Tài liệu Tính toán ngẫu nhiên và vài ứng dụng vào lĩnh vực tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN THỊNH Hà Nội – Năm 2012 2 BẢNG KÝ HIỆU  Tập các số tự nhiên  Tập các số hữu tỉ  Tập các số thực  Tập các số nguyên   Tập các số phức n Không gian n - chiều ,  Thuộc, không thuộc ,  Tồn tại, với mọi A B A là tập con của B A B Hợp của A và B A  B  AB Giao của A và B a i i Tổng các số ai a Tích các số ai i i x  X : x  P  x  X x inf E lim  limsup n  lim  liminf n  Tập các phần tử x  X có tính chất P Chuẩn của x sup E n  x  P n  P  A P A F  EX :  X   dP E ( X )  E( X F ) Cận trên đúng của E Cận dưới đúng của E Giới hạn trên Giới hạn dưới Xác suất của A Xác suất có điều kiện của A đối với F Kỳ vọng của X F 3 Kỳ vọng có điều kiện của X đối với F MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 7 CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................................................... 9 Phần 1. Cơ sở giải tích ngẫu nhiên ....................................................................................... 9 1.1. Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên ......................................9 1.1.1. Quá trình đo được .................................................................................... 9 1.1.2. Quá trình đo được dần ............................................................................. 9 1.1.3. Quá trình khả đoán ..................................................................................9 1.1.4. Quá trình thích nghi với một bộ lọc ......................................................10 1.1.5. Quá trình khuếch tán .............................................................................11 1.1.6. Quá trình Ornstein-Uhlenbeck ..............................................................12 1.1.7. Quá trình Wiener (Chuyển động Brown) ..............................................13 1.2. Tích phân ngẫu nhiên và Bài toán lọc ..........................................................14 1.2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô ............................................14 1.2.2. Lý thuyết lọc ngẫu nhiên .......................................................................18 Phần 2. Martingale với thời gian rời rạc........................................................................... 22 1.3. Khái niệm tương thích và dự báo được ........................................................ 23 1.4. Thời điểm Markov và thời điểm dừng ..........................................................23 1.4.1. Thời điểm dừng .....................................................................................23 1.4.2. Quá trình dừng .......................................................................................24 1.4.3. Thời điểm Markov .................................................................................24 1.4.4. Quá trình Markov .................................................................................. 25 1.4.5. Hai điều kiện tương thích của quá trình Markov ...................................25 1.4.6. Các tính chất của thời điểm Markov và thời điểm dừng .......................25 1.5. Martingale .....................................................................................................26 1.5.1. Các định nghĩa ....................................................................................... 26 1.5.2. Các tính chất .......................................................................................... 