Tài liệu Tính hữu hạn và tính ổn định tiệm cận của một số tập iđêan nguyên tố

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MÃ ĐỨC NGHỊ TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MÃ ĐỨC NGHỊ TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015 Người viết Luận văn Mã Đức Nghị i Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của: Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học, Sở GD&ĐT Hà Giang, Ban Giám hiệu trường THPT Thông Nguyên, huyện Hoàng Su Phì, Hà Giang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015 Người viết Luận văn Mã Đức Nghị ii Mục lục Lời cảm ơn ii Mục lục 1 Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Môđun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun 13 2.1 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . 13 2.2 Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . 22 2.3 Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương tại bậc d − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Tài liệu tham khảo 33 1 Mở đầu Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, I là iđêan của R, và N là R−môđun hữu hạn sinh. Năm 1992, C. Huneke [15] đã đưa ra giả thuyết ”Liệu rằng các môđun HIj (N ) chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết với mọi môđun hữu hạn sinh N và mọi iđêan I ?”. Một số câu trả lời khẳng định được đưa ra bởi Huneke-R. Y. Sharp, và G. Lyubeznik cho các vành chính quy địa phương đẳng đặc trưng. Sau đó, A. Singh [23] và M. Katzman [16] đã xây dựng được các ví dụ về môđun hữu hạn sinh có một số môđun đối đồng điều địa phương có vô hạn các iđêan nguyên tố liên kết. Bên cạnh đó, giả thuyết này vẫn đúng trong nhiều trường hợp, chẳng hạn: Trong trường hợp môđun N có chiều nhỏ hơn 4, T. Marley đã chỉ ra rằng AssR (HIj (N )) là tập hữu hạn với mọi j . M.Brodmann-A.Faghani chứng minh rằng AssR (HIt (N )) là tập hữu hạn nếu HIj (N ) là hữu hạn sinh với mọi j < t. Tiếp đó, K. Khashyarmanesh - Sh. Salarian [17] chứng minh được rằng nếu Supp HIj (N ) là tập hữu hạn với mọi j < t thì Ass HIt (N ) là tập hữu hạn. Năm 2005, L.T. Nhàn [22] đã định nghĩa khái niệm dãy chính quy suy rộng, và đặc trưng được số nguyên t nhỏ nhất để Supp HIt (N ) là tập vô hạn, số t đó là độ dài của dãy chính quy suy rộng cực đại của N trong I và Ass(HIj (N ) là hữu hạn. Gần đây N.T. Cường - N.V. Hoàng đã thu được kết quả mới về tính hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun đối đồng điều địa phương, cụ thể là các định lý sau: Định lý 1. (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.1]) Cho (R, m) là vành địa phương Noether, I là một iđêan của R và N là R-môđun hữu hạn sinh. Cho k ≥ −1 là một số nguyên và r = depthk (I, N ). Nếu r < ∞ và x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều > k trong I , thì với mọi số nguyên j ≤ r, tập hợp AssR (HIj (N ))≥k là hữu hạn. Hơn nữa, với mọi l ≤ r ta có [ [ j AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (I). AssR (HI (N ))≥k = j≤l j≤l 2 Mục tiêu thứ nhất của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết chứng minh Định lý 1 của Cường - Hoàng như đã nêu trên và trình bày chi tiết một số hệ quả của nó. Một vấn đề khác đã được M. Brodmann nghiên cứu năm 1979, đó là nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass(N/I n N ) khi n đủ lớn. Tiếp đó bài toán đã được mở rộng và được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học khác, chẳng