Tài liệu Toán cao cấp chương 7

KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) Ts. Lê Xuân Trường Khoa Toán Thống Kê KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 1 / 18 Không gian Rn Không gian Rn :  Rn = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, n . Mỗi phần tử x = (x1 , x2 , ..., xn ) của Rn được gọi là một véctơ. Cộng và trừ hai véctơ: (x1 , x2 , ..., xn ) ± (y1 , y2 , ..., yn ) = (x1 ± y1 , x2 ± y2 , ..., xn ± yn ) Ví dụ: (2, 3, −4, 5) + (−1, 0, 5, 7) = (1, 3, 1, 12) Nhân véctơ với một số k. (x1 , x2 , ..., xn ) = (kx1 , kx2 , ..., kxn ) Ví dụ: 2.(3, −5, 1) = (6, −10, 2) Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 2 / 18 Tính chất Với x, y ∈ Rn và α, β ∈ R, ta có x + y = y + x (giao hoán) (x + y ) + z = x + (y + z ) (kết hợp) x + θ = x, trong đó θ = (0, 0, ..., 0) ∈ Rn x + (−x ) = θ, với −x = (−x1 , −x2 , ..., −xn ) ∈ Rn α(x + y ) = αx + αy (α + β)x = αx + βy (αβ)x = α( βx ) 1.x = x Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 3 / 18 Tích vô hướng u = (x1 , x2 , ..., xn ), v = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Tích vô hướng của u và v được cho bởi u.v = x1 y1 + x2 y2 + · · ·xn yn Ví dụ: u = (−2, 3, 1) v = (3, 5, 4) Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) u.v = (−2).(3) + 3.5 + 1.4 = 13 KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 4 / 18 Góc và khoảng cách Cho u = (x1 , x2 , ..., xn ) và v = (y1 , y2 , ..., yn ). Góc α giữa hai véctơ u và v được xác định bởi cos(α) = √ u.v √ u.u v .v Khoảng cách giữa u và v n d (u, v ) = ∑ (yi − xi )2 !1/2 i =1 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 5 / 18 Tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính Định nghĩa Trong không gian Rn , cho các véctơ u1 , u2 , ..., um và v . Nếu tồn tại các hằng số λ1 , λ2 , ..., λm sao cho v = λ 1 u1 + λ 2 u2 + · · · + λ m um , thì ta nói v biểu thị tuyến tính được qua các véctơ u1 , u2 , ..., um hay v là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , ..., um . Ví dụ Với u1 = (1, 4), u2 = (3, 2) và v = (9, 16), ta có v = 3u1 + 2u2 nên v là tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 . Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 6 / 18 Tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính Ví dụ Trong R3 cho các véctơ u1 = (2, 0, 3), u2 = (0, 2, −1), u3 = (2, 2, 2). Tìm m để véctơ v = (5, −2, m ) biểu thị tuyến tính được qua ba véctơ đã cho. Nhận xét 1: Với một véctơ bất kỳ v và một hệ véctơ cho trước u1 , u2 , ..., un , có thể xảy ra ba trường hợp sau v không biểu thị tuyến tính được qua hệ u1 , u2 , ..., un có duy nhất một cách biểu thị tuyến tính v qua u1 , u2 , ..., un có vô số cách biểu thị tuyến tính v qua u1 , u2 , ..., un Nhận xét 2: Véctơ θ có ít nhất một cách biểu thị tuyến tính qua một hệ véctơ bất kỳ, đó là cách biểu thị tầm thường θ = 0u1 + 0u2 + · · · + 0un . Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 7 / 18 Phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Định nghĩa Hệ véctơ {u1 , u2 , ..., um } được gọi là độc lập tuyến tính nếu véctơ θ chỉ có duy nhất cách biểu thị tuyến tính tầm thường qua hệ. Ngược lại, ta nói hệ véctơ là phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ Xét hệ các véctơ sau u1 = (1, 2), u2 = (3, 4), u3 = (−2, 1). Ta có θ= 11 2 u1 − u2 − u3 5 5 nên các véctơ u1 , u2 , u3 phụ thuộc tuyến tính. Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 8 / 18 Phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Phương pháp Xét đẳng thức λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λm um = θ Đưa đẳng thức trên về một hệ gồm m phương trình, m ẩn số (λ1 , λ2 , ..., λm ) Có hai trường hợp Nếu tồn tại ít nhất một số λj 6= 0 thì các véctơ phụ thuộc tuyến tính. Nếu hệ chỉ có nghiệm λi = 0, i = 1, m thì các véctơ độc lập tuyến tính. Bài tập Xét tính độc lập hay phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau a) u1 = (2, −5), u2 = (1, 3), u3 = (−3, 4). b) u1 = (1, 0, 3), u2 = (0, 1, 1), u3 = (2, 1,n m ). Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ R 9 / 18 Phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Nhận xét: Mọi hệ chứa véctơ θ đều phụ thuộc tuyến tính Thêm một véctơ vào một hệ phụ thuộc tuyến tính thì được một hệ phụ thuộc tuyến tính Bỏ bớt một véctơ trong một hệ độc lập tt thì được một hệ độc lập tt. Một hệ véctơ là phụ thuộc tt khi và chỉ khi tồn tại một véctơ trong hệ là tổ hợp tt của các véctơ còn lại Nếu bổ sung vào một hệ độc lập tt một véctơ không biểu thị tuyến tính được qua hệ ấy thì được một hệ độc lập tt. Nếu bỏ bớt từ một hệ phụ thuộc tt một véctơ không là tổ hợp tt của các véctơ còn lại thì được một hệ phụ thuộc tt. Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 10 / 18 Hạng của hệ véctơ Định nghĩa Cho hệ véctơ {u1 , u2 , ..., un }(∗) trong Rn . Ta nói số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của hệ (*) là r nếu - tồn tại một hệ con độc lập tt của (*) gồm r véctơ - mọi hệ con của (*) có nhiều hơn r véctơ đều phụ thuộc tt Số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của một hệ véctơ được gọi là hạng của hệ véctơ đó và được ký hiệu bởi rank {u1 , u2 , ..., un }. Ví dụ Trong R3 , hệ véctơ {u1 = (1, −2, 3), u2 = (2, 1, 1), u3 = (3, −1, 4)} có hạng là 3, vì - hệ con {u1 , u2 } là độc lập tuyến tính - hệ {u1 , u2 , u3 } là phụ thuộc tuyến tính Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 11 / 18 Hạng của hệ véctơ Định lý Xét các véctơ uk = (α1k , α2k , ..., αnk ) ∈ Rn , k = 1, 2, ..., m. rank {u1 , u2 , ..., um } = rank (A),  α11  α21 A= · · · αm1 với α12 α22 ··· αm2  · · · α1n · · · α2n   ··· ··· · · · αmn {u1 , u2 , ..., um } độc lập tt ⇔ rank {u1 , u2 , ..., um } = m Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 12 / 18 Cơ sở, số chiều và tọa độ Định nghĩa Một hệ véctơ trong Rn được gọi là một cơ sở nếu thỏa hai điều kiện i) Hệ véctơ đó độc lập tuyến tính ii) Mọi véctơ trong Rn đều biểu thị tuyến tính được qua hệ ấy. Lưu ý: Một hệ véctơ thỏa điều kiện ii) trong định nghĩa trên được gọi là hệ sinh của Rn . Ví dụ Các véctơ e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) tạo thành một cơ sở của không gian R3 . Ta gọi cơ sở này là cơ sở chính tắc. −→ Giải thích ??? Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 13 / 18 Cơ sở, số chiều và tọa độ Lưu ý: Trong không gian Rn , - mọi cơ sở đều có n véctơ - mọi hệ gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là một cơ sở Ta gọi số véctơ của các cơ sở là số chiều của không gian đó. Vì vậy Rn là không gian n chiều. Ta viết dim (Rn ) = n. Nếu B = {u1 , u2 , ..., un } là một cơ sở của Rn và u ∈ Rn thì u có duy nhất một cách biểu thị tuyến tính qua {u1 , u2 , ..., un }. Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 14 / 18 Cơ sở, số chiều và tọa độ Định nghĩa Giả sử B = {u1 , u2 , ..., un } là một cơ sở của Rn và u ∈ Rn . Nếu u = λ 1 u1 + λ 2 u2 + · · · + λ n un thì ta gọi ma trận   λ1  λ2    [u ]B =  ..   .  λn là tọa độ của u đối với cơ sở B . Ví dụ Cho B = {u1 = (1, 2, 3, 0), u2 = (2, 3, 0, 4), u3 = (3, 0, −2, 1), u4 = (0, −2, 1, 1)}. 4. a)XuânChứng minh là Kê) một cơ KHÔNG sở RGIAN Ts. Lê Trường (Khoa ToánB Thống VÉCTƠ Rn 15 / 18 Không gian con Định nghĩa Một tập con W 6= ∅ của Rn được gọi là một không gian con nếu u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W α ∈ R, u ∈ W =⇒ αu ∈ W Ví dụ W1 = {(x, y ) ∈ R2 : ax + by = 0} là không gian con của R2 W2 = {(x, y , z ) ∈ R3 : 3x + 4y = 0, 2y + z = 0} là không gian con của R3 W3 = {(x, y ) ∈ R2 : y = x 2 } không là không gian con của R2 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 16 / 18 Không gian con Không gian con sinh bởi hệ véctơ: Trong Rn , ta đặt ( Wsp = hu1 , ..., um i ≡ span {u1 , ..., um } = m ∑ λi ui : λ1 , ..., λm ∈ R ) i =1 Wsp là không gian con của Rn Số chiều của Wsp = rank{u1 , ..., um } Mỗi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của {u1 , ..., um } đều là một cơ sở của Wsp Ví dụ Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con của R4 , sinh bởi các véctơ u1 = (2, 3, 0, −1), u2 = (−3, 1, 2, 0), u3 = (1, −1, 2, 3), u4 = (0, 3, 4, 2). Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 17 / 18 Không gian con Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ký hiệu We = {x ∈ Rn : Ax = θ }, với A = (aij )m×n và x = (x1 , x2 , ..., xn )T We là không gian con của Rn (tại sao?) Số chiều của We = n − rank (A) Mỗi hệ gồm k = dim (We ) véctơ nghiệm độc lập tuyến tính của Ax = θ là một cơ sở của We . Ví dụ Xét We = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R3 : 2x1 + x2 − x3 = 0, 2x1 − x4 = 0, x2 − x3 + x4 = 0} Chứng minh We là không gian con của R4 Tìm số chiều và một cơ sở của We Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 18 / 18