Tài liệu Toán cao cấp giải tính bài 1

Toaùn cao caáp : Chöông 0 A. I. Giaûi tích 3 TAÄP HÔÏP VAØ AÙNH XAÏ TAÄP HÔÏP Khaùi nieäm Taäp hôïp laø moät yù nieäm nguyeân thuûy cuûa toaùn hoïc, khoâng ñònh nghóa. Ta moâ taû: moät soá vaät theå hôïp thaønh taäp hôïp; moãi vaät theå laø moät phaàn töû. + Cho moät taäp hôïp A vaø phaàn töû x . Neáu x laø phaàn töû cuûa A ta vieát x ∈ A . Ngöôïc laïi, ta vieát x ∈ A hay x ∉ A (x khoâng thuoäc A). Ví duï: Taát caû hoïc sinh cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Kinh teá laø moät taäp hôïp, moãi hoïc sinh laø moät phaàn töû. + Hoäp phaán laø moät taäp hôïp, moãi vieân phaán laø moät phaàn töû. II. Caùch dieãn taû Coù nhieàu caùch: 1) Lieät keâ: lieät keâ taát caû caùc phaàn töû trong 2 daáu { } Ví duï: Taäp hôïp caùc nguyeân aâm A = {a, e, i, u, o, y}. Ví duï: T = {baøn, gheá, con meøo, con gaùi, oâ mai}. 2) Tröng tính : (neâu tính chaát ñaëc tröng) Neáu moïi phaàn töû x cuûa taäp A ñeàu coù tính chaát b , ta vieát: A = { x x coù tính chaát b }. Ví duï: M = { x x laø soá nguyeân döông nhoû hôn 5} 3) → M = {1, 2, 3, 4}. Giaûn ñoà Venn a∈ A. b∈ A , 2∈A . c, −3,5 ∈ A . X A X b a X 2 X X III. 1) 2) Vaøi taäp hôïp thoâng duïng ℕ = {0, 1, 2, 3, …}; ℕ ∗ = ℕ \ {0}. ℤ = {0, ± 1, ± 2, …}. 5 c X -3 Toaùn cao caáp : 3) 4) Giaûi tích m m ∈ Z, n ∈ Z*} laø taäp caùc soá höõu tyû. n ℝ laø taäp caùc soá thöïc. ( a, b ) = { x ∈ ℝ a < x < b} . ℚ = {x = [ a, b] = { x ∈ ℝ a ≤ x ≤ b} . (− IV. 4 { } 2,15 = x ∈ ℝ − 2 < x ≤ 15 . Chính soá, taäp troáng, taäp höõu haïn, taäp voâ haïn 1. Taäp höõu haïn: laø taäp hôïp coù soá phaàn töû höõu haïn. 2. Chính soá: Giaû söû A coù soá phaàn töû höõu haïn. Soá phaàn töû cuûa taäp A coøn ñöôïc goïi laø chính soá cuûa A (hay card A ). Kyù hieäu: ch.s A hay card A hay A . Ví duï: A = {−3,5, a, b} → card A = 4. 3.Taäp troáng: laø taäp hôïp khoâng coù phaàn töû naøo caû. Kyù hieäu: ∅ hay { }. Ghi chuù: {∅} ≠ ∅ . {0} ≠ ∅ . 4.Taäp voâ haïn: taäp khoâng höõu haïn ñöôïc goïi laø taäp voâ haïn. Ví duï: ℕ , ℤ , ℚ , ℝ , ( 0,1) laø nhöõng taäp hôïp voâ haïn. V. Taäp hôïp con, taäp hôïp baèng nhau 1. Taäp hôïp con: A laø taäp hôïp con cuûa B neáu moïi phaàn töû cuûa A ñeàu laø phaàn töû cuûa B . Kyù hieäu: A ⊂ B ( A chöùa trong B ). A ⊂ B ⇔ " ∀x , x ∈ A ⇒ x ∈ B " . Ví duï: A = {1, -5, 0}; B = {2, 3, 1, 8, 0, -5}; C = {1, -5, 0, 7, 3} A ⊂ B vaø C ⊄ B ( 7 ∈ C vaø 7 ∉ B ). Nhaän xeùt: ∀A , ta coù ∅ ⊂ A vaø A ⊂ A . 