Tài liệu Tính hyperbolic đầy của miền hartogs

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M Khambay PHAVISAY T½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N - 2015 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M Khambay PHAVISAY T½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 60.46.01.02 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. Tr¦n Hu» Minh THI NGUY–N - 2015 Líi cam oan B£n luªn v«n n y sü nghi¶n cùu ëc lªp cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Tr¦n Hu» Minh, c¡c t i li»u tham kh£o trong luªn v«n l  trung thüc. Luªn v«n ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t cù cæng tr¼nh n o. Håc vi¶n Kham bay PHAVISAY X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa To¡n X¡c nhªn cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS.Tr¦n Hu» Minh i Möc löc LÍI NÂI †U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. nh x¤ ch¿nh h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. a t¤p phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Khæng gian phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n khæng gian phùc . . . . . . . . . . . 1.5. Khæng gian phùc hyperbolic v  khæng gian phùc hyperbolic ¦y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Khæng gian phùc taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. H m i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. H m a i·u háa d÷îi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 5 7 8 9 9 Ch÷ìng 2. T½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs. . . . . . . 11 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ii LÍI NÂI †U Nghi¶n cùu t½nh hyperbolic cõa c¡c khæng gian phùc l  mët trong nhúng b i to¡n cì b£n nh§t cõa gi£i t½ch phùc hyperbolic. Vi»c nghi¶n cùu â ÷ñc ti¸n h nh d÷îi nhi·u gâc ë kh¡c nhau, ch¯ng h¤n nh÷ t¼m ki¸m nhúng °c tr÷ng cho t½nh hyperbolic cõa mët khæng gian phùc tòy þ; kh£o s¡t t½nh hyperbolic cõa nhúng lîp khæng gian phùc cö thº; ùng döng t½nh hyperbolic cõa khæng gian phùc v o nhúng l¾nh vüc kh¡c nhau cõa h¼nh håc phùc v  gi£i t½ch phùc ... Trong nhúng n«m g¦n ¥y, vi»c nghi¶n cùu t½nh hyperbolic cõa nhúng lîp khæng gian phùc cö thº công nh÷ vi»c t¼m hiºu nhúng lîp khæng gian phùc hyperbolic ð d¤ng t÷íng minh ¢ thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc. Mi·n Hartogs thuëc v o sè nhúng lîp khæng gian phùc nh÷ vªy. Cho X l  mët khæng gian phùc, ϕ : X → [−∞, ∞) l  h m nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X . Mi·n Hartogs Ωϕ(X) ÷ñc ành ngh¾a bði   −ϕ(z) Ωϕ (X) = (z, w) ∈ X × C : |w| < e . R§t nhi·u t½nh ch§t cõa mi·n Hartogs ¢ ÷ñc t¼m ra d÷îi quan iºm cõa gi£i t½ch phùc hyperbolic. Luªn v«n " T½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs " nh¬m tr¼nh b y mët sè i·u ki»n c¦n v  õ º mi·n Hartogs Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y. V  ch¿ ra mët sè lîp h m a i·u háa d÷îi ϕ tr¶n X º Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y. Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n düa tr¶n k¸t qu£ cõa b i b¡o" complete hyperbolicity of Hartogs domains " cõa t¡c gi£ D.D. Thai v  N.Q. Di»u. Luªn v«n gçm 28 trang, trong â câ ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v  danh möc t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y têng quan v  h» thèng l¤i c¡c kh¡i ni»m v  c¡c t½nh ch§t c¦n thi¸t cho ch÷ìng sau. 1 Ch÷ìng 2: L  nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tr¼nh b y mët sè i·u ki»n c¦n v  õ cho t½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs Ωϕ(X) v  ch¿ ra mët sè lîp h m a i·u háa d÷îi ϕ tr¶n X sao cho mi·n Hartogs Ωϕ (X) l  hyperbolic ¦y. Cuèi còng l  ph¦n k¸t luªn tr¼nh b y tâm t­t c¡c k¸t qu£ ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn v«n. B£n luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa TS Tr¦n Hu» Minh. Em xin b y tä láng bi¸t ìn Cæ v  sü h÷îng d¨n tªn t¼nh, hi»u qu£ trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n. Em xin c£m ìn pháng  o t¤o, Ban chõ nhi»m khoa To¡n, c¡c th¦y cæ gi¡o Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Vi»n To¡n håc v  Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi ¢ gi£ng d¤y v  t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho em trong qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu khoa håc v  ho n th nh luªn v«n. Xin c£m ìn ¸n c¡c b¤n håc vi¶n lîp cao håc to¡n K21 ¢ luæn ëng vi¶n, chia s´ khâ kh«n v  gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng. Cuèi còng, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh cõa m¼nh, nhúng ng÷íi luæn ëng vi¶n, quan t¥m gióp ï tæi v  luæn mong mäi tæi th nh cæng. B£n luªn v«n ch­c ch­n s³ khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t, v¼ vªy em r§t mong nhªn ÷ñc nhúng âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c b¤n håc vi¶n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Th¡i Nguy¶n, ng y ......th¡ng 4 n«m 2015 T¡c gi£ luªn v«n Kham bay PHAVISAY 2 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1. nh x¤ ch¿nh h¼nh Gi£ sû X l  mët tªp mð trong Cn v  f : X → C l  mët h m sè. H m f ÷ñc gåi l  kh£ vi phùc t¤i x0 ∈ X n¸u tçn t¤i ¡nh x¤ tuy¸n t½nh λ : Cn → C sao cho |f (x0 + h) − f (x0 ) − λ(h)| = 0, |h| P 1 h = (h1 , ..., hn ) ∈ Cn v  |h| = ( ni=1 |hi |2 ) 2 . lim|h|→0 trong â H m f ÷ñc gåi l  ch¿nh h¼nh t¤i x0 ∈ X n¸u f kh£ vi phùc trong mët l¥n cªn n o â cõa x0 v  ÷ñc gåi l  ch¿nh h¼nh tr¶n X n¸u f ch¿nh h¼nh t¤i måi iºm thuëc X . Mët ¡nh x¤ f : X → Cm câ thº vi¸t d÷îi d¤ng f = (f1, ..., fm), trong â fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, ..., m l  c¡c h m tåa ë. Khi â f ÷ñc gåi l  ch¿nh h¼nh tr¶n X n¸u fi ch¿nh h¼nh tr¶n X vîi måi i = 1, ..., m. nh x¤ f : X → f (X) ⊂ Cn ÷ñc gåi l  song ch¿nh h¼nh n¸u f l  song ¡nh, ch¿nh h¼nh v  f −1 công l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. 