Tính tổng trạng thái của một số hệ vật lý

  • Số trang: 43 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 52 |
  • Lượt tải: 0
hoang

Đã đăng 4069 tài liệu

Mô tả:

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ LẠI THỊ DƢƠNG TÍNH TỔNG TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ HỆ VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS. TS Lƣu Thị Kim Thanh HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô giáo, PGS. TS Lƣu Thị Kim Thanh, người đã hướng dẫn và tận tình chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt bốn năm học vừa qua. Cuối cùng em xin cảm ơn đến tất cả bạn bè, những người đã giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thiện khóa luận này. Hà Nội, 05 năm 2015 Sinh viên Lại Thị Dƣơng LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em nhận được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Vật lý. Đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của cô giáo, PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có nghiên cứu một số tài liệu ghi trong mục tài liệu tham khảo. Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong đề tài “Tính tổng trạng thái của một số hệ vật lý” của mình không có sự sao chép, trùng lặp với bất cứ đề tài nào khác. Sinh viên Lại Thị Dƣơng MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 1 3. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................. 1 4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 1 5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA THỐNG KÊ .................. 3 1.1. Xác suất nhiệt động .................................................................................... 3 1.2. Phương pháp Gibbs .................................................................................... 4 1.3. Không gian pha .......................................................................................... 6 1.4. Xác suất trạng thái ...................................................................................... 7 1.5. Định lí về sự bảo toàn thể tích pha............................................................. 9 Kết luận chương 1 ........................................................................................... 13 CHƢƠNG 2: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI TRONG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN ............................................................................................................... 14 2.1. Tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt .................................................... 14 2.2. Tích phân trạng thái của hệ có số hạt thay đổi ......................................... 17 2.3. Biểu thức của các hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái ................... 18 2.4. Áp dụng tích phân trạng thái để khảo sát khí lí tưởng ............................. 20 2.5. Áp dụng tích phân trạng thái để khảo sát khí thực .................................. 24 Kết luận chương 2 ........................................................................................... 28 CHƢƠNG 3: TỔNG TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ HỆ VẬT LÍ LƢỢNG TỬ ................................................................................................... 29 3.1.Tổng trạng thái của hệ các hạt lượng tử .................................................... 29 3.2. Tổng trạng thái của các hệ dao động tử và rôtato lượng tử ..................... 33 3.2.1.Tổng trạng thái của hệ dao động tử........................................................ 33 3.2.2. Tổng trạng thái của rôtato lượng tử ...................................................... 35 Kết luận chương 3 ........................................................................................... 36 KẾT LUẬN .................................................................................................... 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 38 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý lí thuyết là một ngành của vật lý học ra đời khi phương pháp toán học ngày càng được áp dụng phổ biến trong vật lý. Vật lý thống kê là một bộ môn của vật lý lí thuyết áp dụng các phương pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phân tử có số bậc tự do cao đến mức không thể giải thích chính xác bằng cách theo dõi các phân tử mà phải giả thiết các phân tử đó có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê. Trong phần áp dụng phân bố chính tắc vào việc nghiên cứu tính chất của các hệ thực có đề cập đến một khái niệm đặc biệt quan trọng đó là tích phân trạng thái (hay tích phân thống kê) nhờ đó ta có thể tìm được một loạt các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lý bất kì. Tích phân trạng thái phản ánh trạng thái nội tại của hệ bởi vì phép tích phân được thực hiện theo tất cả các trạng thái vi mô của hệ. Với vốn kiến thức của mình tích lũy được trong 4 năm đại học tôi muốn tìm hiểu sâu sắc hơn về tích phân trạng thái. Vì vậy tôi chọn đề tài làm luận văn tốt nghiệp là “ Tính tổng trạng thái của một số hệ vật lý”. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu sắc hơn về tổng trạng thái. 3. Đối tƣợng nghiên cứu Tổng trạng thái trong vật lý thống kê. