnϕ] . Coâng thöùc Euler: eα i = cosα + isin α 4. Khai caên cho soá phöùc: Caên baäc n cuûa soá phöùc c ∈ ℂ , kyù hieäu n zn = z.z... z = c c , laø nhöõng soá phöùc z sao cho: Neáu c ≠ 0 thì caên baäc n cuûa soá phöc c coù ñuùng n soá phöùc. z = r(cosϕ +isinϕ) ⇒ n ϕ + k 2π ϕ + k 2π   z = n r  cos + i sin  k∈ ℤ n n   ⇒ coù n soá laø caên baäc n cuûa z ≠ 0 . Ví duï 1: Tìm 7 − 6 2 i . Giả söû 2 7 − 6 2 i = a + bi, a, b ∈ ℝ 2 ⇒ 7 - 6 2 i = a - b + 2abi 2 2 a = 3 a = −3 a − b = 7 ⇒  ⇔  ∨ b = − 2 b = 2 2ab = −6 2 ⇒ 7 − 6 2 i = 3 − 2i hay Ví duï 2: Tìm 4 Ta coù: -2 = 2(cosπ + isinπ) −2  π π π  π −2 = 4 2 cos  + k  + i sin  + k   , k ∈ Z 2 2  4  4 ⇒ IV. 4 7 − 6 2 i = −3 + 2 i 4 −2 coù 4 soá laø: 4 i   1 2 ±  , 2  2 4 i   1 2− ±  2 2  Phöông trình vi phaân caáp hai: 1. Ñònh nghóa: Phöông trình vi phaân caáp hai laø phöông trình coù daïng G(x, y, y’, y’’) = 0 (* ) hoaëc y’’ = f(x, y, y’) • Nghieäm toång quaùt cuûa (* ) coù daïng y = ϕ(x, C1, C2), cho (C1, C2) moät giaù trò cuï theå ta coù moät nghieäm rieâng . • Thöôøng ta tìm ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình (* ) döôùi daïng Toaùn cao caáp: 189 Giaûi tích F(x, y, C1, C2) = 0 cho ta moái lieân heä giöõa bieán ñoäc laäp vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình vi phaân caáp hai ñöôïc goïi laø phöông trình toång quaùt cuûa noù. 2. Vaøi phöông trình vi phaân caáp hai coù theå haï baäc : i) Phöông trình coù veá phaûi khoâng phuï thuoäc y, y’: coù daïng y// = f(x) ⇒ y/ = ∫ f ( x)dx + C1 ⇒ y = ∫  ∫ f ( x)dx  dx + C1x + C2 ,C1 , C2 ∈ ℝ   Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt vaø nghieäm rieâng cuûa phöông trình  y (0 ) = 0 y’’ = cos2x thoûa (D) :  /  y (0 ) = 1 y’ = ∫ cos 2 xdx + C1 = 1 1  sin 2 x + C1 ⇔ y = ∫  sin 2 x + C1  dx 2 2  1 Vaäy y = − cos 2 x + C1x + C2 laø nghieäm toång quaùt . 4  1  y (0 ) = 0 − + C2 = 0 Vì  / ⇒  4  y (0 ) = 1 0 + C1 = 1 1 1 Neân nghieäm rieâng thoûa (D) laø y = − cos 2 x + x + 4 4 ii) Phöông trình coù veá phaûi khoâng chöùa y : daïng y’’ = f(x, y’). Ñaët y’ = u, y’’ = u’ phöông trình thaønh u’ = f(x, u) Ñaây laø phöông trình caáp 1. Ví duï : Giaûi phöông trình Ñaët y’ = u ⇒ y’’ = u’ .Khi ñoù y’’ = x - y' x (1) Toaùn cao caáp: (1) thaønh u’ = x - Giaûi tích 190 u u ⇔ u’ + = x. Ñaây laø phöông trình tuyeán x x tính caáp 1 coù nghieäm laø u = x 2 C1 x2 C hay y’ = + 1 . Vaäy + 3 x 3 x  x2 C  x3 nghieäm toång quaùt laø y = ∫  + 1  = + C1 ln x + C2  3 x  9 iii) Phöông trình coù veá phaûi khoâng chöùa x: daïng y’’ = f(y, y’). Ñaët y’ = u, xem u laø haøm cuûa y laáy ñaïo haøm hai veá theo x, ta du du dy du coù u / = y // = = =u dx dy dx dy Khi ñoù phöông trình thaønh u du = f(y, u). Ñaây laø phöông trình dy vi phaân