Toán cao cấp giải tính bài 3

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Toaùn cao caáp : Chöông VI Giaûi tích 101 TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH I. Nguyeân haøm - tích phaân baát ñònh: 1. Ñònh nghóa: Cho caùc haøm soá f, F xaùc ñònh treân [a, b]. F ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) neáu F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b). F goïi laø nguyeân haøm cuûa f treân [a, b] neáu: F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b) vaø F’(a+) = f(a), F’(b-) = f(b) Ví duï: • (- cosx) laø nguyeân haøm cuûa sinx vì (-cosx)’ = sinx • (- cosx + 7) cuõng laø nguyeân haøm cuûa sinx. • x3 x3 x3 , −5, − C laø nhöõng nguyeân haøm cuûa x2 vì: 3 3 3 / / /  x3   x 3   x3  2 = − 5     =  −C = x 3 3 3       2. Ñònh lyù: Neáu haøm soá f lieân tuïc treân [a, b] thì f coù nguyeân haøm treân [a, b]. 3. Ñònh lyù: Giaû söû F laø nguyeân haøm cuûa f treân (a, b). Khi ñoù: i) F + C (C laø haèng soá) cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b). ii) Neáu G laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) thì G(x) = F (x) + C, ∀x ∈ (a, b). Chöùng minh: i) (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b) ⇒ F + C laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) ii) [G(x) - F(x)]’ = G’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) Toaùn cao caáp : Giaûi tích 102 ⇒ G(x) - F(x) = C (haèng soá), ∀x ∈ (a, b) ⇒ G(x) = F(x) + C, ∀x ∈ (a, b) Ghi chuù: • Ñònh lyù treân vaãn ñuùng neáu thay (a, b) baèng [a, b]. • Neáu f coù moät nguyeân haøm thì f coù voâ soá nguyeân haøm vaø 2 nguyeân haøm baát kyø cuûa cuøng moät haøm thì sai khaùc nhau moät haèng soá. 4. Ñònh nghóa: Taäp hôïp taát caû nhöõng nguyeân haøm cuûa f treân [a, b] ñöôïc goïi laø tích phaân baát ñònh cuûa f treân [a, b], kyù hieäu: ∫ f ( x )dx . Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f thì II. ∫ f ( x )dx =F ( x ) + C . Tính chaát cuûa tích phaân baát ñònh: Cho f, g laø caùc haøm soá coù nguyeân haøm treân (a, b). Khi ñoù: d i) f ( x )dx = ( ∫ f ( x )dx )' = f ( x ) dx ∫ ii) d ∫ f ( x )dx = f ( x ) dx ∫ ( f ( x ) ± g( x )) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx iv) ∫ kf ( x )dx =k ∫ f ( x ) dx , k ∈ ℝ iii) Heä quaû: n n i =1 i =1 ∫ ∑ ki fi ( x )dx = ∑ ki ∫ fi ( x )dx v) Neáu F’(x) = f(x) thì ∫ F '( x )dx = ∫ dF ( x ) =F ( x ) + C = ∫ f ( x ) dx vaø ∫ f ( y ) dy = F ( y ) + C , ∫ f (t )dt = F ( t ) + C ,... Chöùng minh: Daønh cho ñoäc giaû (suy ra töø tính chaát ñaïo haøm). III. Caùc coâng thöùc tích phaân baát ñònh cô baûn: Toaùn cao caáp : 1. 