§¹i Häc Th¸i Nguyªn
Trêng §¹i häc S ph¹m
------------------------------
NguyÔn Song Hµ
TÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm
trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc
biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Th¸i Nguyªn - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
§¹i Häc Th¸i Nguyªn
Trêng §¹i häc S ph¹m
NguyÔn Song Hµ
TÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm
trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc
biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu
Chuyªn ngµnh: Gi¶i tÝch
M· sè: 60.46.01
LuËn v¨n th¹c sÜ To¸n häc
Ngêi híng dÉn khoa häc:
PGS. TS. T¹ Duy Phîng
Th¸i Nguyªn - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc
Môc lôc
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
Lêi nãi ®Çu .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
C¸c kÝ hiÖu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
CÊu tróc vµ tÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm trong bµi to¸n bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu
1.1
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu
1.1.1
Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n
1.1.2
C¸c ®Þnh lÝ tån t¹i nghiÖm
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
.
.
.
.
.
.
.
.
11
1.1.3
Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬
1.1.4
TÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc biÕn ph©n vÐc t¬
1.2
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ affine ®¬n ®iÖu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
1.2.1
Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n affine
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
1.2.2
C¸c ®Þnh lý tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc
.
27
.
30
.
39
biÕn ph©n affine
1.2.3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
TÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc biÕn ph©n vÐc t¬ affine.
1.2.4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Bµi to¸n tèi u vÐc t¬ ph©n thøc tuyÕn tÝnh vµ bµi to¸n
bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n affine
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
.
2
C¸c thÝ dô tÝnh tËp nghiÖm trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n
vÐc t¬ ®¬n ®iÖu
44
2.1
ThÝ dô 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
2.2
ThÝ dô 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
2.3
ThÝ dô 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
53
2.4
ThÝ dô 4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58
2.5
ThÝ dô 5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
62
2.6
ThÝ dô 6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
2.7
ThÝ dô 7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
71
2.8
ThÝ dô 8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
75
2.9
ThÝ dô 9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
KÕt luËn
.
.
.
Tµi liÖu tham kh¶o
89
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Lêi nãi ®Çu
Do ý nghÜa quan träng vÒ c¶ lý thuyÕt lÉn thùc tÕ, bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc
biÕn ph©n ®· ®îc nghiªn cøu m¹nh mÏ trong kho¶ng 30 n¨m trë l¹i ®©y. Bµi
to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n liªn quan ®Õn nhiÒu bµi to¸n kh¸c cña gi¶i tÝch
phi tuyÕn (bµi to¸n tèi u, bµi to¸n c©n b»ng, bµi to¸n bï,...). NhiÒu vÊn ®Ò
cña bµi to¸n biÕn ph©n (tån t¹i nghiÖm, æn ®Þnh nghiÖm,...) ®· ®îc nghiªn
cøu kh¸ kü.
Tuy nhiªn, theo chóng t«i, trong khi cÊu tróc tËp nghiÖm (tån
t¹i nghiÖm, tÝnh liªn th«ng, tÝnh co rót ®îc) cña bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu
®· ®îc quan t©m nghiªn cøu nhiÒu, th× cÊu tróc tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n cßn cha ®îc quan t©m ®Çy ®ñ. Môc ®Ých cña luËn v¨n
nµy lµ tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña c¸c bµi b¸o [4], [9], [11]. §ång thêi chóng
t«i còng tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ cña b¶n th©n vÒ vÊn ®Ò nµy.
LuËn v¨n nµy nghiªn cøu tÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm trong bµi to¸n
bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n víi tËp chÊp nhËn ®îc kh«ng nhÊt thiÕt compact.
VÊn ®Ò trung t©m, xuyªn suèt c¸c ch¬ng cña luËn v¨n lµ tr¶ lêi cho c¸c c©u
hái:
Víi ®iÒu kiÖn nµo th× bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cã nghiÖm?
Víi ®iÒu kiÖn nµo th× tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n
lµ mét tËp liªn th«ng?
NÕu tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n lµ kh«ng liªn th«ng
th× tËp nghiÖm ®ã cã cÊu tróc nh thÕ nµo?
LuËn v¨n gåm 2 ch¬ng:
Ch¬ng 1 tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc chung vÒ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ph©n vÐc t¬ vµ c¸c bµi to¸n liªn quan.
Ch¬ng 2 x©y dùng c¸c vÝ dô lµm s¸ng tá lý thuyÕt ®· tr×nh bµy ë ch¬ng
1 vµ ®a ra mét sè nhËn xÐt vÒ cÊu tróc vµ tÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm.
LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh t¹i trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn
díi
sù
híng
dÉn
cña
PGS.
TS.
T¹
Duy
Phîng.
T«i
xin
bµy
tá
sù
kÝnh
träng vµ lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®èi víi thÇy híng dÉn ®· tËn t×nh gióp ®ì ®Ó
cã ®îc c¸c kÕt qu¶ trong luËn v¨n nµy.