2. Taäp hôïp baèng nhau: A = B ⇔ A ⊂ B vaø B ⊂ A ⇔ " ∀x , x ∈ A ⇔ x ∈ B " . 3. Taäp hôïp taát caû taäp hôïp con cuûa E goïi laø taäp hôïp caùc phaàn cuûa E Toaùn cao caáp : Giaûi tích 5 Kyù hieäu: P(E ) = {A A ⊂ E} . Ví duï: E = {a, b, c} P(E ) = {∅,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{c, a},{a, b, c}} . Heä quaû: Neáu card E = n → card P(E ) = 2 n (chöùng minh baèng truy chöùng). VI. Caùc pheùp toaùn treân taäp hôïp 1. Pheùp giao A ∩ B = {x x ∈ A vaø x ∈ B} . Ví duï: A = {-3, 5, - 2 }, B = {0, -3, 8, - 2 }, C = {1, 2, 3}. → A ∩ B = {-3, - 2 } vaø A ∩ C = {∅} . Tính chaát: A∩∅ = ∅∩ A = ∅ A∩ A = A A∩B = B∩ A ( A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C ) A∩B ⊂ A; A∩B ⊂ B 2. Pheùp hoäi A ∪ B = {x x ∈ A hay x ∈ B} . Ví duï: A = {a, b, c, d} ; B = {a, c, e, f } → A ∪ B = {a, b, c, d , e, f } . Tính chaát : A∪B = B∪ A ( A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C ) A∪∅ = ∅∪ A = A A∪ A = A ; A ⊂ A∪B; B ⊂ A∪B. Tính phaân boá cuûa pheùp giao vaø pheùp hoäi A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) 3. Pheùp hieäu: A \ B = {x x ∈ A vaø x ∉ B} . Toaùn cao caáp : Giaûi tích 6 Ví duï: A = {a, b, c, d} ; B = {5, a, c, f , −3} ; C = {a, f , 7, d} A \ B = {b, d} ; B \ A = {5, f , −3} . ( A \ B) \ C = {b} ≠ A \ ( B \ C ) = {a, b, d} . Tính chaát: Neáu A ≠ B thì A \ B ≠ B \ A . Thoâng thöôøng ( A \ B ) \ C ≠ A \ ( B \ C ) . A\∅= A; A\ A=∅; A\B⊂ A. Baøi taäp : Chöùng minh A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B ) ∩ ( A \ C ) A \ (B ∩ C ) = ( A \ B) ∪ ( A \ C ) 4. Phaàn buø: Cho A ⊂ E , phaàn buø cuûa A ñoái vôùi E laø: A c = A = CE A = E \ A = {x x ∈ E vaø x ∉ A} . Tính chaát : CE ∅ = E ; CE E = ∅ ; CE A ∪ A = E CE A ∩ A = ∅ CE ( CE A ) = A ( A = A ) C E ( A ∪ B ) = CE A ∩ C E B E A C E ( A ∩ B ) = CE A ∪ C E B Ví duï: E = {a, b, c, d , e, f } ; A = {a, d} ; B = {a, e, f } CE A = {b, c, e, f } ; CE B={b,c,d} CE (A ∪ B)={b,c} ; CE (A ∩ B)={b,c,d,e,f} 5. Taäp hôïp tích: A × B = {( x , y ) x ∈ A vaø y ∈ B} . Ví duï: A = {1,2,3} ; B = {a, b} → A × B = {(1, a),(1, b),(2, a),(2, b),(3, a),(3, b)} vaø B × A = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} . Ghi chuù: Neáu A ≠ B vaø A , B ≠ ∅ thì A × B ≠ B × A . Ví duï: (1, 