hạn: L. Melkersson [20], Melkersson - P. Schenzel [21], Cường - Hoàng - P.H. Khánh [9]. Và gần đây Cường - Hoàng [8] và Hoàng - Khánh [14] đã chứng minh được một số kết quả mới về tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương trong một số điều kiện nhất định, đó là các định lý sau: Định lý 2. (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.2]) Cho (R, m) là vành địa phương Noether và I là một iđêan của R. Lấy R = ⊕n≥0 Rn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = R và N = ⊕n≥0 Nn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Với mỗi số nguyên k ≥ −1, gọi r là giá trị ổn định của depthk (I, Nn ). Khi S đó với mỗi số nguyên l ≤ r tập hợp j≤l AssR (HIj (Nn ))≥k là ổn đinh với n đủ lớn. Định lý 3. (Hoàng - Khánh [14]) Cho (R, m) là vành địa phương Noether, I, J là hai iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Cho R = ⊕n≥0 Rn một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = R và N = ⊕n≥0 Nn là một môđun phân bậc hữu hạn sinh. Lấy Ln để kí hiệu cho R−môđun Nn hoặc R−môđun S M/J n M . Khi đó với mỗi số nguyên không âm l tập hợp j≥l SuppR (HIj (Ln )) là ổn định với n đủ lớn. Đặc biệt, tập hợp AssR (HId−1 (Ln )) ∪ {m} là ổn định với n đủ lớn, trong đó d là giá trị ổn định của dim Ln . Mục tiêu thứ hai của luận văn là trình bày lại chi tiết chứng minh cho Định lý 2 và Định lý 3 nêu trên. Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1 dành để trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm: iđêan nguyên tố liên kết, môđun Ext, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu của môđun, vành và môđun phân bậc. Chương 2 là chương chính của luận văn gồm ba mục tương ứng dành để chứng minh chi tiết cho các định lý: Định lý 1, Định lý 2, và Định lý 3. 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhằm giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị phục vụ cho chứng minh các kết quả ở những chương sau. Trong chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether và M là R−môđun. 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1. (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu có một phần tử 0 6= x ∈ M sao cho Ann(x) = p. Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR (M ) hoặc Ass(M ). Sau đây là một số tính chất của các tập iđêan nguyên tố liên kết. Mệnh đề 1.1.2. (i) Cho p ∈ Spec(R). Khi đó p ∈ AssR (M ) nếu và chỉ nếu M có một môđun con đẳng cấu với R/p. (ii) Nếu p là phần tử tối đại của của tập tất cả các iđêan của R có dạng Ann(x) (với 0 6= x ∈ M ), thì p ∈ AssR (M ). Vì R là vành Noether nên M 6= 0 khi và chỉ khi AssR (M ) 6= 0. Hơn nữa, tập ZD(M ) tất cả các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M . (iii) Cho 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp các R−môđun. Khi đó AssR M 0 ⊆ AssR M ⊆ AssR M 0 ∪ AssR M 00 . 4 (iv) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) và mỗi phần tử tối thiểu của tập SuppR (M ) đều thuộc vào tập AssR (M ) (v) Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì AssR (M ) là tập hữu hạn. Hơn nữa AssR (M ) ⊆ V (Ann M ) và mỗi phần tử tối thiểu của V (Ann M ) đều thuộc p AssR (M ). Vì thế Ann(M ) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M . (vi) AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR (M ), q ⊆ p}. 