1
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
NGUYN TRUNG DÔNG
TNH ÊN ÀNH TIM CN CÕA TP I AN
NGUYN TÈ LIN KT CÕA MÆ UN ÈI ÇNG IU
ÀA PH×ÌNG
LUN VN THC S TON HÅC
Th¡i Nguy¶n - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
NGUYN TRUNG DÔNG
TNH ÊN ÀNH TIM CN CÕA TP I AN
NGUYN TÈ LIN KT CÕA MÆ UN ÈI ÇNG IU
ÀA PH×ÌNG
Chuy¶n ng nh: ¤i sè v Lþ thuy¸t sè
M¢ sè: 60. 46. 05
LUN VN THC S TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. Nguy¹n V«n Ho ng
Th¡i Nguy¶n - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Möc löc
Trang
Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc cð sð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. I ¶an nguy¶n tè li¶n k¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Mæ un
Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Mæ un èi çng i·u àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Chi·u v ë s¥u cõa mæ un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. V nh v mæ un ph¥n bªc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ch÷ìng 2. T½nh ên ành ti»m cªn cõa mët sè mð rëng cõa ë
s¥u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.1.
M −d¢y
tø chi·u
>k
v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Chùng minh ành lþ 0.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Mët sè t½nh ch§t li¶n quan ¸n
depthk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ch÷ìng 3. T½nh ên ành ti»m cªn cõa tªp i ¶an nguy¶n tè
li¶n k¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3.1. Chùng minh ành lþ 0.0.2 (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1. Chùng minh ành lþ 0.0.2 (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1. Chùng minh ành lþ 0.0.2 (iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Líi c£m ìn
Luªn v«n ÷ñc ho n th nh sau hai n«m håc t¤i Tr÷íng ¤i håc s÷
ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n v d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v nghi¶m
khc cõa TS. Nguy¹n V«n Ho ng. Nh¥n dàp n y tæi xin b y tä láng
bi¸t ìn s¥u sc ¸n Th¦y v gia ¼nh.
Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi GS.TSKH Nguy¹n Tü C÷íng, PGS.TS
Nguy¹n Quèc Thng, PGS.TS L¶ Thanh Nh n v TS. Nguy¹n Thà
Dung; c¡c th¦y cæ ð Khoa To¡n v Pháng o t¤o Sau ¤i håc Tr÷íng
¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y v gióp
ï tæi trong suèt thíi gian håc tªp.
Cuèi còng tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi ng÷íi th¥n, b¤n b± v t§t
c£ nhúng ng÷íi ¢ gióp ï, ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 8 n«m 2010
Håc vi¶n
Nguy¹n Trung Dông
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Mð ¦u
Cho
(R, m)
l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, I, J l hai
i ¶an cõa R v M l mët
R−mæ un
húu h¤n sinh. N«m 1979, M.
Brodmann ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng c¡c tªp
AssR (M/J n M )
l ên ành khi
n
khi
n
M −d¢y
k ≥ −1,
tø chi·u
mët d¢y
>k
nguy¶n
i
x1 , ..., xr
m
Ta k½ hi»u ë d i chung n y l
trong
depth(I, M )
I , depth0 (I, M )
cõa
I
> k
c¡c ph¦n tû cõa
i ∈ {1, ..., r}
v
nh÷ sau: cho
m
÷ñc gåi l
xi ∈
/ p
ta câ
vîi måi
Hå ¢ ch¿ ra r¬ng måi
·u câ ë d i nh÷ nhau v b¬ng sè
p ∈ Supp(HIi (M ))
depthk (I, M ).
trong
l ë s¥u låc
k½ hi»u bði Lü v Tang v
I
M
tø chi·u
dim(R/p) > k .
tèi ¤i trong
b² nh§t sao cho tçn t¤i
l ë s¥u
M −d¢y
n¸u vîi méi
p ∈ AssR (M/(x1 , ..., xi−1 )M )
M −d¢y tø chi·u > k
depth(I, J n M/J n+1 M )
õ lîn. G¦n ¥y, M. Brodmann v L.T.
Nh n ¢ ành ngh¾a kh¡i ni»m
sè nguy¶n
v
õ lîn. º chùng minh k¸t qu£
tr¶n, æng ¢ düa v o t½nh ên ành cõa
depth(I, M/J n M )
AssR (J n M/J n+1 M )
I
câ
dim(R/p) > k .
°c bi»t,
depth−1 (I, M )
l ë d i cõa
f-depth(I, M )
cõa
M −d¢y
tèi ¤i
M
I
trong
depth1 (I, M ) l ë s¥u suy rëng cõa M
֖c
trong
÷ñc ành ngh¾a bði L. T. Nh n. Tø â ta câ mët c¥u häi mð °t ra
l :
C¥u häi 1:
Li»u r¬ng c¡c sè depthk (I, J n M/J n+1 M ) v depthk (I, M/J n M ) câ
trð n¶n ên ành hay khæng khi n õ lîn?