4) ≠ (4, 1) - A×∅ = ∅× A = ∅ . - Neáu A , B höõu haïn, ta coù Card ( A × B ) = Card A .Card B Neáu A = B ta vieát: A × B = A × A = A2 . Ví duï: Maët phaúng toïa ñoä laø ℝ 2 = ℝ × ℝ = {( x , y ) x , y ∈ ℝ} . Toaùn cao caáp : Giaûi tích 7 Töông töï ta coù : A1 × A2 × ... × An = {( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ Ai , ∀i = 1, n} = {( x1 , x2 ,..., xn ) x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 ,..., xn ∈ An} A × A × ...× A = A n = {( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ A, ∀i = 1, n}    n laàn Ví duï: ℝ n = {( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ ℝ, ∀i = 1, n} (-5, 2, 7 , -8) ∈ ℝ 4 (-2, 1, 0, 3, 7) ∈ ℤ 5 ⊂ ℚ5 ⊂ ℝ 5 B. I. AÙNH XAÏ Ñònh nghóa: Cho 2 taäp hôïp X , Y khaùc troáng, moät pheùp lieân keát f töông öùng moãi phaàn töû x ∈ X vôùi duy nhaát phaàn töû y ∈ Y ñöôïc goïi laø moät aùnh xaï töø X vaøo Y . Kyù hieäu: f : X → Y x ֏ y = f (x) Khi ñoù, X : taäp hôïp nguoàn (mieàn xaùc ñònh) Y : taäp hôïp ñích (mieàn aûnh) Nhaän xeùt: f : X → Y laø moät aùnh xaï neáu moïi phaàn töû cuûa X ñeàu coù aûnh duy nhaát ( ∈ Y ). AÙnh xaï f : X → ℝ vôùi X ⊂ ℝ ñöôïc goïi laø một haøm soá thöïc vôùi bieán soá thöïc. Ví duï : f :ℝ → ℝ f ( x ) = 5 x 2 − 3 x laø moät aùnh xaï vaø laø moät haøm soá thöïc vôùi bieán soá thöïc. II. Nghòch aûnh: (aûnh ngöôïc, tieàn aûnh) Cho aùnh xaï: f : X → Y A ⊂ X , aûnh cuûa taäp A laø f ( A) = { f ( x ) ∈ Y x ∈ A} . Aûnh ngöôïc cuûa B ⊂ Y laø f −1 ( B) = {x ∈ X f ( x ) ∈ B} Ñaëc bieät khi B = {y} ⊂ Y ta vieát f −1 ({y}) = f −1 ( y ) = {x ∈ X f ( x ) = y} . Toaùn cao caáp : Giaûi tích 8 x ∈ f −1 ( y ) ñöôïc goïi laø aûnh ngöôïc cuûa y . Ví duï: f : ℝ → ℝ f(x) = x2 B = {-5, 2, 4, 9, 0} f −1 (B ) = {± 2 , ± 2, ± 3, 0} f −1 (169) = {±13}; f −1 (−3) = ∅ f −1 (2) = {± 2 }; f −1 (−5) = ∅ Toaøn aùnh: Cho aùnh xaï f : X → Y , ta noùi f laø toaøn aùnh khi vaø chæ khi f ( X ) = Y . Ta coù: f ( X ) = Y ⇔ ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : f ( x ) = y ⇔ ∀y ∈ Y , phöông trình y = f ( x ) coù ít nhaát 1 nghieäm III. ⇔ ∀y ∈ Y , f −1 ( y ) ≠ ∅ . Ví duï : i) f : ℝ → ℝ f ( x ) = x 2 khoâng laø toaøn aùnh vì f −1 (−2) = ∅ (phöông trình x 2 = −2 voâ nghieäm). ii) f : ℝ → ℝ + f ( x ) = x 2 laø toaøn aùnh vì ∀y ∈ ℝ + , ta coù phöông trình f ( x ) = y ⇔ x 2 = y luoân coù nghieäm x = ± y Nhaän