Tài liệu Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 chuyên đề các bài toán về dãy số

To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Chuyên đề 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Dạng 1. ĐIỀN THÊM SỐ HẠNG VÀO SAU, GIỮA HOẶC TRƯỚC MỘT DÃY SỐ A. MỤC TIÊU: - Nhận biết, xác định được quy luật của một số dãy số thường gặp. - Dựa vào quy luật của dãy số điền thêm 1 hoặc nhiều số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số. B. NỘI DUNG: I. Kiến thức cần nhớ: Cách giải. Trước hết cần xác định quy luật của dãy số. Những quy luật thường gặp là: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng (hay trừ) với một số tự nhiên d + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân (hay chia) với một số tự nhiên q khác 0. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng liền trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy. + Số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứng liền trước nhân với số thứ tự. vv….. II. Một số dạng toán điển hình: Ví dụ 1. Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: a) 1,3,4,7,11,18,. . . b) 0,2,4,6,12,22,. . . Ví dụ 1 trang 21. 10CĐBDHSGT4-5 tập I Giải a) Ta nhận xét: 4 = 1 + 3 ; 7 = 3 + 4 ; 11 = 4 + 7 ; 18 = 11 + 7 Từ đó rút ra quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó. Vậy 3 số hạng tiếp theo là: 29,47,76. b) Ta thấy: 12=6+4+2 ; 22=12+6+4 Từ đó rút ra quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng liền trước nó . Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân 1 To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Vậy 3 số hạng tiếp theo là: 40,74,136 Ví dụ 2 : a) Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau: . . . , 17,19,21. b). . . , 64, 81, 100. (Biết mỗi dãy có 10 số hạng) Ví dụ 2 trang 23. 10CĐBDHSGT4-5 tập I Giải a) Ta thấy : Số hạng thứ 10 là 21=2 x 10 + 1 ; Số hạng thứ 9 là 19 = 2 x 9 + 1; Số hạng thứ 8 là 2 x 8 + 1 Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng của dãy bằng 2 x thứ tự của số hạng trong dãy rồi cộng với 1. Vậy số hạng đầu tiên của dãy số đó là: 2 x 1 + 1 = 3. b)Ta thấy: Số hạng thứ 10 là 100 = 10 x 10 ; Số hạng thứ 9 là 81 = 9 x 9 ; Số hạng thứ 8 là 64 = 8 x 8 Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng của dãy bằng số thứ tự nhân số thứ tự của số hạng đó. Vậy số hạng đầu tiên trong dãy số đó là: 1 x 1 = 1. Ví dụ 3. Điền các số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng 3 ô liên tiếp đều bằng 1996 Ví dụ 4 trang 24.10 CĐBDHSG toán 4,5 tập1 Ô1 Giải 496 Ô2 Ô3 Ô4 Ô5 Ô6 Ta đánh số các ô theo thứ tự như trên: Ô7 Theo điều kiện đầu bài ta có: 496 + Ô7 + Ô8 = 1996; Ô8 Ô9 996 Ô10 Ô7 + Ô8 + Ô9 = 1996 Vậy Ô9 = 496. Từ đó ta tính được: Ô8 = Ô5 = Ô2 = 1996-(496 + 996) = 504 Ô7 = Ô4 = Ô1 = 996 ; Điền vào ta được dãy số: 996 504 496 996 Ô3 = Ô6 = Ô9 = 496 504 496 996 504 496 996 III. Bài tập về nhà Bài 1. Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: a) 0,3,7,12,. . . b) 1,2,6,24,. . . Ví dụ 1 trang 21. 10CĐBDHSGT4-5 tập I Giải a) Ta thấy: Số hạng thứ hai là 3=0+1+2 Số hạng thứ ba là: 7=3+1+3 Số hạng thứ tư là: 12=7+1+4 2 Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Từ đó rút ra quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng liền trước nó cộng với 1 rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy. Vậy 3 số hạng tiếp theo là: 18, 25, 33. b) Ta thấy: Số hạng thứ hai là 2=1x2 Số hạng thứ ba là 6=2x3 Số hạng thứ tư là 24=6x4 Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân số thứ tự của số hạng ấy. Vậy 3 số hạng tiếp theo là: 120, 720, 5040. Bài 2. Tìm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau: a) . . . 39; 42; 45. b) . . . 4; 2; 0. c) . . . 23; 25; 27; 29. Biết mỗi dãy có 15 số hạng Bài 2 trang 34. 