2. Giaûi tích 103 ∫ 0dx = C ∫ adx = ax+ C 3. n ∫ x dx = 4. ∫ x n +1 + C ( n ≠ -1) n +1 (ln x )' , x > 0 dx = ln x + C ( vì (ln|x| + C)’ = (ln|x|)’ =  x ln(− x )' , x < 0 1  x = − 1 = 1  − x x 5. ∫ e dx = e x x ax 6. ∫ a dx = +C ln a 8. ,x < 0 = 1 , x ≠ 0) x +C x 7. ,x > 0 /  ax  x (vì   =a ) ln a   ∫ sin xdx = - cosx + C ∫ cos xdx = sinx+ C 1 9. ∫ cos 10. ∫ sin 11. ∫ 1+ x 12. ∫ 13. dx x − n +1 −1 −n = x dx = +C = + C ( n ≠ 1) ∫ xn ∫ −n + 1 (n − 1) x n −1 2 x 1 2 x dx 2 dx = ∫ (1 + tg 2 x )dx = tgx + C dx = ∫ (1 + cot g2 x )dx = − cot gx + C = arctgx + C dx 1 − x2 = arcsinx + C Toaùn cao caáp : dx = x Giaûi tích 104 x+C ∫2 sin x −d (cos x ) dx = ∫ =-ln cosx + C cos x cos x cos x d (sin x ) 15. ∫ cot gxdx = ∫ dx = ∫ =ln sinx + C sin x sin x 14. ∫ tgxdx = ∫ dx = arcsin x +C a 16. ∫ 17. ∫a 18. ∫ 19. ∫x 20. ∫ ( x − a)( x − b) = b − a ln x − a + C 2 a −x dx 1 x = arctg + C 2 +x a a dx 2 x +b 2 = ln x + x 2 + b + C dx 1 x−a = ln + C (a ≠ 0) 2 −a 2a x + a 1 dx 21. 22. x −b (a ≠ b) ∫ a 2 − x 2 dx = x 2 a2 x a − x 2 + arc sin + C (a ≠ 0) 2 2 a ∫ a 2 + x 2 dx = x 2 a2 a + x 2 + ln x + a2 + x 2 + C 2 2 IV. a. 2 2 Vaøi ví duï: x − 5x 3 − x 2 + 3 x + 7 dx ∫ x2 + 1 8x + 9   = ∫  x 2 − 5x − 2 + 2  dx x +1   4 Toaùn cao caáp : b. Giaûi tích 105 = x 3 5x 2  8x + 9  − − 2x + ∫  2  dx 3 2  x +1  = x 3 5x 2 4.2 xdx dx − − 2x + ∫ 2 + 9∫ 2 3 2 x +1 x +1 = x3 5x 2 d ( x 2 + 1) − − 2 x + 4∫ 2 + 9arctgx + C 3 2 x +1 = x3 5x 2 − − 2 x + 4 ln( x 2 + 1) + 9arctgx + C 3 2 1 1 = ∫ ( x 2 + x ) x 2 x 4 dx 2 ∫ ( x + x ) x x dx 3 11 7 (1+ )   (2 + 3 ) 4 154 4 114 = ∫  x 4 + x 4  dx = ∫ x 4 + x 4 dx = x + x +C 15 11   (e3 7)x e3 x 7 x = c. ∫ e 7 dx = ∫ (e 7) dx = +C ln e3 7 3 + ln 7 dx d ( x + a) =∫ =ln x+a + C d. ∫ x+a x+a 3x e. 3 x x sin xdx tgxdx tg2 x = = tgxd ( tgx ) = +C ∫ cos3 x ∫ cos2 x ∫ 2 Caùch khaùc: sin xdx −d (cos x ) 1 ∫ cos3 x = ∫ cos3 x = 2 cos2 x + C = f. ∫ (x − 1 tg2 x (1 + tg2 x ) + C = +K 2 2 dx x 2 + 1)2 ( x + x 2 + 1)2 ∫ x  2 − ( x 2 + 1) = ∫ ( x 2 + 2 x x 2 + 1 + x 2 + 1)dx 2 dx Giaûi tích Toaùn cao caáp : =2 1 x3 + x + ∫ u 2 du 3 1 106 (u = x2 + 1 ⇒ du = 2xdx) +1 3 x3 u2 2 2 = 2 +x+ + C = x 3 + x + ( x 2 + 1) 2 + C 1 3 3 3 +1 2 dx dx 1 ( x + a) − ( x − a) g. ∫ 2 =∫ = dx 2 x −a ( x − a)( x + a) 2 a ∫ ( x − a)( x + a) = 1 1  1 1  [ln|x - a| - ln|x + a|] + C −   dx = ∫ 2a 2a  x − a x + a  = 1 x−a +C ln 2a x + a ( a ≠ 0) h. ∫ tg2 xdx = ∫ (tg2 x + 1 − 1)dx = tgx - x + C i. ∫ tg xdx = ∫ (tg x + tg x − tg x + tgx − tgx )dx = ∫ tg x (tg x + 1)dx − ∫ tgx (tg x + 1)dx + ∫ tgxdx 5 5 3 3 3 2 2 tg4 x tg2 x − − ln cos x +C = 4 2 V. Phöông phaùp tính tích phaân baát ñònh: 1. Phöông phaùp ñoåi bieán: a. Giaû söû f laø haøm soá coù nguyeân haøm treân mieàn D. Ñaët x = ϕ(t), vôùi ϕ laø haøm khaû vi ñôn ñieäu ñoái vôùi bieán t vaø mieàn giaù trò cuûa ϕ(t) chöùa trong D. Khi ñoù: ∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t))ϕ '(t)dt Ví duï: 1) ∫ sin 3 x 3 x 2 dx Ñaët: x = t3 ⇒ dx = 3t2dt , 3 x 2 = t2, 3 x=t Toaùn cao caáp : ⇒ I= Giaûi tích 107 (sin t )3t 2 dt = ∫ 3sin tdt = -3cost + C ∫ t2 2) I = ∫ a 2 − x 2 dx Ñaët : x = asint vôùi − = -3cos 3 x + C (a > 0) , a2 - x2 ≥ 0 ⇔ - a ≤ x ≤ a π 2 ⇒ I = ∫ a 2 − x 2 dx = ≤t≤ ∫ π 2 ⇒ dx = acostdt ⇒ sint= a2 − a 2 sin 2 t acostdt = ∫ a cos2 ta cos tdt = ∫ a2 cos t cos tdt = ∫a 2 cos2 tdt  π π (vì t ∈  − ,  ⇒ cost ≥ 0 ⇒ |cost| = cost )  2 2 a2 (1 + cos 2t ) = ∫ dt 2 a2 a2 = t + sin 2t + C 2 4 a2 x a2 = arcsin + 2 sin t cos t +C 2 a 4 = a2 x a2 x x2 arcsin + 1− 2 + C 2 a 2 a a = a2 x x 2 arcsin + a − x2 + C 2 a 2 b. Ñaët u = h(x) vôùi h khaû vi lieân tuïc. Ta coù: ∫ g(h( x ))h '( x )dx = ∫ g(u)du 18 Ví duï : 1) 3 8  ∫ ( 3x + 5)  8 x + 5x  dx Ñaët : 3x 8 + 5 x ⇒ du = (3x7 + 5)dx 8 u= 7 ( u = h(x) ⇒ du = h’(x)dx) 19 u19 1 3 8  ⇒ I= ∫ u du = +C=  x + 5x  19 19  8  18 +C x a Toaùn cao caáp : 2) ∫x 4 3xdx = + 6 x 2 + 15 ∫ (x 2 Giaûi tích 108 3xdx + 3)2 + 6 u = x2 + 3 ⇒ du = 2xdx 3 2 xdx 3 du ⇒ I= ∫ 2 = ∫ 2 2 2 ( x + 3) + 6 2 u +6 Ñaët :  x2 + 3  6 u 6 arctg +C= arctg   +C 4 4 6  6  = 3) I = e3 x dx ∫ e2 x + 1 Ñaët : u = ex ⇒ du = exdx e3 x dx e2 x e x dx u2 du u2 + 1 − 1 = = = ∫ e2 x + 1 ∫ e2 x + 1 ∫ u2 + 1 ∫ u2 + 1 du du = ∫ du − ∫ 2 = u − arctgu + C = e x − arctge x + C u +1 1 dx dx 1 dx 1 1 du x a 4) ∫ 2 = = = ∫ 2 (u = ) 2 2 2 2 ∫ ∫ x +a a x a x a u +1 a   +1   +1 a a 1 1 x = arctan u + C = arctan + C a a a dx dx dx 5) ∫ =∫ =∫ 2 a2 − x 2   x 2  x 2 a 1 − a 1 −       a  a   I = =∫ 6) ∫ x x   u =  = arcsin u + C = arcsin + C (a>0) a a 1− u  du dx 2 x +b 2 = ln x + x 2 + b + C Ñaët u = x + x 2 + b ⇒ du = x2 + b + x x2 + b dx Toaùn cao caáp : dx ⇒ ⇒ 2. 