T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ®èi víi Trung t©m §µo t¹o Sau ®¹i häc §¹i häc
S ph¹m Th¸i Nguyªn, Khoa To¸n trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn,
Khoa To¸n - Tin trêng §¹i häc Khoa häc Th¸i Nguyªn, tËp thÓ líp cao häc
To¸n - K15, b¹n bÌ ®ång nghiÖp vÒ sù quan t©m gióp ®ì. Vµ cuèi cïng, xin
c¶m ¬n nh÷ng ngêi th©n trong gia ®×nh cña t«i ®· gióp ®ì,
®éng viªn vµ
khÝch lÖ rÊt nhiÒu trong thêi gian dµi häc tËp.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
C¸c kÝ hiÖu
•Rn+ = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, ..., n}
•hx, yi
•kxk
•∂A
x
lµ chuÈn cña phÇn tö
•intA
•clA
lµ tÝch v« híng cña hai phÇn tö
lµ phÇn trong cña
lµ bao ®ãng cña
lµ biªn cña
A
vµ
y
trong kh«ng gian Hilbert.
trong kh«ng gian Hilbert.
.
A
.
A
.
•B̄(x0 , )
lµ h×nh cÇu ®ãng t©m
•B(x0 , )
lµ h×nh cÇu më t©m
•G : X ⇒ Y
X, Y
x
hoÆc
x0
x0
G : X ⇒ 2Y
, b¸n kÝnh
, b¸n kÝnh
.
.
lµ ¸nh x¹ ®a trÞ gi÷a c¸c kh«ng gian t«p«
.
•A ∈ Rr×n
•x ∈ Rn
•N∆ (x)
•0+ ∆
lµ ma trËn cÊp
th×
xT
r×n
vµ
AT
lµ chuyÓn vÞ cña vÐc t¬
lµ nãn ph¸p tuyÕn cña
lµ nãn lïi xa cña tËp
∆
t¹i
lµ chuyÓn vÞ cña ma trËn
x
.
x
.
∆
.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
A
.
Ch¬ng 1
CÊu tróc vµ tÝnh liªn th«ng cña tËp
nghiÖm trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc
biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu
1.1
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu
1.1.1
Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n
Gi¶ sö
∆ ⊂ Rn
lµ tËp con låi, ®ãng, kh¸c rçng,
F : ∆ → Rn
lµ mét to¸n
tö (¸nh x¹) cho tríc.
§Þnh nghÜa 1.1.1.
Bµi to¸n t×m ®iÓm
x̄ ∈ ∆
tháa m·n
hF (x̄), y − x̄i ≥ 0,
∀y ∈ ∆,
(1.1)
®îc gäi lµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (variational inequality problem)
hay, ®¬n gi¶n lµ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (variational inequality) vµ ®îc kÝ
hiÖu lµ VI.
TËp nghiÖm
Sol(
VI
)
cña VI lµ tËp tÊt c¶
x̄ ∈ ∆
tháa m·n (1.1).
NhËn xÐt 1.1.2.
Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (1.1) cã thÓ viÕt díi d¹ng sau:
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
T×m ®iÓm
x̄ ∈ ∆
sao cho
hF (x̄), y − x̄i ∈
/ −R+ \ {0},
DÔ dµng kiÓm tra r»ng
trong ®ã
N∆ (x̄)
x̄ ∈ Sol(
)
∆
VI
lµ nãn ph¸p tuyÕn cña
∀y ∈ ∆.
khi vµ chØ khi
t¹i
0 ∈ F (x̄) + N∆ (x̄)
,
x̄
, ®Þnh nghÜa bëi
(
{z ∈ Rn : hz, x − x̄i ≤ 0, ∀x ∈ ∆}
N∆ (x̄) =
∅
1.1.2
(1.2)
nÕu
nÕu
x̄ ∈ ∆
x̄ ∈
/∆
,
(1.3)
.
C¸c ®Þnh lÝ tån t¹i nghiÖm
MÖnh ®Ò 1.1.3.
Gi¶ sö
x̄ ∈ ∆. NÕu tån t¹i mét sè ε > 0 sao cho
hF (x̄), y − x̄i ≥ 0,
Khi Êy
x̄ ∈ Sol(
VI
∀y ∈ ∆ ∩ B̄(x̄, ε).
)
.
ε>0
t =∈ (0, 1)
zt := x̄ + t(y − x̄)
0 ≤ hF (x̄), zt − x̄i = thF (x̄), y − x̄i
y∈∆
x̄ ∈ Sol( )
Chøng minh. Gi¶ sö tån t¹i
t¹i
(1.4)
tháa m·n (1.4). Râ rµng, víi mçi
sao cho
y∈∆
tån
∆ ∩ B̄(x̄, ε)
hF (x̄), y − x̄i ≥ 0
thuéc tËp
. Theo (1.4),
. Tõ ®©y suy ra r»ng
víi mäi
. Do ®ã
VI
.