28 1.5.3. Phép biến đổi Martingale....................................................................... 28 1.5.4. Ví dụ ......................................................................................................29 1.6. Một số bất đẳng thức và định lý cơ bản ........................................................30 4 1.6.1. Bất đẳng thức Kolmogorov ................................................................... 30 1.6.2. Định lý Kolmogorov ..............................................................................30 1.6.3. Bất đẳng thức Doob ............................................................................... 30 1.6.4. Bất đẳng thức cắt ngang ........................................................................ 31 1.6.5. Định lý hội tụ Doob ...............................................................................31 1.6.6. Định lý về tồn tại và duy nhất lời giải ...................................................32 1.6.7. Lời giải yếu và lời giải mạnh .................................................................37 CHƢƠNG 2. TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH ................................................................................................................ 38 2.1. Thị trường, danh mục đầu tư và thị trường có độ chênh lệch thị giá ...........38 2.1.1. Định nghĩa .............................................................................................38 2.1.2. Định nghĩa .............................................................................................42 2.1.3. Định nghĩa .............................................................................................42 2.1.4. Ví dụ ......................................................................................................43 2.1.5. Định lý của Dudley ................................................................................45 2.1.6. Bổ đề ......................................................................................................45 2.1.7. Định nghĩa .............................................................................................46 2.1.8. Định lý ...................................................................................................47 2.1.9. Ví dụ ......................................................................................................49 2.2. Tính đạt được và tính đầy đủ ........................................................................50 2.2.1 Bổ đề .......................................................................................................50 2.2.2 Bổ đề .......................................................................................................50 2.2.3. Bổ đề ...................................................................................................... 52 2.2.4. Định nghĩa .............................................................................................53 2.2.5. Định lý ...................................................................................................54 2.2.6. Hệ quả .................................................................................................... 57 2.2.7. Ví dụ ......................................................................................................57 2.2.8. Ví dụ ......................................................................................................57 CHƢƠNG 3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN ...................................................................... 