Tài liệu Tính toán ngẫu nhiên trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRỊNH THU TRANG TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG HÀ NỘI- 2014 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng người thầy đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội, và các thầy giảng dạy cao học ngành Toán học đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè những người đã luôn bên cạnh cổ vũ, động viên và giúp đỡ. Đặc biệt cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình những người luôn chăm lo, động viên và cổ vũ tinh thần cho tôi. Hà Nội,ngày 20 tháng 12 năm 2014 Học viên Trịnh Thu Trang Mục lục Mở đầu 5 1 Cơ sở của tính toán ngẫu nhiên 7 1.1 1.2 Chuyển động Brown và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Biến phân và biến phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Chuyển động Brown nhiều chiều . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Biến phân chéo của chuyển động Brown . . . . . . . . 11 1.1.5 Nhận diện chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.6 Nguyên lý phản xạ cho chuyển động Brown . . . . . . 15 Tích phân Itô, công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 Xây dựng tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bậc thang . . . . . 19 1.2.3 Một số tính chất về tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.4 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 21 1.2.5 Tính chất về tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên . . . . 21 1.2.6 Biến phân bậc hai của tích phân Itô . . . . . . . . . . 22 1.2.7 Công thức Itô hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 22 2 1.2.8 Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Công thức Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 27 1.3.2 Tính chất Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.3 Mật độ chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.4 Phương trình lùi Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.5 Liên hệ giữa tính toán ngẫu nhiên và phương trình lùi 1.2.9 1.3 Giá trị trung bình và phương sai của quá trình Cox- Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.6 Định lý Girsanov và độ đo trung hòa rủi ro . . . . . . 32 1.3.7 Biểu diễn Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.3.8 Định lý biểu diễn Martingale nhiều chiều . . . . . . . 39 2 Tính toán ngẫu nhiên trong một số mô hình tài chính 2.1 2.2 Mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1 Mô hình thị trường d-chiều . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.2 Mô hình thị trường hai chiều . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Quyền mua kiểu châu Âu up and out . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4 Quyền chọn kiểu châu Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.1 Định lý Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.2 Xây dựng bảo hộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.3 Tiền chi trả bình quân cho quyền chọn Châu Á . . . . 63 Lý thuyết độ chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.5.1 Mô hình nhị thức, phương án đầu tư có bảo hộ . . . . 64 2.5.2 Thiết lập mô hình liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.3 Định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ . . . . . . . . . . 69 2.5.4 Thực hiện định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ . . . . 72 2.5 Mô hình thị trường nhiều chiều 41 3 2.6 Quyền chọn ngoài rào cản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.6.1 Tính toán các giá trị của quyền chọn . . . . . . . . . . 76 2.6.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên cho quyền chọn 2.6.3 ngoài rảo cản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Bảo hộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Kết luận 82 4 Mở đầu Toán tài chính là một ngành toán học ứng dụng nghiên cứu thị trường tài chính. Toán tài chính đi nghiên cứu các thành phần, đặc điểm, cấu trúc của thị trường tài chính, nhằm xây dưng các mô hình toán học và ứng dụng chúng và việc tính toán trong thị trường tài chính thực. Đây cũng là một lĩnh vực còn khá mới ở Việt Nam. Nội dung của luận văn này sẽ đi trình bày về một số lý thuyết của giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng của nó vào lĩnh vực tài chính. Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Cơ sở của tính toán ngẫu nhiên Chương 2: Tính toán ngẫu nhiên trong một số mô hình tài chính Trong chương 1, là các kiến thức cơ bản về giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho luận văn. Ở đây, tôi đi trình bày về chuyển động Brown, tích phân Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên, tính chất Markov, phương trình lùi Kolmogorov, định lý Girsanov, độ đo trung hòa rủi ro, lý thuyết biểu diễn martingale. Trong chương 2, tôi đi trình bày về các ứng dụng của giải tích ngẫu nhiên vào tài chính, cụ thể ở đây là mô hình Black-Sholes, mô hình thị trường hai chiều, quyền chọn châu Âu up and out, quyền chọn kiểu châu Á, lý thuyết độ chênh thị giá, quyền chọn ngoài rào cản Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể tránh được những 5 thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. 6 Chương 1 Cơ sở của tính toán ngẫu nhiên 1.1 Chuyển động Brown và các tính chất 1.1.1 Chuyển động Brown Định nghĩa 1.1.1. Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất, quá trình ngẫu nhiên B (t, w) : [0, ∞) × Ω → R thỏa mãn các điều kiện sau: i) B (0) = 0, tức là P{ω : B (0, ω) = 0} = 1, ii) B (t) là một hàm liên tục theo t, iii) Nếu 0 = t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn , Y1 = B (t1 ) − B (t0 ), . . . , Yn = B (tn ) − B (tn−1 ), thì các gia số Y1 , Y2 , . . . , Yn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn Yj ∼ N (0, tj − tj−1 ) ∀j 7 1.1.2 Biến phân và biến phân bậc hai Biến phân bậc hai là một thước đo cho sự biến động. Đầu tiên ta sẽ xem xét về biến phân (hay biến phân bậc nhất), F V (f ) của một hàm f (t). Hình 1.1: Hàm f (t) Đối với hàm f (t) trong hình trên, biến phân trong khoảng [0, T ] được cho bởi: F V[0,T ] (f ) = = [f (t1 ) − f (0)] − [f (t2 ) − f (t1 )] + [f (T ) − f (t2 )] Z t1 Z t2 Z T 0 0 0 f (t)dt + (−f (t))dt + f (t)dt. 0 t1 T Z t2 0 |f (t)|dt. = 0 Như vậy biến phân đo tổng lượng biến động lên và xuống của một quỹ đạo chuyển động. Định nghĩa chung về biến phân như sau: Định nghĩa 1.1.2. Cho phân hoạch π = {t0 , t1 , ...tn } của đoạn [0, T ], sao cho: 0 = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn = T ||π|| = max (tk+1 − tk ) k=0,...,n−1 8 Biến phân của một hàm f trên đoạn [0, T ] xác định bởi: n−1 X F V[0,T ] (f ) = lim ||π||→0 |f (tk+1 ) − f (tk )|. k=0 Giả sử f khả vi. Định lý giá trị trung bình ở đây nghĩa là trong mỗi đoạn con [tk , tk+1 ] có một điểm t∗k để mà f (tk+1 ) − f (tk ) = f 0 (t∗k )(tk+1 − tk ). Nên n−1 X n−1 X |f (tk+1 ) − f (tk )| = k=0 |f 0 (t∗k )| (tk+1 − tk ), k=0 và F V[0,T ] (f ) = n−1 X lim ||π||→0 Z T   0 ∗  f (tk ) (tk+1 − tk ) k=0  0    f (t) dt. = 0 Định nghĩa 1.1.3. (Biến phân bậc hai) Biến phân bậc hai của hàm f trên đoạn [0, T ] xác định bởi công thức: n−1 X hf i(T ) = lim ||π||→0 |f (tk+1 ) − f (tk )|2 . k=0 Nhận xét. Nếu f là hàm khả vi thì hf i(T ) = 0 bởi vì: n−1 X 2 |f (tk+1 ) − f (tk )| n−1 X = k=0 2 |f 0 (t∗k )| (tk+1 − tk )2 k=0 ≤ kπk n−1 X 2 |f 0 (t∗k )| (tk+1 − tk ). k=0 và hf i(T ) ≤ lim kπk. lim kπk→0 kπk→0 Z = = T 0 0. 9 2 |f 0 (t∗k )| (tk+1 − tk ) k=0 2 |f 0 (t)| dt lim kπk kπk→0 n−1 X Định lý 1.1.1. hB (t)i(T ) = T hay chính xác hơn P {w ∈ Ω, hB (., w)i (T ) = T } = 1. Đặc biệt, những quỹ đạo của chuyển động Brown là không khả vi. Nhận xét (Biểu diễn vi phân): Ta biết rằng   E (B (tk+1 ) − B (tk ))2 − (tk+1 − tk ) = 0. Từ trên ta thấy,   V ar (B (tk+1 ) − B (tk ))2 − (tk+1 − tk ) = 2(tk+1 − tk )2 . Khi hiệu (tk+1 − tk ) nhỏ thì (tk+1 − tk )2 là rất nhỏ, vì thế ta có thể lấy xấp xỉ bằng (B (tk+1 ) − B (tk ))2 ' tk+1 − tk , hay dB (t)dB (t) = dt. 1.1.3 Chuyển động Brown nhiều chiều Định nghĩa 1.1.4. Một chuyển động Brown-d chiều là một quá trình B (t) = (B1 (t), B2 (t) . . . Bd (t)) thỏa mãn các tính chất sau: i) Mỗi Bk (t) là chuyển động Brown một chiều; ii) Nếu i 6= j thì hai quá trình Bi (t) và Bj (t) là độc lập. Kết hợp với một chuyển động Brown-d chiều chúng ta có một bộ lọc {F(t)} cho như sau: i) Với mỗi t, vectơ ngẫu nhiên B (t) là F(t)-đo được; 10 ii) Với mỗi t ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn , các gia số B (t1 ) − B (t), . . . , B (tn ) − B (tn−1 ) là độc lập đối với bộ lọc F(t). 