caáp 1 vôùi u laø haøm vaø y laø bieán ñoäc laäp. Neáu phöông dy trình naøy giaûi ñöôïc, ta coù u = ϕ(y, C1) hay = ϕ(y, C1) dx hay dy= ϕ(y, C1)dx Giaûi phöông trình : 2yy’’ + (y’)2 = 0. du Ñaët y’ = u ⇒ y’’ = u , phöông trình thaønh : dy Ví duï: 2yu du du dy + u2 = 0 ⇔ u = 0 (hay y = c) (**) hay =− dy u 2y ⇔ u = 0 (hay y = c) (**) hay ⇔ du dy =− u 2y du dy c =− ⇔ 2ln u = ln , c > 0 u 2y y ⇔u= C1 y , C1 = ± c ≠ 0 ⇔ C dy = 1 , C1 ≠ 0 dx y Toaùn cao caáp: 191 Giaûi tích 2 ⇔ y = ( hx + k ) 3 , h, k ∈ ℝ , h ≠ 0 Neáu cho h = 0 ⇒ hoï nghieäm (* * ) 2 ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = ( hx + k ) 3 , h, k ∈ ℝ 3. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2: • Ñònh nghóa: Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2 laø phöông trình coù daïng: y// + a1y/ + a2y = f(x) hay (a) y// + a(x)y/ + b(x)y = c(x) • Neáu f(x) = 0 thì (a) ñöôïc goïi laø phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát. • Neáu a1, a2 laø haèng soá thì (a) goïi laø phöông trình tuyeán tính coù heä soá khoâng ñoåi(heä soá haèng). a. Phöông trình tuyeán tính caáp hai thuaàn nhaát: y// + a1(x)y/ + a2(x)y = 0 (b) . Ta coù caùc keát quaû: i). Tính chaát 1: Neáu y1(x) vaø y2(x) laø hai nghieäm cuûa (b) thì y = C1y1(x) + C2y2(x) laø nghieäm cuûa (b) (vôùi C1, C2 ∈ ℝ ) Ñònh nghóa: Caùc haøm soá y1(x) vaø y2(x) ñöôïc goïi laø ñoäc laäp tuyeán tính treân D neáu tæ soá cuûa chuùng khoâng phaûi laø haèng soá : y1( x) ≠ constant. Noùi caùch khaùc, khoâng toàn taïi c ∈ ℝ sao cho y2 ( x ) y1 ( x ) = c. y2 ( x ) hay y2 ( x ) = c. y1 ( x ) , ∀x ∈ D . Ngöôïc laïi, ta noùi chuùng phuï thuoäc tuyeán tính. Ví duï: • Caùc haøm soá y1 = 4 x vaø y2 = e x laø ñoäc laäp tuyeán tính treân ℝ Toaùn cao caáp: 192 Giaûi tích • Caùc haøm y1 = 2 x 2 + 2 vaø y2 = x 2 + 1 laø phuï thuoäc tuyeán tính treân ℝ . ii) Tính chaát 2: Neáu y1(x), y2(x) laø 2 nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (b) thì y = C1y1(x) + C2y2(x) (trong ñoù C1, C2 laø 2 haèng soá tuøy yù) laø nghieäm toång quaùt cuûa (b). iii). Tính chaát 3: Neáu bieát moät nghieäm rieâng y1(x) cuûa (b) thì coù theå tìm ñöôïc moät nghieäm rieâng y2(x) cuûa (b) vôùi y1, y2 ñoäc laäp tuyeán tính baèng caùch ñaët y2 = y1(x)u(x). Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa y ''+ 2x 2 y '− y = 0 bieát 2 1− x 1− x 2 moät nghieäm rieâng y1 = x. Giaûi: Ta tìm moät nghieäm y2 = xu(x), thay y2 vaøo phöông trình ñaõ cho ta coù : (2u/ + xu//) + 2x 2ux (u +xu/) =0 2 1− x 1− x 2 ⇔ u// x(1 - x2) + 2u’ = 0 Ñaët z = u/ ⇒ z’x(1 - x2) + 2z = 0 hay ⇒z= dz 2dx =− z x(1− x 2 ) C1 (1 − x 2 ) ,C1 ≠ 0 x2 Cho C1 = -1, ta ñöôïc z = ⇒ u =x+ x 2 −1 1 = 1− 2 2 x x hay du 1 = 1− 2 dx x 1 + C2 x Ta chæ caàn