N«m 2008, trong mët b i b¡o
cõa N. T. C÷íng, N. V. Ho ng v P. H. Kh¡nh (xem [8]), hå ¢ tr£ líi
kh¯ng ành cho c¥u häi tr¶n, â công l mët k¸t qu£ mð rëng cho mët
ành lþ cõa Brodmann, cö thº l ành lþ sau:
ành lþ 0.0.1. [8, ành lþ 1.1] Cho (R, m) l v nh àa ph÷ìng, I, J ⊆
R l c¡c i ¶an v M l R−mæ un húu h¤n sinh. Khi â vîi måi sè
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
nguy¶n k ≥ −1, c¡c sè depthk (I, J n M/J n+1 M ) v depthk (I, M/J n M )
trð th nh c¡c h¬ng sè rk v sk vîi n õ lîn.
M°t kh¡c, n«m 1990, C. Huneke ¢ ÷a ra gi£ thuy¸t r¬ng tªp
AssR (HIj (M ))
I,
v måi
j
l húu h¤n vîi måi mæ un húu h¤n sinh
M,
måi i ¶an
. C¥u tr£ líi kh¯ng ành cho c¥u gi£ thuy¸t â ÷ñc ÷a
ra bði Huneke-R.Y. Sharp, G. Lyubeznik cho c¡c v nh ch½nh quy àa
ph÷ìng chùa mët tr÷íng. M°c dò, sau â A. Singh, M. Katzman ¢
ch¿ ra c¡c ph£n v½ dö cho gi£ thuy¸t n y, nh÷ng gi£ thuy¸t â v¨n
cán óng trong nhi·u tr÷íng hñp. Ch¯ng h¤n, K. Khashyarmanesh-Sh.
Salarian, L.T. Nh n ¢ chùng minh r¬ng
vîi måi
j ≤ depth1 (I, M ).
Tø â v tø ành lþ 0.0.1 ta th§y r¬ng khi
j ≤ r1 = depth1 (I, J n M/J n+1 M )
c¡c tªp
n
AssR (HIj (M )) l tªp húu h¤n
v
i ≤ s1 = depth1 (I, M/J n M )
th¼
AssR (HIj (J n M/J n+1 M )) v AssR (HIi (M/J n M )) l húu h¤n vîi
õ lîn. V¼ th¸ nh÷ mët l³ tü nhi¶n, ng÷íi ta häi r¬ng
C¥u häi 2.
Cho c¡c sè nguy¶n j ≤ r1 v i ≤ s1 , li»u r¬ng c¡c tªp
AssR (HIj (J n M/J n+1 M )) v AssR (HIi (M/J n M )) câ trð n¶n ên ành hay
khæng khi n õ lîn?
Công trong b i b¡o n¶u tr¶n cõa N. T. C÷íng, N.
V. Ho ng v P. H. Kh¡nh (xem [8]), hå ¢ tr£ líi kh¯ng ành cho mët
c¥u häi y¸u hìn c¥u häi tr¶n, cö thº hå thu ÷ñc ành lþ sau:
ành lþ 0.0.2. [8,
ành lþ 1.2] Cho (R, m) l v nh àa ph÷ìng,
I, J ⊆ R l c¡c i ¶an v M l R−mæ un húu h¤n sinh. L§y rk =
depthk (I, J n M/J n+1 M ) v sk = depthk (I, M/J n M ) khi n õ lîn nh÷
trong ành lþ 0.0.1. Khi â c¡c m»nh · sau l óng:
r
s
(i) AssR (HI −1 (J n M/J n+1 M )) v AssR (HI −1 (M/J n M )) l c¡c tªp ên
ành khi n õ lîn.
S
S
(ii)
AssR HIj (J n M/J n+1 M )) v
AssR HIi (M/J n M )) l c¡c tªp
j≤r0
i≤s0
ên ành khi n õ lîn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
(iii)
S
t≤j
AssR HIt (J n M/J n+1 M ))∪{m} v
S
t≤i
AssR HIt (M/J n M ))∪{m}
vîi måi j ≤ r1 v i ≤ s1 l c¡c tªp ên ành khi n õ lîn.
Nhúng v§n · n¶u tr¶n câ mët þ ngh¾a quan trång chuy¶n ng nh
¤i sè, ¤i sè giao ho¡n v ¤i sè çng i·u, v¼ th¸ nâ ¢ thu hót sü
quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc tr¶n th¸ giîi v trong n÷îc. Möc
½ch cõa luªn v«n n y l h» thèng mët sè ki¸n thùc c¦n thi¸t v· ¤i
sè giao ho¡n, ¤i sè çng i·u câ li¶n quan ¸n c¡c c¥u häi 1, 2; Sau
â tr¼nh b y l¤i mët c¡ch chi ti¸t chùng minh cho c¡c ành lþ 0.0.1 v
ành lþ 0.0.2 v mët sè h» qu£ cõa chóng.