3 1.2. a t¤p phùc a) ành ngh¾a Gi£ sû X l  mët khæng gian tæpæ Hausdorff. + C°p (U, ϕ) ÷ñc gåi l  mët b£n ç àa ph÷ìng cõa X , trong â U l  tªp mð trong X v  ϕ : U → Cn l  ¡nh x¤, n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: i) ϕ(U ) l  tªp mð trong Cn. ii) ϕ : U → ϕ(U ) l  mët çng phæi. + Hå A = {(Ui, ϕi)}i∈I c¡c b£n ç àa ph÷ìng cõa X ÷ñc gåi l  mët tªp b£n ç gi£i t½ch (atlas) cõa X n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n i) {Ui}i∈I l  mët phõ mð cõa X. ii) Vîi måi Ui, Uj m  Ui ∩ Uj 6= ∅, ¡nh x¤ l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. X²t hå c¡c atlas tr¶n X. Hai atlas A1, A2 ÷ñc gåi l  t÷ìng ÷ìng n¸u hñp A1 ∪ A2 l  mët atlas. ¥y l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp c¡c atlas. Méi lîp t÷ìng ÷ìng x¡c ành mët c§u tróc kh£ vi phùc tr¶n X , v  X còng vîi c§u tróc kh£ vi phùc tr¶n nâ ÷ñc gåi l  mët a t¤p phùc n chi·u. ϕj ◦ ϕi −1 : ϕi (Ui ∩ Uj ) → ϕj (Ui ∩ Uj ) b) nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c a t¤p phùc Gi£ sû M, N l  c¡c a t¤p phùc. nh x¤ li¶n töc f : M → N ÷ñc gåi l  ch¿nh h¼nh tr¶n M n¸u vîi måi b£n ç àa ph÷ìng (U, ϕ) cõa M v  mët b£n ç àa ph÷ìng (V, ψ) cõa N sao cho f (U ) ⊂ V th¼ ¡nh x¤ ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) 4 l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. Hay t÷ìng ÷ìng, vâi måi x ∈ M, y ∈ N, tçn t¤i hai b£n ç àa ph÷ìng (U, ϕ) v  (V, ψ) t¤i x v  y t÷ìng ùng sao cho l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. Gi£ sû f : M → N l  song ¡nh giúa c¡c a t¤p phùc. N¸u f v  f −1 l  c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh th¼ f ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ song ch¿nh h¼nh giúa M v  N . ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) 1.3. Khæng gian phùc ành ngh¾a 1.3.1. Gi£ sû Z l  a t¤p phùc. Mët khæng gian phùc âng l  mët tªp con âng cõa Z m  v· m°t àa ph÷ìng ÷ñc x¡c ành bði húu h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh gi£i t½ch. Tùc l , vîi x0 ∈ X tçn t¤i l¥n cªn mð V cõa x trong Z v  húu h¤n c¡c h m ch¿nh h¼nh ϕ1, ..., ϕm tr¶n V sao cho X X ∩ V = {x ∈ V |ϕi (x) = 0, i = 1, ..., m}. Gi£ sû X l  mët khæng gian con phùc trong a t¤p phùc Z . H m f : X → C ÷ñc gåi ch¿nh h¼nh n¸u vîi méi iºm x ∈ X tçn t¤i mët l¥n cªn U (x) ⊂ Z v  mët h m ch¿nh h¼nh fˆ tr¶n U sao cho fˆ|U ∩X ⇒ f |U ∩X . Gi£ sû f : X → Y l  ¡nh x¤ giúa c¡c khæng gian phùc X v  Y . f ÷ñc gåi l  ch¿nh h¼nh n¸u vîi méi h m ch¿nh h¼nh g tr¶n mët tªp con mð V cõa Y , h m hñp g ◦ f l  h m ch¿nh h¼nh tr¶n f −1(V ). 1.4. Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n khæng gian phùc °t Hol(X, Y ) l  khæng gian c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh tø mët khæng gian phùc X tîi mët khæng gian phùc Y ÷ñc trang bà tæpæ compact mð. 5 bði Vîi 0 < r < ∞, ta °t Dr = {z ∈ C : |z| < r}; D1 = D. Tr¶n ¾a ìn và mð D, ta x²t kho£ng c¡ch Bergman - Poincar² cho 1 + |a| ; ∀a ∈ D 1 − |a| z1 − z2 1+| | 1 − z 1 z2 , ∀ z1 , z2 ∈ D. ρD (z1 , z2 ) = `n |z1 − z2 | 1−| | 1 − z 1 z2 ρD (0, a) = `n Gi£ sû X l  mët khæng gian phùc, p, q l  hai iºm tòy þ cõa X . X²t d¢y iºm p0 = p, p1, ..., pk = q cõa X , d¢y iºm a1, a2, ..., ak cõa D v  d¢y c¡c ¡nh x¤ f1, ..., fk trong Hol(D, X) thäa m¢n fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, ..., k. Ta gåi tªp hñp α = {p0, ..., pk , a1, ..., ak , f1, ..., fk } l  mët d¥y chuy·n ch¿nh h¼nh nèi p v  q trong X . Vîi méi d¥y chuy·n nh÷ vªy, ta lªp têng Pki=1 pD (0, ai)   Pk °t dX (p, q) = infα i=1 pD (0, ai), α ∈ Ωp,q , trong â Ωp,q l  tªp hñp t§t c£ c¡c d¥y chuy·n ch¿nh h¼nh nèi p v  q trong X . D¹ th§y dX : X × X −→ R l  mët gi£ kho£ng c¡ch v  gåi l  gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n khæng gian phùc X . Ta câ thº d¹ d ng chùng minh ÷ñc c¡c t½nh ch§t sau ¥y cõa dX : i) dX l  h m li¶n töc ii) N¸u f : X → Y l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa hai khæng gian phùc th¼ f l m gi£m kho£ng c¡ch èi vîi gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi, ngh¾a l  dX (p, q) > dY (f (p), f (q)), . iii) dD = ρD . 6 ∀ p, q ∈ X 1.5. Khæng gian phùc hyperbolic v  khæng gian phùc hyperbolic ¦y. 1.5.1. Khæng gian phùc hyperbolic Khæng gian phùc X ÷ñc gåi l  khæng gian phùc hyperbolic n¸u gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi dX l  kho£ng c¡ch tr¶n X , tùc l  dX (p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀ p, q ∈ X. N«m 1972, T. Barth [3] ¢ chùng tä r¬ng n¸u khæng gian phùc X l  khæng gian phùc hyperbolic th¼ tæpæ sinh bði dX tròng vîi tæpæ ban ¦u cõa X . Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian phùc hyperbolic. i) Khæng gian con cõa mët khæng gian phùc hyperbolic l  khæng gian phùc hyperbolic. ii) (ành lþ Eastwood) Gi£ sû π : X → Y l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c khæng gian phùc. Gi£ sû Y l  hyperbolic v  vîi méi iºm y ∈ Y câ l¥n cªn U cõa y sao cho π−1(U ) l  hyperbolic. Khi â X l  hyperbolic. 1.5.2. Khæng gian phùc hyperbolic ¦y Gi£ sû X l  khæng gian phùc vîi kho£ng c¡ch d. D¢y {xn} ⊂ X ÷ñc gåi l  d¢y cì b£n (hay d¢y Cæsi) èi vîi kho£ng c¡ch d n¸u vîi méi ε > 0, tçn t¤i n0 ∈ N sao cho vîi måi m, n > n0 , ta câ d(xn , xm ) < ε. Khæng gian phùc X ÷ñc gåi l  khæng gian phùc hyperbolic ¦y n¸u gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi dX l  kho£ng c¡ch ¦y tr¶n X theo ngh¾a méi d¢y cì b£n èi vîi dX ·u hëi tö trong X. Ta câ mët sè t½nh ch§t sau cõa khæng gian phùc hyperbolic ¦y i) Khæng gian phùc hyperbolic X l  ¦y khi v  ch¿ khi måi h¼nh c¦u âng trong X ·u compact. 