59 3.1. Định nghĩa .....................................................................................................60 5 3.2. Định lý .......................................................................................................... 60 3.3. Định lý .......................................................................................................... 65 3.4. Định lý .......................................................................................................... 66 3.5. Ví dụ ..............................................................................................................67 3.6. Định lý (Công thức tổng quát Black & Scholes) ..........................................69 Quyền chọn kiểu Mỹ (American options) ........................................................... 74 3.7. Định nghĩa .....................................................................................................74 3.8. Định lý (Công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ) ...................................... 75 Trường hợp Khuyếch tán Itô: Liên kết với tối ưu dừng ...................................... 78 3.9. Định lý ..........................................................................................................80 3.10. Ví dụ ............................................................................................................80 KẾT LUẬN ............................................................................................................................ 82 6 LỜI MỞ ĐẦU Ngày nay quá trình ngẫu nhiên ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học như: tin học, sinh học, y học, vật lý, tài chính. Trong đó có những kiến thức về lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý thuyết khuyếch tán, tích phân ngẫu nhiên, công thức Itô. Bản luận văn gồm 3 chương: Dựa trên cơ sở các phần nội dung cơ bản là lý thuyết của các quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu và vận dụng vào các mô hình toán đáng tin cậy và được áp dụng rất nhiều trong thực tế đặc biệt là trong ngành tài chính. Các mô hình được nghiên cứu là các mô hình chung (có thể không liên tục) như mô hình nửa martingale hoặc những mô hình làm cơ sở cho các quá trình ngẫu nhiên mà không cần nửa martingale như chuyển động Brown. Chương 1. Trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên Đó là các quá trình liên quan tới quá trình ngẫu nhiên như: quá trình đo được, đo được dần, quá trình khả đoán, quá trình thích nghi, quá trình khuyếch tán, quá trình Ornstein - Uhlenbeck, quá trình Wiener (chuyển động Brown). Đó là Martingale với thời gian rời rạc nội dung chủ yếu là Thời điểm Markov và thời điểm dừng, Mactingale; Các bất đẳng thức và Định lý Kolmogorov, Doob. Chương 2. Trình bày về tính toán ngẫu nhiên Ito và khái niệm đầy đủ của thị trường. Chương này đưa ra các định nghĩa về thị trường đầu tư, danh mục đầu tư, danh mục đầu tư chấp nhận được (có độ chênh lệch thị giá - arbitrage) để so sánh với thị trường thực tế hiện nay là không có độ chênh lệch thị giá -no arbitrage (Định nghĩa 2.1.1, 2.1.2); Nội dung cơ bản của chương đó là đưa ra các Bổ đề, trên cơ sở đó nêu định nghĩa về tính đạt được và tính đầy đủ (Định nghĩa 2.2.4); Định lý quan trọng (2.2.5) đó là đưa ra điều kiện cần và đủ để một thị trường đầy đủ, hệ quả và ví dụ cụ thể của thị trường đầy đủ. Chương 3. Dùng các kỹ thuật tính toán ngẫu nhiên được trình bày trong chương 2 để tính giá (pricing) và chiến lược đầu tư tương ứng (hedging) cho thị trường