Luªn v«n gçm 3 ch÷ìng. Ch÷ìng 1 d nh º nhc l¤i mët sè ki¸n thùc
cì sð v· ¤i sè giao ho¡n, èi çng i·u àa ph÷ìng, mæ un ph¥n bªc
nh¬m phöc cho vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ cõa c¡c ch÷ìng ti¸p sau.
Trong ph¦n ¦u cõa ch÷ìng 2, chóng tæi giîi thi»u kh¡i ni»m
tø chi·u
> k,
ë d i cõa
M −d¢y
tø chi·u
> k
trong
I.
M −d¢y
Ti¸p theo,
chóng tæi chùng minh ành lþ 0.0.1 v h» qu£ cõa nâ. Ph¦n cuèi cõa
ch÷ìng n y, chóng tæi x²t mët sè t½nh ch§t quan trång cõa
chi·u
>k
M −d¢y
tø
v mð rëng cõa ë s¥u. Ch÷ìng cuèi còng, chóng tæi d nh
to n bë cho vi»c chùng minh ành lþ 0.0.2. Trong â, tr÷îc méi ph¦n
chùng minh chóng tæi ·u ÷a ra c¡c t½nh ch§t câ li¶n quan.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
Ch֓ng 1
Ki¸n thùc cì sð
Trong suèt luªn v«n n y, ta luæn k½ hi»u
(R, m)
àa ph÷ìng, Noether vîi i ¶an cüc ¤i duy nh§t
l v nh giao ho¡n,
m; v M
l
R−mæ un
húu h¤n sinh.
1.1 I ¶an nguy¶n tè li¶n k¸t
ành ngh¾a 1.1.1.
Mët i ¶an nguy¶n tè
nguy¶n tè li¶n k¸t cõa
Ann(x) = p.
AssR (M )
M
p
cõa
R
n¸u tçn t¤i mët ph¦n tû
Tªp c¡c i ¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa
ho°c
÷ñc gåi l i ¶an
M
x ∈ M
sao cho
÷ñc k½ hi»u l
Ass(M ).
Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa tªp c¡c i ¶an nguy¶n tè li¶n
k¸t.
M»nh · 1.1.2.
(a) Cho p l i ¶an nguy¶n tè cõa R. Khi â p ∈ AssR (M ) n¸u v ch¿
n¸u M chùa mët mæ un con ¯ng c§u vîi R/p.
(b) Cho p l ph¦n tû tèi ¤i cõa tªp c¡c i ¶an câ d¤ng Ann(x) trong
â 0 6= x ∈ M . Khi â p ∈ AssR (M ). V¼ th¸, M 6= 0 khi v ch¿ khi
AssR (M ) 6= 0. Hìn núa, tªp ZD(M ) c¡c ÷îc cõa khæng cõa M ch½nh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
l hñp cõa c¡c i ¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M.
(c) Cho 0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0 l d¢y khîp c¡c R−mæ un.
Khi â
AssR M 0 ⊆ AssR M ⊆ AssR M 0 ∪ AssR M 00 .
(d) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) v méi ph¦n tû tèi thiºu cõa SuppR (M )
·u thuëc AssR (M ).
(e) N¸u M l R−mæ un húu h¤n sinh th¼ AssR (M ) l tªp húu h¤n. Hìn
núa, AssR (M ) ⊆ V (Ann M ) v méi ph¦n tû tèi thiºu cõa V (Ann M )
·u thuëc AssR (M ). V¼ th¸ Ann(M ) l giao c¡c i ¶an nguy¶n tè li¶n
k¸t cõa M .
(f) N¸u N l mæ un con cõa M th¼
AssR (N ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M/N ) ∪ AssR (N ).
(h) AssRp (Mp ) = {qRp |q ∈ AssR (M ), q ⊆ p}.
D÷îi ¥y l mët k¸t qu£ r§t quan trång cõa M. Brodmann v· t½nh
ên ành cõa tªp c¡c i ¶an nguy¶n tè li¶n k¸t.
ành lþ 1.1.3. Cho I l mët i ¶an cõa R v M l húu h¤n sinh. Khi
â c¡c tªp AssR (M/I n M ) v AssR (I n−1 M/I n M ) khæng phö thuëc v o
n khi n õ lîn.
1.2 Mæ un Ext
º ti»n theo dãi, trong möc n y, ta nhc ngn gån c¡c kh¡i ni»m mæ un
Ext
v mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa nâ.
ành ngh¾a 1.2.1.
Mët gi£i x¤ £nh cõa
M
l mët d¢y khîp
. . . −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→ M −→ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
trong â méi
Pi
Chó þ 1.2.2.
gi£ sû
Y
P1
M,
gåi
luæn tçn t¤i. Thªt vªy,
P0 = ⊕y∈Y Ry ,
tü do tr¶n tªp Y. Khi â ta câ to n c§u
ϕ(ay )y∈Y = Σy∈Y ay y .
l
M
Gi£i x¤ £nh cõa mët mæ un
l mët h» sinh cõa
R−mæ un
bði
l mæ un x¤ £nh.