7 N¸u X l  hyperbolic v  compact, th¼ X l  hyperbolic ¦y iii) Mët khæng gian con phùc âng cõa khæng gian phùc hyperbolic ¦y l  khæng gian phùc hyperbolic ¦y iv) Gi£ sû π : X → Y l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c khæng gian phùc. Gi£ sû Y l  hyperbolic ¦y v  vîi méi y ∈ Y, tçn t¤i l¥n cªn U sao cho π−1(U ) l  hyperbolic ¦y. Khi â X l  hyperbolic ¦y. ii) 1.6. Khæng gian phùc taut Gi£ sû X, Y l  c¡c khæng gian phùc a) D¢y {fi }∞ i=1 ⊂ Hol(Y, X) ÷ñc gåi l  ph¥n ký compact n¸u vîi méi tªp compact K cõa Y , méi tªp con compact K 0 cõa X , tçn t¤i j0 ∈ N sao cho fj (K) ∩ K 0 = φ vîi måi j > j0 . b) Hå Hol(Y, X) ÷ñc gåi l  chu©n t­c n¸u méi d¢y {fi }∞ i=1 trong Hol(Y, X) chùa mët d¢y con ho°c l  hëi tö ·u tr¶n méi tªp con compact cõa Y ho°c l  ph¥n ký compact. c) Khæng gian phùc X ÷ñc gåi l  taut n¸u hå Hol(Y, X) l  chu©n t­c vîi méi khæng gian phùc Y. T. Barth[3] ¢ chùng minh ÷ñc : Khæng gian phùc X l  taut khi v  ch¿ khi hå Hol(D, X) l  chu©n t­c. º ch¿ ra méi li¶n h» giúa t½nh taut v  t½nh hyperbolic cõa mët khæng gian phùc, P. Kiernam [6] ¢ chùng tä r¬ng n¸u khæng gian phùc X l  taut th¼ X l  hyperbolic v  n¸u X l  hyperbolic ¦y th¼ X l  taut. C¡c kh¯ng ành ng÷ñc l¤i ·u khæng dóng. 8 1.7. H m i·u háa d÷îi Cho G l  tªp con mð trong Cm, u : G → R l  mët h m lîp Pm ∂ 2u 2 =0 C . H m u ÷ñc gåi l  i·u háa trong G n¸u ∆u := j,k=1 ∂zj ∂ z̄k tr¶n G. b) H m u : G → [−∞, ∞) ÷ñc gåi l  i·u háa d÷îi trong mi·n G n¸u u thäa m¢n hai i·u ki»n sau: i) u l  nûa li¶n töc tr¶n trong G , tùc l  tªp {z ∈ G | u(z) < s} l  tªp mð vîi méi sè thüc s. ii) Vîi méi tªp con mð compact t÷ìng èi Ω cõa G v  måi h m h : Ω → R l  i·u háa trong Ω v  li¶n töc trong Ω̄ , ta câ n¸u u ≤ h tr¶n ∂G th¼ u ≤ h tr¶n Ω. Ta câ ti¶u chu©n i·u háa d÷îi sau: º h m u nûa li¶n töc tr¶n trong mi·n G l  i·u háa d÷îi trong G, c¦n v  õ l  vîi måi iºm z ∈ D, ∃r0 (z) > 0 sao cho 1 R2π u(z) ≤ u(z + reit )dt vîi måi r < r0 . 2π a) 0 1.8. H m a i·u háa d÷îi H m ϕ : G → [−∞, ∞) ÷ñc gåi l  a i·u háa d÷îi trong mi·n G ⊂ Cn n¸u i) ϕ l  h m nûa li¶n töc tr¶n tr¶n G sao cho ϕ 6= −∞ tr¶n méi th nh ph¦n li¶n thæng cõa G. ii) Vîi méi iºm a ∈ G, vîi måi b ∈ C, h m λ 7→ ϕ(a + λb) l  i·u háa d÷îi ho°c çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n méi th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp {λ ∈ C : a + λb ∈ G}. èi vîi khæng gian phùc , ta câ ành ngh¾a sau: 9 Gi£ sû X l  mët khæng gian phùc. Mët h m a i·u háa d÷îi tr¶n X l  h m ϕ : X → [−∞, ∞) thäa m¢n vîi måi x ∈ X , tçn t¤i l¥n cªn U cõa x sao cho câ ¡nh x¤ song ch¿nh h¼nh h : U → V, vîi V l  mët khæng gian con phùc âng cõa mët mi·n G n o â trong Cn, v  tçn t¤i mët h m i·u háa d÷îi ϕ̃ : G → [−∞, ∞) sao cho ϕ|U = ϕ̃0 h (xem [9]) Chó þ: i) ành ngh¾a tr¶n khæng phö thuëc v o vi»c chån b£n ç àa ph÷ìng . ii) Fornaess v  Narasimhan ¢ chùng minh ÷ñc k¸t qu£ sau (Xem [5]): H m nûa li¶n töc tr¶n ϕ : X → [−∞, ∞) tr¶n khæng gian phùc X l  a i·u háa d÷îi tr¶n X n¸u v  ch¿ n¸u ϕ0 f l  i·u háa d÷îi ho°c çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n D vîi måi f ∈ Hol(D, X). 