1.1.4 Biến phân chéo của chuyển động Brown Vì mỗi thành phần Bi là một chuyển động Brown một chiều, nên ta có dạng thức sau dBi (t)dBi (t) = dt. Định lý 1.1.2. Nếu i 6= j thì dBi (t)dBj (t) = 0 Chứng minh. Lấy π = t0 , . . . tn là một phân hoạch của [0, T ]. Với mỗi i 6= j ta định nghĩa biến phân chéo của Bi và Bj trên đoạn [0, T ] là: Cπ = n−1 X    Bi (tk+1 − Bi (tk ) Bj (tk+1 ) − Bj (tk ) . k=0 Các gia số xuất hiện bên vế phải của phương trình trên là độc lập với nhau và tất cả có giá trị trung bình bằng 0. Do đó ECπ = 0 Ta đi tính Cπ2 = n−1 X  2  2 Bi (tk+1 ) − Bi (tk ) Bj (tk+1 ) − Bj (tk )] k=0 +2 n−1 X      Bi (tl+1 )−Bi (tl ) Bj (tl+1 )−Bj (tl ) . Bi (tk+1 )−Bi (tk ) Bj (tk+1 )−Bj (tk ) . l m, B (T ) < b} = P (B (T ) > 2m − b) Z ∞ 1 x2 = √ exp {− }dx, 2T 2πT 2m−b 15 m > 0, b < m. Vì vậy mật độ đồng thời là:   Z ∞ ∂2 x2 1 √ P {M (T ) ∈ dm, B (T ) ∈ db} = − exp {− }dx dmdb ∂m∂b 2T 2πT 2m−b   ∂ 1 (2m − b)2 √ =− exp {− } dmdb, ∂m 2T 2πT 2(2m − b) (2m − b)2 √ = exp {− }dmdb, 2T T 2πT vớim > 0, b < m. Hình 1.2: Chuyển động Brown không có hệ số dịch chuyển Trường hợp có hệ số dịch chuyển: Đặt e (t) = θt + B t, B với B (t), 0 ≤ t ≤ T là một chuyển động Brown (không có hệ số dịch chuyển) trên không gian xác suất (Ω, F, P). 16 Ta có: Z(T ) 1 = exp {−θB (T ) − θ2 T } 2 1 exp {−θ (B (T ) + θT ) + θ2 T } 2 1 e (T ) + θ2 T }, = exp {−θB 2 Z Pe(A) = Z(T )dP, A ∈ F. = A Đặt e (T ). f(T ) = max B M 0≤t≤T e là chuyển động Brown (không có hệ số dịch chuyển), vì Dưới độ đo Pe, B m e − eb) (2m e − eb)2 f(T ) ∈ dm, e (T ) ∈ deb} = 2(2√ Pe{M e B exp {− }dmd e eb, 2T T 2πT với m e > 0, eb < m. e Lấy h(m, e eb) là một hàm hai biến. Thì f(T ), B e (T )) = E e Eh(M f(T ), B e (T )) h(M Z(T ) e M f(T ), B e (T )) exp {θB e (T ) − 1 θ2 T }] = E[h( 2 Z m=∞ Z e e b=m e 1 = h(m, e eb) exp {θeb − θ2 T } 2 e m=0 e b=−∞ f(T ) ∈ dm, e (T ) ∈ deb}. .Pe{M e B Mặt khác: Z f(T ), B e (T )) = Eh(M m=∞ e m=0 e Z e b=m e e b=−∞ f(T ) ∈ dm, e (T ) ∈ deb}. P {M e B Vì h tùy ý nên f(T ) ∈ dm, e (T ) ∈ deb} = exp {θeb − 1 θ2 T }Pe{M f(T ) ∈ dm, e (T ) ∈ deb} P {M e B e B 2 1 2(2m e − eb) = exp {θeb − θ2 T }. √ 2 T 2πT (2m e − eb)2 . exp {− }dmd e eb, m e > 0, eb < m. e 2T 17 1.2 1.2.1 Tích phân Itô, công thức Itô Xây dựng tích phân Itô Hàm dưới dấu tích phân là chuyển động Brown B (t), t ≥ 0 với bộ lọc F(t), t ≥ 0 và thỏa mãn các điều kiện sau: i) s ≤ t thì F(s) ⊂ F(t), ii) B (t) là F(t)-đo được với mọi t, iii) Cho 0 = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn , thì các gia số B (t1 ) − B (t0 ), . . . , B (tn ) − B (tn−1 ) là độc lập trong F(t). Khi đó tích phân f (t), t ≥ 0 thỏa mãn: i) f (t) là F(t)-đo được ∀t ii) f là bình phương khả tích, tức là: T Z f 2 (t)dt < ∞ E ∀T. 0 Khi đó tích phân Itô xác định bởi: Z I(t) = t f (u)dB (u), ∀t ≥ 0. 0 Nhận xét. Nếu g(t) là một hàm khả vi, thì ta có thể xác định Z t Z t f (u)dg(u) = f (u)g 0 (u)du. 0 0 Điều này sẽ không còn đúng khi tích phân là chuyển động Brown vì quỹ đạo của chuyển động Brown không khả vi. 18 1.2.2 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bậc thang Cho π = {t0 , t1 , . . . , tn } là phân hoạch của đoạn [0, T ], tức là 0 = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn = T. Giả sử f (t) là không đổi trên mỗi đoạn con [tk , tk+1 ] (như hình 1.3). Ta gọi f như vậy là hàm ngẫu nhiên bậc thang. Hình 1.3: Hàm ngẫu nhiên bậc thang f Cụ thể hơn • Coi B (t) là một đơn giá cổ phiếu của tài sản tại thời điểm t. • Các giá trị t0 , t1 , . . . , tn là ngày giao dịch đối với tài sản. • Còn f (tk ) là số cổ phần của tài sản được giao dịch ở thời điểm tk và giữ cho đến giao dịch ngày tk+1 . 19