°t
K1 = Ker ϕ.
L§y
Y1
vîi
Ry = R,
ϕ : P0 −→ M
l h» sinh cõa
l
cho
K1
v
R−mæ un tü do sinh bði Y1 . Khi â ta câ mët to n c§u tü nhi¶n
f1 : P1 −→ K1 .
tü nhi¶n tø
K1
°t
v o
µ1 = j1 f1 ,
trong â
j1 : K1 ,→ P0
P0 . D¹ th§y Im µ1 = Ker ϕ. °t K2 = Ker µ1 . B¬ng
c¡ch lªp luªn t÷ìng tü, ta câ mët to n c§u
l mæ un tü do v
l ph²p nhóng
f2 : P2 −→ K2
Im µ2 = Ker µ1 , trong â µ2 = j2 f2
vîi
sao cho
P2
j2 : K2 ,→ P1
l ph²p nhóng tü nhi¶n. Cù ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n ta thu ÷ñc mët
d¢y khîp
µ2
µ1
ϕ
. . . −→ P1 −→ P0 −→ M −→ 0
trong â méi
Pi
l mæ un tü do. V¼ méi mæ un tü do l x¤ £nh n¶n
d¢y khîp tr¶n l gi£i x¤ £nh cõa
ành ngh¾a 1.2.3.
Cho
N
ph£n bi¸n, khîp tr¡i. Cho
f2
l
M
M.
R−mæ un.
l
X²t h m tû
R−mæ un.
f1
f0
Hom(−, N )
L§y gi£i x¤ £nh cõa
l
M.
µ
. . . −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→ M −→ 0.
T¡c ëng h m tû
Hom(−, N )
v o d¢y khîp tr¶n ta câ phùc
f∗
f∗
f∗
0
1
2
0 −→ Hom(P0 , N ) −→
Hom(P1 , N ) −→
Hom(P2 , N ) −→
....
Khi â
∗
ExtiR (M, N ) = Ker fi∗ / Im fi−1
.
v o vi»c chån gi£i x¤ £nh cõa
Mæ un n y khæng phö thuëc
M.
Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa mæ un
Ext.
M»nh · 1.2.4.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
(a) N¸u M l x¤ £nh th¼ ExtiR (M, N ) = 0 vîi måi i ≥ 1.
(b) Ext0R (M, N ) ∼
= Hom(M, N ).
(c) N¸u 0 −→ N 0 −→ N −→ N ” −→ 0 l d¢y khîp ngn th¼ tçn t¤i
0
c¡c çng c§u nèi ExtnR (M, N 00 ) −→ Extn+1
R (M, N ) vîi måi n ≥ 0 sao
cho ta câ d¢y khîp d i
0 −→ Hom(M, N 0 ) −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M, N 00 ) −→ Ext1R (M, N 0 )
−→ Ext1R (M, N ) −→ Ext1R (M, N 00 ) −→ Ext2R (M, N 0 ) −→ . . .
(d) N¸u 0 −→ N 0 −→ N −→ N ” −→ 0 l d¢y khîp ngn th¼ tçn t¤i
00
c¡c çng c§u nèi ExtnR (N 0 , M ) −→ Extn+1
R (N , M ) vîi måi n ≥ 0 sao
cho ta câ d¢y khîp d i
0 −→ Hom(N ”, M ) −→ Hom(N, M ) −→ Hom(N 0 , M ) −→ Ext1R (N 00 , M )
−→ Ext1R (N, M ) −→ Ext1R (N 0 , M ) −→ Ext2R (N 00 , M ) −→ . . .
Tø Chó þ 1.2.2 v tø ành ngh¾a
Ext
ta câ ngay k¸t qu£ sau.
H» qu£ 1.2.5. N¸u M, N l c¡c R−mæ un húu h¤n sinh th¼ ExtnR(M, N )
l húu h¤n sinh vîi måi n.
K¸t qu£ sau ¥y cho ta t½nh ch§t giao ho¡n giúa
Ext
v h m tû àa
ph÷ìng hâa.
M»nh · 1.2.6. N¸u S l tªp âng nh¥n cõa R th¼
S −1 (ExtnR (M, N )) ∼
= ExtnS −1 R (S −1 M, S −1 N )
trong â S −1 l h m tû àa ph÷ìng hâa. °c bi»t,
(ExtnR (M, N ))p ∼
= ExtnRp (Mp , Np )
vîi måi i ¶an nguy¶n tè p cõa R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
1.3 Mæ un èi çng i·u àa ph÷ìng
ành ngh¾a 1.3.1. S
Cho
I
l i ¶an cõa
I n ).
ành ngh¾a
ΓI (M ) =
R−mæ un
th¼ ta câ çng c§u c£m sinh
f ∗ (m) = f (m).
ph¤m trò c¡c
n≥0 (0 :M
Khi â
ΓI (−)
R−mæ un
R.