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lí thuyết và phương pháp toán học. 1 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng được các công thức tính tích phân trạng thái và tổng trạng thái của một hệ vật lý. 2 CHƢƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA THỐNG KÊ Vật lý thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và quy luật chuyển động của các hạt mà đối với hệ nhiều hạt xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê, do đó phương pháp của vật lý thống kê là phương pháp dựa trên lý thuyết xác suất.[1][3] Đối với hệ ít hạt và hệ nhiều hạt nó tuân theo các quy luật khác nhau đó là quy luật động lực và quy luật thống kê. Quy luật động lực: là quy luật dựa vào giá trị đã cho một cách chính xác một số đại lượng đặc trưng cho một quá trình hay một hiện tượng nhất định. Ta sẽ tính được giá trị của một số đại lượng khác nhau nhờ việc giải hệ phương trình Hamintơn và quy luật chỉ có giá trị với hệ ít hạt. Quy luật thống kê: là quy luật khách quan của hệ nhiều hạt, tính cách của hệ nhiều hạt tại thời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái lúc trước. Quy luật tính thống kê không thể quy về quy luật tính động lực vì tính chất thống kê mất hết mọi nội dung khi ta xét một hạt riêng lẻ hay một số ít hạt chuyển động hay tương tác theo định luật cơ học, chỉ trong các hệ nhiều hạt mới có biểu hiện các quy luật hiện tượng mới về tính chất. Nhưng nếu các định luật chuyển động của các hạt riêng lẻ thay đổi hoặc nếu ta chuyển từ loại hạt này sang loại hạt khác thì tính chất của toàn bộ hệ vĩ mô sẽ thay đổi. Từ các phân tích trên ta thấy rằng hai quy luật này độc lập nhau nhưng vẫn phụ thuộc qua lại lẫn nhau. 1.1. Xác suất nhiệt động Ngoài cách mô tả vi mô các trạng thái của hệ vật lý là cách mô tả trong đó thực tế là ta cần phải biết một số rất lớn các thông số là các tọa độ và vận tốc của các hạt cấu thành hệ còn có cách mô tả khác là cách mô tả vĩ mô. 3 Tùy thuộc ta xét theo quan điểm vĩ mô hay quan điểm vi mô mà ta phân biệt trạng thái vĩ mô và trạng thái vi mô của hệ. Trạng thái vĩ mô là trạng thái được xác định bởi các thông số vĩ mô như nhiệt độ, áp suất,... tức là các thông số đo được trong các thí nghiệm vĩ mô thông thường và nó chỉ có ý nghĩa nhất định đối với thế giới vĩ mô. Trạng thái vi mô là trạng thái xác định bằng các thông số vi mô tức là các tọa độ và xung lượng của các hạt cấu thành hệ và chúng chỉ có ý nghĩa đối với thế giới vi mô. Xác suất nhiệt động mỗi một trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ứng với một số rất lớn các trạng thái vi mô, đồng thời các trạng thái vi mô đó của hệ biến đổi một cách liên tục. Điều đó có nghĩa là mọi thông số vĩ mô bất kì F đều là hàm của các thông số vi mô. F = F(q1....q3N,p1....p3N,t) Các trạng thái vĩ mô khác nhau tương ứng với các số lượng khác nhau các trạng thái vi mô. Và một trạng thái vĩ mô sẽ là càng bền, nếu như số trạng thái vi mô tương ứng với nó mà hệ có thể thực hiện được là càng lớn. Dựa vào quan niệm đó người ta đưa vào xác suất nhiệt động của trạng thái vĩ mô. Xác suất nhiệt động WT của một trạng thái vĩ mô nhất định của hệ là số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô đó, tức là số trạng thái vi mô mà hệ có thể thực hiện được, tương thích với điều kiện bên ngoài đã cho. Từ định nghĩa trên xác suất nhiệt động không giống như xác suất toán học mà được biểu thị bằng một số luôn luôn lớn hơn đơn vị rất nhiều. WT>>1 1.2. Phƣơng pháp Gibbs [2]Ta biết rằng mọi thông số vĩ mô bất kì F đều là hàm của các thông số vi mô vì vậy trong trường hợp tổng quát nó biến thiên liên tục với thời gian. Tuy nhiên trong bất kì một thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo không phải là giá trị tức thời của các đại lượng vật lý mà là đo các trị trung bình theo thời gian. Thực vậy để tiến hành đo đạc một đại lượng nào đó như áp suất chẳng hạn ta 4 cần một khoảng thời gian t nào đó và trị số đo được là trị trung bình của F theo thời gian t t Ft 1 F (q1 ,...q3 N , p1 ....p3 N , t )dt t0 Tức là trị trung bình của F được lấy theo các trạng thái vi mô khả hữu của hệ. Nhưng việc tìm trị trung bình theo thời gian trong trường hợp tổng quá không thể tiến hành được bởi vì ta không biết được sự phụ thuộc của 6N thông số vi mô vào thời gian tức là ta không thể theo dõi tất cả những biến đổi của trạng thái vi mô với thời gian. Để giải quyết khó khăn đó Gipxơ đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng gọi là phương pháp Gipxơ. Cơ sở của phương pháp Gipxơ: là thay việc khảo sát sự biến đổi của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ đã cho gọi là tập hợp thống kê. Tập hợp thống kê: là một tập hợp các hệ, tương tự với nhau có số lượng và loại hạt như nhau và ở trong những điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trong các trạng thái vi mô khả hữu khác nhau. Đồng thời phải đảm bảo rằng mỗi một hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác, tức là sẽ lần lượt ở trong các trạng thái vi mô dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp, đó là nội dung của cái gọi là giả thuyết écgôđíc. Tuy nhiên có thể thừa nhận một cách gần đúng rằng mọi hệ trong tập hợp thống kê sẽ lần lượt ở trong những