đầy đủ, sau đó áp dụng cho mô hình Black & Scholes là trường hợp riêng của thị trường đầy đủ. 7 Trong lĩnh vực tài chính ta biết rằng hoạt động tiêu biểu chính là hoạt động ngân hàng và trong nền kinh tế thị trường hoạt động này thường có các dịch vụ chủ chốt như: dịch vụ khách hàng, ngoại thương, nhận tiền gửi, dịch vụ cho vay kinh doanh và các dịch vụ khác. Trong các dịch vụ ấy, có nhiều công đoạn hoạt động với lãi lỗ khác nhau và thay đổi theo thời gian. Vì vậy điều quan trọng là: xác định được giá của mỗi quyền chọn mua tại từng thời điểm và đầu tư số tiền bảo chứng là bao nhiêu cho vừa phải để đảm bảo cho hoạt động kinh doanh. Có hai loại quyền chọn mua chủ yếu: - Quyền chọn kiểu Châu Âu (European options) - Nhà đầu tư đi mua quyền được bán hoặc được mua, trong đó chỉ cho phép kinh doanh tại chính một thời điểm cố định. - Quyền chọn kiếu Mỹ (American options) trong đó có thể kinh doanh tại bất cứ thời điểm nào trước thời điểm kết thúc kinh doanh. Hiện nay quyền chọn kiểu Châu Âu là khá phổ biến và nội dung cơ bản của phần này đó là đưa ra các định nghĩa về giá, giá mà người mua sẽ phải trả cho quyền chọn mua và giá mà người bán có thể chấp nhận trong quyền chọn bán của mình (Định nghĩa 3.1). Bên cạnh đó cũng đưa ra cơ sở lý luận cho việc đầu tư quay vòng như thế nào để có thể đạt được một yêu cầu? thể hiện trong nội dung (Định lý 3.4) tìm một danh mục đầu tư quay vòng để đạt được yêu cầu F cho trước. Hiểu rõ hơn vấn đề này luận văn cũng đưa ra một ví dụ cụ thể (Ví dụ 3.5). Lý thuyết xác suất nói chung và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói riêng đã được áp dụng có hiệu quả trong ngành tài chính những năm gần đây, đặc biệt là sử dụng mô hình Black & Scholes để xác định chính xác hơn giá chi phí cho một quyền chọn mua kiểu Châu Âu (Định lý 3.6). Quyền chọn kiểu Mỹ có sự khác biệt với quyền chọn kiểu Châu Âu đó là người mua có thể tự do chọn lựa thời điểm kinh doanh bất kỳ trước hoặc tại thời điểm kết thúc kinh doanh. Chương này cũng đưa ra các định nghĩa trong quyền chọn kiểu Mỹ và công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ (Định lý 3.8). 8 CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ Phần 1. Cơ sở giải tích ngẫu nhiên Trong chương này, các kiến thức chuẩn bị về giải tích ngẫu nhiên được đưa ra gồm các khái niệm, các tính chất và các định lý có liên quan được ứng dụng vào lĩnh vực tài chính. Trong đó có những kiến thức về lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý thuyết khuyếch tán, tích phân ngẫu nhiên, các công thức Itô. 1.1. Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên 1.1.1. Quá trình đo đƣợc Cho (, F , P) là một không gian xác suất. Một quá trình ngẫu nhiên X   X t , t  0 được gọi là đo được nếu nó đo được đối với   trường tích B   F . Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của  , tập hợp t ,  : X t ,   B thuộc về   trường tích B   F . Đó là   trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng 0, t   A với t    , A  F . 1.1.2. Quá trình đo đƣợc dần Cho một không gian xác suất được lọc ( , F ,  F t t 0 , P ). Gọi B0,t  là   trường Borel trên 0,t  . Cho một quá trình ngẫu nhiên X   X t t chế của X trên đoạn 0,t  , với một   0,  . Xét hạn t cố định thuộc   . Ta có ánh xạ X : 0, t      . Trên tích 0,t    , ta xét   trường tích B0,t   Ft . Nếu X đo được đối với   trường tích ấy với mỗi t    thì quá trình X là quá trình đo được dần. 1.1.3. Quá trình khả đoán   trường khả đoán là   trường nhỏ nhất các tập con của     , mà đối với nó mọi quá trình liên tục trái đều là đo được. Cho một quá trình ngẫu nhiên X   X  t ,    thích nghi với  Ft  . Nếu hàm  t,    X  t,   (từ       ) là P  đo được thì ta nói X là một hàm khả đoán đối với  Ft  . 