Vîi méi
R−mæ un M ,
f : M −→ N
N¸u
ta
l çng c§u c¡c
f ∗ : ΓI (M ) −→ ΓI (N )
cho bði
l mët h m tû hi»p bi¸n, khîp tr¡i tø
¸n ph¤m trò c¡c
R−mæ un. ΓI (−) ÷ñc
gåi
h m tû I−xon.
Bê · 1.3.2. Cho I l i ¶an cõa v nh Noether R. Gi£ sû M l húu
h¤n sinh. C¡c ph¡t biºu sau l óng.
(a) ΓI (M ) 6= 0 n¸u v ch¿ n¸u I ⊆ ZD(M ), trong â
ZD(M ) = {a ∈ R : tçn t¤i 0 6= m ∈ M sao cho am = 0}
(b) Ass(ΓI (M )) = Ass(M ) ∩ V (I) v Ass(M/ΓI (M )) = Ass(M ) \ V (I).
ành ngh¾a 1.3.3. Mët gi£i nëi x¤ cõa M l mët d¢y khîp
µ
f0
f1
f2
0−→M −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ . . .
trong â méi Ei l mæ un nëi x¤.
Chó þ 1.3.4. Gi£i nëi x¤ cõa mët mæ un M luæn tçn t¤i.
ành ngh¾a 1.3.5. Cho M l R−mæ un v I l i ¶an cõa R. Cho gi£i
nëi x¤ cõa M
µ
f0
f1
f2
0−→M −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ . . .
T¡c ëng h m tû I−xon v o d¢y khîp tr¶n ta ÷ñc phùc
f∗
f∗
f∗
0
1
2
0 −→ ΓI (E0 ) −→
ΓI (E1 ) −→
ΓI (E2 ) −→
...
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
∗
Khi â HIi (M ) = Ker fi∗ / Im fi−1
l mæ un èi çng i·u thù i cõa
phùc v ÷ñc gåi l mæ un èi çng i·u àa ph÷ìng thù i cõa M èi
vîi i ¶an I.
Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa mæ un èi çng i·u àa
ph֓ng.
M»nh · 1.3.6.
(a) N¸u M l nëi x¤ th¼ HIi (M ) = 0 vîi måi i ≥ 1.
(b) ΓI (M ) ∼
= HI0 (M ).
(c) N¸u 0 −→ M 0 −→ M −→ M ” −→ 0 l d¢y khîp ngn th¼ tçn t¤i
c¡c çng c§u nèi HIn (M 00 ) −→ HIn+1 (M 0 ) vîi måi n ≥ 0 sao cho ta câ
d¢y khîp d i
0 −→ ΓI (M 0 ) −→ ΓI (M ) −→ ΓI (M 00 ) −→ HI1 (M 0 )
−→ HI1 (M ) −→ HI1 (M 00 ) −→ HI2 (M 0 ) −→ . . .
K¸t qu£ sau ¥y cho ta t½nh ch§t giao ho¡n giúa èi çng i·u àa
ph÷ìng v h m tû àa ph÷ìng hâa.
M»nh · 1.3.7. N¸u S l tªp âng nh¥n cõa R v S −1 l h m tû
àa ph÷ìng hâa th¼ S −1 HIn (M ) ∼
=
= HSn−1 I (S −1 M ). °c bi»t, (HIn (M ))p ∼
n
HIR
(Mp ) vîi måi i ¶an nguy¶n tè p cõa R.
p
Tø m»nh · tr¶n ta câ k¸t qu£ sau.
Bê · 1.3.8. Vîi méi i ¶an nguy¶n tè p cõa R ta câ p ∈ Ass HIn(M )
n
n¸u v ch¿ n¸u pRp ∈ Ass HIR
(Mp ).
p
1.4 Chi·u v ë s¥u cõa mæ un
ành ngh¾a 1.4.1.
R−mæ un
gåi l
Cho
R
l v nh giao ho¡n Noether v
húu h¤n sinh kh¡c 0. D¢y c¡c ph¦n tû
M −d¢y
M
a1 , . . . , a n ∈ R
֖c
ch½nh quy n¸u:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
l
http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
(i)
M/(a1 , . . . , an )M 6= 0,
(ii)
ai l ph¦n tû M/(a1 , . . . , ai−1 )M −ch½nh quy, vîi måi i = 1, . . . , n.
ë d i cõa
n o gåi l
*
M −d¢y
M −d¢y
v
M −d¢y
l sè ph¦n tû cõa d¢y.
khæng câ ph¦n tû
câ ë d i 0.