10 Ch÷ìng 2 T½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs. Möc ½ch cõa ch÷ìng ¦y cõa  n y l  nghi¶n cùu t½nh hyperbolic  mi·n Hartogs Ωϕ(X) = (z, w) ∈ X × C : |w| < e−ϕ(z) , cö thº l  ch¿ ra mët lîp c¡c h m a i·u háa d÷îi ϕ m  nhí â câ thº ÷a ra c¡c i·u ki»n c¦n v  õ èi vîi t½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Ωϕ(X). Tr÷îc ti¶n, ta ch¿ ra mët i·u ki»n c¦n v  õ cho t½nh hyperbolic cõa mi·n Hartogs Ωϕ(X). Ta câ m»nh · sau: M»nh · 2.1.[11]. Gi£ sû X l  mët khæng gian phùc, ϕ : X → [−∞, ∞) l  h m nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X . Khi â Ωϕ (X) l  hyperbolic n¸u v  ch¿ n¸u X l  hyperbolic v  ϕ l  bà ch°n àa ph÷ìng tr¶n X . Chùng minh. i·u ki»n c¦n: Gi£ sû Ωϕ(X) l  hyperbolic. V¼ X ¯ng c§u vîi khæng gian con phùc âng {(x, 0); x ∈ X} cõa Ωϕ(X) n¶n X l  hyperbolic. Ta s³ chùng minh ϕ l  bà ch°n àa ph÷ìng tr¶n X . Gi£ sû ng÷ñc l¤i, ϕ khæng bà ch°n àa ph÷ìng tr¶n X , th¸ th¼ tçn t¤i z0 ∈ X v  mët d¢y {zk } hëi tö tîi z0 sao cho ϕ(zk ) → −∞. Cè ành mët iºm (z0 , w0 ) ∈ Ωϕ (X), w0 6= 0. Khæng m§t têng qu¡t, ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng |w0 | < e−ϕ(z ) , ∀k > 1. k 11 Khi â ta câ: dΩϕ (X) ((z0 , 0)(z0 , w0 )) ≤ dΩϕ (X) ((z0 , 0)(zk , 0))+ dΩϕ (X) ((zk , 0)(zk , w0 )) + dΩϕ (X) ((zk , w0 )(zo , w0 )) ≤ dX (z0 , zk ) + dDk (0, w0 ) + dΩϕ (X) ((zk , wo ), (z0 , w0 )), ∀ k > 1, trong â Dk = {z ∈ C : |z| < e−ϕ(z )}. Cho k d¦n tîi ∞, ta câ dΩ (X)((z0, 0)(z0, w0)) = 0. i·u n y m¥u thu¨n vîi t½nh hyperbolic cõa Ωϕ(X). Vªy ϕ l  bà ch°n àa ph÷ìng tr¶n X . i·u ki»n õ: Ta x²t ph²p chi¸u π : Ωϕ(X) → X x¡c ành bði π(z, w) = z . L§y U l  mët l¥n cªn hyperbolic cõa z0 trong X sao cho R = inf z∈U ϕ(z) > −∞. Ta d¹ th§y r¬ng π−1(U ) = Ωϕ(U ) ⊂ U × {w : |w| < e−R}, công l  hyperbolic. Theo ành lþ Eastwood ([4], p.46), ta câ i·u ph£i chùng minh. Gi£ sû X l  khæng gian phùc, ϕ : X → [−∞, ∞) l  h m a i·u háa d÷îi tr¶n X . Ta câ m»nh · sau: M»nh · 2.2.[10]. N¸u Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y th¼ X l  hyperbolic k ϕ ¦y, ϕ li¶n töc v  ϕ(x) 6= −∞ vîi måi x. Chùng minh Gi£ sû Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y . V¼ X ¯ng c§u vîi khæng gian con phùc âng {(x; 0); x ∈ X} cõa Ωϕ(X) n¶n X l  hyperbolic ¦y . Gi£ sû tçn t¤i x0 ∈ X sao cho ϕ(x0) = −∞. D¹ th§y {x0 } × C ⊂ Ωϕ (X), tùc l  Ωϕ (X) chùa ÷íng th¯ng phùc. Do vªy m¥u thu¨n vîi t½nh hyperbolic cõa Ωϕ(X). Vªy ϕ(X) 6= −∞ vîi måi x. Gi£ sû ϕ khæng li¶n töc t¤i iºm x0 ∈ X . Do ϕ l  h m nûa li¶n töc tr¶n n¶n ta t¼m ÷ñc d¢y {zj } ⊂ X v  sè thüc r sao cho {zj } → z0 v  e−ϕ(z0 ) < r < e−ϕ(zJ ) , 12 ∀j ≥ 1 (1) Vîi méi j ≥ 1, ta ành ngh¾a ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh fj : D → Ωϕ(X) x¡c ành bði fj = (zj , rw), vîi méi w ∈ ∆. V¼ Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y n¶n Ωϕ(X) l  taut. Tø {fj (0)} → (z0, 0) ∈ Ωϕ(X) v  tø t½nh taut cõa Ωϕ(X), khæng m§t têng qu¡t ta câ thº gi£ thi¸t d¢y {fj } hëi tö ·u tîi ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh f trong Hol(D; Ωϕ(X)), trong â f ∈ Hol(D; Ωϕ(X)) ÷ñc x¡c ành bði f (w) = (z0 , rw), ∀w ∈ D Tø â ta câ r.