Toán cao cấp chương 5

  • Số trang: 10 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 29 |
  • Lượt tải: 0
transuma

Đã đăng 28936 tài liệu

Mô tả:

HẠNG CỦA MA TRẬN Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) Ts. Lê Xuân Trường Khoa Toán Thống Kê HẠNG CỦA MA TRẬN 1 / 10 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính Xét hệ phương trình tuyến tính  a11 x1 + a12 x2 + · · ·a1n xn = b1    a21 x1 + a22 x2 + · · ·a2n xn = b2  ............................................   am1 x1 + am2 x2 + · · ·amn xn = bm (*) Ta ký hiệu  a11  a21 A=  ··· am1 a12 a22 ··· am2  · · · a1n · · · a2n   ··· ···  · · · amn    X =  x1 x2 .. . xn        và B =    b1 b2 .. .      bm Khi đó hệ phương trình (∗) có thể viết dươi dạng dạng AX = B Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 2 / 10 Định lý Kronecker-Capelli Xét hệ phương trình AX = B. Ký hiệu A = [A B ] | {z } ↓ ma trận hệ số mở rộng Nếu rank (A) 6= rank (A) thì hệ vô nghiệm Nếu rank (A) = rank (A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu rank (A) = rank (A) = k < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n − k tham số Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 3 / 10 Phương pháp khử (C. F. Gauss) Xét hệ phương trình AX = B. B1 Lập ma trận mở rộng A = [A B ] B2 Đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng A b. đ. s. c trên dòng [A1 B1 ] −−−−−−−−−−−−→ Từ đó suy ra rank (A) và rankA. Ngoài ra, ta có AX = B ⇐⇒ A1 X = B1 B3 Xét các trường hợp sau Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 4 / 10 Phương pháp khử (C. F. Gauss) rank(A) 6= rank(A) =⇒ Hệ pt vô nghiệm rank(A) = rank(A) = n =⇒ Hệ pt có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm (bằng cách giải hệ tương đương)  α11 x1 +α12 x2 · · · +α1n xn = β 1    α22 x2 + · · · +α2n xn = β 2 A1 X = B1 ⇔ ··· ··· ··· ··· ··· ···    · · · αnn xn = βn Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 5 / 10 Phương pháp khử (C. F. Gauss) rank(A) = rank(A) = k < n =⇒ Hệ pt có vô số nghiệm Tìm nghiệm tổng quát:  α11 x1 + α12 x2 +    α22 x2 + · · · ···    Hệ A1 X = B1 có dạng · · · + α1k xk + · · · +α2k xk + ··· ··· αkk xk + · · · + α1n xn = β 1 · · · +α2n xn = β 2 ··· ··· ··· · · · +αkn xn = β k Chọn n − k ẩn tự do, tính các ẩn còn lại theo các ẩn tự do. Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 6 / 10 Phương pháp khử (C. F. Gauss) Ví dụ: Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 1    −x1 + x2 + 3x4 = 2 3x − x3 + x4 = 3    2 x1 + 3x2 + x3 − x4 = 4 Giải  1  −1   0 1 2 1 3 3 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) −1 2 0 3 −1 1 1 −1   1 1 2  2   −→  0 3  0 3 3  0 1 4 HẠNG CỦA MA TRẬN −1 2 −1 5 −1 1 2 −3  1 3   3  3 7 / 10 Phương pháp khử (C. F. Gauss)  1  0 −→   0 0   1 2 −1 2 1   0 1 2 −3 3  −→   0 0 −7 10 −6  0 −7 14 −6 0  2 −1 2 1 1 2 −3 3   0 −7 10 −6  0 0 4 0 Vì rank (A) = rank (A) = 4 nên hệ có nghiệm duy nhất.  x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 1    x2 + 2x3 − 3x4 = 3 hpt ⇐⇒ −7x3 + 10x4 = −6    4x4 = 0 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN  x1    x2 ⇐⇒  x3   x4 = − 75 = 97 = 67 =0 8 / 10 Phương pháp khử (C. F. Gauss) Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình   mx1 + x2 + x3 = 1 x1 + mx2 + x3 = m  x1 + x2 + mx3 = m2 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 9 / 10 Qui tắc Cramer Hệ phương trình AX = B là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông khả nghịch Mọi hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm bằng ma trận nghịch đảo X = A−1 B Qui tắc Cramer X = [ x1 x2 · · · xn ] T ,  a11  a21 trong đó Aj =   ··· an1 a12 a22 ··· an2 · · · b1 · · · b2 ··· ··· · · · bn xj = det(Aj ) , det(A)  · · · a1n · · · a2n   ··· ···  · · · ann (Thay cột thứ j của A bằng cột tự do B ta được Aj ) Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 10 / 10
- Xem thêm -