2 ∫ x +b dx = Giaûi tích du 2 109 = du u x +b +x du =∫ = ln|u| + C = ln x + x 2 + b 2 u x +b +C Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn: Cho u = u ( x ) , v = v ( x ) laø caùc haøm khaû vi vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc. Khi ñoù: ∫ udv = uv − ∫ vdu Chöùng minh: Ta coù: d(uv) = vdu + udv ⇒ ∫ d (uv) = ∫ udv + ∫ vdu Suy ra ∫ udv = uv − ∫ vdu Thoâng thöôøng ñeå tính : ∫ f ( x )dx , ta phaân tích : f(x)dx = udv sao cho tính ñöôïc caùc tích phaân ∫ vdu vaø ∫ dv . Nhaän xeùt: e x    • Daïng: ∫ p( x )  cos x  dx . Ñaët u = p(x) vaø dv = sin x     ln x    • Daïng: ∫ p( x )  arctgx  dx . arcsin x     ln x    Ñaët u=  arctgx  vaø dv =p(x)dx arcsin x    Ví duï: a) 2 x ∫ x e dx e x     cos x  dx sin x    Toaùn cao caáp : Giaûi tích 110 Ñaët: u = x2 ⇒ du = 2xdx dv = exdx, choïn v = ex (dv = exdx ⇒ v = ex + C, choïn C = 0) Do ñoù : ∫ x 2 e x dx = uv - ∫ vdu = x2ex - ∫ 2 xe x dx Ñaët: u = 2x ⇒ du = 2dx; dv = exdx, choïn v = ex ⇒ ∫ x 2 e x dx = x2ex - [2xex - ∫ 2e x dx ] = x2ex - 2xex + 2ex + C Toång quaùt : = xnex - nxn - 1ex + n(n - 1)xn - 2ex + ... + (-1)n - 1n! xex ∫ x e dx n x + (-1)nn! ex + C b) ∫ ln xdx Ñaët :u = lnx ⇒ du = dx ; x dv = dx, choïn v = x xdx ∫ ln xdx = xlnx - ∫ x = xlnx - x + C c) ∫x n ln xdx , n ≠ -1 Ñaët : u = lnx ⇒ du = n ∫ x ln xdx = d) 1 x n +1 dx; dv = xndx, choïn v = x n +1 x n +1 x n+1 x n +1 x n+1 ln x − ∫ dx = ln x − +C n +1 (n + 1) x n +1 (n + 1)2 I= ∫ x 3 sin xdx Ñaët: u = x3 ⇒ du = 3x2dx dv = sinxdx, choïn v = -cosx ⇒ I = -x3cosx + ∫ 3x 2 cos xdx = -x3cosx + 3x2sinx - ∫ 6 x sin xdx = -x3cosx + 3x2sinx + 6xcosx - ∫ 6 cos xdx Toaùn cao caáp : Giaûi tích 111 = -x3cosx + 3x2sinx + 6xcosx - 6sinx + C e) I = ∫ xarctgxdx Ñaët: u = arctgx ⇒ du = dx 1 + x2 1 1 (x2 + 1) (Choïn C = ) 2 2 1 1 (x2 + 1)arctgx - ∫ ( x 2 + 1) dx 2 1 + x2 1 (x2 + 1) arctgx x +C 2 dv = xdx, v = 1 2 1 = 2 ⇒ I= f) ∫ a 2 − x 2 dx Ñaët: u = a2 − x 2 ⇒ du = −2 xdx 2 a2 − x 2 =− xdx a2 − x 2 dv = dx, choïn v = x ⇒ I= x a − x 2 2 −∫ − x 2 dx =x a −x 2 a2 − x 2 = x a2 − x 2 - ∫ a 2 − x 2 dx + a2 ∫ ⇒ 2I = x a2 − x 2 + a2 ∫ ⇒ I = 2 dx −∫ − x 2 + a2 − a 2 a2 − x 2 2 a − x2 dx a2 − x 2 x 2 a2 x a − x2 + arcsin + C 2 2 a Töông töï: J = ∫ a 2 + x 2 dx Ñaët: u = a2 + x 2 ⇒ du = Ta coù: xdx a2 + x 2 , dv = dx, choïn v = x dx Toaùn cao caáp : J = x a2 + x 2 - ∫ ⇒2J= x a2 + x 2 + a ⇒J= = Giaûi tích x 2 dx a2 + x 2 dx 2 x 2 a2 a + x2 + 2 2 ∫ ∫ 112 = x a2 + x 2 - ∫ x 2 + a2 − a2 dx a2 + x 2 a2 + x 2 dx 2 a + x2 x 2 a2 a + x 2 + ln(x + a2 + x 2 ) + C 2 2 VI. Tích phaân caùc haøm höõu tæ : Nhaéc laïi : dx ∫ x + a = ln|x + a| + C dx −1 ∫ ( x + a)k = (k − 1)( x + a)k −1 ∫x 2 dx 1 x−a = ln +C 2 −a 2a x+a dx ∫ ( x − x )( x − x ) = x 1 1. +C 2 1 ( x − x1 ) − ( x − x2 ) dx ∫ ( x − x1 )( x − x2 ) 2 − x1 =  1 1 1  −   dx ∫ x2 − x1  x − x2 x − x1  = 1 x − x2 ln + C ( x1 ≠ x2 ) x2 − x1 x − x1 Tích phaân daïng: I= ∫ I = ( Ax + B)dx ax 2 + bx + c ( a≠ 0) A 2ax + b Ab  dx  dx +  B − ∫ 2 2 ∫ 2 a ax + bx + c 2 a  ax + bx + c  Toaùn cao caáp : Tính: = 113 A ln|ax2 + bx + c| + 2a = I1 = Giaûi tích I1 = ∫ dx ax + bx + c (a ≠ 0) 2 1 dx ∫ a x2 + b x + c a a 1 a Ab  dx  B− ∫ 2 2 a  ax + bx + c  = 1 a ∫ dx 2 b  c b2 x +   + − 2 a  a 4a 2  dx ∫ 2 b  ∆ x+  − 2 2a  4a  i) Neáu ∆ < 0: 1 du −∆ b I1 = ∫ 2 vôùi α2 = 2 , u = x + 2 a u +α 4a 2a 1 u arctg +C = aα α ii) Neáu ∆ = 0: 1 du 1 I1 = =− +C 2 ∫ a u au iii) Neáu ∆ > 0: ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) vôùi x1, x2 laø nghieäm cuûa ax2 + bx + c = 0 2. Phaân tích moät ña thöùc thaønh tích cuûa nhöõng nhò thöùc vaø tam thöùc: (Ñöa moät phaân thöùc veà toång cuûa nhöõng phaân thöùc ñôn giaûn) Ghi chuù: Ta chæ xeùt caùc ña thöùc coù theå vieát döôùi daïng tích cuûa nhöõng nhò thöùc baäc nhaát vaø nhöõng tam thöùc baäc hai. Ví duï: Toaùn cao caáp : Tính : ∫ = 3x − 5 A B C + + = ( x − 3)( x + 2)( x − 1) x − 3 x + 2 x −1 A( x + 2)( x − 1) + B( x − 3)( x − 1) + C ( x − 3)( x + 2) ( x − 3)( x + 2)( x − 1) x = 3 ⇒ 10A = 4 ⇒ A = x = -2 ⇒ 15B = -11 2 ; 5 ⇒ B =− x = 1 ⇒ -6C = -2 ⇒ C = ⇒ 114 (3x − 5)dx ( x − 3)( x + 2)( x − 1) Ta coù Cho : Giaûi tích 11 15 1 3 3x − 5 2 11 1 = − + ( x − 3)( x + 2)( x − 1) 5( x − 3) 15( x + 2) 3( x − 1) (3 x − 5) ∫ ( x − 3)( x + 2)( x − 1) dx = 2 11 1 ln|x - 3| ln|x + 2| + ln|x - 1| + C 5 15 3 Ghi chuù: Ta coù theå tính A, B theo caùch khaùc : 3x − 5 ≡ ( x − 3)( x + 2)( x − 1) ( A + B + C ) x 2 + ( A − 4 B − C ) x − 2 A + 3B − 6C ( x − 3)( x + 2)( x − 1) A + B + C = 0  Ñoàng nhaát 2 veá ⇒  A − 4 B − C = 3 −2 A + 3B − 6C = −5  Ghi chuù: Neáu anxn + an -1xn - 1 ... + a1x + a0 = 0 coù nhieàu hôn n nghieäm thöïc ⇒ an = an - 1 = ... = a0 = 0 Toaùn cao caáp : Giaûi tích 115 Ví duï: ax2 + bx + c = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät ⇒ a = b = c = 0 5x + 2 Ví duï 1: 2 = ( x + 1)2 (3x − 2)3 Ax + B Cx + D E F G + 2 + + + 2 2 2 x + 1 ( x + 1) 3 x − 2 (3 x − 2) (3x − 2)3 Ví duï 2: 6x2 − 7x + 2 = ( x 2 − x + 1)( x + 2)4 Ax + B C D E F + + + + 2 2 3 x − x + 1 x + 2 ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2)4 Ví duï 3: 1 1 1 = 2 = 2 4 2 2 x +1 ( x + 1) − 2 x ( x − 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1) = Ví duï 4: Tính Ax + B Cx + D + 2 x − 2x + 1 x + 2x + 1 2 ∫x dx = +1 3 dx ∫ ( x + 1)( x 2 − x + 1) 1 A Bx + C A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1) = + = x3 + 1 x3 + 1 x + 1 x2 + x + 1 1 Cho : x = -1 ⇒ 3A = 1 ⇒ A = 3 2 x=0⇒A+C=1⇒C= 3 1 1 x = 1 ⇒ A + 2(B + C) = 1 ⇒ B + C = ⇒B=3 3 2  1 − x +  dx  dx 1 dx 3  3 ∫ x3 + 1 = 3 ∫ x + 1 + ∫ x2 − x + 1 Toaùn cao caáp : Giaûi tích 116 1 1 2x −1 dx 2 1 ln|x + 1| dx +  −  ∫ 2 2 ∫ 3 3.2 x − x + 1  3 6  x − x +1 1 1 1 dx = ln|x + 1| ln(x2 - x + 1) + ∫ 2 3 6 2  1 3 x−  + 2 4  = x +1 1 1 2 = ln + arctg 3 x2 − x +1 2 3 1 2( x − ) 2 +C 3 5. Tích phaân bieåu thöùc löôïng giaùc: Baèng caùc pheùp ñoåi bieán thích hôïp, ta coù theå ñöa tích phaân bieåu thöùc löôïng giaùc ∫ R ( sin x, cos x )dx , trong ñoù R laø haøm höõu tyû, veà tích phaân bieåu thöùc höõu tyû. 1. Tröôøng hôïp toång quaùt: ta duøng coâng thöùc ñoåi bieán t = tg x ⇒ x = 2arc tg t 2 vaø aùp duïng coâng thöùc sin x = Ví duï: I = ∫ 2t 1 − t2 2dt , cos x = , dx = 2 2 1+ t 1+ t 1 + t2 dx 4 sin x + 3 cos x + 5 x ⇒ x = 2arctgt ta coù: 2 1 2 dt dt dt I =∫ =∫ 2 =∫ 2 2 2 2t 1− t 1+ t t + 4t + 4 (t + 2) 4 3 5 + + 1+ t2 1 + t2 1 −1 = +C=− +C x t+2 tg + 2 2 Ñaët t = tg 2. Daïng ñaëc bieät: i. Neáu R ( − sin x ,cos x ) = − R ( sin x ,cos x ) thì ñaët t = cos x Toaùn cao caáp : Giaûi tích 117 ii. Neáu R ( sin x , − cos x ) = − R ( sin x ,cos x ) thì ñaët t = sin x iii. Neáu R ( − sin x , − cos x ) = R ( sin x ,cos x ) thì ñaët t = tgx , hay t = cotgx Ví duï 1: I = ∫ ( sin 2 x cos3 x + 2 cos x ) dx = ∫ ( sin 2 x cos2 x + 2 ) cos xdx Ñaët t = sin x ⇒ dt = cos xdx ; sin 2 x cos2 x + 2 = t 2 (1 − t 2 ) + 2 = −t 4 + t 2 + 2 ta coù: I = ∫ ( −t 4 + t 2 + 2 ) dt = − t5 t3 + + 2t + C 5 3 − sin 5 x sin3 x = + + 2 sin x + C 5 3 dx Ví duï 2: I =∫ 2 sin x + sin 2 x − 3 cos2 x 1 dx ta coù: Ñaët t = tgx ⇒ dt = cos2 x dx dt dt I =∫ =∫ 2 =∫ 2 2 t + 2t − 3 cos x ( tg x + 2tgx − 3 ) ( t − 1)( t + 3) = 1  1 1  1 t −1 1 tgx − 1 − + C = ln +C   dt = ln ∫ 4  t −1 t + 3  4 t+3 4 tgx + 3 3. Daïng ∫ sin m x cosn xdx i. Neáu m ( hoaëc n) laø soá nguyeân leû thì ñoåi bieán t = cos x (hoaëc t = sin x ). ii. Neáu m vaø n laø soá nguyeân döông chaün thì duøng coâng thöùc haï baäc. iii. Neáu m vaø n nguyeân chaün vaø coù moät soá aâm thì ñoåi bieán t = tgx (hoaëc t = co tgx ) Toaùn cao caáp : Giaûi tích 118 Ví duï: Tính ( daønh cho ñoäc