trạng thái vi mô rất gần giống với những trạng thái vi mô của các hệ khác, đó là giả thiết chuẩn écgôđíc và các hệ đó được gọi là các hệ chuẩn écgôđíc. Giả thiết chuẩn écgôđíc: trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê. Như vậy trong phương pháp cơ bản của vật lí thống kê một vấn đề được đặt ra là làm sao tính được trị trung bình theo tập hợp, muốn vậy ta phải tìm được tập hợp xác suất hay hàm phân bố thống kê của hệ. Để giải quyết vấn đề này Gipxơ đã dựa vào cách biểu diễn hệ trong không gian pha để đưa vào mật độ xác suất. 5 1.3. Không gian pha [4] Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt với thời gian người ta đưa vào một không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời các tọa độ của không gian đó chính là các thông số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ (tức là các tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu thành hệ). Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt nguyên tắc vì rằng, việc mô tả tính chất của hệ nhiều hạt trong không gian thực ba chiều gặp phải những khó khăn rất lớn. Mặt khác, đối với tất cả các hệ vật lí thực,không gian pha là không gian nhiều chiều. Chẳng hạn như, không gian pha của một phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là không gian 6 chiều; đối với phân tử hai nguyên tử có 5 bậc tự do không gian pha là mười chiều; còn đối với một hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều với f là số hạt tự do của một hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ. Trong vật lí thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha: Không gian là không gian của hệ 1 hạt. Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt. Các yếu tố cơ bản của không gian pha. Điểm pha Trạng thái của hệ được xác định bởi tất cả các giá trị của tất cả các tọa độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu thành hệ được biểu diễn trong không gian pha bằng một điểm gọi là điểm pha. Quỹ đạo pha Khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ chuyển động và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha. Bởi vì các phương trình Hamintơn luôn luôn xác định một các đơn trị tính chất của hệ, nên từ đó suy ra rằng, các quỹ đạo pha của hệ không thể cắt nhau trong không gian pha. Siêu diện năng lượng Nếu xét một hệ cô lập thì đối với hệ đó năng lượng toàn phần là không đổi nghĩa là 6 E = E(q1,q2,..p1,p2,...) = const Điều kiện đó có thể xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông số vi mô của trạng thái, và trong không gian pha nó là phương trình của một mặt nào đó gọi là siêu diện năng lượng hay mặt năng lượng trong không gian pha. Thể tích pha Sau này ta sẽ xét không phải là 1 hệ mà là một tập hợp hệ và sự phân bố của các điểm pha của chúng trong không gian pha vì vậy người ta đưa vào quan niệm thể tích pha. dV = dx.dy.dz Để thuận tiện cho việc nghiên cứu sự phân bố của các hệ ta chia không gian pha ra thành các thể tích nguyên tố đồng thời tương tự như thể tích của hình hộp 3 chiều độ lớn của mỗi thể tích đó được biểu thị như sau dX = dq1,dq2,....,dqfN,dp1.dp2...dpfN trong đó tất cả các dqk và dpk biểu thị các khoảng đủ nhỏ của các thông số trạng thái. 1.4. Xác suất trạng thái Trong không gian pha K trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một điểm pha điểm pha này gọi là điểm biểu diễn pha của hệ đó. Các điểm biểu diễn pha của hệ đó chuyển động trong không gian pha và vạch ra các quỹ đạo pha, đồng thời mỗi điểm dịch chuyển một cách độc lập với sự tồn tại của các điểm khác.[3] Xét một thể tích nguyên tố dX của một không gian pha bao quanh một điểm pha nào đó. Ở thời điểm t đang xét, có một số hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố dX đó, đó là các điểm biểu diễn pha mà quỹ đạo của chúng gặp dX ở thời điểm t. Một cách tổng quát ta có thể coi rằng số lượng dn của các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố dX của không gian pha sẽ tỉ lệ với độ lớn dX của thể tích đó 7 dn = dX f q1 , q2 .... p1 , p2 ....t f X , t được gọi là mật độ phân bố các hệ, nó trong đó chỉ rõ số lượng các hệ có điểm biểu diễn pha ở trong một đơn vị thể tích pha. Bởi vì các hệ trong tập hợp thống kê đều bình đẳng như nhau cho nên nếu gọi n là số hệ trong tập hợp thống kê thì theo lí thuyết xác suất để một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha rơi vào trong thể tích nguyên tố dX sẽ là dn n dW n dX ( X , t )dX Trong đó hàm ( X , t ) được gọi là mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê và nó thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa dW ( X , t )dX 1 (1.1) (X ) Xác suất để hệ thực hiện mà ta xét ở trong một trạng thái vi mô nào đó, đặc trưng bằng một tập hợp các giá trị của các biến số X nằm trong khoảng dX sẽ bằng dW ( X , t )dX trong đó ( X , t ) là hàm phân bố thống kê thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Như vậy mỗi trạng thái vi mô của hệ mà ta khảo sát được đặc trưng bằng một xác suất dW. Điều đó là hoàn toàn dĩ nhiên. Thực vậy khi hệ nằm trong một trạng thái vĩ mô nào đó ta chỉ có thể biết được một số ít biến số thôi, đó là các thông số vĩ mô đo được trong thí nghiệm chúng là hàm của các biến số vi mô X: Fk = Fk(X) Với k = 1,2,...,m mà m < - Xem thêm -