MÖnh ®Ò 1.1.3 chØ ra r»ng mäi nghiÖm ®Þa ph¬ng cña bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc
biÕn
ph©n
(nghiÖm
cña
(1.4))
còng
lµ
nghiÖm
toµn
côc
(nghiÖm
cña
(1.1)).
§Þnh
nghiÖm
lÝ
Hartman-Stampacchia
trong
bÊt
®¼ng
thøc
díi
biÕn
®©y
ph©n.
lµ
Nã
®Þnh
®îc
lÝ
c¬
chøng
b¶n
vÒ
minh
sù
nhê
®iÓm bÊt ®éng Brouwer.
§Þnh lý 1.1.4. (Xem [5] trang 12).
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
tån
t¹i
®Þnh
lÝ
NÕu
∆ ⊂ Rn
lµ kh¸c rçng, låi, compact vµ
F : ∆ → Rn
lµ liªn tôc, th×
bµi to¸n VI cã nghiÖm.
Víi ®iÒu kiÖn phï hîp (®iÒu kiÖn bøc - coercivity conditions), chóng ta
cã ®Þnh lÝ tån t¹i cho trêng hîp tËp h¹n chÕ
∆
kh«ng compact.
§Þnh lý 1.1.5. (Xem [5] trang 14).
∆ ⊂ Rn lµ tËp låi, ®ãng, kh¸c rçng vµ F : ∆ → Rn lµ ¸nh x¹ liªn
0
tôc. NÕu tån t¹i x
∈ ∆ sao cho
Gi¶ sö
hF (y) − F (x0 ), y − x0 i
→ +∞
ky − x0 k
khi
kyk → +∞, y ∈ ∆,
(1.5)
th× bµi to¸n VI cã nghiÖm.
NhËn xÐt 1.1.6.
BiÓu thøc (1.5) cã ý nghÜa lµ: Víi
sè
ρ>0
dµng
cho tríc, cã thÓ t×m ®îc mét
sao cho
hF (y) − F (x0 ), y − x0 i
≥γ
ky − x0 k
DÔ
γ>0
nhËn
thÊy
r»ng
∆
x0 ∈ ∆
nÕu
(1.5) ®îc tháa. NÕu tån t¹i
®óng víi mäi
lµ
compact
y∈∆
th×
víi
tháa m·n
mäi
kyk > ρ.
x0 ∈ ∆
®iÒu
kiÖn
sao cho (1.5) x¶y ra th× ta nãi r»ng ®iÒu
kiÖn bøc (coercivity condition) ®îc tháa m·n.
§iÒu kiÖn bøc ®ãng vai trß
quan träng trong nghiªn cøu bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trong trêng hîp tËp
h¹n chÕ
∆
kh«ng compact. Chó ý r»ng (1.5) chØ lµ mét trong rÊt nhiÒu d¹ng
cña ®iÒu kiÖn bøc.
NÕu tån t¹i
x0 ∈ ∆
vµ
α>0
sao cho
hF (y) − F (x0 ), y − x0 i ≥ αky − x0 k2 ,
∀y ∈ ∆
(1.6)
th× (1.5) ®îc tháa m·n.
NÕu tån t¹i mét sè
α>0
sao cho
hF (y) − F (x), y − xi ≥ αky − xk2 ,
∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆,
th× (1.6) ®îc tháa m·n. Do ®ã (1.5) còng ®îc tháa m·n.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(1.7)
§Þnh nghÜa 1.1.7.
NÕu tån t¹i
α>0
sao cho (1.7) ®îc tháa m·n th×
m¹nh (strongly monotone) trªn
F
®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu
∆
.
®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu (monotone) trªn
hF (y) − F (x), y − xi ≥ 0,
F
F
∆
nÕu
∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆.
®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu chÆt (strictly monotone) trªn
hF (y) − F (x), y − xi > 0,
∆
(1.8)
nÕu
∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, x 6= y.
(1.9)
Bæ ®Ò 1.1.8. (Bæ ®Ò Minty - Xem [8] trang 89).
∆ ⊂ Rn lµ tËp låi, ®ãng vµ F : ∆ → Rn lµ ¸nh x¹ liªn tôc, monotone
th× x̄ ∈ Sol(
) khi vµ chØ khi x̄ ∈ ∆ vµ
NÕu
VI
hF (y), y − x̄i ≥ 0,
Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö
∀y ∈ ∆.
x̄ ∈ Sol(
VI
)
. Do
(1.10)
F
lµ monotone nªn ta
cã
hF (y) − F (x̄), y − x̄i ≥ 0,
∀y ∈ ∆.
