Tài liệu Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR

Khi đọc qua tài liệu này, nếu phát hiện sai sót hoặc nội dung kém chất lượng xin hãy thông báo để chúng tôi sửa chữa hoặc thay thế bằng một tài liệu cùng chủ đề của tác giả khác. Tài li u này bao g m nhi u tài li u nh có cùng ch đ bên trong nó. Ph n n i dung b n c n có th n m gi a ho c cu i tài li u này, hãy s d ng ch c năng Search đ tìm chúng. Bạn có thể tham khảo nguồn tài liệu được dịch từ tiếng Anh tại đây: http://mientayvn.com/Tai_lieu_da_dich.html Thông tin liên hệ: Yahoo mail: [email protected] Gmail: [email protected] Đồ án tốt nghiệp Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp Tính toán động học, mô phỏng chuyển động của robot MMR ( Mini Mobile Robot ) và thiết kế, chế tạo mẫu robot MMR. Đồ án được chia thành 2 phần : ♦ Phần I: Tính toán động học và mô phỏng chuyển động robot MMR. -Chương 1: Cơ sở lý thuyết khảo sát bài toán động học robot. -Chương 2: Áp dụng tính động học cho robot MMR. -Chương 3: Phần mềm tính toán và mô phỏng. ♦ Phần I : Thiết kế và chế tạo mẫu robot MMR -Chương 1: Lựa chọn cấu trúc robot MMR -Chương 2 : Thiết kế cơ khí robot MMR Em xin chân thành cảm ơn T.S Phan Bùi Khôi cùng toàn thể các thầy cô trong bộ môn cơ học ứng dụng đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành đồ án này. Mặc dù rất cố gắng nhưng do kiến thức và thời gian có hạn nên đồ án không tránh khỏi thiếu sót. Em mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy, các cô trong bộ môn cũng như các bạn sinh viên, những người quan tâm đến robot. -1- Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp PHẦN I TÍNH TOÁN ĐỘNG HỌC VÀ MÔ PHỎNG CHUYỂN ĐỘNG ROBOT MMR -2- Tính h toán ch huyển độộng chươ ơng trình và thiết kế robott MMR Đồồ án tốt ng ghiệp CH HƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ L THU UYẾT KH HẢO SÁT T ĐỘNG G HỌC ROBOT R 1.11.Cấu trú úc động học h robot 1.1 1.1 Khái quát về rob bot v sự phátt triển khônng ngừng của c các ngghành khoaa học kỹ Cùng với thuuật đặc biệtt là lĩnh vự ực cơ khí, điện đ tử điềuu khiển vàà tin học đãã làm cho robbot ngày cààng có nhữ ững chức nnăng gần giiống như con người nhiều n hơn, trong robot có các bộ phận như cơ ơ cấu chấpp hành, hệ ddẫn động và v hệ thốngg điềều khiển. Cơ C cấu chấpp hành cũnng như cánnh tay chânn con ngườ ời, hệ dẫn độnng chính làà các cơ bắắp và đượcc trái tim coon người tư ương ứng với v động ccơ đặtt trong robot vận hànnh, hệ thống điều khiểển là bộ nãão điểu khiiển mọi hoạạt động của robot. Mắt, M mũi, taai (C Các senser cảm ứnng) Não ( hệ thống t điềuu khiển) Trái tim( Độngg cơ) Tay (Bàn ( kẹp, mang g dụng cụ gia g công)) Bắp thịt, t huyết quản (Các bộ truyền chuyển độngg) Da D (Vỏ bọc robot) r Khớp K (Cácc khớp k độngg robot) r Xương ( K Khung robot) H Hình 1.1 Người N và roobot 3 Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp Cuộc sống ngày