10 CĐBDHSGT 4-5 tập I Giải a) 3,6 (mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với 3) b) 28,26 (mỗi số hạng bằng 2 nhân với hiệu của 15 trừ đi số thứ tự của nó). c) 1,3 (mỗi số hạng bằng 2 lần số thứ tự của nó trừ đi 1). Bài 3. Lúc 7 giờ sáng, một người xuất phát từ A đi xe đạp về phía B. đến 11 giờ trưa, người đó dừng lại nghỉ ăn trưa một tiếng, sau đó lại đi tiép và 3 giờ chiều thì về đến B. Do ngược gió, cho nên tốc độ của người đó sau mỗi giờ lại giảm đi 2km. Tìm tốc độ của người đó khi xuất phát, biết rằng tốc độ đi trong tiếng cuối cùng là 10 km/giờ. Ví dụ 3 trang 24. 10CĐBDHSGT4-5 tập I Giải Thời gian người đó đi trên đường là: (11 – 7) + (15 – 12) = 7 (giờ) Ta thấy: Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 7 là: 10 (km/giờ) = 10 + 2 x 0 Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 6 là: 12 (km/giờ) = 10 + 2 x 1 Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 5 là: 14 (km/giờ) = 10 + 2 x 2……… Từ đó rút ra: Tốc độ người đó lúc xuất phát (trong tiếng thứ nhất là): 10 + 2 x 6 = 22 (km/giờ) Đáp số: 22km/giờ Bài 4. Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2002 Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân 3 To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Ô1 Giải Ô2 Ô3 Ô4 Ô5 Ta đánh số thứ tự các ô như trên: Theo điều kiện của đề bài ta có: 783 Ô6 Ô7 Ô8 998 Ô10 Ô9 783 + Ô7 + Ô8 = 2002. Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2002. Vậy Ô9 = 783; từ đó ta tính được: Ô8 = Ô5 = Ô2= 2002 - (783 + 998) = 2002 Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998; Ô3 = Ô6 = 783. Điền các số vào ta được dãy số: 998 221 783 998 221 783 998 221 783 998 Bài 5: Cho các số 1; 2; 3; 4; 5; 6. Hãy điền vào các ô trống trong tam giác sao cho tổng các cạnh bằng nhau và bằng 9 Giải Cách 1: Ta có: 9 = 1 + 2+ 6 11 5 6 9=1+3+5 2 9=2+3+4 4 3 Ta nhận thấy: số 1 ; 2; 3 xuất hiện 2 lần ở 3 tổng trên. Vậy 3 số ở đỉnh là 1; 2; 3.Các số còn lại điền được như hình bên. Cách 2: 1 Tổng các số đã cho là: 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 Theo bài ra tổng 1 cạnh tam giác là 9 nên tổng 3 cạnh là: 9 x 3 = 27 27 hơn 21 số đơn vị là: 27 – 21 = 6 Vì tam giác có 3 đỉnh được lặp lại 2 lần nên 6 là tổng 3 số ở 3 đỉnh . 6 2 5 4 6 = 1 + 2 + 3. Vậy 3 số ở 3 đỉnh là 1; 2; 3.Các số còn lại điền được như hình bên. Dạng 2. XÁC ĐỊNH SỐ A CÓ THUỘC DÃY ĐÃ CHO HAY KHÔNG A. MỤC TIÊU: - Xác định được quy luật của dãy số , đặc điểm của các số hạng trong dãy từ đó xác định xem số đã cho có thuộc dãy số đó không. B. NỘI DUNG: I. Kiến thức cần nhớ: Cách giải: - Xác định quy luật của dãy. - Kiểm tra xem số a có thoả mãn quy luật đó hay không? 4 Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân 3 To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 II. Một số dạng toán điển hình: Ví dụ 1 a) Các số 50, 133 có thuộc dãy 90, 95, 100, . . . hay không ? b)Số 1996 có thuộc dãy 2,5,8,11,. . . không ? (Giải thích tại sao?) Ví dụ 5 trang 25. 10CĐBDHSGT4-5 tập I Giải a) Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy 90, 95, 100 , . . . Vì: - Các số của dãy lớn hơn 50. - Các số hạng trong dãy đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5. b) Số 1996 không thuộc dãy 2,5,8,11,. . . Vì: - Mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2, còn 1996 chia cho 3 dư 1. Ví dụ 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,…… a. Nêu quy luật của dãy số? b. Số 93 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao? Giải: a. Ta nhận thấy: Số hạng thứ 1: 2=2x1 Số hạng thứ 2: 4=2x2 Số hạng thứ 3: 6 = 2 x 3 …......... Số hạng thứ n: ?=2xn Quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự của số hạng ấy. b. Ta nhận thấy các số hạng của dãy là số chẵn, mà số 93 là số lẻ, nên số 93 không phải là số hạng của dãy. Ví dụ 3: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,…… - Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên? - Số 2000 có thuộc dãy số trên không? Tại sao? Giải: - Ta thấy: 8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; ……… Dãy số trên được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3. Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. - Số 2000 có thuộc dãy số trên, vì kể từ số hạng thứ 2 của dãy và số 2000 đều chia cho 3 dư 2. Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân 5 To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 III. Bài tập về nhà Bài 1: Em hãy cho biết: a. Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay không? b. Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không? c. Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích tại sao? Giải: a. Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì: - Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60. - Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5. b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1. c. Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì: - Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhận với 2; cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn, mà 798 chí cho 2 = 399 là số lẻ. - Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3. - Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ. Bài 2: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49. Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không? 100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999? Giải: Nhận xét: Đây là dẫy số cách đều 3 đơn vị. Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 1999 không phải là số hạng của dẫy số đã cho. Mỗi số hạng của dãy số đã cho là số chia hết cho 3, dư 1. Do đó, số 100 và số 1900 là số của dãy số đó. Các số 123, 456, 789 và 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là số hạng của các dãy số đã cho. Bài 3 Số nào trong các số 666, 1000, 9 999 thuộc dãy 3,6,12,24,. . . ? (Giải thích tại sao?) Ví dụ 5 trang 25. 10CĐBDHSGT4-5 tập I Giải Cả 3 số 666, 1000, 9 999 đều không thuộc dãy 3,6,12,24,. . . Vì: Trường Tiểu học Nghĩa Dân 6 Nguyễn Thị Thu Hương To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 - Mỗi số hạng trong dãy (kể từ số hạng thứ hai đều là số chẵn) mà 9 999 là số lẻ. - Mỗi số hạng trong dãy ( kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng trước nó nhân với 2. Mà số hạng đứng trước nó phải là số chẵn nhưng số hạng đứng trước 666 là số lẻ (666:2=333). - Các số hạng trong dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 không chia hết cho 3. Dạng 3. TÌM SỐ CÁC SỐ HẠNG, SỐ CÁC CHỮ SỐ CỦA MỘT DÃY SỐ CÁCH ĐỀU A. MỤC TIÊU - Nắm được quy luật của dãy số cách đều. - Xác định được dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng, bao nhiêu chữ số. - Tìm được số đầu, số cuối, số n của dãy số đã cho. B. NỘI DUNG: I. Kiến thức cần nhớ: Cách giải: 1. Tìm số các số hạng: - Đối với dạng toán này , ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây). Ta có các công thức sau: Số số hạng = (Số lớn – Số bé) : khoảng cách +1. (*) (Khoảng cách được hiểu là hiệu của hai số liền nhau bất kì trong dãy số. Trong dãy số cách đều thì khoảng cách là một số không đổi). *Lưu ý: Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n có n số hạng. Dãy các ố tự nhiên liên tiếp từ 0 đến n thì có n+1 số hạng. Từ (*) suy ra: Số lớn nhất = Số bé nhất + (Số số hạng – 1 ) x khoảng cách Số bé nhất = Số lớn nhất – (Số số hang – 1) x khoảng cách 2. Tìm số các chữ số của một dãy số cách đều: Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân 7 To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Bài toán dạng này được giải theo “Cách giải từng phần”. Đó là việc xét các số theo trình tự : các số có một chữ số, các số có hai chữ số, các số có ba chữ sô, … hoặc theo từng nhóm số có những đặc điểm giống nhau. II. Một số dạng toán điển hình: Ví dụ 1: Từ 1002 đến 2001 có bao nhiêu số tự nhiên liên tiếp? Bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ? Ví dụ 1 trang 5. Các bài toán về dãy số cách đều lớp 4,5 Giải Cách 1: * Từ 1 đến 2001 có 2001 số tự nhiên * Từ 1 đến 1001 có 1001 số tự nhiên. * Vậy từ 1002 đến 2001 có số các số tự nhiên liên tiếp là: 2001 – 1001 = 1000 (số) Cách làm này dựa trên cơ sở