laáy moät nghieäm rieâng u(x) ≠ haèng soá 1 1 Choïn C2 = 0 ⇒ u = x + ⇒ y2 = x(x + ) = x2 + 1 x x ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = k1x + k2(x2 + 1) vôùi k1, k2 laø haèng soá tuøy yù. Toaùn cao caáp: Giaûi tích 193 b. Phöông trình tuyeán tính caáp hai khoâng thuaàn nhaát: Cho phöông trình khoâng thuaàn nhaát (a) (ôû treân) vôùi f(x) ≠ 0 phöông trình y// + a1y/ + a2y = 0 (a’) ñöôïc goïi laø phöông trình thuaàn nhaát töông öùng (lieân keát) vôùi (a). i) Tính chaát 1: nghieäm toång quaùt cuûa (a) laø toång cuûa nghieäm toång quaùt cuûa (a’) vôùi moät nghieäm rieâng naøo ñoù cuûa (a). ii) Tính chaát 2: (nguyeân lyù choàng chaát nghieäm) cho phöông trình khoâng thuaàn nhaát y’’ + a1y’ + a2y = f1(x) + f2(x) (c) neáu y1 laø nghieäm rieâng cuûa y’’ + a1y’ + a2y = f1(x) vaø y2 laø nghieäm rieâng cuûa y’’ + a1y’ + a2y = f2(x) thì y1 + y2 laø nghieäm rieâng cuûa (c) (ñònh lyù vaãn ñuùng khi veá phaûi = f1 + f2 + ... + fn) iii) Phöông phaùp bieán thieân haèng soá Lagrange: Giaû söû cho phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát (a) (nhö treân) vaø giaû söû bieát nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát (a’) laø: y = C1y1 + C2y2 (a’’). Haõy tìm nghieäm cuûa (a). Ta seõ tìm nghieäm toång quaùt cuûa (a) döôùi daïng y = C1y1 + C2y2 (* ) trong ñoù C1, C2 laø caùc haøm theo x (* )⇒ y / = C1 y1/ + C2 y2/ + C1/ y1 + C2/ y2 . Ta choïn C1, C2 sao cho: C1/ y1 + C2/ y2 = 0 ⇒ y / = C1 y1/ + C2 y2/ ⇒ y // = C1 y1/ / + C2 y2/ / + C1/ y1/ + C2/ y2/ Theá y, y/, y// vaøo (a) ta coù: C1( y1// + a1 y1/ + a2 y1) + C2 ( y2// + a1 y2/ + a2 y2 ) + C1/ y1/ + C2/ y2/ = f(x) Vì y1, y2 laø nghieäm cuûa (a’) neân caùc bieåu thöùc trong ngoaëc baèng 0 ⇒ C1/ y1/ + C2/ y2/ = f(x) ⇒ y = C1y1 + C2y2 laø nghieäm cuûa (a) neáu C1 , C2 laø nghieäm cuûa Toaùn cao caáp: 194 Giaûi tích / / y C1 y1 + C2 y2 = 0 (**)  / / ⇔  1/ / / C1 y1 + C2 y2 = f ( x)  y1 Neáu y1, y2 ñoäc laäp tuyeán tính thì y2   C1/   0  .   = y2/   C2/   f  y1 y2 y1/ y2/ ≠ 0 vaø (**) coù nghieäm C1 = ϕ1( x)dx + k1 ∫  C1/ = ϕ1(x), C2/ = ϕ2(x) ⇒  C2 = ∫ ϕ2 ( x)dx + k2 Thay C1, C2 vaøo (* ) ta coù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (a) laø: y = k1y1 + k2y2 + y1 ∫ ϕ ( x)dx + y2 ∫ ϕ ( x)dx vôùi k1, k2 tuøy yù ∈ ℝ . 1 2 Cho k1 = k2 = 0 ta ñöôïc moät nghieäm rieâng cuûa (a). y' Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa y ''− = x x Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng y '' 1 y' y ''− = 0 ⇔ = ⇔ ln|y’| = ln|k.x| ⇔ y’ = C.x x y' x ⇒y= C 2 C x + C2 = C1x2 + C2, C1 = 2 2 Bieåu thöùc: y = C1 (x).x2 + C2(x) laø nghieäm cuûa phöông trình neáu  / 1 C1 = 2 C1/ x 2 + C2/ .1 = 0 C1, C2 laø nghieäm cuûa  / ⇔  / 2C1 x + C2 .0 = x C / = − 1 x 2  2 2 1  C1 = 2 x + k1 ⇔  3 C = − x + k 2  2 6 Nghieäm toång quaùt laø Toaùn cao caáp: 195 Giaûi tích  − x3  x3 x  y =  + k1  x 2 +  + k2  = + k1x 2 + k2 2   6  3 4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2 coù heä soá khoâng ñoåi: a. Phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát: a2y’’ + a1y’ + a0y = 0 vôùi a0 , a1, a2 laø caùc haèng soá vaø a2 ≠ 0 phöông trình treân töông ñöông: y’’ + α1y’ + α0y = 0 (iv) a a vôùi α1 = 1 , α o = o . a2 a2 Ta caàn tìm 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv). Ta tìm nghieäm rieâng cuûa (iv) döôùi daïng y = ekx vôùi k caàn xaùc ñònh . Ta coù: y’ = kekx, y’’ = k2ekx theá vaøo (iv) coù : k2ekx + α1kekx + αoekx = 0 ⇔ k2 + α1k + αo = 0 (v) Phöông trình naøy ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa (iv). Phöông trình (v) coù 2 nghieäm k1,k2. Ta coù caùc tröôøng hôïp sau : • k1, k2 ∈ ℝ vaø k1 ≠ k2 ⇒ 2 nghieäm rieâng cuûa (iv) laø y1 = ek1x , y2 = e k2 x Hieån nhieân 2 nghieäm naøy ñoäc laäp tuyeán tính vì y1 ≠ haèng soá y2 Suy ra nghieäm toång quaùt cuûa (iv) laø y = C1e k1x + C2ek2 x vôùi C1, C2 tuøy yù ∈ ℝ . Ví duï 1: Giaûi phöông trình : y’’ - 7y’ + 10y = 0 Phöông trình ñaëc tröng laø : k2 - 7k + 10 = 0 ⇔ k = 2 hay k = 5 Nghieäm toång quaùt laø y = C1e2x + C2e5x • k1 = k2 ∈ ℝ : Khi ñoù 1 nghieäm rieâng cuûa (iv) laø y1 = e k1x . Toaùn cao caáp: Giaûi tích 196 Ta tìm nghieäm rieâng y2 ñoäc laäp tuyeán tính vôùi y1 döôùi daïng y2 = y1u(x) = u(x) ek1x ⇒ y2' = u ' e k1x + k1ue k1x , y2'' = u '' e k1x + 2k1u ' ek1x + k12ue k1x . Theá vaøo (iv) ta coù : ek1x [u’’ + (2k1 + a1)u’ + (k12 + a1k1 + a0)u] = 0 (vì k1 laø nghieäm keùp cuûa (v) neân k12 + a1k1 + a0 = 0 vaø k1 = − a1 2 ⇒ 2k1 + a1 = 0) ⇒ ek1x u’’ = 0 ⇒ u’’ = 0 ⇒ u = Ax + B Choïn A = 1, B = 0 ta coù u = x⇒ y2 = x ek1x ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = C1 ek1x + C2x ek1x = (C1 + C2x) ek1x Ví duï 2: Giaûi phöông trình y’’ + 6y’ + 9y = 0. Phöông trình ñaëc tröng laø k2 + 6k + 9 = 0 coù nghieäm keùp laø k = -3 ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = (C1 + C2x)e-3x. • k1, k2 ∈ ℂ ; k1 = a + ib, k2 = a – ib thì y1 = e( a + i b ) x = eax (cos bx + i sin bx), y2 = e( a − i b ) x = e ax (cos bx − i sin bx) laø 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv) 1 1 ⇒ u1 = ( y1 + y2 ) = eax cos bx ; u2 = ( y1 − y2 ) = e ax sin bx 2 2i laø 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv) ⇒ y = C1eaxcosbx + C2eaxsinbx laø nghieäm toång quaùt cuûa (iv). Ví duï 3: Giaûi phöông trình y’’ - 3y’ + 5y = 0 Phöông trình ñaëc tröng laø k2 -3k + 5 = 0 ⇔ k = 3 ± i 11 2 Toaùn cao caáp: 197 Giaûi tích ⇒ 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính laø 3 x 