tổ hợp xác suất

  • Số trang: 80 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 224 |
  • Lượt tải: 0
nguyenthithanh3912

Đã đăng 3 tài liệu

Mô tả:

tổng hợp các bài tổ hợp xác suất luyện thi đại học
Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Toán tổ hợp xác suất là một lớp các bài toán khó, thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, cấp quốc gia, quốc tế. Do đó, giải quyết thành thạo và có vốn kiến thức chắc chắn, sâu rộng về toán tổ hợp là niềm mong ước của học sinh. Mặc dù toán tổ hợp xác suất quan trọng như vậy nhưng các tài liệu về toán tổ hợp xác suất rất rời rạc và rất hạn chế. Tổ hợp xác suất là một trong những bài toán mang tính tư duy và trừu tượng cao. Lấy từ những bài toán cụ thể để khái quát cho những bài toán phức tạp hơn Trong chương trình toán học THPT chương “Tổ hợp và xác suất” là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11, chủ đề này có rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm mới và nhiều bài toán khó. Vì vậy trong quá trình dạy và học sẽ gặp những khó khăn nhất định. Thực tế giảng dạy cho thấy không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp của ngôn ngữ toán học. Học sinh vẫn hay nhầm lẫn giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa. Đặc biệt học sinh hay nhầm lẫn giữa chỉnh hợp với tổ hợp, giữa quy tắc cộng với quy tắc nhân. Điều này cũng dẫn đến nhiều sai lầm khi học sinh giải các bài tập xác suất. Bên cạnh đó, các bài tập phần nhị thức Newton cũng rất hay và thú vị, giúp học sinh mở mang tư duy, linh hoạt trong việc giải toán. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tổ hợp nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung tôi chọn đề tài “Sử dụng thao tác phân tích giúp học sinh giải các bài toán tổ hợp xác suất” để làm đề tài cho môn “Phương pháp nghiên cứu khoa học” 2. Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung tổ hợp và xác suất được trình bày trong một số sách giáo khoa (những năm trước đây và hiện tại) nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy đồng thời nghiên cứu chủ đề NHÓM 7 1 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất này để đề xuất những vấn đề cơ bản thuộc về phương pháp hướng dẫn học sinh giải toán tổ hợp xác suất. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản của đại số tổ hợp và xác suất. - Rèn luyện những kỹ năng và thao tác khi làm các bài toán tổ hợp và xác suất, cụ thể: +) Các bài toán cơ bản giúp học sinh củng cố lại kiến thức dẫn đến các em sẽ hiểu và biết cách trình bày bài. +) Các bài toán được phân dạng cụ thể, giúp học sinh dễ dàng nhận biết bài tập từng dạng và đưa ra cách giải hợp lý. +) Các bài toán được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau giúp học sinh trở nên linh hoạt trong việc chọn lựa phương pháp giải. +) Các bài toán được đưa ra cùng với những lời giải sai mà nhiều học sinh dễ mắc phải, giúp các em hiểu 1 cách thấu đáo hơn, cặn kẽ hơn giúp các em tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng hơn. Từ đó rút được kinh nghiệm quý báu để đạt thành tích cao trong học tập. 4. Phương pháp nghiên cứu: - Điều tra, quan sát. - Thực nghiệm sư phạm. - Tổng kết rút kinh nghiệm - Xây dựng một hệ thống bài tập hợp lý, phân loại các dạng bài tập từ đó lựa chon các ví dụ cụ thể hướng dẫn cụ thể tùng loại, phân tích tỉ mỉ những sai lầm để từ đó đưa ra lời giải đúng đắn cho bài toán. 5. Phạm vi nghiên cứu và áp dụng của đề tài: - Phạm vi nghiên cứu: phần tổ hợp của chương II: “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 phân ban - Áp dụng đề tài: lớp 11 và lớp 12 6. Nội dung đề tài: NHÓM 7 2 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất Chương 1: Cơ sở lý luận Trang A. Tổ hợp ............................................................................................................ 4 I. Hai quy tắc đếm cơ bản .................................................................................. 4 II. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ............................................................................. 4 III. Nhị thức Newton ............................................................................................ 5 B. Xác suất .......................................................................................................... 