cách đếm Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n có n số hạng và dựa vào ý nghĩa cơ bản của phép trừ là Tìm phần còn lại của một số. + Ta thấy dãy số bắt đầu là số chẵn, kết thúc là số lẻ do đó số các số chẵn bằng số các số lẻ. Vậy dãy số đã cho có số các số chẵn hoặc số các số lẻ là : 1000 : 2 = 500 (số) Đáp số : 1000 số hạng, 500 số chẵn và 500 số lẻ. Cách 2: Cứ hai số liền nhau ta gọi là 1 khoảng cách. Hiệu hai số tự nhiên liền nhau bất kì là 1 đơn vị. Do đó mỗi khoảng cách này là 1. + Hiệu của 2001 và 1002 là: 2001 – 1002 = 999 + Từ 1002 đến 2001 có số khoảng cách là: 999 :1 = 999 (khoảng cách) + Vậy từ 1001 đến 2001 có số các số hạng là: 999 + 1 = 1000 (số) Cách giải này dựa trên cơ sở toán trồng cây là tìm số cây trồng trên đường thẳng mà cả hai đầu đường đều có cây Số cây trồng = số khoảng cách + 1. + Ta thấy dãy số bắt đầu là số chẵn, kết thúc là số lẻ do đó số các số chẵn bằng số các số lẻ. Vậy dãy số đã cho có số các số chẵn hoặc số các số lẻ là : 1000 : 2 = 500 (số) Đáp số : 1000 số hạng, 500 số chẵn và 500 số lẻ. Ví dụ 2: Cho dãy số 11, 14, 17, ...., 68. 8 Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 a) Hãy xác định dãy trên có bao nhiêu số hạng? b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 1996 là số nào? Ví dụ 6 trang 26. 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 4,5. Giải a) Ta thấy: 14 – 11 = 3 ; 17 – 14 = 3 Quy luật của dãy số là: mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứng liền trước cộng với 3. (Hay hai số hạng liên tiếp hơn kém nhau 3 đơn vị) Vậy : số các số hạng của dãy số trên là: (68 – 11 ) : 3 + 1 = 20 (số hạng) b) Cách 1: Ta nhận xét: Số hạng thứ hai: 14 = 11+3=11+ (2-1)x3 Số hạng thứ ba: 17 = 11+6=11+ (3-1)x3 Số hạng thứ tư: 20 = 11 + 9 = 11 + (4 – 1 ) x 3..... Quy luật: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai bằng số liền trước cộng với tích của số số hạng trừ 1 nhân với 3. Vậy số hạng thứ 1996 là: 11 + (1996-1)x3 = 5996 Đáp số: 5996 Cách 2: Vì dãy số có 1996 số hạng, số đầu tiên của dãy là 11, hai số hạng liên tiếp hơn kém nhau 3 đơn vị. Vậy số hạng cuối cùng của dãy số đó là; (1996 – 1) x 3 + 11 = 5996. Đáp số: 5996 Ví dụ 3: Người ta dùng các số tự nhiên để đánh số trang một quyển sách, bắt đầu từ trang 1. Hỏi phải dùng bao nhiêu chữ số để đánh số trang một quyển sách dày 300 trang? Ví dụ 1 trang 27. Các bài toán về dãy số cách đều lớp 4,5 Giải Cách 1: - Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang, mỗi trang có 1 chữ số. - Từ trang 10 đến trang 99 có 99 – 9 = 90 trang , mỗi trang có 2 chữ số. - Từ trang 100 dến trang 300 có 300 – (90 + 9) = 201 trang, mỗi trang có 3 chữ số. Vậy từ trang 1 đến trang 300 có số các chữ số là: 1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 201 = 792 (chữ số) Cách 2: Giả sử mỗi trang sách đều dánh số có 3 chữ số theo thứ tự là: 001, 002, 003, ..., 010, 011, 012, ...100, 101, 102, ....., 299, 300. - Từ 001 đến 300 có 300 số, mỗi số có 3 chữ số, nên có số các chữ số là: 3 x 300 = 900 (chữ số) Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân 9 To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Số các chữ số 0 phải viết thêm là: - Từ 1 đến 9, mỗi số phải viết thêm 2 chữ số 0. - Từ 10 đến 99, mỗi số phải viết thêm 1 chữ số 0. Do đó từ 1 đến 99 phải viết thêm số các chữ sô 0 là: 2 x 9 + 1 x 90 = 108 (chữ số) Vậy số các chữ số cần tìm là: 900 – 108 = 792 (chữ số) Ví dụ 4: Người ta dùng 1001 chữ số để viết dãy các số lẻ liên tiếp đầu tiên. Hỏi chữ số thứ 1001 là chữ số nào? Ví dụ 2 trang 28. Các bài toán về dãy số cách đều lớp 4,5 Giải - Chữ số thứ 1001 là chữ số cuối cùng nằm trong số hạng cuối cùng của dãy số đã cho. - Dãy các số lẻ liên tiếp đầu tiên bắt đầu từ 1,3, 5, 7, .... - Số các số lẻ gồm 1 chữ số là: (9 – 1 ) : 2 + 1 = 5 (số) nên có: 1 x 5 = 5 (chữ số) - Số các số lẻ có 2 chữ số là: (99 – 11) : 2 + 1 = 45 (số) nên có: 2 x 45 = 90 (chữ số) Số các chữ số còn lại để viết các số lẻ có 3 chữ số là: 1001 – (90 + 5) = 906 (chữ số) Với 906 chữ số ta viết được số các số lẻ có 3 chữ số là: 906 : 3 = 302 (số) Số lẻ cuối cùng của dãy số là: 101 + (302 -1) x 2 = 703. Vậy chữ số thứ 1001 là chữ số 3 của số 703. III. Bài tập về nhà Bài 1. Trong các số có 3 chữ số có bao nhiêu số chia hết cho 4? Ví dụ 7 trang 27. 