Tài liệu Tl bộ lọc fir tần số

VIỆN ĐẠI HỌC MỞ HÀ NỘI KHOA SAU ĐẠI HỌC NGÀNH ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG --- oOo --- TIỂU LUẬN MÔN HỌC XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ ĐỀ TÀI: THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU TẦN SỐ GVHD : PGS.TS PHẠM VĂN BÌNH HVTH: LÊ THỊ HOÀNG LINH PHẠM QUANG HƯNG HÀ NỘI, THÁNG 6/2017 DSP – Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số LỜI MỞ ĐẦU Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) là một lĩnh vực mới, đã phát triển mạnh mẽ về mặt lý thuyết và công nghệ. Ngày nay, nó đã trở thành môn học không thể thiếu cho nhiều ngành học về khoa học và kỹ thuật. Các thuật toán của nó đã mang lại những thuận tiện cho công nghệ và ứng dụng mới, nhất là các lĩnh vực về kỹ thuật điện tử và điều khiển tự động. Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter). Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR (Infinte Impulse Response) còn gọi là lọc đệ quy. Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc, FIR hay IIR, thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải. Các bộ lọc này có thể được thiết kế bằng những phương pháp sau đây: Phương pháp cửa sổ (Window Design Techniques), Phương pháp lấy mẫu tần số (Frequency Sampling Design Techniques) và Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng (Optimal Equiripple Design Techniques). Mỗi phương pháp đều có những đặc điểm và ưu khuyết điểm riêng. Với tiểu luận này, tôi xin phép được trình bày bài toán “ Thiết kế bộ lộc thông dải cấu trúc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số “ Nội dung tiểu luận được chia thành 3 phần: Phần 1. Cơ sở lý thuyết Phần 2. Thiết kế bộ Vi phân theo cấu trúc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số Phần 3. Thuật toán và chương trình thiết kế Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy giáo PGS.TS Phạm Văn Bình đã tận giảng dạy và hướng dẫn để tôi có thể hoành thành tốt tiểu luận này. Phần lớn nội dung trình bày ở báo cáo này được lấy từ bài giảng, tài liệu tham khảo do thầy cung cấp. Trong quá trình thực hiện tiểu luận, tuy đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của Thầy, các bạn học viên cùng lớp để nội dung của tiểu luận được hoàn chỉnh hơn. Hà Nội, ngày 27 tháng 6 năm 2017 PHẦN 1. 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Mở đầu Việc thiết kế một bộ lọc số tiến hành theo 3 bước: - Đưa ra các chỉ tiêu (Specifications): Để thiết kế một bộ lọc, đầu tiên chúng ta cần xác định các chỉ tiêu. Các chỉ tiêu được xác định bởi các ứng dụng. - Tìm các xấp xỉ (Appproximations): Một khi chỉ tiêu đã được xác định, ta sử dụng các khái niệm và công cụ toán học khác nhau để tiến tới biểu diễn và tính gần đúng cho bộ lọc với tập các chỉ tiêu đã cho. Bước này là chủ đề chính của việc thiết kế lọc số. - Thực hiện bộ lọc (Implementation): Kết quả của các bước trên được mô tả dưới dạng một phương trình sai phân, hoặc