2 3 x 11 11 y1 = e cos x, y2 = e 2 sin x 2 2 3 x ⇒ nghieäm toång quaùt laø : y = C1e 2 cos 3 x 11 11 x + C2e 2 sin x 2 2 b. Vaøi daïng ñaëc bieät: Cho phöông trình y’’ + α1y’ + α0y = f(x) (1) trong ñoù α1, α2 laø 2 haèng soá.Ta xeùt caùc tröôøng hôïp rieâng sau ñaây cuûa f(x): • f(x) = ek x. Pn(x) vôùi k khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng. Khi ñoù (1) coù moät nghieäm rieâng coù daïng y1 = ek x. Qn(x), trong ñoù Pn(x), Qn(x) laø caùc ña thöùc baäc n. Ví duï 1: Tìm nghieäm toång quaùt vaø nghieäm thoûa ñieàu kieän ban ñaàu cuûa phöông trình vi phaân sau : y" + 2y’ + 2y = 4x2 ( A) vôùi y(0) = 2; y’(0) = −3. Phöông trình ñaëc tröng : k2 + 2k + 2 = 0 ⇔ k = −1± i .Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng laø y = e − x ( c1 cos x + c2 sin x ) vôùi c1, c2 ∈ ℝ k = 0 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm rieâng cuûa (A) coù daïng y1 = ax2 + bx + c ⇒ y1/ = 2ax + b; y1// = 2a . Theá vaøo (A) ta coù 2a + 4 ax + 2b + 2ax 2 + 2bx + 2c = 4 x 2 , ∀x ⇔ ax 2 + (2a + b) x + a + b + c = 2 x 2 , ∀x a = 2 a = 2   ⇔ 2a + b = 0 ⇔ b = −4 . a + b + c = 0 c = 2   Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa (A) laø y1 = 2x2 -4x + 2 ⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (A) laø Toaùn cao caáp: Giaûi tích 198 y = y1 + y = 2 x 2 − 4 x + 2 + e− x ( c1 cos x + c2 sin x ) vôùi c1, c2 ∈ ℝ ⇒ y / = 4 x − 4 − e − x ( c1 cos x + c2 sin x ) + e − x ( −c1 sin x + c2 cos x ) y(0) = 2 vaø y’(0) = −3 ⇒ c1 = 0 vaø c2 = 1. Vaäy nghieäm cuûa (A) thoûa y(0) = 2 vaø y’(0) = −3 laø y = 2 x 2 − 4 x + 2 + e− x sin x Ví duï 2 : Giaûi y" – 4 y’ + 4y = ( x2 +1). e x. (B) 2 Phöông trình ñaëc tröng : k – 4 k + 4 = 0 coù nghieäm keùp k = 2 . Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng laø y = e2 x ( c1 + c2 x ) vôùi c1, c2 ∈ ℝ k = 1 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm rieâng cuûa (B) coù daïng y1 = e x (ax2 + bx + c) ⇒  y1/ = e x (ax 2 + bx + c) + e x (2ax + b); .  // x 2 x x  y1 = e (ax + bx + c) + 2e (2ax + b) + 2ae Theá vaøo (B) vaø chia 2 veá cho e x ta coù ax 2 + bx + c − 2(2ax + b) + 2a = x 2 + 1, ∀x ⇔ ax 2 + (−4 a + b) x + 2a − 2b + c = x 2 + 1, ∀x a = 1 a = 1   ⇔ −4 a + b = 0 ⇔ b = 4 . 2a − 2b + c = 1 c = 7   Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa (B) laø y1 = ( x 2 + 4 x + 7 ) e x ⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (B) laø y = y1 + y = ( x 2 + 4 x + 7 ) e x + e2 x ( c1 + c2 x ) vôùi c1, c2 ∈ ℝ Ví duï 3: y" + 3y’ + 2y = ( x2 +2x + 6). e3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = ( ax2 +bx + c). e3 x Ví duï 4 : y" + 3y’ + 2y = ( 2x + 1). e3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = ( ax +b). e3 x.
- Xem thêm -