9 a.   trường các tập hoàn toàn đo được trên     đó là   trường O các tập con của     và nhỏ nhất mà đối với nó mọi quá trình liên tục bên phải và có giới hạn trái là đo được. b. Nếu X   X  t,    là một ánh xạ đo được từ     , O     , B  ta nói X là một quá trình hoàn toàn đo được. 1.1.4. Quá trình thích nghi với một bộ lọc 1.1.4.1. Một họ các   trường con F t  F được gọi là một bộ lọc nếu thoả mãn các điều kiện sau: (i) Họ đó là một họ tăng, tức là F ss  F t nếu s  t (ii) Họ đó là liên tục phải, tức là F t  F   0 t  (iii) Mọi tập P  bỏ qua được AF đều được chứa trong F 0 (do đó nằm trong mọi F t ). 1.1.4.2. Cho một quá trình ngẫu nhiên X   X t , t  0 . Xét họ   trường F t X sinh bởi biến ngẫu nhiên X t   , tức F t X    X s , 0  s  t  . Khi đó họ F X t  , t  0 được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay lịch sử của X .   1.1.4.3. Cho một bộ lọc bất kỳ F t , t   trên  W, F  . Một quá trình Y được gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu với mọi Yt là đo được đối với   trường F t .     Mọi quá trình X  X t , t   là thích nghi với lịch sử của nó F t X , t   .   1.1.4.4. Cho một quá trình X với lịch sử của nó là F t X , t   . Một quá trình Y bất kỳ là thích nghi với lịch sử F t X của quá trình X nếu và chỉ nếu Yt   có thể biểu diễn được dưới dạng Yt    ft  X s1   , X s2   ,...  trong đó s1 , s2 ,... là một dãy các phần tử của  0,t  và f t là một hàm Borel thực trên   .  10 1.1.5. Quá trình khuếch tán Theo quan điểm tất định, một quá trình khuếch tán là lời giải của bài toán Cauchy cho một loại phương trình đạo hàm riêng parabolic. Theo quan điểm ngẫu nhiên, thì quá trình này thực chất là một họ các quá trình ngẫu nhiên và là các quá trình Markov, chúng thoả mãn một phương trình vi phân ngẫu nhiên được gọi là phương trình khuếch tán. 1.1.5.1. Định nghĩa Một họ các quá trình Markov  X t , Px  trên không gian   n , B n  được gọi là quá trình khuếch tán trên  n , nếu: a. Toán tử sinh cực vi A của quá trình Markov X xác định trên mọi hàm hữu hạn khả vi liên tục hai lần và tồn tại hàm vectơ liên tục bi  x  và ma trận vectơ liên tục  aij  x   đối xứng và xác định không âm với mọi x sao cho f  C 2 : Af  x   Lf  x   n 1 n ij 2 f f a x  bi  x  i     i j 2 i , j 1 x x x i 1 b. Toàn bộ quĩ đạo của các X t đều là liên tục 1.1.5.2. Chú ý a. Toán tử sinh cực vi (infinitesimal generator) của một quá trình Markov: Một quá trình Markov X tương ứng với một bán nhóm  Pt  xác định trên các hàm thuộc lớp C 2 bởi  Pt f  x    P  x, dy  f  y  với P  x, A là xác suất chuyển. Khi đó toán tử sinh cực vi tương ứng A được xác định bởi A  lim h0 Ph  I , h trong đó I là toán tử đồng nhất. b. Một quá trình khuếch tán X trên  n là một quá trình với quỹ đạo liên tục X  ( X 1 , X 2 ,..., X n ) sao cho với t  0, h  0 thì E  X tih  X ti X s ; s  t   bi  X t  h   (h) 11   và E  X tih  X ti  bi  X t  h   X t jh  X t j  b j  X t  h   aij  X t  h    h  với những hàm bi 1  i  n  nào đó trên  n mà ta gọi là hệ số dịch chuyển và những hàm aij 1  i, j  n  nào đó trên  n mà ta gọi là các hệ số khuếch tán. c. Nếu dịch chuyển b và khuếch tán a là những hàm trơn đến một cấp nào đấy thì hàm mật độ chuyển pt  x, y  của quá trình khuếch tán X sẽ thoả mãn hai phương trình đạo hàm riêng sau đây: (1)  pt  x, y   Lx pt  x, y  với y cố định t (2)  pt  x, y   L*y pt  x, y  với x cố định t  2 p  x, y  p  x, y  1 ij  