xeùt: Giaû söû f : X → Y laø toaøn aùnh vaø X , Y laø taäp hôïp höõu haïn thì card X ≥ card Y . Ghi chuù: Ñeå chöùng minh f laø toaøn aùnh ta chöùng minh ∀y ∈ Y phöông trình f ( x ) = y coù nghieäm. IV. Ñôn aùnh: Cho aùnh xaï f : X → Y f laø ñôn aùnh ⇔ ∀x1 , x2 ∈ X vaø x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ X vaø f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2 ⇔ ∀y ∈ Y , phöông trình y = f ( x ) coù nhieàu nhaát laø một nghieäm. ⇔ ∀y ∈ Y , f −1 (Y ) = ∅ hay f −1 ( y ) coù ñuùng 1 phaàn töû . Ví duï: * f: ℝ → ℝ Toaùn cao caáp : Giaûi tích 9 f (x) = x 2 khoâng laø ñôn aùnh vì f (−2) = f (2) = 4 . * V. f: ℝ + → ℝ hay ℝ − → ℝ f ( x ) = x 2 laø ñôn aùnh * f: ℝ → ℝ 3x − 5 f (x) = 7 laø ñôn aùnh vì ∀x1 , x2 ∈ ℝ vaø f ( x1 ) = f ( x2 ) 3 x − 5 3 x2 − 5 ⇔ 1 = ⇔ x1 = x2 . 7 7 Song aùnh : Cho aùnh xaï f : X → Y . f laø song aùnh ⇔ f laø ñôn aùnh vaø f laø toaøn aùnh ⇔ ∀ y ∈ Y , phöông trình f ( x ) = y coù duy nhaát nghieäm ⇔ ∀ y ∈ Y , f −1 ( y ) coù duy nhaát moät phaàn töû. 3x − 5 Ví duï : f: ℝ → ℝ ; f (x) = laø song aùnh 7 3x − 5 Vì ∀y ∈ ℝ , phöông trình y = coù duy nhaát nghieäm 7 7y + 5 x= 3 f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 khoâng laø ñôn aùnh, khoâng laø toaøn aùnh f : ℝ + → ℝ, f ( x ) = x 2 laø ñôn aùnh, khoâng laø toaøn aùnh f : ℝ → ℝ + , f ( x ) = x 2 khoâng laø ñôn aùnh, laø toaøn aùnh ⇒ khoâng song aùnh + f : ℝ → ℝ + , f ( x ) = x 2 laø song aùnh f : ℝ − → ℝ + , f ( x ) = x 2 laø song aùnh VI. AÙnh xaï ngöôïc: Neáu f : X → Y x ֏ f ( x ) laø song aùnh thì aùnh xaïï f −1 : Y → X Toaùn cao caáp : Giaûi tích 10 y = f ( x ) ֏ x = f −1 ( y ) ñöôïc goïi laø aùnh xaï ngöôïc cuûa f . Ví duï: f : ℝ+→ ℝ+ f ( x ) = x 2 ( y = x 2 ⇔ x = y , x, y ≥ 0 ) f −1 ( y ) = y ( x , y ≥ 0 ) hay f −1 ( x ) = f: x ℝ → ℝ ; f (x) = x 2 − + f −1 ( y ) = − y ; f: f −1 : * f: f −1 : * f: f −1 : * f: f −1 : * * f: f −1 ( x ) = − x ℝ → ℝ + \ {0} ; f ( x ) = 3x ℝ + \ {0} → ℝ ; f −1 ( x ) = log3 x  π π  − 2 , 2  → [-1, 1]; f ( x ) = sin x  π π [-1, 1] →  − ,  ; f −1 ( x ) = arcsin x  2 2 [ 0,π ] → [-1, 1]; f(x) = cosx [-1, 1] → [ 0, π ] ; f −1 ( x ) = arccos x  π π  − ,  → ℝ ; f ( x ) = tg x  2 2  π π ℝ →  − ,  ; f −1 ( x ) = arctg x  2 2 ( 0, π ) → ℝ ; f ( x ) = cotg x f −1 : ℝ → ( 0, π ) ; f −1 ( x ) = arc cotg x f: ℝ → ℝ ; f (x) = f −1 : 3x + 7 5 3x + 7 5y − 7 