10CĐBDHSGT 4-5. tập I Giải Ta nhận xét: Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 và số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có số hạng đầu là 100, số hạng cuối là 996 và mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước liền kề cộng với 4. 100, 104, 108, ....., 996. Vậy số các số có ba chữ số chia hết cho 4 là; (996 – 100) : 4 + 1 = 225 (số) Đáp số: 225 số Bài 2: Trong các STN từ 1 đến 1000 có bao nhiêu số cùng chia hết cho 3 và 5. Ví dụ 3. trang 6. Các bài toán về dãy số cách đều ở lớp 4-5. Giải - - Số nhỏ nhất khác 0 cùng chia hết cho 3 và 5 là: 15. Số liền sau 15 là: 15 + 15 = 30. 10 Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Số liền sau 30 là: 30 + 15 = 45,.... - Số 1000 và 995 không chia hết cho 3. Do đó, số lớn nhất cùng chia hết cho cả 3 và 5 là: 990. Số liền trước 990 là: 990 – 15 = 975. Dãy số phải tìm là: 15, 30, 45, ...., 975, 990. - Cách 1: - Khoảng cách (hiệu hai số liền nhau) là 15. - Số khoảng cách là: (990- 15):15 = 65 (khoảng cách) - Số các số hạng là: 65 + 1 = 66 (số hạng) Cách 2: Số hạng đầu tiên là: 15 x 1 = 15. Số hạng thứ hai là: 15 x 2 = 30 Số hạng thứ ba là: 15 x 3 = 45,.... Số hạng thứ n (cuối cùng) là: 15 x n = 990 Do đó: n = 990 : 15 n = 66 Vậy: Dãy số 15, 30, 45, ..., 975, 990 có 66 số hạng. Bài 3. Bạn Minh viết các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 20001. Hỏi bạn Minh đã viết tất cả bao nhiêu chữ số? Bài 48 trang 29. Các bài toán về dãy số cách đều lớp 4,5 Bài giải Các số lẻ gồm 1 chữ số có là: (9 – 1) : 2 + 1 = 5 (số) Các số lẻ gồm 2 chữ số có là: (99 – 11) : 2 + 1 = 45 (số) Các số lẻ gồm 3 chữ số có là: (999 – 101) : 2 + 1 = 450 (số) Các số lẻ gồm 4 chữ số có là: (2001 – 1001) : 2 + 1 = 501 (số) Vậy số các chữ số cần tìm là: 1 x 5 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 501 = 3449 (chữ số) Đáp số: 3449 chữ số Bài 4. Người ta tính rằng phải dùng 2001 chữ số để đánh số trang một quyển sách. Hỏi quyển sách đó dày bao nhiêu trang? Bài 50 trang 30. Các bài toán về dãy số cách đều lớp 4,5 Bài giải Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang, mỗi trang có 1 chữ số, nên có: 1 x 9 = 9 (chữ số) Từ trang 10 đến trang 99 có 99 – 9 = 90 trang ,mỗi trang có 2 chữ số nên có: 2 x 90 = 180 (chữ số) Số các chữ số còn lại để đánh số trang gồm 3 chữ số là: Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân 11 To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 2001 – (180 + 9) = 1812 (chữ số) Số trang gồm 3 chữ số là: 1812 : 3 = 604 (trang) Số trang của quyển sách là: 9 + 90 + 604 = 703 (trang) Đáp số: 703 trang Bài 5. Cho dãy số 1,2,3,4,...1991, 1992. a) Hỏi dãy số trên có bao nhiêu chữ số? b) Tìm chữ số thứ 3000 của dãy số đó. Bài 23 trang 9. Toán bồi dường HS lớp 4 Bài giải a) Các số gồm 1 chữ số có là: (9 – 1) : 1 + 1 = 9 (số) Các số gồm 2 chữ số có là: (99 – 10) : 1 + 1 = 90 (số) Các số gồm 3 chữ số có là: (999 – 100) : 1 + 1 = 900 (số) Các số gồm 4 chữ số có là: (1992 – 1000) : 1 + 1 = 993 (số) Vậy số các chữ số cần tìm là: 1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 900 + 4 x 993 = 6861 (chữ số) b) Từ 1 đến 999 có : 1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 900 = 2889 (chữ số) Còn lại số các chx số đẻ viết số có 4 chữ số là: 3000 – 2889 = 111 (chữ số) Vì 111 : 4 = 27 (dư 3) . Vậy với 111 chữ số ta viết được 27 số có 4 chữ số thừa ra 3 chữ số để viết số thứ 28. Số có 4 chữ số thứ 27 là: 1000 + (27 – 1) x1 = 1026 3 chữ số tiếp theo đẻ viết số có 4 chữ số thứ 28 là: 102. Vậy chữ số thứ 3000 là chữ số 2 của số 1027. Dạng 4: TÍNH TỔNG CÁC SỐ HẠNG CỦA MỘT DÃY SỐ CÁCH ĐỀU. A. MỤC TIÊU: - Củng cố cách tìm số số hạng của một dãy số cách đều. - Biết cách tính nhanh tổng của dãy số cách đều. B. NỘI DUNG: I. Kiến thức cần nhớ: Cách giải: Nếu các số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối trong dãy đó bằng nhau. Vì vậy: 12 Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Tổng các số hạng của dãy = (tổng của 1 cặp hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối) x số số hạng của dãy : 2. Hay: Tổng = (Số đầu + số cuối) x số số hạng : 2. *Lưu ý: Muốn tính được tổng của một dãy số cách đều trước hết phải tính được số các số hạng của dãy số đó. Sau đó tìm khoảng cách giữa hai số hạng của dãy. II. Một số dạng toán điển hình: Ví dụ 1: Tính tổng các số có hai chữ số , mỗi số đều chia cho 3 dư 2. Giải Cách 1: Bước 1: Tìm số các số hạng của dãy số đã cho. Vì các số đều gồm hai chữ số , mà mỗi số đó đều chia cho 3 dư 2 nên số bé nhất của dãy là 11 và số lớn nhất của dãy là 98. Hai số liên tiếp liền nhau hơn kém nhau 3 đơn vị. Dãy số có 2 chữ số chia cho 3 dư 2 là: 11, 14, 17, 20, ..., 92, 95, 98. Dãy trên có số các số hạng là: (98 – 11) : 3 + 1 = 30 (số) Bước 2: Tính tổng của 30 số đó. Ta có: 11 + 14 + 17 + 20 + ....+ 92 + 95 + 98 = (11+98) + (14+95) + (17+92) +.... = 109 + 109 + 109+.... Vì tổng này có 30 số nên có: 30: 2 = 15 (cặp) , mỗi cặp có tổng là 109. Vậy tổng của các số đó là: 109 x 15 = 1635 Đáp số: 1635 Cách 2: Dãy số có 2 chữ số chia cho 3 dư 2 là: 11, 14, 17, 20, ..., 92, 95, 98. Dãy trên gồm số các số hạng là: (98 – 11) : 3 + 1 = 30 (số hạng) Tổng của dãy số trên là: (98 + 11) x 30 : 2 = 1635 Đáp số: 1635 Ví dụ 2. Tính tổng 100 số lẻ liên tiếp đầu tiên. Ví dụ 9 trang 29 10 CĐBDHSGT 4 – 5. Tập I Giải Ta thấy hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị mà dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên bắt đầu là 1. Vậy số hạng thứ 100 là: (100 – 1) x 2 +1= 199. Tổng của 100 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: (1+199) x 100 : 2 = 10 000. Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân 13 To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Đáp số: 10 000 Ví dụ 3: Hãy tính tổng của các dãy số sau: a) 3,6,9,. . . , 51,54. b) 25,30,35,. . . 95,100. Bài 69 trang 10. Toán nâng cao 4 tập I Giải Dãy số : 3, 6, 9, . . ., 51, 54 có số các số hạng là : ( 54 – 3 ) : 3 + 1 = 18 (số) Tổng các số hạng của dãy số trên là: (3 + 54) x 18 : 2 = 513. a) Dãy số 25, 30, 35, . . . , 95, 100. có số các số hạng là: ( 100 – 25): 5 + 1 = 16 (số hạng) Tổng của 16 số hạng trong dãy số trên là: (25 + 100) x 16 : 2 = 1 000. Đáp số: a) 513 ; b) 1000. Ví dụ 4. Cho 100 số hạng của dãy số cách đều 1,4,7,10,……Tính tổng của 100 số đó. Bài 17 trang14. Các bài toán về dãy số cách đều ở lớp 4-5. Giải Khoảng cách giữa hai số liền nhau là 3. Dãy số đã cho có 100 số hạng nên có 99 khoảng cách, moõi khoảng cách là 3. Do đó hiệu giữa số lớn nhất và số bé nhất của dãy này là: 99 x 3 = 297 Vậy số lớn nhất (số thứ 100) là: 1 + 297 = 298 Tổng các số đó là: (1 + 298) x 100 : 2 = 14950 Đáp số: 14950 III. Bài tập về nhà Bài 1. Tính tổng các số gồm 3 chữ số đều có tận cùng là 5 Bài 19 trang14. Các bài toán về dãy số cách đều ở lớp 4-5. Giải Dãy các số gồm 3 chữ số đều có tận cùng là 5 là: 105, 115, 125, ....., 995 Khoảng cách hai số liền nhau là: 115 – 105 = 125 – 115 = 995 – 985 = 10 Số các số hạng của dãy số đó là: (995 – 105) : 10 + 1 = 90 (số) Tổng các số đó là: (105 + 995) x 90 : 2 = 49500 Đáp số: 49500 Bài 2. Tính tổng của các số gồm 3 chữ số đều có tận cùng là 4, các số đó đều chia hết cho 4 Giải Bài 21 trang14. Các bài toán về dãy số cách đều ở lớp 4-5. Các số gồm 3 chữ số đều có tận cùng là 4 và đều chia hết cho 4 là: 104, 124, 144, 164, ...., 964, 984. Khoảng cách giữa hai số liền nhau là: 124 – 104 = 144 – 124 = .. = 984 – 964 = 20 Trường Tiểu học Nghĩa Dân 14 Nguyễn Thị Thu Hương To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Số các số hạng của dãy số là: (984 – 104) : 20 + 1 = 45 (số) Tổng các số đó là: (104 + 984) x 45 : 2 = 24480 Đáp số: 24480 Bài 3. Tính tổng của các số gồm 3 chữ số, các số đều chia 5 dư 3. Bài 22 trang14. Các bài toán về dãy số cách đều ở lớp 4-5. Giải Các số gồm 3 chữ số đều chia 5 dư 3 là: 103, 108, 113, 118, ..., 993, 998. Khoảng cách giữa hai số liền nhau là: 108 – 103 = 113 – 108 = ... = 998 – 993 = 5 Số các số hạng của dãy số đó là: (998 – 103) : 5 + 1 = 180 (số) Tổng các số đó là: (103 + 998) x 180 : 2 = 99090 Đáp số: 99090 Bài 4. Một chiếc đồng hồ chỉ đánh chuông theo mỗi giờ đúng: 1 giờ điểm 1 tiếng chuông, 2 giờ điểm 2 tiếng chuông, …. 24 giờ điểm 24 tiếng chuông. Hỏi sau một ngày một đêm chiếc đồng hồ đo đã điểm bao nhiêu tiếng chuông? Bài 23 trang15. Các bài toán về dãy số cách đều ở lớp 4-5. Giải Một ngày đêm có 24 giờ. Mỗi giờ đúng đồng hồ đánh số tiếng chuông dúng bằng số chỉ giờ đó. Vậy tổng số tiếng chuông trong một ngày được tính như sau: 1 + 2 + 3 + 4 + ..... 23 + 24 = (1 + 24) x 24 : 2 = 300 (tiếng chuông) Đáp số: 300 tiếng chuông Bài 5. Một phòng họp có số ghế được xếp theo các hàng như sau: hàng ghế đầu có 12 ghế, hàng ghế thứ hai có 13 ghế, hàng ghế thứ ba có 14 ghế, …. Cứ như thế cho đến hàng cuối cùng có 30 ghế. Hỏi phòng họp đó có đủ số ghế cho 390 người ngồi họp hay không? Bài 24 trang15. Các bài toán về dãy số cách đều ở lớp 4-5. Giải Số các hàng ghế là: (30 – 12) : 1 + 1 = 19 (hàng ghế) Tổng số ghế trong phòng họp là: (12 + 30) x 19 : 2 = 399 (ghế) Vì 399 > 390. Vậy phòng họp đó có đủ ghế cho 390 người họp. Dạng 5. DÃY CHỮ 1. Ví dụ : Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy : TOQUOCVIETNAMTOQUOCVIETNAM...... a) Chữ cái thứ 1996 trong dãy là chữ gì ? Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân 15 To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 b) Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O? bao nhiêu chữ I? c) Bạn An đếm được trong dãy có 1995 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao? d) Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng,…. Hỏi chữ cái thứ 1995 trong dãy được tô màu gì? Ví dụ 11 trang 32. 10 CĐBDHSG 4-5 Giải a) Nhóm chữ TOQUOCVIETNAM có 13 chữ cái Ta có: 1996 : 13 = 153 dư 7. Như vậy, kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 1996 trong dãy, người ấy đã viết 153 lần nhóm chữ TOQUOCVIETNAM và 7 chữ cái tiếp theo là TOQUOCV. Vậy chữ cái thứ 1996 trong dãy là chữ V. b) Mỗi nhóm chữ TOQUOCVIETNAM có 2 chữ T và cũng có 2 chữ O và một chữ I. Vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì tức là người ta đã viết 25 lần nhóm chữ đó cho nên dãy đó phải có 50 chữ O và 25 chữ I. c) Bạn đó đã đếm sai, vì số chữ O trong dãy phải là số chẵn. d) Ta nhận xét: + 1995 chia cho 4 dư 3. + Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là số chia cho 4 dư 3 thì được tô màu tím. Vậy chữ cái thứ 1995 trong dãy được tô màu tím. 2. Bài tập về nhà Bài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM thành dãy CHAMHOCCHAMLAMCHAMHOCCHAMLAM……Hỏi: a) Chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì? b) Nếu người ta đếm được trong dãy có 1200 chữ H thì đếm được bao nhiêu chữ A? c) Một người đếm trong dãy có 1996 chữ C. Hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao? Bài 14 trang 37. 10 CĐBD học sinh giỏi Toán 4,5 tập 1 Giải a) Nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM có 14 chữ cái. 16 Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Ta có: 1000 : 14 = 71 (nhóm) dư 6 chữ cái. Kể từ chữ cái thứ nhất đến chữ cái thứ 1000 người đó viết 71 lần nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM và 6 chữ cái tiếp theo của nhóm 72 là CHAMHOC . Vậy chữ cái thứ 1000 là chữ C. b) Trong dãy chữ CHAMHOCCHAMLAM có số các chữ A bằng số các chữ H, Nếu người ta đếm được trong dãy có 1200 chữ H thì đếm được 1200 chữ A. c) Trong 1 nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM có 3 chữ C, vậy số các chữ C là số chia hết cho 3 là 1996 không chia hết cho 3. Vậy