Lx pt  x, y    a  x  i j   bi  x  2 i, j x x xi i trong đó,  2 p  x, y  p  x, y  1 ij và  L pt   x, y    a  y    bi  y  i j 2 i, j y y y i i * y Phương trình (1) được gọi là phương trình Kolmogorov lùi, Phương trình (2) được gọi là phương trình Kolmogorov tiến. 1.1.6. Quá trình Ornstein-Uhlenbeck Quá trình Ornstein-Uhlenbeck X   X t , t     với tham số   0 và giá trị ban đầu X 0  N (0,1) là một quá trình Gauss với trung bình EX t  0, t    hàm tương quan E  X t X s   exp   t  s  s, t    Đó là một quá trình dừng theo nghĩa rộng. Xét quá trình dừng theo nghĩa hẹp, ta xét trên mật độ xác suất chuyển của một quá trình Ornstein-Uhlenbeck với   1  y  xet (t  s )  p  s, x; t , y   exp   2 t  s   )  2 (1  e2(t  s ) )  2(1  e 1 12 2 mật độ này chỉ phụ thuộc vào t  s , do đó phân bố của X cũng chỉ phụ thuộc vào t  s . 1.1.7. Quá trình Wiener (Chuyển động Brown) 1.1.7.1. Một quá trình X   X t , t  0 được xác định trên một không gian xác suất đủ  , F , P  được gọi là một quá trình Wiener với tham số phương sai  2 nếu nó là một quá trình Gauss với các tính chất sau: (i) X 0  0 h.c.c. (ii) Với mỗi cặp s, t  s  t  , X t  X s có phân phối chuẩn (Gauss) với trung bình 0 và phương sai là  2  t  s  (iii) Có số gia độc lập, tức là các biến ngẫu nhiên X t  X t và X t  X t là độc 4 3 2 1 lập, với  t1  t2  t3  t4 . (iv) Với hầu hết  , các quỹ đạo t  X t   là liên tục. 1.1.7.2. X   X t  là một quá trình Wiener với tham số phương sai  2 nếu X là một quá trình Gauss với E  X t   0 t và hàm tương quan cho bởi: R  t, s   E  X t X s    2 .min  t, s  1.1.7.3. Một quá trình Wiener X   X t  với tham số phương sai  2  1 được gọi là quá trình Wiener tiêu chuẩn (hay chuyển động Brown tiêu chuẩn). 1.1.7.4. Các tính chất quan trọng của một quá trình Wiener Cho W  Wt  là một quá trình Wiener a. Wt là một martingale đối với Ft w (   trường nhỏ nhất sinh bởi Ws , s  t, còn gọi là lịch sử của Wt tính cho đến thời điểm t ). b. (i) (ii) P{  : quỹ đạo t  Wt   là khả vi }= 0. P{  : quỹ đạo t  Wt   có biến phân bị chặn trên một khoảng hữu hạn bất kỳ}= 0. 13   c. W tuân theo luật lôga lặp như sau: P  : limsup   t  Wt      1  1 2t log log t   d. Cho B là họ tất cả các hàm thực Borel xác định trên  . Với mỗi t  0 và f  B , ta định nghĩa hàm Pt f trên  xác định bởi  Pt f  x   1  2 t  1 2    yx2 f  y  exp   dy 2t   Khi đó: (i) Pt f  B (ii) Với 0  s  t và f  B , thì  Pt s f  x   E  f Wt  Ws  x  hầu khắp nơi đối với độ đo Lesbesgue trên  . (iii) E  f Wt  FsW   E  f Wt  Ws    Pt s f Ws  , Vậy W là một quá trình Markov. 1.2. Tích phân ngẫu nhiên và Bài toán lọc 1.2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô Một số nội dung của luận văn này phải đưa về bài toán tính tích phân có dạng: b I   f  t ,   dWt với f  t ,   là một hàm ngẫu nhiên, Wt là một quá trình Wiener. a 1.2.1.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô Tích phân Itô của một hàm ngẫu nhiên đo được dần f  t ,   có thể được định nghĩa như một giới hạn theo xác suất như sau: T I  f    f  t ,   dt  P  lim  f  t ,   Wti1  Wti  0  0 trong đó   max tk 1  tk  với mọi phân hoạch t0  0  t1  ...  tn  T . 