y= ⇔ x= 5 3 ℝ → ℝ 5x − 7 f −1 ( x ) = 3 Toaùn cao caáp : * Giaûi tích 11 Cho X ⊂ ℝ , Y ⊂ ℝ , xaùc ñònh X , Y ñeå f laø song aùnh vôùi f : X → Y ; f ( x ) = 5x − 3  −1  ; X = ℝ\   2x +1 2 5x − 3 ⇔ y(2 x + 1) = 5x − 3 2x +1 ⇔ 2 xy + y = 5 x − 3 ⇔ x (2 y − 5) = − y − 3 (*) 5 Phöông trình (*) coù duy nhaát nghieäm ⇔ y ≠ . Ta coù 2 y+3 (*) ⇔ x = 5 − 2y  −1  5 Vaäy vôùi X = ℝ \   vaø Y = ℝ \   thì 2 2  f :X →Y 5x − 3 f (x) = laø một song aùnh 2x + 1 vaø f −1 : Y → X 5  1 f −1 : ℝ \   → ℝ \  −  2   2 x +3 f −1 ( x ) = 5 − 2x Ghi chuù: i) f : X → Y laø ñôn aùnh vaø X , Y laø 2 taäp höõu haïn thì y= ii) card X ≤ card Y . f : X → Y laø song aùnh vaø X , Y laø höõu haïn thì X =Y . AÙnh xaï ngöôïc f −1 cuûa f chæ toàn taïi khi f laø song aùnh. AÙnh xaï hôïp: (AÙnh xaï tích) Cho 2 aùnh xaï f : X → Y , vaø g : Y → Z . iii) VII. AÙnh xaï h : X → Z ñöôïc ñònh nghóa: h ( x ) = g  f ( x )  , ∀x ∈ X . Toaùn cao caáp : Giaûi tích 12 Kyù hieäu: h = g f ñöôïc goïi laø aùnh xaï hôïp (aùnh xaï tích) cuûa f vaø g . Ví duï 1: f : ℝ → [ 5, +∞ ) f (x) = x2 + 5 g : [ 5, +∞ ) → ℝ − g( x ) = − x + 2 g f ( x ) = g ( x 2 + 5) = - x2 + 5 + 2 = - x2 + 7 2x + 5 4 2 2 2(3 x − x ) + 5 6 x − 2 x + 5 g f ( x ) = g(3 x 2 − x ) = = 4 4  2x + 5  f g( x) = f    4  Ví du 2ï: f , g : ℝ → ℝ ; f ( x ) = 3 x 2 − x ; g( x ) = 2 2  2 x + 5  2 x + 5 12 x + 52 x + 55 = 3 − =  4 16  4  Nhaän xeùt : i) Thoâng thöôøng, f g ≠ g f . ii) (g f ) iii) f f −1 ( y ) = y , ∀ y ∈ Y ( f : X → Y laø song aùnh). −1 = f −1 g −1 (giaû söû f , g laø song aùnh). f −1 f ( x ) = x , ∀ x ∈ X ( f : X → Y laø song aùnh). iv) VIII Giaû söû ( f g ) h toàn taïi, ta coù ( f g) h = f ( g h) . Ñònh nghóa : 1) Moät taäp A ñöôïc noùi laø höõu haïn vaø coù n phaàn töû neáu toàn taïi moät song aùnh giöõa A vaø taäp con {1,2,3,...., n} cuûa ℕ . Khi ñoù, ta vieát Card A = n hay A = n . 2) Neáu taäp A khoâng höõu haïn, ta noùi A voâ haïn. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 13 3) Hai taäp A vaø B ñöôïc noùi laø ñoàng löïc löôïng neáu toàn taïi moät song aùnh töø A vaøo B . 4) Moät taäp A ñöôïc noùi laø ñeám ñöôïc neáu toàn taïi moät song aùnh giöõa A vaø taäp con N cuûa ℕ . Khi ñoù, neáu N = ℕ thì ta noùi A laø taäp voâ haïn ñeám ñöôïc. Noùi caùch khaùc, ta noùi A laø taäp voâ haïn ñeám ñöôïc neáu toàn taïi moät song aùnh giöõa A vaø taäp ℕ .