người đó đếm sai. Bài 2: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HỌC SINH GIỎI TỈNH thành một dãy chữ liên tiếp: (HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOITINH……) hỏi chữ cái thứ 2002 của dãy là chữ cái nào? Giải: Ta thấy nhóm chữ HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ cái. Giả sử dãy chữ có 2002 chữ cái thì có: 2002 : 15 = 133 (nhóm) và còn dư 7 chữ cái. Vậy chữ cái thứ 2002 của dãy chữ HOCSINHGIOITINH là chữ H của tiếng SINH đứng ở vị trí thứ 7 của nhóm 134. Bài 3: Một người viết liên tiếp dãy chữ THỊ XÃ THÁI BÌNH, thành THIXATHAI BINHTHIXATHAIBINH…… a. Chữ cái thứ 2002 trong dãy này là chữ gì? b. Nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ N? c. Bạn Bình đếm được trong dãy có 2001 chữ A. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếm sai? Giải thích tại sao? d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM,… hỏi chữ cái thứ 2001 trang dãy được tô màu gì? Giải: a. Nhóm chữ THIXATHAIBINH có 13 chữ cái: Nguyễn Thị Thu Hương 2002 : 13 = 154 (nhóm) Trường Tiểu học Nghĩa Dân 17 To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Như vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, người ta đã viết 154 lần nhóm THIXATHAIBINH, vậy chữ cái thứ 2002 trong dãy là chữ H của tiếng BINH. b. Mỗi nhóm chữ THIXATHAIBINH có 2 chữ T và cũng có 2 chữ A và 1 chữ N. Vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ T thì tức là người đó đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó phải có 50 chữ A và 25 chữ N. c. Bạn đó đếm sai, vì dố chữ A trong dãy phải là số chẵn. d. Ta nhận xét: + 2001 chia cho 4 dư 1. + Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia hết cho 4 dư 1 thì được tô màu XANH. Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu XANH. Ví dụ 4: Một dãy số gồm các nhóm chữ như sau: HÃY CỐ GẮNG, HÃY CỐ GẮNG, HÃY CỐ GẮNG… a. Em hãy cho biết chữ cái thứ 273 trong dãy là chữ gì? b. Nếu trong dãy số có 426 chữ A thì dãy số có bao nhiêu chữ N? 18 Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 *) Giải: a. Ta thấy rằng nhóm chữ HÃY CỐ GẮNG có 9 chữ cái và 273 : 9 = 30 (nhóm) và dư 3 chữ cái. Như vậy, kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 273 trong dãy thì nhóm chữ HÃY CỐ GẮNG phải viết được 30 lần nhóm và 3 chữ cái tiếp theo là chữ HAY. Vậy chữ cái thứ 273 là chữ Y. b. Mỗi nhóm chữ trong dãy trên có hai chữ A và có 1 chữ T. Để dãy có 426 chữ A thì chữ HÃY CỐ GẮNG phải viết là 426 : 2 = 213 (nhóm) Nhưng có những khả năng sau đây: - Nhóm chữ cái thứ 213 chỉ viết là HÃY CỐ GA, khi đó nhóm chữ cuối này không có chữ N, nên chữ N trong dãy là: 213 – 1 = 212 (chữ). - Nhóm chữ 1213 chỉ viết là: HÃY CỐ GAN, khi đó chữ N trong dãy là 213. - Nhóm chữ 213 được viết trọn vẹn khi đó số chữ N trong dãy là 213. Bài 2. Bài 3 Điền các số thích hợp vào ô trống , sao cho tổng các số ở 3 ô liên tiếp đều bằng 1996. Ví dụ 4 trang 24. 10CĐBDHSGT4-5 tập I 496 Giải 996 Ta đánh số các ô theo thứ tự như sau: Ô1 Ô2 Ô3 Ô4 Ô5 496 Ô6 996 Ô7 Ô8 Ô9 Ô10 Theo điều kiện đầu bài ta có: 496 + Ô7 +ô8 = 1996 Ô7 + Ô8 + Ô9 = 1996 Vậy Ô9 = 496 Từ đó ta tính đượcó : Ô8=Ô5=Ô2=1996-(496+996)=504 Ô7=Ô4=Ô1=996 Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân 19 To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5 Ô3=Ô6=496 Vậy ta điền được các số vào dãy như sau: 996 504 496 996 504 496 996 504 496 996 Bài 4. Điền các số thích hợp vào các ô trống sao cho tích các số của 3 ô liên tiếp đều bằng 2000. 50 2 Bài 3 trang 34. 10 CĐBDHSGT 4-5 tập I Bài 5. Cho các số 1; 2; 3; 4; 5; 6. Hãy điền vào các ô trống trong tam giác sao cho tổng các cạnh bằng nhau và bằng: a. 9 b. 10 c. 11 d. 12. Bài 7. Bài 4: Điền số thích hợp vào ô trống sao cho tích các số ở 3 ô liên tiếp đều bằng 2000. Giải Ta đánh số các ô theo thứ tự như sau: 50 ô1 ô2 ô3 ô4 2 ô5 ô6 ô7 ô8 ô9 ô10 ô11 ô12 Theo đề bài ta có: 50 x ô6 x ô7 = 2000 ô6 x ô7 x ô8 =2000 20 Nguyễn Thị Thu Hương Trường Tiểu học Nghĩa Dân