7 I. Biến cố và xác suất của biến cố ..................................................................... 7 II. Các quy tắc tính xác suất................................................................................ 8 Chương 2: Phân dạng bài tập tổ hợp xác suất I. Dạng 1: Bài toán đếm số phương án ............................................................ 11 II. Dạng 2: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp ..................................................... 27 III. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp ..................... 29 IV. Dạng 4: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp ................................ 34 V. Dạng 5: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a+b)n ........................... 38 VI. Dạng 6: Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp............................................................................................................ 45 VII. Dạng 7: Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển ........................................... 60 VIII. Dạng 8: Sử dụng các quy tắc tính xác suất .................................................. 61 IX. NHÓM 7 Những sai lầm thường mắc phải khi làm toán tổ hợp xác suất .................... 74 3 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN A. TỔ HỢP: I. Hai quy tắc đếm cơ bản: 1. Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A, m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc thực hiện bởi n+m cách. Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án: Giả sử một công việc có thể thực hiện một trong k phương án A1,A2,…..,Ak. Có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2,….,nk cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc co thể thực hiện n1+ n2+ n3+….. +nk cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách, với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách. Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn: A1, A2, A3,…, Ak. Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách … Công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách, khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 n2 n3… nk cách. II. Hoán vị, chỉnh hợp,tổ hợp: 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n (n >1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự,ta được một hoán vị các phần tử của tập A b.Định lí: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn= ! =  − 1 − 2 … . .1. 2. Chỉnh hợp: NHÓM 7 4 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất a. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1…….Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự,ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. b. Định lí: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ( 1 ≤ k ≤ n ) là : Ank = n( n − 1)( n − 2)( n − 3)......( n − k + 1) 3. Tổ hợp a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với …..Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A b. Định lí: Số các tổ hợp chập k của một tập hơp có n phần tử (1 ≤ ≤ ) là: Cnk = Ank n ( n − 1)( n − 2 ) …( n − k + 1) = k! k! c. Hai tính chất cơ bản của số   Cnk = Cnn − k với 0 ≤ k ≤ n  C(kn +1) = Cnk + Cn( k −1) với 0 ≤ k ≤ n III. Nhị thức Niu-tơn 1. Công thức của nhị thức Niu-tơn : n ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a ( n −1)b + ..... + Cnk a ( n − k )b k + .....Cnn b n = ∑ Cnk a ( n − k )b k k =0 (quy ước   =   = 1 2. Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn : (a+b)n -Số các số hạng của công thức là n+1 -Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n -Số hạng tổng quát của nhị thức là: Tk +1 = Cnk a n − k b k n (Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ( a + b ) ) NHÓM 7 5 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất -Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau. - 2n = Cnn + Cnn −1 + ... + Cn0 n - 0 = Cn0 − Cn1 + ... + ( −1) Cnn -Tam giác pascal: Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng: n K 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2 3 1 4 1 5 1 2 3 4 5 .... 