|w| < e−ϕ(z ), ∀w ∈ D. Do vªy r ≤ e−ϕ(z ). i·u n y m¥u thu¨n vîi (1). Vªy ϕ l  h m li¶n töc tr¶n X . M»nh · ÷ñc chùng minh. Trong tr÷íng hñp ϕ : X → [−∞, ∞) l  mët h m nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X , ta câ i·u ki»n c¦n cho t½nh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs Ωϕ (X) nh÷ sau: ành lþ 2.3.[11]. Gi£ sû X l  mët khæng gian phùc, ϕ : X → [−∞, ∞) 0 0 l  h m nûa li¶n töc tr¶n x¡c ành tr¶n X . N¸u Ωϕ (X) l  hyperbolic ¦y, th¼ X l  hyperbolic ¦y v  ϕ l  mët h m gi¡ trà thüc, a i·u háa d÷îi li¶n töc tr¶n X . Chùng minh. V¼ X l  ¯ng c§u vîi mët khæng gian con phùc âng cõa Ωϕ(X) n¶n X l  hyperbolic ¦y . Theo Bê · 2.9 ta câ ϕ l  h m gi¡ trà thüc. Ti¸p theo ta chùng minh ϕ l  li¶n töc tr¶n X . Gi£ sû ϕ khæng li¶n töc tr¶n X th¼ tçn t¤i z0 ∈ X , mët d¢y {zj }j>1 ⊂ X v  mët h¬ng sè r > 0 thäa m¢n: {zj } → z0 , e−ϕ(z ) < e−ϕ(z ) , ∀ j ≥ 1. (1) Vîi méi j ≥ 1, ta x¡c ành ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh fj : D → Ωϕ(X) x¡c ành bði fj (w) = (zj , rw). Rã r ng {fj (0)} → (z0, 0) ∈ Ωϕ(X). V¼ X l  0 j 13 hyperbolic ¦y n¶n X l  taut, b¬ng c¡ch l§y d¢y con ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng d¢y {fj } hëi tö ·u àa ph÷ìng tr¶n D tîi mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh f ∈ Hol(D, Ωϕ (X)). D¹ th§y f (w) = (z0, rw). i·u n y cho ta r|w| < e−ϕ(z ), ∀ w ∈ D, v  do â r ≤ e−ϕ(z ). i·u n y m¥u thu¨n vîi (1). Vªy ϕ l  li¶n töc tr¶n X . Cuèi còng ta chùng minh ϕ l  h m a i·u háa d÷îi tr¶n X . Theo ành lþ cõa Fornaess v  Narasimhan ÷ñc nâi ð tr¶n ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng ϕ ◦ g l  i·u háa d÷îi vîi måi g ∈ Hol(D, X) ∩ (D̄, X). Ta x²t mi·n Hartogs nh÷ sau: 0 0   Ωϕ◦g (X) = (z, w) : z ∈ D, |w| < e−(ϕ◦g) . Ta s³ chùng minh r¬ng Ωϕ◦g (D) l  gi£ lçi. Gi£ sû ng÷ñc l¤i, s³ tçn t¤i mët d¢y {ϕj } trong Hol(D, Ωϕ◦g (X)) ∩ C(D̄, Ωϕ◦g (D)) thäa m¢n : i) ϕn (D̄) ⊂ Ωϕ◦g (D), ∀n ≥ 1. ii) {ϕn } hëi tö ·u tr¶n D̄ ¸n ϕ∗ sao cho ϕ∗ (∂D) ⊂ Ωϕ◦g (D). iii) ϕ∗ (D) 6⊂ Ωϕ◦g (D). °t ψ(λ, w) = (g(λ), w), ∀(λ, w) ∈ D × C. X²t d¢y c¡c ¡nh x¤ {ϕ̃n} x¡c ành bði ϕ̃n = ψ ◦ ϕn. Tø (i) v  (ii) ta câ S n≥1 ϕ̃n (∂D) ∪ (ψ ◦ ϕ∗ )(∂D) ⊂⊂ Ωϕ (X). V¼ vªy, ta câ thº t¼m ÷ñc mët tªp con mð compact t÷ìng èi S U cõa Ωϕ (X) chùa n≥1 ϕ̃n (∂D) ∪ (ψ ◦ ϕ∗ )(∂D). Do â tçn t¤i n0 õ lîn v  z0 ∈ D õ g¦n ∂D sao cho ϕ̃n(z0) ∈ U vîi måi n ≥ n0. Ta °t: F = {f ∈ Hol(D, Ωϕ (X)) : f (z0 ) ∈ U }. 14 V¼ Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y n¶n Ωϕ(X) l  taut. Do vªy F l  chu©n t­c. V¼ khæng câ d¢y con trong F câ thº l  ph¥n ký compact v  ϕ̃n ∈ F, vîi måi n ≥ n0 n¶n ta câ ¡nh x¤ giîi h¤n ψ ◦ ϕ∗ thuëc F . °c bi»t ψ ◦ ϕ∗ ¡nh x¤ D v o Ωϕ(X), i·u n y m¥u thu¨n vîi (iii). V¼ vªy Ωϕ◦g (D) l  gi£ lçi. Suy ra ϕ ◦ g l  a i·u háa d÷îi. ành lþ ÷ñc chùng minh. º chùng minh k¸t qu£ ti¸p theo, ta nh­c l¤i M»nh · sau: M»nh · 2.4.