càng văn minh hiện đại, mức sống của người dân ngày càng được nâng cao, đòi hỏi phải nâng cao năng suất và chất lượng của sản phẩm. Vì vậy càng phải ứng dụng rộng rãi các phương tiện tự động hoá vào sản xuất nên càng tăng nhanh nhu cầu về ứng dụng robot để tạo ra các hệ thống sản xuất tự động và linh hoạt. Robot có những đặc điểm nổi trội đó là: ♦ Có thể thực hiện công việc một cách bền bỉ, không biết mệt mỏi nên chất lượng sản phẩm được giữ ổn định. Giá thành sản phẩm hạ do giảm được chi phí cho người lao động. Ở nước ta trong những năm gần đây ở nhiều doanh nghiệp, khoản chi phí về lương bổng cũng chiếm tỷ lệ khá cao trong giá thành sản phẩm, càng cần phải ứng dụng công nghệ robot vào dây chuyền sản xuất. ♦ Nhất là ở nhiều nơi hiện nay cũng cần ứng dụng công nghệ robot để cải thiện điều kiện lao động vì trong thực tế sản xuất người lao động phải làm việc suốt buổi trong môi trường bụi bặm, ẩm ướt, ồn ào…quá mức cho phép nhiều lần. Thậm chí phải làm việc trong môi trường độc hại, nguy hiểm đến sức khoẻ con người. ♦ Mặt khác, khi áp dụng công nghệ robot vào sản xuất ta cũng cần lưu ý và phân tích kỹ toàn bộ hệ thống sản xuất sao cho phù hợp với các nguyên công và phù hợp với tình hình sản xuất của nhà máy. Cần xét đến đầy đủ các chi phí phụ và hiệu quả mang lại cho toàn bộ hệ thống. Khi xác định đưa robot vào hệ thống sản xuất thì cũng cần phải xét xem khả năng liệu robot có thay thế được hay không và có hiệu quả hơn không. Vì trong thực tế sản xuất cho thấy xu hướng thay thế hoàn toàn bằng robot nhiều khi không hiệu quả bằng việc giữ lại một số công đoạn mà cần phải có sự khéo léo của con người. ♦ Kỹ thuật robot có ưu điểm quan trọng nhất là tạo nên khả năng linh hoạt hóa sản xuất. Mà trong đó kĩ thuật robot và máy vi tính đã đóng -4- Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp vai trò quan trọng trong việc tạo ra các dây chuyền tự động linh hoạt.Vì vậy trong những năm gần đây không những chỉ các nhà khoa học mà cả các nhà sản xuất đã tập trung sự chú ý vào việc hình thành và áp dụng các hệ sản xuất linh hoạt. So với lúc mới ra đời, ngày nay công nghệ robot đã có những bước phát triển vượt bậc. Đặc biệt là vào những năm 60 của thế kỉ trước, với sự góp mặt của máy tính. Ở giai đoạn đầu người ta rất quan tâm đến việc tạo ra những cơ cấu tay máy nhiều bậc tự do, được trang bị cảm biến để thực hiện những công việc phức tạp. Ngày càng có những cải tiến quan trọng trong kết cấu các bộ phận chấp hành, tăng độ tin cậy của các bộ phận điều khiển, tăng mức thuận tiện và dễ dàng khi lập trình. Tăng cường khả năng nhận biết và xử lý tín hiệu từ môi trường làm việc để mở rộng phạm vi ứng dụng cho robot. Trong tương lai số lượng lao động được thay thế ngày càng nhiều vì một mặt giá thành robot ngày càng giảm do mặt hàng vi điện tử liên tục giảm giá đồng thời chất lượng liên tục tăng. Mặt khác chi phí về lương và các khoản phụ cấp cho người lao động ngày càng tăng. Robot ngày càng vạn năng hơn để có thể làm được nhiều việc trên các dây chuyền. Công đoạn lắp ráp thường chiếm tỷ lệ cao so với tổng thời gian sản xuất trên toàn bộ dây chuyền. Công việc lại đòi hỏi phải cẩn thận, nhẹ nhàng tinh tế và chính xác. Nên nếu là công nhân thì cần phải thợ có tay nghề cao và làm việc đơn điệu, căng thẳng. Robot đã có mặt nhiều trên các công đoạn lắp ráp phức tạp do được thừa hưởng kĩ thuật cảm biến, kĩ thuật tin học với những ngôn ngữ lập trình bậc cao. Robot tự hành cũng sẽ phát triển mạnh trong tương lai, có thể đi được bằng chân để thích hợp với mọi địa hình ví dụ như có thể tự leo bậc thang… Việc tạo ra các cơ cấu chấp hành cơ khí vừa bền vững, nhẹ nhàng chính xác và linh hoạt như chân tay người là đối tượng nghiên cứu chủ yếu. -5- Tính h toán ch huyển độộng chươ ơng trình và thiết kế robott MMR Đồồ án tốt ng ghiệp Kỹ thu uật robot cũũng từng bbước áp dụn ng các kết quả nghiên cứu về trrí khôôn nhân tạo và đưa vào v ứng dụụng trong cô ông nghiệpp. Cải tiến và bổ xunng cácc modul cảảm biến và các modull phần mềm m phù hợp có thể cải tiến và thôông minh hoá h nhiều loại l robot. Điều quann trọng là các cơ cấu chấp c hành củaa robot phảải hoạt độnng chính xáác. 1.2 Cấu trú úc động học robot 1.1 Ta có thể t khái quuát định ngghĩa robot theo t cách nhìn n của cơ ơ học là mộột chuỗi độộng, mỗi khhâu được gghép với nhhau bởi cácc khớp nốii, hoạt động linhh hoạt nhờ ờ hệ dẫn độộng và đượ ợc điều khiển bằng hệ h thống điềều khiển. Dưới đây đ là một số hình roobot liên tụ ục được ứnng dụng nhhiều trong cácc lĩnh vực: c khí: thườ ờng sử dụn ng trong cáác máy hàn n tự động, ♦ Trong gia công cơ hoan, trongg các dây ttruyền lắp ráp, r v…v… … máy kh ♦ Trong dây truyềnn sản xuất: Tham gia vào một số dây truyyền sản xuấất như gia công, phhun sơn, đóóng gói bao o bì, v…v… … ♦ Trong vận tải thư ường dùng để bốc xếp p hàng hóaa . Hình 1.22 Robot Hiipo 6 Hìnnh 1.3 Roboot Puma Tính h toán ch huyển độộng chươ ơng trình và thiết kế robott MMR Đồồ án tốt ng ghiệp Hình 1.4 robot Kuka K Hìình 1.5 Lasser Roboticc. Trong đồ án này em xin chhọn mô hình h robot MM MR khảo sát là mộtt chuuỗi động hở, h robot gồồm 4 khâuu và 4 khớpp quay có thhể thao tácc trong khôông gian cố định (xe không di cchuyển )(hhình 1.6). K Khâu cuối của c robot có thể mang dụng cụ cắắt, mỏ hàn,,bàn kẹp, v…v… v 7 Tính h toán ch huyển độộng chươ ơng trình và thiết kế robott MMR Đồồ án tốt ng ghiệp H Hình 1.6 1.22 Bậc tự do d của roobot Cơ cấu u tay của roobot phải đđược cấu tạạo sao cho khâu cuốii phải có vịị trí và theo một m hướng nhất n định nnào đó và dễ d dàng di chuyển dễễ dàng tronng vùnng làm việệc. Muốn vậy v cơ cấu tay của rob bot phải đạạt được mộột số bậc tự ự do chuyển độộng. Đểể tính số bậậc tự do củủa robot thìì ta có nhiềều cách tínhh dưới đâyy ta đưa ra cácch tính dựaa vào định lý Gruebleer. Theo Gruebler G thhì bậc tự do o f được tínnh theeo công thứ ức: g f = λ .