KÕt hîp ®iÒu nµy víi (1.1) dÉn tíi
hF (y), y − x̄i ≥ hF (x̄), y − x̄i ≥ 0,
∀y ∈ ∆
TÝnh chÊt (1.10) ®îc chøng minh.
x̄ ∈ ∆
y(t) := x̄ + t(y − x̄) ∈ ∆
§iÒu kiÖn ®ñ: Gi¶ thiÕt r»ng
nµo ®ã. Do
y = y(t)
∆
lµ tËp låi,
y∈∆
vµ (1.10) ®îc tháa m·n. Chän
víi mäi
t ∈ (0, 1)
vµo (1.10) ta ®îc
0 ≤ hF (y(t)), y(t) − x̄i = hF (x̄ + t(y − x̄), t(y − x̄)i.
Hay ta cã
hF (x̄ + t(y − x̄), y − x̄i ≥ 0,
∀t ∈ (0, 1).
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
. Thay
Cho
t→0
, vµ kÕt hîp víi tÝnh liªn tôc cña
BÊt ®¼ng thøc nµy ®óng víi mäi
y∈∆
F
hF (x̄), y− x̄i ≥ 0
x̄ ∈ Sol( )
ta nhËn ®îc
nªn ta cã
.
VI
.
MÖnh ®Ò 1.1.9.
Nh÷ng kh¼ng ®Þnh sau lµ ®óng:
(i) NÕu
F
∆ th× bµi to¸n
lµ ®¬n ®iÖu chÆt (stricly monotone) trªn
VI kh«ng
thÓ cã nhiÒu h¬n mét nghiÖm.
F
(ii) NÕu
∆
lµ liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu (monotone) trªn
th× tËp nghiÖm cña
bµi to¸n VI lµ ®ãng vµ låi (cã thÓ b»ng rçng).
F
Chøng minh. (i) Gi¶ thiÕt ph¶n chøng r»ng
∆
x̄i ≥ 0
hF (ȳ), x̄ − ȳi ≥ 0
hF (x̄) − F (ȳ), ȳ − x̄i ≥ 0
F (x̄), ȳ − x̄i > 0
trªn
lµ liªn tôc vµ stricly monotone
nhng bµi to¸n VI cã hai nghiÖm ph©n biÖt
vµ
.
KÕt
hîp
hai
x̄
bÊt
vµ
ȳ
. Khi Êy
®¼ng
thøc
hF (x̄), ȳ −
nµy
. Nhng bÊt ®¼ng thøc nµy m©u thuÉn víi
ta
®îc
hF (ȳ) −
.
(ii) Gi¶ sö r»ng
hiÖu
Ω(y)
rµng r»ng
F
lµ tËp tÊt c¶
Ω(y)
lµ liªn tôc vµ monotone trªn
x̄ ∈ ∆
∆
tháa m·n bÊt ®¼ng thøc
y∈∆
hF (y), y − x̄i ≥ 0
.
Víi mçi
ta kÝ
. Râ
lµ låi ®ãng. Tõ Bæ ®Ò 1.1.8 suy ra r»ng
Sol(
VI
\
)=
Ω(y).
y∈∆
Do ®ã
Sol(
VI
)
lµ mét tËp låi, ®ãng (cã thÓ rçng).
NhËn xÐt 1.1.10.
NÕu
F : ∆ → Rn
lµ ¸nh x¹ liªn tôc, ®¬n ®iÖu m¹nh (strongly monotone) th×
bµi to¸n VI cã duy nhÊt nghiÖm. ThËt vËy, v×
F
lµ ®¬n ®iÖu m¹nh nªn tho¶
m·n ®iÒu kiÖn bøc, do ®ã theo §Þnh lÝ 1.1.5 th× bµi to¸n VI cã nghiÖm. H¬n
n÷a,
F
lµ ®¬n ®iÖu m¹nh th×
F
lµ ®¬n ®iÖu chÆt, nªn theo i) cña MÖnh ®Ò
1.1.9 th× bµi to¸n VI kh«ng thÓ cã nhiÒu h¬n mét nghiÖm.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.1.3
Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬
Trong môc nµy ta sö dông c¸c kÝ hiÖu díi ®©y:
H
∆⊆H
Gi¶ sö
vµ
lµ kh«ng gian Hilbert thùc (trêng hîp ®Æc biÖt ta cã
H = Rn
)
lµ tËp con låi, ®ãng.
Fi : ∆ → H(i = 1, 2, ..., m)
lµ c¸c hµm gi¸ trÞ vÐc t¬.
F := (F1 , F2 , ..., Fm ) = (Fi )m
i=1
vµ víi mçi
x ∈ ∆, v ∈ H
ta viÕt
F (x)(v) := (hF1 (x), vi, hF2 (x), vi, ..., hFm (x), vi).
Díi ®©y ta lu«n gi¶ thiÕt r»ng
C ⊆ Rm
lµ nãn låi, ®ãng, nhän, ®Ønh t¹i gèc
vµ cã phÇn trong kh¸c rçng nÕu kh«ng nãi g× thªm. Ta gäi
m
C ∗ := {(ξi )m
i=1 ∈ R : hξ, ci ≥ 0, ∀c ∈ C}
C.
lµ nãn ®èi ngÉu cña
§Þnh nghÜa 1.1.11.