1.2.1.2. Các tính chất quan trọng của tích phân Itô t a. E  f  s,   dWs  0 0 14 t b. E  0 2 t 2  f  s,   dWs  E   f ds  0  t c. X t   f  s,   dWs là một martingale đối với Ft w 0 1.2.1.3. Vi phân ngẫu nhiên Itô Cho f  t ,   là một hàm ngẫu nhiên khả đoán, Wt là một quá trình Wiener một chiều, giả sử X   X t  là một quá trình ngẫu nhiên đo được bất kỳ lấy giá trị trong   , B  . Ta nói quá trình ngẫu nhiên này có vi phân ngẫu nhiên Itô dX t nếu a. Hầu hết các quỹ đạo của X t   là liên tục b. Tồn tại f  t ,   , h  t ,   là những hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả đoán, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết  . c. H.c.c ta có t t 0 0 X t  X 0   f  s,   dWs   h  s,   ds khi đó ta viết dX t  f  t ,   dWt  h  t ,   dt 1.2.1.4. Công thức Itô Cho X  X t là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân ngẫu nhiên Itô (có dạng dX t  adt  bdWt ). Giả sử g  t , x  :  2   là một hàm một lần khả vi liên tục theo biến thứ nhất t , hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x . Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt  g  t , X t  có vi phân Itô tính bởi công thức Itô như sau:  I1  dYt  g g 1 2 g g dt  a dt  b2 2 dt  b dWt t x 2 x x Hoặc viết dưới dạng tích phân:  I2  g g  s, X s  ds    s, X s  dX s s x 0 0 t Yt  g  t , X t   g  0, X 0    t 1 2 g   2  s, X s  f 2  s,   ds 2 0 x t 15 g  g  Yt  Y0     s, X s     a  s,    s, X s    ds s x  0  t Hoặc 1 2 g g   b 2  s,   2  s, X s    ds   b  s,    s, X s    dWs 20 x x 0 t t g g  2 g Chứng minh: Ta có thể giả sử các hàm g , là các hàm bị chặn. Theo , , t x x 2 công thức Taylor ta có: g  t , X t   g  0, X 0    g  t j , X j  g  0, X 0    j  j g g t j   X j t j x 2 2 1  g  g 1 2 g  t   t  X  X j    R j         j j j 2 2  2 j t 2 j x j t x j 2 2 trong đó,  t j  là phân hoạch của  0,t  ,  g g  2 g , , được tính tại các điểm t j , X t j t x x 2 t j  t j 1  t j , X j  X j 1  X j , g  t j , X j   g t j 1 , X j 1   g t j , X j  , 2 2 R j   t j  X j , j Nếu t j  0 thì   g g g j t t j j t t j , X t j t j   s  s, X s  ds 0  t  g g g j x X j j x t j , X t j X j   x  s, X s  dX s 0 2 1 2 g t j   0;  2  2 j t t 2 g j tx  t j  x j   0; Hơn nữa, vì dX t  adt  bdWt hay X t  at  bWt nên 2 2 2 2 g 2 g 2 2 g 2 g 2  X  a  t  2 a b  t  W  j x2  j  j x2 j  j  j x2 j j  j  j  j x2 bj  W j  (*) Từ (*) ta thấy khi t j  0 thì 2 biểu thức đầu tiên đều tiến dần đến 0, thật vậy  2 g 2 3  2 g    2 a j b j  t j  W j      ( 2 a j b j )2   t j   0 ; j  x   j x  16   vì   W j    Wt  Wt 2 j 1 j  2  t j 1  t j  t j . 2 g 2 0 x2  s, X s  b  s,   ds trong L2    khi t Biểu thức cuối cùng trong (*) hội tụ tới 2 g t j  0 , thật vậy, đặt A  t   2  t , X t  b 2  t ,   , x 2    2 ta có,    Aj  W j    Aj t j       Ai Aj   j j   i , j   Nếu i  j thì Ai Aj  Wi   ti 2 Aj  A  t j   W   t   W   t  2 2 i i j j  và  W   t  là độc lập, do đó các biểu thức 2 j j tương ứng bị triệt tiêu, vì   Wi   ti ;   W j   t j tương tự nếu i  j ta cũng 2 2 có kết luận như trên. Vì thế chỉ còn lại trường hợp i  j , khi đó nếu t j  0 thì     A  W  2 j j j 2  2 4 2 2   t j      A2j  .  W j   2  W j  t j   t j      j 2 2 2 2     A2j  . 3  t j   2  t j    t j       A2j  .  t j   0,   j j Hoặc, ta có  A  W  j j 2 t   A  s ds trong L2    khi t j  0 hay  dWt   dt . 2 0 Các lập luận trên cũng cho thấy khi t j  0 thì  R j  0 . Công thức Itô được chứng minh. j 1.2.1.5. Công thức Itô tổng quát (trƣờng hợp nhiều chiều) Cho B  t ,     B1  t ,   ,..., Bm t ,    là chuyển động Brown m-chiều, X1 ,..., X n là các vi phân ngẫu nhiên Itô có dạng: dX  hdt  fdB Với f  t ,   , h  t ,   là những hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả đoán, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết  . Giả sử là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục     n    . Khi đó quá trình Y  t ,    g  t , X t  là một vi phân ngẫu nhiên p-chiều mà thành phần thứ k là Yk được cho bởi 17 dYk  g k g k  2 gk 1 t , X  t , X dX       i   t , X  dX i dX j t 2 i , j xi x j