(n − 1) − ∑ (λ − f ) − f i 0 i =1 (1.1) Trong đó : ♦ f : Là số bậc tự do củủa cơ cấu. 8 Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp ♦ λ : Bậc tự do của một vật rắn không chụi liên kết trong không gian làm việc của robot (λ = 3 ứng với không gian làm việc trong mặt phẳng, λ = 6 ứng với không gian làm việc trong không gian). ♦ n : Số khâu ( kể cả giá cố định). ♦ fi : Số bậc tự do của khớp thứ i. ♦ g : Tổng số khớp của cơ cấu. ♦ f 0 : Số bậc tự do thừa Một số ví dụ: - Số bậc tự do của mô hình robot trong đồ án ♦ λ = 6 (Vì không gian làm việc trong không gian ). ♦ n = 5 (Số khâu của robot kể cả xe). ♦ fi = 1( Vì tất cả các khớp quay trong robot đều có 1 bậc tự do). ♦ g = 4 (Tổng số khớp của cơ cấu). ♦ f 0 =0 (Không có bậc tự do thừa). Bậc tự do của robot là : g f = λ .(n − 1) − ∑ (λ − f ) − f i 0 i =1 4 f = 6.(5 − 1) − ∑ (6 − 1) − 0 = 4 1 - Laser Robotic ( Hình 1.5) λ = 6 , n = 7 , g = 6 , f i = 1, f 0 =0 g Bậc tự do của robot là : f = λ .(n − 1) − ∑ (λ − f ) − f i i =1 6 f = 6.(7 − 1) − ∑ (6 − 1) − 0 = 6 1 -9- 0 Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp 1.3 Phương pháp khảo sát bài toán động học Sử dụng phương pháp ma trận chuyền Denavit- Hartenberg 1.3.1 Tọa độ thuần nhất và ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất a) Vector điểm và tọa độ thuần nhất Vector điểm dùng để mô tả vị trí của điểm trong không gian 3 chiều. Xét điểm M trong không gian 3 chiều có thể z biểu diễn bằng vector r trong hệ tọa độ Oxyz: r = (rx , ry , rz )T M (1.2) T Vector r = (rx , ry , rz ) trong không gian ba chiều, được bổ sung thêm một thành phần thứ tư và thể x hiện bằng một vector mở rộng: r = (μ rx , μ ry , μ rz , m) 0 r Hình 1.7 Biểu diễn một điểm trong không gian T (1.3) Đó là cách biều diễn vector điểm trong không gian tọa độ thuần nhất. Như vậy có rất nhiều cách biểu diễn tọa độ trong không gian tọa độ thuần nhất, nó phụ thuộc vào giá trị của hệ số tỉ lệ μ. Nếu lấy μ = 1 thì các tọa độ biều diễn bằng tọa độ có thực, vector mở rộng được viết lại như sau: r = (rx , ry , rz , 1)T (1.4) Nếu lấy μ ≠ 1 thì các tọa độ biều diễn gấp μ lần tọa độ thực. b) Quay hệ tọa độ dùng ma trận 3x3 - 10 - y Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp Trước hết ta thiết lập quan hệ giữa 2 hệ tọa Z độ xyz và uvw chuyển động quay tương đối với nhau khi gốc O của 2 hệ vẫn trùng nhau. Gọi (ix , jy , kz ) và (iu , jv , kw) là các vector đơn vị chỉ phương các trục Oxyz và Ouvw tương ứng. độ Oxyz bằng vector: rxyz = (rx, ry, rz)T (1.5) còn trong hệ tọa độ Ouvw bằng vector : ruvw = (ru, rv, rw)T (1.6) Như vậy: ⎧ r = rxyz = rx i x + ry j y + rz k z ⎨ ⎩r = ruvw = ru iu + rv jv + rw k w (1.7) Từ đó ta có: ⎧ rx = i x r = i x iu ru + i x jv rv + i x k w rw ⎪ ⎨ry = j y r = j x iu ru + j y jv rv + k y k w rw ⎪r = k r = k i r + k j r + k k r z z u u z v v z w w ⎩ z (1.8) Hoặc viết dưới dạng ma trận: ⎡ rx ⎤ ⎡ i x iu ⎢r ⎥ = ⎢ j i ⎢ y⎥ ⎢ y u ⎢⎣ rz ⎥⎦ ⎢⎣ k z iu - 11 - u y O v x Hình 1.8 Các hệ tọa độ Một điểm M nào đó được biểu diễn trong hệ tọa (1.9) M w i x jv j y jv k z jv i x k w ⎤ ⎡ ru ⎤ j y k w ⎥⎥.