Bµi to¸n t×m ®iÓm
x̄ ∈ ∆
sao cho:
(hF1 (x̄), y − x̄i, ..., hFm (x̄), y − x̄i) ∈
/ −C\{0}, ∀y ∈ ∆,
®îc
gäi
lµ
bµi
to¸n
bÊt ®¼ng
thøc biÕn
ph©n vÐc t¬
(1.11)
(vector variational
inequality problem), viÕt gän lµ VVI.
TËp nghiÖm
Sol(
VVI
)
cña bµi to¸n VVI lµ tËp tÊt c¶ c¸c
x̄ ∈ ∆
tho¶ m·n
(1.11).
§Þnh nghÜa 1.1.12.
Bµi to¸n t×m ®iÓm
x̄ ∈ ∆
sao cho:
(hF1 (x̄), y − x̄i, ..., hFm (x̄), y − x̄i) ∈
/ −intC, ∀y ∈ ∆,
®îc
gäi
lµ
(1.12)
bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ yÕu (weakly vector
w
variational inequality problem), viÕt gän lµ VVI
TËp nghiÖm
Sol(
VVI
)w
w
cña bµi to¸n VVI
.
lµ tËp tÊt c¶ c¸c
x̄ ∈ ∆
m·n (1.12).
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
tho¶
§Þnh nghÜa 1.1.13.
Víi mäi
ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ C ∗
x̄ ∈ ∆
, bµi to¸n t×m ®iÓm
sao cho:
m
X
h
ξi Fi (x̄), y − x̄i ≥ 0, ∀y ∈ ∆,
(1.13)
i=1
®îc gäi lµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n phô thuéc tham sè (parametric
variational inequality problem) viÕt gän lµ VI .
ξ
TËp nghiÖm
Sol(
VI
)ξ
cña bµi to¸n VI
ξ
lµ lµ tËp tÊt c¶ c¸c
x̄ ∈ ∆
tho¶
m·n (1.13).
§Þnh nghÜa 1.1.14.
Λ⊂C
∃t ∈ R+
Ta gäi
th×
lµ c¬ së cña mét nãn
sao cho
tx ∈ Λ
C
nÕu
0∈
/Λ
vµ tho¶ m·n
∀x ∈ C\{0}
.
MÖnh ®Ò 1.1.15.
NÕu
C ⊂ Rm
lµ nãn låi, ®ãng vµ cã phÇn trong kh¸c rçng th×
C∗
cã mét
c¬ së låi, compact.
Chøng minh. Do
hξ, ci = 1}
.
intC 6= ∅ ⇒ ∃c ∈ intC, c 6= 0
HiÓn
0 ∈
/ Λ
nhiªn
∀x ∈ C\{0} : tx ∈ Λ
. Hay
Λ
.
lµ c¬ së cña
Hµm tÝch v« híng lµ liªn tôc nªn
vµ v× vËy nã lµ tËp compact. DÔ thÊy
NhËn xÐt 1.1.16. NÕu
C
Λ
Λ
n÷a,
C∗
nÕu
§Æt
ta
Λ := {ξ ∈ C ∗ :
1
t =
hξ, ci
chän
th×
.
lµ tËp con ®ãng vµ bÞ chÆn trong
Rm
,
lµ tËp låi.
lµ nãn nhän th×
C ∗ lµ nãn C . Tõ nay vÒ sau ta
hξ, ci = 1} nÕu kh«ng nãi g× thªm.
cña
H¬n
.
intC ∗ 6= ∅.
(C ∗ )∗
Λ := {ξ ∈ C ∗ :
Nãn ®èi ngÉu
lu«n sö dông kÝ hiÖu
§Þnh lÝ díi ®©y cho ta mèi liªn hÖ gi÷a tËp nghiÖm cña c¸c bµi to¸n bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n.
§Þnh lý 1.1.17.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ta cã
[
Sol(
VI
)ξ ⊆ Sol(
VVI
) ⊆ Sol(
[
w
) =
VVI
Sol(
VI
)ξ
(1.14)
ξ∈C ∗
ξ∈intC ∗
H¬n n÷a, nÕu
F
lµ liªn tôc th×
Sol(
VVI
)w
lµ tËp ®ãng.
Chøng minh. Tõ ®Þnh nghÜa bao hµm thøc thø hai lµ hiÓn nhiªn.
Ta chøng
minh bao hµm thøc thø nhÊt
[
Sol(
VI
)ξ ⊆ Sol(
VVI
).
(1.15)
ξ∈intC ∗
ThËt vËy, ta cã
[
∀x ∈
Sol(
VI
)ξ ⇒ ∃ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ intC ∗ : x ∈ Sol(
VI
)ξ .