giaû ) K = ∫ sin 2 x cos4 xdx M=∫ sin 2 x dx cos4 x L = ∫ sin3 x cos2 xdx N=∫ cos2 x dx sin 4 x VI. Tích phaân bieåu thöùc coù chöùa caên: Vôùi caùc pheùp ñoåi bieán thích hôïp, ta coù theå ñöa tích phaân cuûa bieåu thöùc coù caên soá veà tích phaân cuûa bieåu thöùc höõu tyû. 1. Caùc tích phaân sau coù theå ñöa veà tích phaân haøm löôïng giaùc: i. Daïng ∫ R  x,  π π A2 − x 2 dx ñaët x = A sin t, t ∈  − ,    2 2 ii. Daïng ∫ R  x,  π π A2 + x 2 dx ñaët x = Atgt, t ∈  − ,    2 2 iii. Daïng ∫ R  x, π  A x 2 − A2 dx ñaët x = , t ∈ ( 0, π ) \    cos t 2 m r   ax + b ax + b     2. Daïng ∫ R  x, n   , s  cx + d  dx   cx + d      Ñaët t k = ax + b vôùi k laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa n vaø s. cx + d Khi ñoù x = −dt k + b ad − bc ⇒ dx = kt k −1 thay vaøo bieåu 2 k k ct − a ct − a ( ) thöùc tích phaân ta coù tích phaân cuûa haøm höõu tyû. dx Ví duï 1: I =∫3 x −1 − 6 x −1 Toaùn cao caáp : Giaûi tích 119 k = 6, ñaët t 6 = x − 1 ⇒ dx = 6t 5 dt . Suy ra I =∫  6t 5 dt 6t 4 dt 1  = = 6∫  t3 + t2 + t + 1 +  dt ∫ 2 t −1 t −1  t −t   t4 t3 t2  = 6  + + + t + ln t − 1  + C 4 3 2  = 3 ( x − 1) 2 2/3 + 2 ( x − 1) 1/ 2 + 3 ( x − 1) 1/3 + 6 6 x − 1 + 6 ln Ví duï 2: I = ∫ 6 x −1 −1 + C 1 1− x dx x 1+ x 1− x −t 2 + 1 −4t Ñaët t = dt ⇒x= 2 ; dx = 2 2 1+ x t +1 ( t + 1) I =∫ t2 + 1 t2 − 4t = 4 t dt ∫ ( t 2 − 1)( t 2 + 1) dt −t 2 + 1 ( t 2 + 1)2 t −1 1   1 = 2∫  2 + 2  = 2arctgt + ln +C t +1  t + 1 t − 1 = 2arctg 1− x + ln 1+ x 1− x −1 1+ x +C 1− x +1 1+ x 3. Daïng vi phaân nhò thöùc ∫ x ( a + bx ) m n p dx vôùi m, n, p laø caùc soá höõu tyû. - Neáu p laø soá nguyeân, ta ñaët t k = x , trong ñoù k laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa maãu soá cuûa m vaø maãu soá cuûa n. Toaùn cao caáp : - Neáu Giaûi tích 120 m +1 laø soá nguyeân, ñaët t k = a + bx n vôùi k laø maãu soá n cuûa p. - Neáu m +1 + p laø soá nguyeân thì ñaët t k = ax − n + b vôùi k laø n maãu soá cuûa p. Ví duï: a) I = ∫ 3 ( dx x 1+ 6 x ) 8 ( p= -8 laø soá nguyeân) Ñaët x = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt I =∫ 6t 5 dt t 2 (1 + t ) b) I = ∫ 5 8 = 6∫ t 3 dt (1 + t ) 8 1+ 4 x dx x (m = −1/ 2; n = 1/ 4; p = 1/ 5 ⇒ m +1 = 2 ∈ ℤ) n Ñaët t 5 = 1 + 4 x ⇒ x = ( t 5 − 1) ⇒ dx = 20 ( t 5 − 1) t 4 dt 4 t.20 ( t 5 − 1) t 4 dt 3 I =∫ (t 5 − 1) 2 = 20 ∫ t 5 ( t 5 − 1) dt (1 + x ) dx 3 c) I = ∫ x m = −1/ 2; n = 1/ 3; p = 1/ 2 ⇒ m +1 + p = 2∈ℤ n 3
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