⎢⎢ rv ⎥⎥ k z k w ⎥⎦ ⎢⎣rw ⎥⎦ Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp Gọi R là ma trận quay 3x3 với các phần tử là tích vô hướng 2 vector chỉ phương các trục tương ứng của 2 hệ tọa độ Oxyz và Ouvw. Phương trình (1.9) được viết lại: ⎧ rxyz = R.ruvw ⎨ −1 ⎩ruvw = R .rxyz (1.10) Có thể biểu diễn các phần tử ma trận R và R-1 như sau: ⎡ cos( x, u ) cos( x, v) cos( x, w) ⎤ R = ⎣⎡ aij ⎦⎤ = ⎢cos( y, u ) cos( y, v) cos( y, w) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ cos( z , u ) cos( z , v) cos( z, w) ⎥⎦ (1.11) ⎡ cos(u , x) cos(u , y ) cos(u , z ) ⎤ R −1 = ⎡⎣bij ⎤⎦ = ⎢ cos(v, x) cos(v, y ) cos(v, z ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣cos( w, x ) cos( w, y ) cos( w, z ) ⎥⎦ (1.12) Nhận xét: R -1 = R T c) Biến đổi tọa độ dùng ma trận thuần nhất Bây giờ ta thiết lập quan hệ giữa 2 hệ tọa độ: hệ tọa độ Oj xj yj zj sang hệ tọa độ mới Oi xi yi zi. Chúng không những quay tương đối với nhau mà tịnh tiến cả gốc tọa độ . xj zj Oj yj Oi a yi - 12 - xi b ϕ zi Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp Hình 1.9 Gốc Oj xác định trong hệ tọa độ Oi xi yi zi bằng vector p: p = (a, -b, -c, 1)T (1.13) Giả sử vị trí của điểm M trong hệ tọa độ Oj xj yj zj được xác định bằng vector rj : rj = (xj , yj , zj ,1)T (1.14) và trong hệ tọa độ Oi xi yi zi được xác định bằng vector ri : ri = (xi , yi , zi ,1)T (1.15) Dễ dàng thiết lập được các tọa độ: ⎧ x = x + at ⎪ i j j ⎪ ϕ ϕ − bt y y cos z sin = − ⎨ i j j j ⎪ t t 1 = = ⎪⎩ i j (1.16) Sắp xếp các hệ số ứng với xj , yj , zj và tj thành một ma trận: 0 ⎡1 ⎢0 cos ϕ Tij = ⎢ ⎢0 sin ϕ ⎢ 0 ⎣0 0 − sin ϕ cos ϕ 0 a⎤ −b ⎥ ⎥ −c ⎥ ⎥ 1⎦ (1.17) Phương trình biến đổi tọa độ được viết lại: ri = Tij rj (1.18) Ma trận Tij biểu thị bằng ma trận 4x4 như (1.17) gọi là ma trận thuần nhất. (1.17) được viết lại : - 13 - Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp 0 ⎡ x i ⎤ ⎡1 ⎢ y ⎥ ⎢0 cos ϕ ⎢ i⎥ = ⎢ ⎢ zi ⎥ ⎢0 sin ϕ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎣ 1 ⎦ ⎣0 0 − sin ϕ cos ϕ 0 a ⎤ ⎡x j ⎤ − b ⎥⎥ ⎢⎢ y j ⎥⎥ . − c⎥ ⎢ z j ⎥ ⎥⎢ ⎥ 1 ⎦⎣1 ⎦ (1.19) Như vậy ta đã dùng ma trận thuần nhất để biến đổi vector mở rộng từ hệ tọa độ thuần nhất này sang hệ tọa độ thuần nhất kia. Sử dụng ma trận thuần nhất trong phép biến đổi tọa độ tỏ ra có nhiều ưu điểm, bởi vì trong ma trận 4x4 bao gồm cả thông tin về sự quay và về cả dịch chuyển tịnh tiến. Ma trận thuần nhất Tij được viết rút gọn: ⎡R Tij = ⎢ ij ⎣0 P⎤ 1 ⎥⎦ (1.20) Trong đó: Rij: Ma trận quay 3x3. P: Ma trận 3x1 biểu thị tọa độ của điểm gốc hệ tọa độ Oj trong hệ tọa độ Oi xi yi zi . Ma trận thuần nhất T4x4 hoàn toàn xác định vị trí (ma trận P) và hướng (ma trận R) của hệ tọa độ Oj xj yj zj sang hệ tọa độ Oi xi yi zi. d) Các phép biến đổi cơ bản ♦ Phép biến đổi tịnh tiến: ta có ϕ =0, do đó: ⎡1 ⎢0 T= ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 (1.21) - 14 - 0 0 1 0 0 1 0 0 px ⎤ py ⎥ ⎥ pz ⎥ ⎥ 1⎦ Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp Tịnh tiến a đơn vị dọc theo trục x, b đơn vị dọc theo trục y, c đơn vị dọc theo trục z, khi đó: ⎡1 ⎢0 T= ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 a⎤ 1 0 b⎥ ⎥ 0 1 c⎥ ⎥ 0 0 1⎦ (1.22) Phép quay quanh các trục tọa độ ♦ Quay quanh trục x góc θ 0 ⎡1 ⎢0 cosθ R ( x ,θ ) = ⎢ ⎢0 sin θ ⎢ 0 ⎣0 0 − sin θ cosθ 0 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦ (1.23) ♦ Quay quanh trục y góc α ⎡ cos α ⎢ 0 R ( y ,α ) = ⎢ ⎢ − sin α ⎢ ⎣ 0 0 sin α 1 0 cos α 0 0 (1.24) ♦ Quay quanh trục z góc ϕ - 15 - 0 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦ Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp ⎡cos ϕ ⎢ sin ϕ R ( z ,ϕ ) = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 − sin ϕ cos ϕ 0 0 0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎦ (1.25) 1.3.2 Ma trận Denavit-Hartenberg Xét mô hình rôbốt gồm có n khâu như hình 1.10. Các khâu được đánh số tăng dần từ khâu cơ sở ( khâu 0 ) cho đến khâu thứ n. Khớp thứ k nối giữa khâu k-1 và khâu k. Hai loại khớp thường được dùng trong thiết kế rôbốt là khớp quay và khớp tịnh tiến. Mỗi khớp chỉ có một bậc tự do. Để mô tả mối quan hệ về mặt động học của hai khâu liên tiếp, người ta thường sử dụng các quy ước do Denavit-Hartenberg (DH) đề xuất năm 1955. Theo DH, tại mỗi khớp ta gắn một hệ trục toạ độ, quy ước về cách đặt hệ toạ độ này như sau: Khâu 2 Khớp 2 Khâu 1 Khâu n Khớp 1 Khớp 0 Khâu cơ sở Hình 1.10 Robot n khâu - 16 - Khớp n Tính toán chuyển động chương trình và thiết kế robot MMR Đồ án tốt nghiệp - Trục zi được liên kết với trục của khớp thứ i+1. Chiều của zi được chọn tuỳ ý. - Trục xi được xác định là đường vuông góc chung giữa trục khớp i và khớp i+1, hướng từ điểm trục của khớp i tới khớp i+1. Nếu hai trục song song, thì xi có thể chọn bất kỳ là đường vuông góc chung hai trục khớp. Trong trường hợp hai trục này cắt nhau, xi được xác định theo chiều của zi × zi +1 ( hoặc quy tắc bàn tay phải). - Trục yi được xác định theo xi và zi theo quy tắc bàn tay phải. Bốn thông số DH liên hệ giữa phép biến đổi của hai hệ trục toạ độ liên tiếp được xác định như sau: θ i : Góc xoay đưa trục xi −1 về xi quanh zi −1 theo quy tắc bàn tay phải. d i : Dịch chuyển dọc trục zi −1 đưa gốc toạ độ về nằm trên trục zi . α i : Góc xoay đưa trục zi −1 về zi quanh xi theo quy tắc bàn tay phải. ai : Dịch chuyển dọc trục xi , đưa gốc toạ độ về nằm trên trục xi . Ma trận của phép biến đổi, ký hiệu là Hi , là tích của bốn ma trận biến đổi cơ bản và có dạng như sau Khớp i+1 αi zi Khớp i ai zi-1 yi xi Khớpi-1 yi-1 di Khâu i xi-1 Khâu i-1 Hình 1.11 Hai khâu liên tiếp - 17 - θi