i xi với các biểu thức dX i dX j thì dBi dB j  ij dt , dBi dt  dtdBi  0 . Để chứng minh cho trường hợp tổng quát ta tiến hành bằng cách xấp xỉ hàm g bởi dãy hàm g n sao cho g n , g n g n  2 g n là các hàm bị chặn và hội tụ đều trên , , t x x 2 các tập con compact của 0,     tương ứng với g , g g  2 g sau đó chứng , , t x x 2 minh tương tự như phần 1 - chiều. t Ví dụ: Tính tích phân: I   Ws dWs 0 Chọn X t  Wt ; g  t , x   x 2 Khi đó, Yt  g  t ,Wt   Wt 2 g g 2 g  0,  2 x, 2 t x x 2 Vì g  t , x   x 2  t X t  Wt   1.dWs  b  1 0 Áp dụng công thức Itô ta có t Wt 2  Yt   2Ws dWs  0 t Suy ra I   Ws dWs  0 t t 1 2.ds  2 Ws ds  t 2 0 0 Wt 2 t  . 2 2 1.2.2. Lý thuyết lọc ngẫu nhiên 1.2.2.1. Các khái niệm Cho  , F , P  là một không gian xác suất đủ trang bị bởi một họ tăng liên tục phải các  -trường con F t  F , t  0, T  . Cho X t , t  0, T  là một họ các quá trình ngẫu nhiên F t -thích nghi (được gọi là các quá trình tín hiệu hay quá trình hệ thống). Giả sử ta không thể quan sát X t một cách trực tiếp nhưng muốn biết về X t và ta có thể thực hiện quan sát X t thông qua một quá trình ngẫu nhiên (được gọi là một quá trình quan sát) có dạng: 18 t Yt   hs ds  Z t 0 trong đó Z t là một quá trình F t -Wiener n-chiều sao cho với mỗi t thì  -trường tương lai  (Zu  Zt ) (u  t ) độc lập với  -trường quá khứ  (Yv , hv , v  t ) . Thông tin về X s được giả thiết là có trong quá trình ngẫu nhiên n-chiều hs sao cho E t h 2 s ds   , t  0, T  . 0 Các số liệu quan sát được cho bởi  -trường Gt sinh bởi các Ys , s  t là một  trường con của F t , tức Gt   (Ys , s  t ) . 1.2.2.2. Định lý Girsanov Cho Wt  Wt1 ,...,Wt m  là một quá trình Wiener n-chiều trên không gian xác suất  , F , P  và Bt   Ws , s  t  ; cho g s   g1s ,...g sm  là một quá trình Bt -khả đoán t sao cho  g s ds   h.c.c. 2 0 t Đặt  t  exp   ( g s , dWs )  0 t  1 2 g s ds  với giả thiết E t   1, t  20  Xây dựng độ đo xác suất Q trên Bt như sau: Q  A  E t A , A  Bt (1) (2) Khi đó: (i) Nếu M t là một  Bt , P  -martingale địa phương thì t   M    g , dW  , M  là một  B , Q  -martingale địa phương M t t t t  s s 0 t   W  g ds là một quá trình Wiener đối với  B , Q  . Còn W t t t  s 0 19 (3) (ii) Mỗi  Bt , Q  -martingale bình phương khả tích M t đều được biểu diễn dưới dạng t   M   f , dW M t 0  s s  với f s   f s1 ,... f sm  là một quá trình Bs khả đoán và 0 t EQ  f s ds   2 (4) 0 Chứng minh: t Theo giả thiết ta có  t  exp   ( g s , dWs )  0 t t  1 2   W  g ds nên g ds và W  s t t 0 s 2 0  Áp dụng kết luận ở phần (i) cho phép biến đổi Girsanov Q  t1Q  P .  t là một  B , Q  -martingale địa phương thì Khi đó, nếu M t t    t   g , dW Mt  M  s  s ,M t  là một  Bt , P  -martingale địa phương. 0 t Vì Bt là  -trường sinh bởi Wt , M t được biểu diễn như sau: M t  M 0   ( f s , dWs ) 0 t t t 0 0 0  t M  0  ( f , dW  t Khi đó ta có M  s  s )   ( f s , g s )   ( g s , dW s ),M Số hạng thứ nhất trong vế phải của biểu thức trên là một tích phân Itô và là một martingale đối với  Bt , Q  . Phần còn lại phải của vế phải phải là một martingale, nó phải bằng 0 vì nó là một quá trình với biến phân bị chặn (martingale liên tục với t  t M  0  ( f , dW biến phân bị chặn là bằng 0). Vậy ta có M  s s) (đpcm) 0 1.2.2.3. Bài toán lọc tuyến tính (Lọc Kalman-Bucy 1-chiều) Xét bài toán lọc tuyến tính, trong đó quá trình hệ thống và quá trình quan sát đều được cho bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau: + Quá trình hệ thống: dX t  F (t ) X t dt  C (t )dUt ; F (t ), C (t )  + Quá trình quan sát: dYt  G(t ) X t dt  D(t )dVt ; G(t ), D(t )  20