Mô tả:
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
ĐỊNH THỨC
Ts. Lê Xuân Trường
Khoa Toán Thống Kê
ĐỊNH THỨC
1/8
Ma trận con bù
Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n.
bỏ dòng i
A −−−−−→
Mij
bỏ cột j
↓
ma trận con bù của aij
Ví dụ: Xét ma trận
2 −1 3
4 −5
A= 1
−3 2 −2
ma trận con bù của a12 : M12
ma trận con bù của a31 : M31
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
1
=
−3
−1
=
4
ĐỊNH THỨC
−5
−2
3
−5
2/8
Khái niệm định thức
Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số thực,
ký hiệu bởi det(A), và được xác định bởi qui nạp theo n như sau
n = 2:
a11 a12
A=
⇒ det(A) = a11 a22 − a12 a21
a21 a22
Ví dụ: A =
1
3
2
⇒ det(A) = −2
4
n ≥ 3:
det(A) = (−1)k +1 ak1 det(Mk1 ) + · · · + (−1)k +n akn det(Mkn )
(với k bất kỳ trong tập {1, 2, ..., n })
−1 2 2
Ví dụ: Tính định thức của ma trận A = 3 1 4
−2 3 1
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
ĐỊNH THỨC
3/8
Qui tắc Sarrus (tính định thức cấp 3)
Qui tắc Sarrus
Ví dụ:
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
ĐỊNH THỨC
4/8
Lưu ý
Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển theo một cột bất kỳ
Ví dụ: Tính định thức của ma trận sau
3
1
0 2
−1 2
0 3
A=
1 −2 0 1
2 −1 −2 0
Khai triển theo cột thứ 3
3
4+3
det(A) = (−1)
(−2) −1
1
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
ĐỊNH THỨC
1 2
2 3 = 28
−2 1
5/8
Phép biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Loại 1: Đổi chỗ hai dòng (di ←→ dj )
λ 6 =0
Loại 2: Nhân một dòng cho một số khác 0 (di −−→ λdi )
Loại 3: Thay một dòng bởi dòng đó cộng với bội số của một dòng khác
λ ∈R
di −−→ di + λdj
Các phép biến đổi sơ cấp trên cột (tương tự)
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
ĐỊNH THỨC
6/8
Định thức và các phép biến đổi sơ cấp
Nếu đổi chỗ hai dòng của định thức thì định thức đổi dấu
Nhân một dòng của ma trận A với số λ 6= 0 thì định thức của ma
trận thu được gấp λ lần định thức của A
Phép biến đổi loại 3 không làm thay đổi định thức
Ví dụ: Tính định thức của ma trận
1
2
A=
3
4
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
ĐỊNH THỨC
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
7/8
Một số tính chất khác
Nếu ma trận có hai dòng (hoặc cột) tỉ lệ thì định thức của ma trận
đó bằng 0
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường
chéo chính
det(λA) = λn det(A)
det(AT ) = det(A)
det(AB) = det(A)det(B)
a1k
a2k
Nếu A = [a1 ...aj ...an ] và aj = aj0 + aj00 , trong đó ak = . thì
..
ank
det(A) = det([a1 ...aj0 ...an ]) + det([a1 ...aj00 ...an ])
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
ĐỊNH THỨC
8/8
- Xem thêm -