Tài liệu Tính ổn định của một số lớp phương trình sai phân và áp dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG THỊ NGỌC TRÂM TINH ON ĐỊNH CUA MỌT so LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG THỊ NGỌC TRÂM TINH ON ĐỊNH CUA MỌT so LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN sơ CẤP Mã số: 8460113 Người hướng dẫn : PGS. TS. ĐINH CÔNG HƯỚNG Lời cam đoan Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là không trùng lặp với các đề tài khác và đuợc hoàn thành duới sự huớng dẫn của PGS. TS. Đinh Công Huớng. Tôi cũng xin cam đoan mọi thông tin trích dẫn trong luận văn đã chỉ rõ nguồn gốc. Bỉnh Định, ngày 25 tháng 07 năm 2020 Học viên TrUơng Thị Ngọc Trâm Muc luc MỞ ĐẦU 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BỊ 3 1.1 Bất đẳng thức Gronwall.................................................................................................. 3 1.2 Giới thiệu về hệ phương trình sai phân tuyến tính..................................... 4 1.3 Một số tính chất của nghiệm hệ phương trình sai phân tuyến tính 11 1.4 Một số tính chất của nghiệm hệ phương trình sai phân phi tuyến 19 1.5 Lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân............................................................ 22 2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT số LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 27 2.1 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính................................................... 27 2.2 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân phi tuyến.................................................... 36 2.2.1 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân phi tuyến ... 36 2.2.2 Tính ổn định của một lớp phương trình sai phân phi tuyến ôtônôm............................................................................................................ 43 2.2.3 Tính ổn định của một lớp phương trình sai phân phi tuyến có trễ............................................................................................................... 44 3 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 48 3.1 Một số ví dụ về tính chất của dãy số............................................................................. 48 3.2 Một số ví dụ về tính ổn định của mô hình quần thể....................................................... 50 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 59 BẢNG CÁC KÝ HIỆU R tập số thực R+ tập số thực dương Z tập số nguyên Z- tập số nguyên âm Z+ tập số nguyên dương AT ma trận chuyển vị của ma trận A chuẩn của vectơ x ||x|| = max(|x(1)|,|x(k)|) sai phân của dãy x(n) Ax(n) = x(n +1) — x(n) tập gồm các số tự nhiên n > n0 N(no) 1 Mở đầu Tính chất của nghiệm các phương trình sai phân là một hướng nghiên cứu quan trọng của Toán học. Lý thuyết này đã tìm ra nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực của Toán học cũng như các khoa học khác như Giải tích số, Lý thuyết điều khiển, Lý thuyết ước lượng, Di truyền học, Sinh thái học,... Vì vậy, việc nghiên cứu lý thuyết này là một vấn đề thời sự của Toán học, được nhiều nhà khoa học quan tâm. Trong thời gian gần đây, các nhà khoa học Burton, Cooke, Yorke, Zhang, Rafoul, Islam, Ardjouni, Huong, Mau và một số nhà toán học khác đã nhận được nhiều kết quả về tính chất định tính của nhiều lớp phương trình sai phân có trễ hoặc không có trễ, chẳng hạn như: Trong [4], Huong và Mau đã đề xuất một số kết quả về tính bị chặn ngặt của nghiệm, tính ổn định của nghiệm không và sự tồn tại nghiệm tuần hoàn dương của phương trình sai phân phi tuyến với trễ biến thiên x(n + 1) = A(n)x(n) + a(n)F (x(n — m(n)), n = 0,1... Trong [10], Islam và Yankson đã sử dụng phương pháp định lí điểm bất động để chỉ ra tính bị chặn và ổn định của nghiệm không của phương trình sai phân phi tuyến x(n + 1) = a(n)x(n) + c(n)Ax(n — g(n)) + q(x(n), x(n — g(n))). Trong [11], Huong sử dụng phương pháp định lí điểm bất động và tính toán một số bất đẳng thức sai phân đã chỉ ra sự ổn định tiệm cận và tính bị chặn ngặt của nghiệm của phương trình sai phân phi tuyến không ô-tô-nôm x(n + 1) = A(n)x(n) + a(n)F(n,x(n — w(n)),n > 0. Trong [8], Giang và Huong nghiên cứu sự ổn định của mô hình dân số thông qua tính ổn định nghiệm của phuơng trình sai phân x(n + 1) = Ax(n) + F (x(n — m)). 2 Nói riêng, tính chất ổn định nghiệm là một trong những tính chất thú vị được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu bởi nó gắn với các các vấn đề trong sinh học, y học, cơ học, kỹ thuật, kinh tế .. .Vì vậy, bài toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân, sai phân là một vấn đề đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước. Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm của một số lớp phương trình sai phân. Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Cấu trúc luận văn như sau: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các khái niệm và kết quả sẽ được dùng trong các chương tiếp theo của luận văn. Chương 2: Tính ổn định của một số lớp phương trình sai phân Chương này trình bày tính ổn định của các hệ phương trình sai phân tuyến tính và hệ phương trình sai phân phi tuyến. Chương 3: Một số ví dụ áp dụng Chương này trình bày một số ví dụ về tính chất dãy số và tính ổn định của các mô hình quần thể. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS. Đinh Công Hướng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành về sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tâm, nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên bên cạnh những kết quả đã đạt được, luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý thẳng thắn và chân thành của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. 3 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày lý thuyết về nghiệm của hệ phương trình sai phân, lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân. Các kiến thức của chương này chủ yếu tham khảo trong [11], [12], [16]. 1.1 Bất đẳng thức Gronwall Định lý 1.1. (Xem [11]) Giả sử n-1 x(n) < p(n) + q(n)^~2 f (£)x(£), n G N(no). £=no (1.1) Khi đó x(n) < p(n) + q(n). E pWf O (1 + q(r)f(r))- (1-2) Chứng minh Đặt hàm y(n) Vn=no f (/’)x(Z’). Ta có Ay(n) = f (n)x(n),y(n0) = 0. (1-3) Từ x(n) < p(n) + q(n)y(n) và f (n) > 0, ta nhận được y(n +1) - (1 + q(n)f (n))y(n) < p(n)f (n). Vì 1 + q(n)f (n) > 0 với mọi n G N(n0), ta nhân hai vế của (1.4) với (32 =no(1+ (1-4) 4 q(ể)f (£)) 1, ta được n ”n—1 n (1 + )f )) 1 (n) qự (^ y < p(n)f (n) £=no n (1 + q(ef (£))-1. £=no Lấy tổng từ n0 đến n — 1 và dùng y(n0) = 0 ta thu được n—1 n (1 + £=n0 Từ đó ta có n—1 £ £=n0 p(^)f (£) r=no q(ef (£))-1 y(n) < n—1 n—1 n (1 + q(r)f (r))-1.