L÷u þ:
(i)
a∈R
l ph¦n tû
M −ch½nh
quy n¸u
a
khæng l ÷îc cõa 0 trong
M.
a1 , . . . , a n ∈ R
(ii)
M/(a1 , . . . , an )M 6= 0
vîi
M −d¢y
÷ñc gåi l
ai ∈
/ p
v
vîi måi
R
Cho
l v nh giao ho¡n Noether v
R−mæ un húu h¤n sinh kh¡c 0. L§y I
a1 , . . . , a n
M −d¢y
l
M −d¢y
ành ngh¾a 1.4.3.
l
I
M −d¢y
R
Cho
d¢y ch½nh quy tèi ¤i trong
I
Ta nâi r¬ng
ch½nh quy câ ë d i
M
l i ¶an cõa
trong
I
*
måi
l
l
an+1 ∈ I
n + 1.
M
l
R sao cho M 6= IM .
·u câ thº mð rëng th nh
v c¡c d¢y ch½nh quy tèi ¤i cõa
câ còng ë d i. ë d i n y gåi chung l ë s¥u cõa
hi»u l
a1 , . . . , a n
l v nh giao ho¡n Noether v
Khi â måi d¢y ch½nh quy cõa
M
M
trong
trong
I.
K½
depth(I, M ).
Nhªn x²t:
N¸u
R l v nh àa ph÷ìng vîi i ¶an cüc ¤i m. Khi â
M −d¢y ch½nh quy a1 , . . . , an ph£i câ c¡c ph¦n tû thuëc m, ìn gi£n
M 6= (a1 , . . . , an )M .
Chó þ ta câ
Do â d¢y c¡c ph¦n tû cõa
l
I.
M
R sao cho M 6= IM
n¸u khæng tçn t¤i ph¦n tû
R−mæ un húu h¤n sinh kh¡c 0. L§y I
v¼
l i ¶an cõa
ch½nh quy trong
ch½nh quy tèi ¤i trong
a1 , . . . , an , an+1
sao cho
I
p ∈ AssR M/(a1 , . . . , ai−1 )M
i = 1, . . . , n.
ành ngh¾a 1.4.2.
v
ch½nh quy khi v ch¿ khi
M −d¢y
trong
m
R
ch½nh quy trong
gåi l ë s¥u cõa
M
m.
l
M 6= mM
M −d¢y
theo Bê · Nakayama.
ch½nh quy khi v ch¿ khi nâ
Trong tr÷íng hñp n y, ë s¥u cõa
v k½ hi»u l
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
depth M.
http://www.lrc-tnu.edu.vn
M
15
K¸t qu£ sau ¥y l °c tr÷ng qua t½nh khæng tri»t ti¶u cõa mæ un
Ext .
M»nh · 1.4.4. Cho R l v nh Noether, I l i ¶an cõa R v M l
R−mæ un húu h¤n sinh. Khi â
depth(I, M ) = inf{i | ExtiR (R/I, M ) 6= 0}.
ë s¥u công câ thº ÷ñc °c tr÷ng qua t½nh khæng tri»t ti¶u cõa
mæ un èi çng i·u àa ph÷ìng.
M»nh · 1.4.5. Gi£ sû I l i ¶an cõa R v M l húu h¤n sinh. Khi
â
depth(I, M ) = inf{i | HIi (M ) 6= 0}.
Ta gåi mët d¢y c¡c i ¶an nguy¶n tè
pi 6= pi+1
l
l mët d¢y nguy¶n tè
p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn ,
trong â
câ ë d i n. Chi·u cõa v nh R,
k½ hi»u
dim R, l cªn tr¶n cõa c¡c ë d i cõa c¡c d¢y i ¶an nguy¶n tè trong
R. Chi·u cõa mæ un M ,
k½ hi»u l
dim M
cho câ mët d¢y nguy¶n tè câ ë d i
h¤n sinh th¼
Supp M = V (AnnR M ),
n
l cªn tr¶n cõa c¡c sè
trong
Supp M .
Khi
M
n
sao
l húu
do â
dim M = dim R/ AnnR M = sup dim(R/p).
p∈Ass M
Khi
R
l v nh Noether àa ph÷ìng th¼ måi
R−mæ un húu h¤n sinh
·u câ chi·u húu h¤n. °c bi»t, ta câ k¸t qu£ sau ¥y.
M»nh · 1.4.6. Cho (R, m) l v nh àa ph÷ìng v M l R−mæ un
húu h¤n sinh. Khi â `(M/mn M ) l mët a thùc vîi h» sè húu t khi
n õ lîn v
dim M = deg(`(M/mn M ))
= inf{t : ∃a1 , . . . , at º `(M/(a1 , . . . , at M )) < ∞}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
Gi£ sû
dim M = d. Theo m»nh · tr¶n, câ c¡c ph¦n tû a1 , . . . , ad ∈ m
sao cho
`(M/(a1 , . . . , ad M )) < ∞. Mët h» nh÷ th¸ ÷ñc gåi l h» tham
sè
M.
cõa
K¸t qu£ sau ¥y ch¿ ra r¬ng chi·u cõa mët mæ un câ thº °c tr÷ng
thæng qua t½nh tri»t ti¶u v khæng tri»t ti¶u cõa mæ un èi çng i·u
àa ph÷ìng.