ξ∈intC ∗
MÆt kh¸c ta cã
m
m
X
X
0≤h
ξi Fi (x), y − xi =
ξi hFi (x), y − xi = ξ T F (x)(y − x), ∀y ∈ ∆,
i=1
i=1
(1.16)
ξT
y∈∆
trong ®ã
cã
lµ kÝ hiÖu chuyÓn vÞ. BÊt ®¼ng thøc (1.16) chøng tá r»ng kh«ng
nµo ®Ó
F (x)(y − x) ∈ −C\{0}
. Hay
x ∈ Sol(
VVI
)
.
Ta chøng minh bao hµm thøc thø ba
Sol(
VVI
[
)w =
Sol(
)ξ .
VI
ξ∈C ∗
ThËt vËy, ta cã
∀x ∈
[
Sol(
VI
)ξ ⇒ ∃ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ C ∗ \{0} : x ∈ Sol(
VI
ξ∈C ∗ \{0}
Ta ¸p dông (1.16) suy ra
[
Sol(
VI
)ξ ⊆ Sol(
VVI
)w .
ξ∈C ∗ \{0}
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
)ξ .
Trong trêng hîp
ξ=0
th× bao hµm thøc còng lu«n ®óng. Do ®ã
[
)w .
Sol(
)ξ ⊆ Sol(
)w
{F (x)(y − x) : y ∈ ∆} ∩ (−intC) = ∅
VI
VVI
ξ∈C ∗
MÆt kh¸c, nÕu
x ∈ Sol(
VVI
th×
.
Theo ®Þnh lÝ t¸ch tËp låi ta cã
˜ F (x)(y − x)i ≥ sup hξ,
˜ vi,
∃ξ˜ ∈ C ∗ \{0} : inf hξ,
y∈∆
hay
v∈−intC
˜ T F (x)(y − x) ≥ 0, ∀y ∈ ∆
∃ξ˜ ∈ C ∗ \{0} : (ξ)
. Suy ra
Ω = C\(−intC)
F (x)(y − x) ∈ Ω}
V×
F
lµ tËp ®ãng vµ
lµ liªn tôc nªn
x ∈ Sol(
)ξ˜
VI
.
τ (x) = {x ∈ ∆ :
lµ ®ãng. V× vËy
Sol(
VVI
w
) =
\
τ (x)
x∈∆
lµ tËp ®ãng.
NhËn xÐt 1.1.18.
Ta cã
Sol(
VI
)tξ = Sol(
VI
)ξ , ∀ξ ∈ C ∗ \{0}, ∀t > 0
. Do ®ã ®Þnh lÝ trªn cã
thÓ viÕt l¹i díi d¹ng
[
Sol(
VI
)ξ ⊆ Sol(
VVI
)w =
) ⊆ Sol(
[
VVI
ξ∈Λ∩intC ∗
Sol(
)ξ .
VI
ξ∈Λ
NhËn xÐt 1.1.19.
H = Rn
n
P
Λ = {ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ Rn+ :
ξi = 1}
Trong truêng hîp ®Æc biÖt
vµ
C = Rn+
th× ta cã
C ∗ = Rn+
. Do ®ã
i=1
[
Sol(
VI
)ξ ⊆ Sol(
VVI
) ⊆ Sol(
ξ∈Λ∩intRn+
VVI
w
) =
[
Sol(
VI
)ξ .
ξ∈Λ
§Þnh nghÜa 1.1.20.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
vµ
F
0, ∀ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ Λ; ∀x, x0 ∈ ∆
®îc gäi lµ hµm ®¬n ®iÖu m¹nh (strongly monotone) nÕu
Hµm
∃α >
ta cã
m
m
X
X
0
h
ξi Fi (x ) −
ξi Fi (x), x0 − xi ≥ αkx0 − xk2 .
i=1
F
Λ; ∀x, x0 ∈ ∆
Hµm
i=1
®îc
gäi
lµ
hµm
®¬n
®iÖu
(monotone)
nÕu
∀ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈
ta cã
h
m
X
0
ξi Fi (x ) −
i=1
m
X
ξi Fi (x), x0 − xi ≥ 0.
i=1
NhËn xÐt 1.1.21.
Ta
biÕt
Sol(
r»ng
trêng hîp
F
VVI
) ⊆ Sol(
VVI
)w
.
Ta
sÏ
chØ
ra
r»ng
Sol(
con thùc sù cña
vµ
VVI
Gi¶ sö
F = (F1 , F2 )
)w
.
C∗
VVI
)
lµ tËp
trong ®ã
.
F
Λ = {(ξ1 , ξ2 ) ∈ R2+ : ξ1 + ξ2 = 1}
lµ strongly monotone,
C∗ =
lµ c¬ së
.