một hàm hệ thống H(z), hoặc một đáp ứng xung h(n). Từ các mô tả này chúng ta có thể thi hành bộ lọc bằng phần cứng hoặc phần mềm mô phỏng trên máy tính. Ở trong nhiều ứng dụng như xử lý tiếng nói hoặc xử lý âm thanh, bộ lọc số được dùng để thực hiện các thao tác chọn tần. Do đó, các chỉ tiêu được đòi hỏi trong vùng tần số ở mỗi chu kỳ về số lượng và đáp ứng pha của bộ lọc mong muốn. Nói chung đáp ứng pha cần tuyến tính trong dải thông. - Trong trường hợp các bộ lọc FIR , Có thể đạt được chính xác yêu cầu về pha tuyến tính. - Trong trường hợp các bộ lọc IIR, một dải thông có pha tuyến tính là rất khó đạt. Do đó, chúng ta chỉ xét các chỉ tiêu về biên độ. Có 2 nhóm chỉ tiêu:  Các chỉ tiêu tuyệt đối (Absolute jw Specifications) : Đưa ra một tập các yêu cầu trên hàm đáp ứng biên độ |H(e )|. Những chỉ tiêu này được sử dụng chung cho các bộ lọc FIR.  Các chỉ tiêu tương đối (Relative Specifications - DB) : Đưa ra các yêu cầu tính theo decibels (dB), được cho bởi : dBscale  20 log10 H (e j ) H (e j ) 0 (1.1) max Phương pháp này được là một phương pháp phổ biến nhất trong thực tế và được sử dụng cho cả bộ lọc FIR và IIR. Trong những phần tiếp sau đây, để mô tả các chỉ tiêu của bộ lọc chúng ta sẽ xem xét việc thiết kế một bộ lọc thông thấp như một ví dụ cơ sở để thiết cho bộ lọc FIR. 1.2. Các chỉ tiêu Trên hình (1.1) là mô tả các chỉ tiêu của bộ lọc FIR thông thấp (Low Pass Filter): 1.2.1. Các chỉ tiêu tuyệt đối  Band [0, wp] được gọi là dải thông, và 1 là dung sai (gợn sóng) được chấp nhận trong đáp ứng dải thông lý tưởng.  Band [ws, ] được gọi là dải chắn, và 2 là dung sai ở dải chắn. stopband Band [wp, ws] được gọi là dải chuyển tiếp, và không có ràng buộc nào về đáp ứng biên độ trong dải này. jw |H(e )| 1+1 Độ gợn dải thông 1 1-1 Dải chuyển tiếp Độ gợn dải chắn 2 ws wp 0 0  ω ω Rp As Decibels Hình (1.1) Các chỉ tiêu của bộ lọc FIR 1.2.2. Các chỉ tiêu tương đối (DB) 1 1 Rp  20 log10 1   0  1 (0) for passband Rp: Độ gợn sóng trong dải thông tính theo dB. As : Suy hao trong dải chắn tính theo dB. Quan hệ giữa các chỉ tiêu này như sau: (1.3) (1.2) Tại sao tập trung vào bộ lọc thông thấp? Các chỉ tiêu trên được đưa ra đối với bộ lọc FIR thông thấp, và tất nhiên đối với các bộ lọc khác như thông cao HPF (High Pass Filter), thông dải BPF (Band Pass Filter) đều có thể được định nghĩa tương tự. Tuy nhiên, các tham số thiết kế quan trọng nhất là các dung sai dải tần và các tần số cạnh-dải. Bởi vậy, trong phần 1 về cơ sở lý thuyết này chúng ta chỉ tập trung vào bộ lọc FIR thông thấp. Việc thiết kế cụ thể cho bộ lọc FIR thông dải bằng kỹ thuật cửa sổ sẽ được phát triển trên cơ sở lọc thông thấp và sẽ được mô tả chi tiết trong phần 2. Các thuận lợi trong thiết kế và thi hành lọc số FIR Việc thiết kế và thực hiện lọc FIR có những thuận lợi sau đây:  Đáp ứng pha là tuyến tính.      