M»nh · 1.4.7. Cho I l i ¶an cõa R v M l R−mæ un húu h¤n
sinh kh¡c 0. Khi â
(a) HIi (M ) = 0 vîi måi i > dim M.
(b) N¸u (R, m) l v nh àa ph÷ìng th¼ dim M = sup{i : Hmi (M ) 6= 0}.
1.5 V nh v mæ un ph¥n bªc
ành ngh¾a 1.5.1.
(i) Mët v nh ph¥n bªc
thäa m¢n c¡c t½nh ch§t
cõa
A)
A=
An .Am ⊆ An+m
v
l ph¦n tû thu¦n nh§t bªc
N¸u
A = ⊕n≥0 An
A v An
l mët
l
A0
n=0 An (têng trüc ti¸p c¡c nhâm con
vîi måi
n, m.
Méi ph¦n tû cõa
An
An
÷ñc gåi
n.
A0
l mët v nh ph¥n bªc th¼
¤i sè. N¸u tçn t¤i húu h¤n ph¦n tû
th¼ ta nâi
sinh, trong tr÷íng hñp n y
A0 .
l mët v nh giao ho¡n
l mët v nh con cõa
A0 −mæ un vîi måi n ≥ 0. °c bi»t, A câ c§u tróc tü nhi¶n
A = A0 [a1 , . . . , an ]
tr¶n
A
L∞
N¸u
a thùc tr¶n
A0
A0
A
A0 − ¤i
l
a1 , . . . , an ∈ A1
sao cho
sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n
A l £nh çng c§u cõa v nh a thùc n bi¸n
l v nh Noether th¼ theo ành l½ cì sð Hilbert, v nh
l v nh Noether. V¼ th¸
l v nh Noether.
A−mæ un th¼ M gåi l A−mæ un
L∞
ph¥n bªc n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau M =
n=0 Mn (nh÷ l nhâm)
(ii) Cho
v
A l v nh ph¥n bªc v M
A
An .Mm ⊆ Mn+m
vîi måi
l
n, m.
Khi â mët ph¦n tû
c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t (ph¥n bªc) câ bªc l
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n.
Cho
N
x ∈ Mn
gåi l
l mæ un con
http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
cõa mæ un ph¥n bªc
bªc) n¸u
N=
L∞
M, N
n=0 (Mn
÷ñc gåi l mæ un con thu¦n nh§t (ph¥n
∩ N ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
Ch֓ng 2
T½nh ên ành ti»m cªn cõa mët sè
mð rëng cõa ë s¥u
Trong ch÷ìng n y, ta nhc l¤i kh¡i ni»m
M −d¢y tø chi·u > k v chùng
minh ành lþ 0.0.1.
2.1
d¢y tø chi·u > k v c¡c t½nh ch§t
M−
ành ngh¾a 2.1.1.
c¡c ph¦n tû cõa
i ∈ {1, ..., r}
m
ta câ
k ≥0
Cho
l mët sè nguy¶n. Mët d¢y
M −d¢y
÷ñc gåi l
xi ∈
/ p
vîi måi
> k
tø chi·u
x1 , ..., xr
n¸u vîi méi
p ∈ AssR (M/(x1 , ..., xi−1 )M )
m
dim(R/p) > k .
D¹ th§y r¬ng
x1 , ..., xr
l mët
n¸u nâ l mët d¢y ch½nh quy cõa
chi·u
>0
M −d¢y
M,
v
tø chi·u
x1 , ..., xr
> −1
l mët
n¸u v ch¿ n¸u nâ l mët d¢y låc ch½nh quy cõa
n¸u v ch¿
M −d¢y
M
tø
÷ñc giîi
thi»u bði N. T. C÷íng, P. Schenzel v N. V. Trung (xem [9]). Hìn núa,
x1 , ..., xr
l mët
M −d¢y
tø chi·u
ch½nh quy suy rëng cõa
M
Chó þ 2.1.2.
(i) Cho
k
Khi â b§t k¼
M −d¢y
> 1
n¸u v ch¿ n¸u nâ l mët d¢y
÷ñc ành ngh¾a bði L. T. Nh n (xem [21]).
l mët sè nguy¶n. Gi£ sû
tø chi·u
> k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
trong
I
dim(M/IM ) > k .
câ ë d i húu h¤n, v
http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
t§t c£ c¡c
M −d¢y
tø chi·u
i
nhau v b¬ng sè nguy¶n
vîi
dim(R/p) > k
k½ hi»u,
I.
x1 , ..., xr
l ë s¥u thæng th÷íng
p ∈ Supp(HIi (M ))
x1 , ..., xr
M −d¢y
> k
tèi
l mët d¢y tø chi·u
> k
tèi
l mët ph¦n h» tham sè cõa
depth(I, M )
cõa
M
I
f-depth(I, M )
(xem [15]), v
·u câ ë d i nh÷
tø chi·u
l ë d i cõa mët
depthk (I, M ) ≤ dim(M ) − dim(M/IM ).