1 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sở dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 (Với 1 < k < n) 3. Một số công thức khai triển hay sử dụng: • n 2n = (1 + 1) = ∑ Cnk =Cnn + Cnn −1 + ... + Cn0 n k =0 • n 0 = (1 − 1) = ∑ ( −1) Cnk =Cn0 − Cn1 + ... + ( −1) Cnn n k n k =0 • (1 + x ) n n = ∑ Cnk x n − k =Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ... + Cnn x 0 k =0 • (1 − x ) n n = ∑ ( −1) Cnk x k =Cn0 x 0 − Cn1 x1 + ... + ( −1) Cnn x n n n k =0 NHÓM 7 6 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất ( x − 1) • n n = ∑ ( −1) Cnk x n − k =Cn0 x n − Cn1 x n −1 + ... + ( −1) Cnn x 0 k n k =0 4. Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức Newton. a. Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có n ∑C i n với i là số tự nhiên liên i =1 tiếp. b. Trong biểu thức có n ∑ i ( i − 1) C i n thì ta dùng đạo hàm ( i ∈ ℕ ) i =1 • Trong biểu thức có n ∑ (i + k ) C i n thì ta nhân 2 vế với xk rồi lấy đạo hàm i =1 • Trong biểu thức có n ∑a C k i n thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp. i =1 • Trong biểu thức có n 1 ∑ i −1 C i n thì ta lấy tích phân xác định trên [ a; b ] thích hợp. i =1 • n Nếu bài toán cho khai triển ( x a + x b ) = ∑ Cni ( x a ) n n −i n (x ) = ∑C x ( b i i =1 i n a n −i ) + ib thì hệ số i =1 của xm là Cin sao cho phương trình a ( n − i ) + bi = m có nghiệm i ∈ ℕ Cni đạt MAX khi i = n −1 n +1 n hay i = với n lẻ, i = với n chẵn. 2 2 2 B. XÁC SUẤT : I. Biến cố và xác suất của biến cố : 1. Biến cố : a. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu : Phép thử ngẫu nhiên là một phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó mặc dù biết được tập hợp tất cả kết quả có thể có của phép thử đó. Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. b. Biến cố : Là tập con của không gian mẫu + Tập rỗng là biến cố không thể NHÓM 7 7 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất + Tập Ω còn được gọi là biến cố chắc chắn 2. Xác suất của biến cố : a. Định nghĩa cổ điển của xác suất : Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng.Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số,kí hiệu là P(A),được xác định bởi công thức: P ( A) = ΩA Ω b. Tính chất của xác suất: Định lí :Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số chẵn hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó ta có định lý sau đây : - P (∅ ) = 0 và P (Ω ) = 1 - 0 ≤ P (A) ≤ 1 với mọi biến cố A II. Các quy tắc tính xác suất : 1. Quy tắc cộng : - Biến cố hợp : Cho hai biến cố A và B. Biến cố A hoặc B xảy ra kí hiệu A ∪ B được gọi là hợp của hai biến cố A và B. - Biến cố xung khắc : Cho hai biến cố A và B. 2 biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Từ đó ta đưa ra được quy tắc công xác suất : + Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là : P( A ∪ B) = P( A) + P( B) + Cho k biến cố A1, A2 , A13 ……. Ak đôi một xung khắc,Khi đó : P(  ∪  ∪  ∪…...∪  )=P( + P( + P( +…… +P(  -.Biến cố đối : Cho A là một biến cố.khi đó biến cố không xảy ra A kí hiệu là A ,được gọi là biến cố đối của A. NHÓM 7 8 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất Định lí : Cho biến cố A.Xác suất của biến cố đối A là : P ( A) = 1 − P ( A) 2. Quy tắc nhân : - Biến cố giao : Cho hai biến cố A và B.Biến cố ‘‘cả A và B cùng xảy ra’’, kí hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B. - Biến cố độc lập : Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của biến cố kia. - Quy tắc nhân xác suất : + Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB)=P(A)P(B) + Nếu k biến cố A1, A2 , A13 ……. Ak độc lập với nhau thì P(   …...  )=P( P( P( …… P(  3. Biến ngẫu nhiên rời rạc : a. Định nghĩa : Đại lượng X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy ngẫu nhiên, không dự đoán trước được. b. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc : Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị  ,  , … . ,  . Để hiểu rõ hơn về X,ta thường quan tâm đến xác suất để X nhận các giá trị  tức là các số P(X= )=  với k=1,2,…,n. Các thông tin về X như vậy được trình bày dưới dạng bảng sau : X   ……  P   …….  Được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X. NHÓM 7 9 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất b. Kì vọng :Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là  ,  , … . ,  . Kì vọng của X kí hiệu là E(X) là một số được tính theo công thức : E(X)=  +  + ⋯ +  =∑!" ! ! c. Phương sai : Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là  ,  , … . ,  . Phương sai của X,kí hiệu là V(X),là một số được tính theo công thức :  V(X)= − #   +  − #   … . + − #   = $!"