Dễ thiết kế do không gặp các vấn đề ổn định (lọc FIR luôn ổn định). Việc thực hiện rất hiệu quả . Có thể sử dụng DFT để thực hiện Mặc dầu vậy dải đã cho là dải thông hay dải chắn chỉ là tương đối có thể đảo lại ( minor issue). Các thuận lợi của đáp ứng pha tuyến tính Đáp ứng pha là tuyến tính (linear phase response) mang lại những thuận lợi sau:  Bài toán thiết kế chỉ gồm các phép tính số học thực chứ không cần phép tính số học phức  Bộ lọc pha tuyến tính không có méo trễ nhóm và chỉ bị trễ một khoảng không đổi.  Đối với bộ lọc có chiều dài M (hoặc bậc M-1) số phép toán có bậc M/2 như đã khảo sát trong thi hành pha tuyến tính. 1.3. Cấu trúc của bộ lọc FIR Cho h(n), n=0,1,…,M-1 là đáp ứng xung có chiều dài M. Thì hàm truyền hệ thống là một bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn với hàm hệ thống có dạng: M1 H(z)  b0  b1z 1 *  bM1z 1M bn z n   n0 0nM1 Như vậy đáp ứng xung h(n) là: b h(n)   (1.4) n 0 Và phương trình sai phân là: els e y(n)  b0 x(n)  b1 x(n 1) * (1.5)  bM 1 x(n  M 1) (1.6) Đây chính là tích chập tuyến tính của các dãy hữu hạn. Bậc của bộ lọc là M-1, trong khi chiều dài của bộ lọc là M (bằng với số lượng các hệ số). Các cấu trúc bộ lọc FIR luôn luôn ổn định, và tương đối đơn giản hơn so với các cấu trúc bộ lọc IIR. Hơn thế nữa, các bộ lọc FIR có thể được thiết kế để có một đáp ứng pha tuyến tính và đó là điều cần thiết trong một số ứng dụng. Chúng ta sẽ xem xét lần lượt các cấu trúc của bộ lọc FIR sau đây: 1.3.1. Cấu trúc dạng trực tiếp Phương trình sai phân được thực hiện bởi một dãy liên tiếp các bộ trễ do không có đường phản hồi: y(n)  b0 x(n)  b1x(n 1) *  bM1x(n  M 1) (1.7) Do mẫu thức bằng đơn vị nên ta chỉ có một cấu trúc dạng trực tiếp duy nhất. Cấu trúc dạng trực tiếp được cho trong hình (1.2) với M = 5: 1.3.2. Cấu trúc dạng ghép tầng Hàm hệ thống H(z) được biến đổi thành các tích của các khâu bậc 2 với các hệ số thực. Các khâu này được thực hiện ở dạng trực tiếp và bộ lọc tổng thể có dạng ghép tầng của các khâu bậc 2. H(z)  b0  b1 1  b1z 1 *  bM1z 1M b 0 1  z *   Bk,1z  b0 K (1 1   B k,2 z 2 )  b0 k1  trong đó K   bM1 z 1M  b0 (1.8)  M  , Bk,1 và Bk,2 là các số thực đại diện cho các hệ số của các khâu bậc  2    2. Cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình (1.3) với M = 7: 1.3.3. Cấu trúc dạng pha tuyến tính Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyến tính t heo tần số, j  H(e )    (1.9)    0   Trong đó : hoặc 2 là một hằng số. và Đối với bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung trong khoảng [0, M-1], thì các điều kiện tuyến tính là: h(n)  h(M 1  n);   0, 0  n  M 1 (1.10) h(n)  h(M 1  n);   / 2, 0  n  M 1 (1.11) Xét phương trình sai phân được cho trong phương trình (1.6) với đáp ứng xung đối xứng trong phương trình (1.10), ta có: y(n)  b0 x(n)  b1x(n 1) *  b1x(n  M  2)  b0 x(n  M 1)  b0 [x(n)  x(n  M 1)]  b1[x(n 1)  x(n  M  2)] * Sơ đồ khối thực hiện phương trình sai phân trên được mô tả trong hình (1.4) dưới đây đối với cả M lẻ và M chẵn: Đối với M lẻ: M = 7, còn đối với M chẵn: M = 6 ( hình 1.4 ) Rõ ràng, với cùng một bậc của bộ lọc (cùng M) cấu trúc pha tuyến tính sẽ tiết kiệm được 50% các bộ nhân so với cấu trúc dạng trực tiếp. z-1 x(n) z-1 z z-1 M=7 -1 z-1 b 1b 0 b3 b2 z-1 x(n) z-1 y(n) z-1 z-1 z-1 b1 b0 M=6 z-1 b2 y(n) Hình (1.4 ) Cấu trúc lọc FIR pha tuyến tính với các hệ số M chẵn và lẻ 1.4. Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về hình dạng của đáp ứng xung, đáp ứng tần số trong hàm hệ thống của các bộ lọc FIR pha tuyến tính. Cho h(n), trong đó 0  n  M – 1, là đáp ứng xung có chiều dài M thì hàm truyền hệ thống là: M1 H(z)   h(n)z n z  ( M 1) M1  h(n)z M 1 n (1.12) có (M-1) điểm cực ở gốc (trivial poles) và M-1 điểm không nằm ở vị trí bất kỳ trên mặt phẳng z. Đáp ứng tần số là: n0 j M1 H(e )   h(n)e n0  jn , n0 1.4.1. Đáp ứng xung h(n) Chúng ta có thể đưa ra ràng buộc pha tuyến tính: j H(e )  ,       (1.13) (1.14) trong đó:  là một hằng số trễ pha. Ta đã biết rằng h(n) phải đối xứng, nghĩa là: M 1 h(n)  h(M 1  n), 0  n  M 1,   2 (1.15) Do đó h(n) là đối xứng theo , là chỉ số đối xứng. Có hai kiểu đối xứng:  M lẻ: Trong trường hợp này,   M 1 2 là một số nguyên. Đáp ứng xung được mô tả trong (hình 1.5) dưới đây:  M chẵn: Trong trường hợp này,   M 1 không phải là một số nguyên. Đáp 2 He ứng xung được mô tả bằng (hình 1.6) dưới đây: Ta cũng có bộ lọc FIR pha tuyến tính loại hai nếu ta yêu cầu đáp ứng pha thoả mãn điều kiện: j H(e )     với   (1.16) Đáp ứng pha là đường thẳng nhưng không đi qua gốc. Trong trường hợp này  không phải là hằng số trễ pha, nhưng: j dH(e ) (1.17)   d là hằng số, chính là trễ nhóm ( là một hằng số trễ nhóm). Trong trường hợp này, các tần số được làm trễ với một tốc độ không đổi. Đối với kiểu pha tuyến tính này, có thể thấy rằng: h(n)  h(M 1  n), 0  n  M 1 M 1 ,      2 và 2 j  (1.18) Điều này có nghĩa rằng đáp ứng xung h(n) là phản đối xứng (antisymmetric). Chỉ số đối xứng vẫn là   M 1 2 . Một lần nữa chúng ta lại có 2 kiểu, cho M lẻ và M chẵn. M 1  M lẻ: Trong trường hợp này,   2 là một số nguyên. Đáp ứng xung được mô tả bằng (hình 1.7) dưới đây:  Lưu ý rằng mẫu h() tại  M 1 2 h  phải bằng 0, nghĩa là,  M 1 0  2  . M 1   2 không phải là một số nguyên. Đáp M chẵn: Trong trường hợp này, ứng xung được mô tả trong hình 1.8. 1.4.2. Đáp ứng tần số H(ej) Như vậy, khi tổ hợp hai loại đối xứng và phản đối xứng với M chẵn và M lẻ, ta có bốn kiểu lọc FIR pha tuyến tính. Đáp ứng tần số của mỗi kiểu có biểu thức và hình dạng riêng. Để nghiên cứu các đáp ứng pha của các kiểu này, ta viết biểu thức của H(ej) như sau:  M 1 j j j() H(e )  H r(e )e ; , 2 2 (1.19) j trong đó Hr(e ) là hàm đáp ứng độ lớn chứ không phải là hàm đáp ứng biên độ. Đáp ứng độ lớn là một hàm thực, có thể vừa dương vừa âm, không giống đáp ứng biên độ luôn luôn dương. Đáp ứng pha kết hợp với đáp ứng biên độ là một hàm không liên tục, trong khi kết hợp với đáp ứng độ lớn là một hàm tuyến tính liên tục.  Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-1 (Type 1): Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ: 0 Trong trường hợp này M  1 là một biến nguyên, và hn hM 1 n   2 , , 0  n  M 1, thì ta có thể chứng tỏ rằng:   jM1/ 2 M1/ 2 H(e )  ancos n e    n0  M 1  j trong đó: a0 h   2  M1 an 2 h n    2 (1.20) với mẫu ở chính giữa (1.21)   1n M3  2 với  Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-2 (Type 2): Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn   0 hn hM 1  0nM M 1 1  n 2 Trong trường hợp này , , nhưng , không phải là một biến nguyên, thì ta có thể chứng tỏ rằng: M / 2    1   jM1/ 2 j H(e )   bncos n  e trong đó:  n1   M  bn 2h n  2  Sosánh (1.21) và (1.18), ta có: 2   (1.22) M n  1,2,..., với (1.23) 2 1   H ()  M / 2 n cos n    b    r n1 2   (1.24)  1    n    0 H ()  bncos  M/2  r    n1 2 Lưu ý: Tại   , ta có mà không cần quan tâm  đến b(n) hoặc h(n). Do đó chúng ta không thể sử dụng loại này (h(n) đối xứng, M chẵn) đối với bộ lọc thông cao hoặc bộ lọc chắn dải.  Lọc FIR pha tuyến tính Loại-3 (Type 3): Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ:   M 1 2,  2 Trong trường hợp này ta có là một biến nguyên, hn hM 1  0nM  M 1 n 1 h 0  2  , , và thì ta có thể chứng tỏ:  j   M1   M1/ 2   2  j 2   H(e )  cnsin n e trong đó :   n0 (1.25)  M 1 cn 2h n    n  1,2,..., 2  So sánh (1.24) và (1.18), ta có:  M 2 với (1.26) M1/ 2 H r  cnsin n  (1.27) n0   , ta có Hr   0 mà không cần quan tâm c(n) hoặc h(n).  j jHr  j e Hơn thế nữa, 2 , điều đó có nghĩa là thuần ảo. Do đó, loại bộ lọc này là không thích hợp đối với việc thiết kế bộ lọc thông thấp hoặc thông cao. Tuy nhiên, điều này thích hợp đối với việc xấp xỉ các bộ vi phân và bộ biến đổi Hilbert số lý tưởng.  Lọc FIR pha tuyến tính Loại-4 (Type 4):Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn  0  n  M , nhưng hn hM 1  n   1 2 Trong trường hợp này , , Lưu ý: Tại   0 và  M 1 2 không phải là một biến nguyên, thì ta có thể chứng tỏ rằng:   M1      1  2 M / 2 j  2   j   H(e )    dnsin    e n    n1 trong đó: 2   M  n dn 2h   2 So sánh (1.27) và (1.18), ta có: (1.28) n  1,2,..., M  với 2 (1.29) 1   H ()  M / 2 n sin  n    d    r  Lưu ý: Tại n1 Hr (0)  0 , j và e    2 (1.30)  j . Do vậy, loại này cũng thích hợp cho việc 2 thiết kế các bộ vi phân số và bộ biến đổi Hilbert số. Bảng sau đây mô tả khả năng thích hợp trong việc thiết kế các bộ lọc và các bộ biến đổi Hilbert số, bộ vi phân số của 4 loại lọc FIR pha tuyến tính đã nêu Bảng 1.1 Type FIR Type 1 FIR Type 2 FIR Type 3 FIR Type 4 LPF HPF BPF SBF Hilbert Differentiator THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU TẦN SỐ (FREQUENCY SAMPLING DESIGN TECHNIQUES) Cách tiếp cập này đưa trên sự kiện là hàm truyền hệ thống H(z) có thể thu được từ các mẫu H(k) của đáp ứng tần số H(ejw). Kỹ thuật thiết kế này rất phù hợp với cấu trúc lấy mẫu tần số đã khảo sát trong chương 5. Đáp ứng Pha đối với Type 1 & 2 Đáp ứng Pha đối với Type 3 & 4 Đáp ứng thực tế là nội suy của các mẫu được cho bởi