ë s¥u låc
I
b² nh§t sao cho tçn t¤i
Hìn núa, n¸u
¤i trong I, th¼
tèi ¤i trong
(xem [4, ành lþ 2.4]). Trong tr÷íng hñp n y ta
depthk (I, M )
¤i trong
> k
cõa
depth1 (I, M )
trong
v do â
depth−1 (I, M )
Chó þ r¬ng,
M
M,
depth0 (I, M )
trong I,
l
÷ñc k½ hi»u bði Lü v Tang
l ë s¥u suy rëng cõa
M
trong
I
֖c
ành ngh¾a bði L. T. Nh n (xem [21]).
(ii) N¸u
trong
°t
I
dim(M/IM ) ≤ k
câ ë d i
r
th¼ ta câ thº chån mët
M −d¢y
tø chi·u
>k
nguy¶n d÷ìng b§t k¼, v trong tr÷íng hñp n y ta
depthk (I, M ) = ∞.
Cho
S
l tªp con cõa
Spec(R)
v
i≥0
l mët sè nguy¶n, ta °t
S≥i := {p ∈ S| dim(R/p) ≥ i}
v
S>i := {p ∈ S| dim(R/p) > i}.
Bê · 2.1.3. Cho k ≥ −1 l mët sè nguy¶n. Khi â
depthk (I, M ) = inf{j | dim(ExtjR (R/I, M )) > k}
= inf{depthk−i (Ip , Mp )|p ∈ Supp(M/IM )≥i }
vîi måi 0 ≤ i ≤ k + 1, ð ¥y ta quy ÷îc r¬ng inf(∅) = ∞.
Chùng minh.
k,
Ta câ
depthk (I, M ) = ∞
n¸u v ch¿ n¸u
do â m»nh · óng trong tr÷íng hñp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
dim(M/IM ) ≤
depthk (I, M ) = ∞.
Gi£ sû
http://www.lrc-tnu.edu.vn
20
r = depthk (I, M )
l mët sè nguy¶n khæng ¥m. Theo [ 4, Bê · 2.4 ],
ta câ
r = inf{i|∃p ∈ Supp(HIi (M )), dim(R/p) > k}.
Hìn núa, theo [ 7, Bê · 2.8 ], ta ÷ñc
[
Supp(HIj (M )) =
l ≥ 0.
Supp(ExtjR (R/I, M ))
j≤l
j≤l
vîi måi
[
Do â
r = inf{j|∃p ∈ Supp(ExtjR (R/I, (M )), dim(R/p) > k}
hay
r = inf{j| dim(ExtjR (R/I, M )) > k}.
Ta chùng minh d§u b¬ng thù hai trong bê ·. Cho
mët
M −d¢y
tø chi·u
p ∈ Supp(M/IM )≥i ,
> k
trong I v
ta th§y
xi /1 ∈ qRp
Vîi méi
Mp −d¢y
tø chi·u
x1 /1, . . . , xr /1
tçn t¤i mët x½ch nguy¶n tè
t¤i mët x½ch nguy¶n tè
Nh÷ vªy,
xi ∈ q
vîi
v
1∈
/ p. Gi£ sû, tçn t¤i i
khi â
pRp ⊃ . . . ⊃ qRp câ ë d i > k −i, do â tçn
m ⊃ . . . ⊃ p ⊃ . . . ⊃ q câ ë d i > k − i + i = k .
q ∈ Ass(M/(x1 , . . . , xi−1 )M )
i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t. Do â,
kh¡c, theo d§u b¬ng thù nh§t, tçn t¤i
dim(R/q) > k .
l mët
qRp ∈ (AssR (Mp /(x1 , . . . , xi−1 )Mp ))>k−i ,
vîi
l
i ∈ {0, . . . , k + 1}.
> k −i trong Ip . Thªt vªy, xi /1 ∈ Ip do xi ∈ I
sao cho
x1 , . . . , x r
v
dim(R/q) > k ,
r ≤ depthk−i (Ip , Mp ).
M°t
q ∈ Supp(ExtrR (R/I, M ))
vîi
Do â, tçn t¤i d¢y nguy¶n tè
q ⊂ q0 ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qk ⊂ qk+1 ⊂ . . . ⊂ m
vîi
qi ∈ Supp(M/IM ).
nguy¶n tè
k − i.
p0
sao cho
Do â,
Tø â, ta câ thº chån ÷ñc mët i ¶an
p0 ⊃ q
m
dim(R/p0 ) = i
v
dim(Rp0 /qRp0 ) >
qRp0 ∈ SuppRp0 (ExtrR (R/I, M ))p0 )>k−i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
hay
qRp0 ∈
http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -
.PDF 
46 
72 
86 