! − #  ! ở đó ! =P(X=! )(i=1,2,…,n) và #=E(X). d. Độ lệch chuẩn : Căn bậc hai của phương sai,kí hiệu %& , được gọi là độ lệch chuẩn của X nghĩa là : %&  = '(& NHÓM 7 10 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất CHƯƠNG 2: PHÂN DẠNG BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT I. DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN  Phương pháp giải a. Đối với loại toán đếm số phương án, ta cần chú ý - Đọc kỹ đầu bài, phân tích câu văn cặn kẽ, nắm chắc bản chất của hành động, đối tượng để thấy được các khả năng có thể. - Sử dụng phép mô hình hoá cùng các quy tắc đếm cơ bản. - Trong một số bài toán, có thể ta phải sử dụng đến phần bù. Nguyên lý bù trừ: Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Cộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lặp, vì những cách làm cả 2 việc sẽ được tính 2 lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong 2 việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả 2 việc. Đó là nguyên lý bù trừ. b. Sử dụng qui tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số phương án: Thực hiện các bước: • Bước 1: Phân tách công việc H thành k công việc nhỏ liên tiếp: H 1 , H 2 , ..., H k • Bước 2: Nếu ta có: - n1 cách khác nhau để thực hiện - Ứng với mỗi cách thực hiện xong H 1 ,ta có n2 cách thực hiện H 2 H1 . … - Ứng với mỗi cách thực hiện xong H1, H2,..., Hk−1 , ta có n k cách thực hiện H k • Bước 3: Khi đó ta có tât cả n1.n2 ....nk cách để thực hiện hành động H NHÓM 7 11 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất c. Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán đếm số phương án: Ta thực hiện theo các bước: • Bước 1: Phân tách các phương án thành k nhóm độc lập với nhau: H1, H2 ,..., Hk • Bước 2: Nếu ta có: - n1 cách khác nhau để thực hiện H1 . - n2 cách khác nhau thực hiện H 2 … - n k cách khác nhau thực hiện H k • Bước 3: Khi đó ta có tât cả n1 + n2 + ... + nk cách để thực hiện hành động H d. Sử dụng hoán vị thực hiện bài toán đếm: Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: • Tất cả n phần tử đều có mặt. • Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần. • Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử. • Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử, ta có Pn = n! e. Sử dụng chỉnh hợp để giải bài toán đếm: Để nhận dạng bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau: a) Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước b) Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn c) Gọi Ank là số phần tử chập k của n phần tử, ta có Ank = n(n −1)...(n − k + 1) . f. Sử dụng tổ hợp để giải bài toán đếm: Để nhận dạng 1 bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: • Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước NHÓM 7 12 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn • Ba bài toán chọn cơ bản thường gặp : + Bài toán đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế + Bài toán đếm số phương án có liên quan đến hình học. + Bài toán đếm số phương án có liên quan đến số tự nhiên. 1/. Bài toán đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Ví dụ 1: Để lập hồ sơ thi tuyển vào đại học, mỗi thí sinh cần thực hiện 2 việc: - Chọn trường thi có tất cả 33 trường - Chọn khối thi, mỗi trường có 4 khối thi là A, B, C, D. Hỏi có bao nhiêu cách lập hồ sơ ? Giải: Ta thấy có 33 cách lập trường thi và ứng với mỗi cách chọn trường đó, có 4 cách chọn khối đề thi. Do đó, có tất cả: 33. 4 =132 cách lập hồ sơ. Một số bài toán điển hình: Bài 1/ Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z. Muốn đi từ X đến Z phải qua Y. a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z ? b) Có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng những con đường khác nhau? Giải a/. Ta có: 5 cách chọn đường đi từ X đến Y, ứng với mỗi cách chọn đường đó có 4 cách chọn đường đi từ Y đến Z. Do đó, có tất cả: 5. 4 = 20 cách chọn đường đi từ X đến Z qua Y NHÓM 7 13 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất b/. Theo a) có 20 cách chọn đường đi từ X đến Z qua Y Khi trở về ứng với mỗi cách chọn đường đó, từ Z đến Y có3 con đường để chọn, do đó có 3 cách. Ứng với mỗi cách chọn đường đó, từ Y về X chỉ còn lại 4 cách chọn. Do đó, có tất cả 3. 4 = 12 cách chọn đường đi về từ Z đến X qua Y. Vậy có tất cả: 20. 