∀ξ ∈ Λ, x̄ ∈ Sol( )ξ ⇔ ξ1 F 1(x̄) + ξ2 F2 (x̄) ∈ −N∆ (x̄)
N∆ (x̄) = 0
x̄ ∈ int∆ N∆ (x̄) = {(z1 , z2 ) : z1 ≤ 0, z2 = 0}
x̄ ∈ ∂∆
2
Sol(
)w = {x̄ = (x̄1 , x̄2 ) ∈ K : x̄2 = 2 +
, 0 ≤ x̄1 ≤ 1},
x̄1 − 2
NhËn xÐt r»ng
VI
§Ó ý r»ng
nÕu
Sol(
H = R2 , ∆ = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0}, C = R2+
F1 (x) = (x1 − 1, x2 ), F2 (x) = ( 21 x1 , x2 − 1)
Do ®ã cã thÓ chän
compact cña
trong
.
Víi c¸c gi¶ thiÕt nh trªn, dÔ thÊy r»ng
C = R2+
c¶
lµ strongly monotone th× bao hµm thøc ngîc l¹i vÉn cã thÓ
kh«ng ®óng. Trong vÝ dô díi ®©y ta sÏ chØ ra ®iÒu nµy vµ
VÝ dô 1.1.22.
ngay
nÕu
.
vµ
. TÝnh to¸n cho ta
VVI
vµ
Sol(
VVI
LÊy
) = {x̄ = (x̄1 , x̄2 ) ∈ K : x̄2 = 2 +
x̃ = (0, 1) ∈ Sol(
VVI
)w
2
, 0 < x̄1 < 1}.
x̄1 − 2
. Khi ®ã ta cã víi mäi
y∈∆
(hF1 (x̃), y − x̃i, hF1 (x̃), y − x̃i) = (−y1 + y2 − 1, 0) = R × {0}.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(y1 , y2 ) = (0, 0) ∈ ∆ ⇒ F (x̃)(y − x̃) = (−1, 0) ∈ −R2+
)
x̃˜ = (1, 0) ∈
/ Sol(
)
Nh vËy nÕu chän
x̃ ∈
/ Sol(
Do ®ã
VVI
. T¬ng tù ta suy ra
VVI
.
.
§Þnh nghÜa 1.1.23.
∆⊂H
thÓ låi chÆt
{xt = (1 − t)x + tx0 : t ∈ (0, 1)} ⊂ int∆
TËp con
gäi lµ mét
nÕu
int∆ 6= ∅
vµ
∀x 6= x0 ∈ ∆ :
.
§Þnh lÝ duíi ®©y cho ta mét ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó
Sol(
VVI
) = Sol(
VVI
)w
.
§Þnh lý 1.1.24.
Gi¶ sö H lµ kh«ng gian Hilbert thùc,
lµ nãn låi,
VVI
lµ mét thÓ låi chÆt.
®ãng vµ cã phÇn trong kh¸c rçng.
ϕ : H → Rm
) = Sol(
)w
tuyÕn tÝnh
Sol(
∆⊆H
VVI
x¸c ®Þnh bëi
x ∈ ∆,
to¸n tö
lµ toµn ¸nh.
Khi ®ã
Víi mçi
v 7→ F (x)v
C ⊆ Rm
.
Chøng minh. Gi¶ sö r»ng
Sol(
VVI
) 6= Sol(
VVI
)w ⇒ ∃y ∈ Sol(
VVI
)w \Sol(
VVI
).
Do
y 6= Sol(
VVI
∆
Do
) ⇒ ∃z 6= y, z ∈ ∆ : F (y)(z − y) ∈ −C\{0}.
lµ thÓ låi chÆt nªn
(1.17)
∀t ∈ (0, 1) : θt = (1 − t)y + tz ∈ int∆
. Tõ (1.17)
suy ra
F (y)(θt − y) ∈ −C\{0}.
(1.18)
>0
B̄(θt , ) ⊂ ∆
B̄(θt , )
θt
x∈∆
ϕ : H → Rm
v 7→ F (x)v
B̄(θt , ) − y
θt − y
F (y)(B̄(θt , ) − y) := {F (y)(x − y) : x ∈ B̄(θt , )}
µt := F (y)(θt − y)
LÊy
sao cho:
b¸n kÝnh
, trong ®ã
. Víi mäi
lµ h×nh cÇu ®ãng t©m
, to¸n tö tuyÕn tÝnh
x¸c ®Þnh bëi
lµ toµn ¸nh nªn nã lµ ¸nh x¹ më. Do
cña
nªn
l©n cËn cña
Do
lµ mét l©n cËn
.
F (y)(B̄(θt , ) − y)
lµ tËp më nªn
∃ρ > 0
sao cho
B̄(µt , ρ) ⊂ F (y)(B̄(θt , ) − y).
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
lµ mét
tá r»ng
intC 6= ∅
∃x ∈ B̄(θt , )
1.1.4
TÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn
MÆt kh¸c v×
B̄(µt , ρ)∩−intC 6= ∅
F (y)(x − y) ∈ −intC\{0}
vµ (1.18) ta cã
sao cho
. §iÒu nµy chøng
. M©u thuÉn.
ph©n vÐc t¬
Trong phÇn nµy chóng ta sÏ chØ ra r»ng nÕu
Sol(
)
Sol(
Sol(
)w
VVI
th×
vµ
VVI
VVI
)w
F
lµ strongly monotone th×
lµ c¸c tËp liªn th«ng ®êng.