([7], p55). Cho X l  mët khæng gian phùc, a ∈ X v  c¡c sè d÷ìng ρ, ε . Khi â tçn t¤i h¬ng sè c > 1 sao cho vîi méi δ > 0, måi c°p iºm (p, q) thuëc h¼nh c¦u mð U (a, ρ) = {b ∈ X : dX (a, b) < ρ} câ thº ÷ñc nèi bði mët d¥y chuy·n β c¡c ¾a ch¿nh h¼nh câ ë d i l(β) < C(dX (p, q) + δ) n¬m trong U (a; 3ρ + ε). °t bi»t dU (a;3ρ+ε)(p, q) ≤ C.dX (p, q), ∀ p, q ∈ U (a; ρ). Chùng minh. L§y 0 < r < 1 l  sè d÷ìng x¡c ành bði dD (0, r) = ε, v¼ vªy ¾a Dr = {z ∈ C, |z| < r} bªc k½nh r câ b¡n k½nh ε ùng vîi kho£ng c¡ch Poincar² dD . Ta chån C thäa m¢n dDr (0, x) ≤ C.dD (0, x) vîi x ∈ D . º chùng minh C thäa m¢n y¶u c¦u , ta nèi p, q ∈ U (a, ρ) bði mët d¥y chuy·n α c¡c ¾a ch¿nh h¼nh trong X câ ë d i l(α) < dX (p, q) + δ < 2ρ vîi δ õ nhä. V¼ ë d i cõa li¶n k¸t |α| b² hìn 2ρ n¶n |α| bà ch°n trong U (a, 3ρ). L§y fi : D → X l  ¾a ch¿nh h¼nh thù i cõa d¥y chuy·n α bi¸n ai, bi ∈ D th nh pi−1, pi ∈ X . Khæng m§t têng qu¡t , ta câ thº gi£ thi¸t ai = 0 v  |bi| < 2r . V¼ pi−1 ∈ U (a, 3ρ) n¶n fi(Dr ) ⊂ U (a, 3ρ + ε), v¼ vªy n¸u z ∈ Dr , th¼ dD (0, z) < ε v  dX (pi−1 , fi (z)) = dX (fi (0), fi (z)) < ε. B¬ng c¡ch thu hµp ¾a ch¿nh h¼nh fi : D → X tr¶n Dr , ta câ d¥y chuy·n β l  d¥y chuy·n nèi p v  q n¬m trong U (a, 3ρ + ε) v  l(β) ≤ r 2 C.l(α) < C.(dX (p, q) + δ). 15 V¼ δ tòy þ n¶n ta câ i·u ph£i chùng minh. H» qu£ 2.5. Gi£ sû X l  mët khæng gian phùc , a ∈ X, ρ > 0. Khi â tçn t¤i h¬ng sè C > 0 sao cho vîi p, q ∈ U (a, ρ) = {b ∈ X : dX (a, b) < ρ} ta câ dU (a,4ρ) (p, q) ≤ C.dX (p, q). ành lþ 2.6. [11]. Gi£ sû X l  mët khæng gian phùc hyperbolic, ϕ l  mët h m a i·u háa d÷îi li¶n töc, gi¡ trà thüc tr¶n X thäa m¢n t½nh ch§t sau: Vîi méi iºm bi¶n (z0 , w0 ) cõa Ωϕ (X) vîi z0 ∈ X , tçn t¤i mët l¥n cªn V cõa z0 trong X v  mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh f tø Ωϕ (X) v o khæng gian hyperbolic ¦y Y sao cho d¢y f (zn , wn ) khæng l  compact t÷ìng èi trong Y vîi b§t ký d¢y {(zn , wn )} hëi tö tîi (z, w). Khi â Ωϕ (X) l  hyperbolic ¦y. Chùng minh : Theo Bê · 2.9, Ωϕ(X) l  hyperbolic. Chóng ta ph£i chùng minh r¬ng Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y. Ta gi£ thi¸t r¬ng tçn t¤i mët d¢y Cauchy {pk }k≥1 = {(zk , wk )}k≥1 trong Ωϕ (X) sao cho {pk } khæng hëi tö tîi b§t ký iºm n o trong Ωϕ(X). Theo t½nh ch§t gi£m kho£ng c¡ch, {zk } l  mët d¢y Cauchy trong X . V¼ X l  hyperbolic ¦y n¶n d¢y n y hëi tö tîi z0 ∈ X . Gi£ sû U l  mët l¥n cªn compact t÷ìng èi cõa z0 ∈ X . B¬ng c¡ch l§y mët d¢y con n¸u c¦n thi¸t , ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng {zk }k≥1 ⊂ U . Tø â suy ra {(zk , wk )}k≥1 ⊂ U × ∆ ⊂ U × C, trong â ∆ l  ¾a {w : |w| < e− inf ϕ(z) }. B¬ng c¡ch l§y mët d¢y con n¸u c¦n thi¸t, ta câ thº gi£ sû r¬ng d¢y {pk }k≥1 hëi tö tîi iºm trong ∂(Ωϕ(X)). Tø gi£ thi¸t, ta câ thº l§y mët l¥n cªn V cõa z0 trong X , mët h m ch¿nh h¼nh f trong π−1(V ) v  mët khæng gian hyperbolic ¦y Y thäa m¢n c¡c i·u ki»n ¢ cho. L§y 0 < ρ < 51 inf{dX (z0, x) :∈ X\V }, v  N z∈U 16