12 = 240 cách chọn đường đi về trên tuyến X ↔ Z qua thành phố Y bằng những con đường khác nhau Bài 2/ ở Việt Nam, mọi học sinh đã tốt nghiệp THPT đều có quyền dự thi vào một trường đại học( có 35 trường ) hoặc một trường cao đẳng ( có 25 trường) hoặc một trường trung học chuyên nghiệp ( có 21 trường ). Hỏi mỗi học sinh tốt nghiệp THPT có bao nhiêu cách chọn trường thi ? Giải: Ta thấy: - Có 35 cách chọn trường đại học - Có 25 cách chọn trường cao đẳng - Có 21 cách chọn trường trung học chuyên nghiệp Khi đã chọn thi trường đại học thì không chọn trường thi là cao đẳng và chuyên nghiệp, tương tự với cao đẳng và trung học chuyên nghiệp, do đó có tất cả: 35 + 25 + 21 = 81 cách chọn trường thi. Nhận xét: Nhiều bài toán đếm phức tạp không thể giải được nếu chỉ sử dụng hoặc quy tắc nhân hoặc quy tắc cộng. Nhưng chúng ta có thể giải được nếu sử dụng cả 2 quy tắc này. Bài 3/ (ĐH, CĐ 2005): Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ ? Giải: Nhận xét: Việc phân công vào 1 tỉnh không có sự sắp xếp NHÓM 7 14 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất 1 4 Có C3 .C12 cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất thì có C21 .C84 cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 2. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 1 và tỉnh thứ 2 thì có C11 .C44 cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 3. Số cách phân công các thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thoả mãn yêu cầu bài toán là: C31 .C124 .C21 .C84 .C11 .C44 = 207900 Bài 4/ (Đề thi CĐ 2005 – Khối D) Một bó hồng gồm 10 bông hồng bạch và 10 bông hồng nhung. Bạn Hoa muốn chọn ra 5 bông để cắm bình, trong đó phải có ít nhất 2 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Giải: Bạn Hoa có 2 cách chọn bông cắm bình như sau: Cách 1: Chọn 2 bông hồng bạch và 3 bông hồng nhung + Số cách chọn 2 bông hồng bạch trong 10 bông: C102 + Với mỗi cách chọn 2 bông hồng bạch lại có C103 cách chọn 3 bông hồng nhung trong 10 bông. Vậy cách 1 có C102 .C103 cách chọn bông. Cách 2: Chọn 3 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Lập luận tương tự như trên, ta cũng có C102 .C103 cách chọn bông. Vậy bạn Hoa có số cách chọn bông là: 2C103 C102 = 10800 cách chọn Bài 5/ (ĐH 2004 – KB) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ? Giải Nhận xét: Nội dung đề không phụ thuộc vào việc sắp xếp thứ tự câu hỏi. NHÓM 7 15 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp sau: - Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: C152 .C102 .C51 = 23625 - Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó, thì số cách chọn là: Cn1 - Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: C153 .C101 .C51 = 22750 Vì các cách chọn trên đôi một khác nhau, nên số đề kiểm tra có thể lập được là: 23625 + 10500 + 22750 = 56875 Bài tập tự luyện: 1. Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau ? a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ? b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng giới đứng cạnh nhau ? 2. Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một cái ghế dài sao cho: a. Bạn C ngồi chính giữa ? b. Hai bạn A, E ngồi ở 2 đầu ghế ? 3. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 mầu ? 4. Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. a. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau? b. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau? 5. Một nhóm học sinh gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn trong mỗi trường hợp sau: a. Có 3 học sinh trong nhóm ? b. Có 3 học sinh trong nhóm trong đó có 2 nam và 1 nữ ? 6. Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu: a. Các học sinh ngồi tuỳ ý ? NHÓM 7 16 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất b. Các học sinh nam ngồi 1 bàn và các học sinh nữ ngồi 1 bàn ? 7. Một đoàn tàu có 3 toa chở khách: toa I, toa II, toa III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi: a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên 3 toa tàu đó ? b.Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên tầu để có 1 toa có 3 trong 4 hành khách trên ? 8. Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn 1 nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? 9. Một tổ sinh viên có 20 em trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? 10. Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác ? 2/. Bài toán đếm số phương án có liên quan đến hình học. Ví dụ: Cho 7 điểm trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng a. Có bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên? b. Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên ? Giải: a. Mỗi cặp điểm không kể thứ tự, trong 7 điểm đã cho xác định một đường thẳng và ngược lại. Vậy, số đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên bằng: NHÓM 7 17 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất C72 = 7! 6.7 = = 21 đường thẳng. 2!( 7 − 2 )! 1.2 b. Mỗi bộ 3 điểm không kể thứ tự, trong 7 điểm đã cho xác định một tam giác và ngược lại. Vậy số tam giác có đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên bằng: C73 = 35 Các bài toán điển hình Bài 1/Tìm số giao điểm tối đa của : a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 6 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng và 6 đường tròn trên? Giải: a. Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm. Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là số tổ hợp chập 2 của 10, do đó bằng: C102 = 10 ! = 45 điểm 2! (10 − 2 ) ! b. Hai đường tròn phân biệt có tối đa 2 giao điểm. Số giao điểm tối đa của 6 đường tròn phân biệt gấp 2 lần số tổ hợp chập 2 của 6, do đó bằng: 2.C62 = 2.15 = 30 điểm. c. Một đường thẳng cắt một đường tròn tối đa tại 2 điểm. Do đó số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt với 6 đường tròn phân biệt bằng: 10.6.2=120 điểm Khi đó, số các giao điểm bằng: 45 + 30 +120 = 195 điểm Bài 2/ a. Có bao nhiêu đường chéo trong một đa giác lồi n cạnh? b. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác n cạnh? Trong đó có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của đa giác n cạnh ? Giải a. Ta có: * Mỗi đa giác lồi n cạnh thì có n đỉnh. * Mỗi đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kỳ, không kể thứ tự, thì hoặc là 1 cạnh, hoặc là một đường chéo của đa giác đó. Vậy số đường chéo của đa giác n cạnh bằng: Cn2 − n NHÓM 7 18 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất b. Số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác n cạnh là số tổ hợp n chập 3: Cn3 = n! (n − 1)(n − 2)n = 3!( n − 3)! 6 Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác gồm 2 loại: * Số tam giác chỉ có 1 cạnh là cạnh của đa giác bằng Cn1−4 * Số tam giác 2 cạnh là cạnh của đa giác bằng Cn1 Suy ra, số tam giác có 1 hoặc 2 cạnh của đa giác là: Cn1 + Cn1.Cn1−4 =n+n.(n−4) =n.(n−3) =nC . n1−3 = Cn1.Cn1−3 Vậy, số tam giác có cạnh không phải là đa giác là: Cn3 − Cn1 .Cn1− 3 = ( n − 2)( n − 1)n ( n − 2)( n − 1)n − 6 n( n − 3) n( n 2 − 9 n + 20) − n( n − 3) = = 6 6 6 Bài 3/ (ĐH, CĐ Khối B – 2003) Cho đa giác đều A1 A2 ...A2 n (n ≥ 2, n ∈ Z ) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n , tìm n. Giải: 3 Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉểm A1 , A2 ,..., A2 n là C2n Gọi đường chéo của đa giác đều A1 A2 ...A2 n (n ≥ 2, n ∈ Z ) đi qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n có các đường chéo là 2 đường chéo lớn. Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của 1 hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đường chéo lớn của đa giác A1 A2 ... A2 n , tức Cn2 . Theo giả thiết thì: NHÓM 7 19 Tổng hợp bài tập tổ hợp xác suất C23n = 20Cn2 ⇔ (2n)! n! 2n(2n −1)(2n − 2) n(n −1) = 20 ⇔ = 20 3!( 2n − 3) ! 2!( n − 2) ! 6 2 ⇔ 2n −1 = 15 ⇔ n = 8 . Bài tập tự luyện 1. Cho tam giác ABC, xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với AC. Hỏi các đường thẳng này tạo được: a. Bao nhiêu tam giác ? b. Bao nhiêu hình thang ( Không kể hình bình hành ) ? c. Bao nhiêu hình bình hành ? 2. Cho đa giác lồi n cạnh. Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh ? 3. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó lấy từ các đỉnh của (H). a/ Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của (H) ? b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H) ? c/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H) ? 4. Cho 2 đường thẳng song song.Trên đường thứ nhất có 10 điểm. Trên đường thứ hai có 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho ? 5. Cho đa giác đều A1 A2 ... A2 n ( n ≥ 2 , n nguyên ) nội tiếp đường tròn ( 0). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n , tìm n. 6. ( ĐHNT- 01 – 02 ):Trong mặt phẳng cho thập giác lồi A1A2...A10 . Xét tất cả các tam giác mà 3 đỉnh của nó là đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác ? NHÓM 7 20
- Xem thêm -