NÕu
F
lµ monotone
lµ tËp liªn th«ng ®èi víi t«p« yÕu. Ta vÉn sö dông c¸c kÝ hiÖu
trong môc 3.
§Þnh nghÜa 1.1.25.
Gi¶ sö
X
X
lµ mét kh«ng gian t«p«.
®îc gäi lµ liªn th«ng nÕu
X
kh«ng thÓ biÓu diÔn ®îc díi d¹ng hîp
cña hai tËp con më thùc sù, rêi nhau cña nã.
X
γ : [0, 1] → X
®îc
gäi lµ
∀x, y ∈ X
γ(0) = x, γ(1) = y
liªn th«ng ®êng nÕu
sao cho
tån
t¹i ¸nh
x¹
liªn tôc
.
ψ : X × [0, 1] → X
ψ(x, 0) = x, ψ(x, 1) = a
X ®îc gäi lµ co rót ®îc nÕu tån t¹i ¸nh x¹ liªn tôc
vµ mét diÓm
a∈X
sao cho
∀x ∈ X
ta cã
.
§Þnh nghÜa 1.1.26.
¸
G:X⇒Y
{(x, y) ∈ X × Y : y ∈ G(x)}
®îc gäi lµ ®ãng trªn
nh x¹ ®a trÞ
lµ mét tËp ®ãng trªn
X
X ×Y
nÕu ®å thÞ cña
G
, tøc
.
§Þnh nghÜa 1.1.27.
¸
nh x¹ ®a trÞ
mäi
U
a∈X
a
cña
G:X ⇒Y
vµ víi mäi tËp më
sao cho
G(a0 ) ⊂ Ω
®îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn trªn
Ω
G(a) ⊂ Ω
a0 ∈ U
tho¶ m·n
víi mäi
X
th× tån t¹i mét l©n cËn
.
Bæ ®Ò 1.1.28.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
nÕu víi
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
G:X⇒Y
NÕu ¸nh x¹ ®a trÞ
tôc trªn trªn
lµ ®ãng vµ
Y
lµ compact th×
G lµ nöa liªn
X.
§Þnh lý 1.1.29. (Xem [10] trang 484).
Gi¶ sö
X, Y
lµ hai kh«ng gian t«p« vµ
G:X⇒Y
lµ ¸nh x¹ ®a trÞ. NÕu
c¸c ®iÒu kiÖn sau tho¶ m·n:
i)
X
lµ liªn th«ng.
ii) Víi mäi
x∈X
tËp
G(x) lµ kh¸c rçng vµ liªn th«ng.
iii) G lµ nöa liªn tôc trªn trªn
th×
S
G(X) =
X.
G(x) lµ liªn th«ng.
x∈X
§Þnh nghÜa 1.1.30.
Gi¶ sö
M ⊂ Rm , N ⊂ Rl
g : N ⇒ Rn
gi¸ trÞ vÐc t¬.
f : Rn × M → Rn
lµ c¸c tËp kh¸c rçng.
lµ hµm
lµ hµm ®a trÞ víi tËp gi¸ trÞ lµ låi, ®ãng.
Bµi to¸n t×m ®iÓm
x̄ ∈ g(λ)
sao cho:
hf (x̄, ξ), y − x̄i ≥ 0, ∀y ∈ g(λ),
®îc
gäi
lµ
bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n phô thuéc vµo cÆp tham sè
(ξ, λ) ∈ M × N
vµ ®îc kÝ hiÖu lµ VI
λ̄ ∈ N, ∀x ∈ g(λ̄)
V
λ̄
∀λ, λ0 ∈ N ∩ V
Víi mçi
, ¸nh x¹
tån t¹i mét l©n cËn
cho
(ξ,λ) .
cña
g
W
gäi lµ gi¶ Lipschitz t¹i
, mét l©n cËn
x
cña
vµ mét h»ng sè
(λ̄, x)
k>0
nÕu
sao
ta cã
g(λ) ∩ W ⊆ g(λ0 ) + kkλ − λ0 kB,
trong ®ã
B
lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong
NÕu tån t¹i mét l©n cËn låi ®ãng
sè
p>0
X
Rn
cña
x
.
, mét l©n cËn
U
cña
µ̄
vµ h»ng
sao cho
kf (x0 , µ0 )−f (x, µ)k ≤ p(kx0 −xk+kµ0 −µk), ∀µ, µ0 ∈ M ∩U ; ∀x, x0 ∈ X
th×
f
®îc gäi lµ Lipschitz ®Þa ph¬ng t¹i
(x, µ̄)
.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -
.PDF 
92 
153 
125 