1.2 Môđun Ext Định nghĩa 1.2.1. Một giải xạ ảnh của R−môđun M là một dãy khớp ... → P2 → P1 → P0 → M → 0 của các R−môđun, trong đó Pi là R−môđun xạ ảnh với mọi i. Chú ý 1.2.2. Giải xạ ảnh của một R−môđun M luôn tồn tại. Thật vậy, giả sử Y là một hệ sinh của M , gọi P0 = ⊕y∈Y Ry , với Ry = R là R−môđun tự do trên Y . Khi đó ta có toàn cấu ϕ : P0 → M cho bởi ϕ(ay )y∈Y = Σy∈Y ay y . Đặt K1 = Ker ϕ. Lấy Y1 là hệ sinh của K1 và P1 là R−môđun tự do sinh bởi Y1 . Khi đó ta có một toàn cấu tự nhiên f1 : P1 → K1 . Đặt µ1 = j1 f1 , trong đó j1 : K1 ,→ P0 là phép nhúng tự nhiên từ K1 vào P0 . Dễ thấy Im µ1 = Ker ϕ. Đặt K2 = Ker µ1 . Bằng lập luận tương tự ta có một toàn cấu f2 : P2 → K2 sao cho K2 là môđun tự do và Im µ2 = Ker µ1 trong đó µ2 = j2 f2 với j2 : K2 ,→ P1 là phép nhúng tự nhiên. Cứ tiếp tục quá trình này ta thu được một dãy khớp µ2 µ1 ϕ ... −→ P1 −→ P0 − →M →0 trong đó Pi là môđun tự do. Vì mỗi môđun tự do là xạ ảnh nên mỗi dãy khớp trên là xạ ảnh của M . Định nghĩa 1.2.3. Cho N là R−môđun. Xét hàm tử Hom(−, N ) là phản biến, khớp trái. Cho M là R−môđun, lấy giải xạ ảnh của M f2 f1 f0 µ ... −→ P2 −→ P1 −→ P0 − → M → 0. 5 Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp trên ta có phức f0∗ f1∗ f2∗ 0 → Hom(P0 , N ) −→ Hom(P1 , N ) −→ Hom(P2 , N ) −→ ... ∗ . Môđun này không phụ thuộc vào việc Khi đó ExtiR (M, N ) = Ker fi∗ / Im fi−1 chọn giải xạ ảnh của M . Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Ext. Mệnh đề 1.2.4. (i) Nếu M là xạ ảnh thì ExtiR (M, N ) = 0 với mọi i > 1. (ii) Ext0R (M, N ) ∼ = Hom(M, N ). (iii) Nếu 0 → N 0 → N → N 00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu 0 nối ExtnR (M, N 00 ) → Extn+1 R (M, N ) với mọi n > 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 → Hom(M, N 0 ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N 00 ) → Ext1R (M, N 0 ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N 00 ) → Ext2R (M, N 0 ) → ... (iv) Nếu 0 → N 0 → N → N 00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu 00 nối ExtnR (N 0 , M ) → Extn+1 R (N , M ) với mọi n > 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 → Hom(N 00 , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N 0 , M ) → Ext1r (N 00 , M ) → Ext1R (N, M ) → Ext1R (N 0 , M ) → Ext2R (N 00 , M ) → ... Từ Chú ý 1.2.2 và từ Định nghĩa môđun Ext ta có kết quả sau. Hệ quả 1.2.5. Nếu M, N là môđun hữu hạn sinh trên R thì ExtiR (M, N ) cũng là hữu hạn sinh với mọi i. Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Ext và hàm tử địa phương hóa. Mệnh đề 1.2.6. Nếu S là tập đóng nhân của R thì S −1 (ExtnR (M, N )) ∼ = ExtnS −1 R (S −1 M, S −1 N ). Đặc biệt, ta có (ExtnR (M, N ))p ∼ = ExtnRp (Mp , Np ) với mọi p ∈ Spec R. 6 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương Môđun đối đồng điều địa phương được định nghĩa bởi A. Grothendieck (vào những năm 1960). Ngày nay chúng đã trở thành công cụ quan trọng trong Hình học đại số, Đại số giao hoán. Trước hết ta giới thiệu về hàm tử I−xoắn. Định nghĩa 1.3.1. (Hàm tử I−xoắn) Cho I là iđêan của R. Với mỗi R−môđun S M, ta định nghĩa ΓI (M ) = n≥0 (0 :M I n ), dễ thấy nó là môđun con của M . Nếu f : M → N là đồng cấu các R−môđun thì ta có đồng cấu cảm sinh f ∗ : ΓI (M ) → ΓI (N ) cho bởi f ∗ (m) = f (m). Khi đó ΓI (−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù các R−môđun đến phạm trù các R− môđun. ΓI (−) được gọi là hàm tử I− xoắn. Bổ đề 1.3.2. Cho I là iđêan của R. Giả sử M là môđun hữu hạn sinh trên R. Khi đó các phát biểu sau đây là đúng. (i) ΓI (M ) 6= 0 nếu và chỉ nếu I ⊆ ZD(M ), trong đó ZD(M ) = {a ∈ R | tồn tại 0 6= m ∈ M sao cho am = 0}. (ii) Ass(ΓI (M )) = Ass(M ) ∩ V (I) và Ass(M/ΓI (M )) = Ass(M ) \ V (I). Định nghĩa 1.3.3. i) (Môđun nội xạ) Một R−môđun M được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu f : N → N 0 và mọi đồng cấu g : N → M , luôn tồn tại đồng cấu h : N 0 → M sao cho g = h ◦ f . ii) (Giải nội xạ) Một giải nội xạ của R−môđun M là một dãy khớp µ f0 f1 f2 0→M − → E0 −→ E1 −→ E2 −→ · · · trong đó Ei là các R−môđun nội xạ với mọi i ≥ 0. Chú ý 1.3.4. Giải nội xạ của một R−môđun M luôn tồn tại. Định nghĩa 1.3.5. (Môđun đối đồng điều địa phương) Cho M là R−môđun và I là iđêan của R. Lấy giải nội xạ của M µ f0 f1 f2 0→M − → E0 −→ E1 −→ E2 −→ · · · 7 Tác động hàm tử I−xoắn vào dãy khớp trên ta được phức f0∗ f1∗ f2∗ 0 → ΓI (E0 ) −→ ΓI (E1 ) −→ ΓI (E2 ) −→ · · · ∗ (với mọi i ≥ 0) được gọi là môđun đối đồng Khi đó HIi (M ) = Ker fi∗ / Im fi−1 điều địa phương thứ i của M đối với giá là iđêan I . Tiếp theo ta xét một số tính chất. Mệnh đề 1.3.6. Cho M là một R−môđun. Khi đó các phát biểu sau là đúng. (i) ΓI (M ) ∼ = HI0 (M ). (ii) Nếu M là nội xạ thì HIi (M ) = 0 với mọi i ≥ 1. (iii) Nếu 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối HIn (M 00 ) → HIn+1 (M 0 ) với mọi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 → ΓI (M 0 ) → ΓI (M ) → ΓI (M 00 ) → HI1 (M 0 ) → HI1 (M ) → HI1 (M 00 ) → HI2 (M 0 ) → · · · Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa đối đồng điều địa phương và hàm tử địa phương hóa. Mệnh đề 1.3.7. Nếu S là tập đóng nhân của R thì S −1 HIn (M ) ∼ = HSn−1 I (S −1 M ). n (M ) với mọi iđêan nguyên tố p của R. Đặc biệt, (HIn (M ))p ∼ = HIR p p Hệ quả 1.3.8. Với mỗi p ∈ Spec(R), ta có p ∈ Ass HIn (M ) nếu và chỉ nếu n (M ). pRp ∈ Ass HIR p p 1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun Trước hết ta giới thiệu khái niệm dãy chính quy. Định nghĩa 1.4.1. (Dãy chính quy) Cho R là vành giao hoán Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0. Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử M −chính quy nếu a không là ước của 0 trong M (tức là, ax 6= 0 với mọi 0 6= x ∈ M ). Một dãy các phần tử a1 , . . . , an ∈ R được gọi là một M −dãy chính quy (hay M −dãy) nếu 8 (1) M/(a1 , . . . , an )M 6= 0 và (2) ai là phần tử M/(a1 , . . . , ai−1 )M −chính quy, với mọi i = 1, . . . , n. Chú ý 1.4.2. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh. i) Dãy các phần tử (a1 , . . . , an ) ∈ R được gọi là M −dãy chính quy nghèo nếu nó chỉ thỏa mãn điều kiện (2) trong định nghĩa trên. ii) Độ dài của một M −dãy là số phần tử của dãy đó. Một M −dãy không có phần tử nào gọi là M −dãy có độ dài 0. iii) a ∈ R là phần tử M −chính quy nghèo nếu và chỉ nếu a ∈ / p với mọi p ∈ AssR M . iv) a1 , . . . , an ∈ R là M − dãy chính quy khi và chỉ khi M/(a1 , . . . , an )M 6= 0 và ai ∈ / p với mọi p ∈ AssR M/(a1 , . . . , ai−1 )M với i = 1, . . . , n. Mệnh đề 1.4.3. (xem [19, Định lý 16.1 và Bài tập 6.3]) Giả sử (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether và M là môđun hữu hạn sinh trên R. Khi đó, nếu a1 , . . . , ak ∈ m là M −dãy thì i) an1 1 , . . . , ank k cũng là M −dãy với mọi số nguyên dương n1 , . . . , nk , và ii) AssR (M/(an1 1 , . . . , ank k )M ) = AssR (M/(a1 , . . . , ak )M ). Định nghĩa 1.4.4. (M −dãy chính quy tối đại) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0. Lấy I là iđêan của R sao cho M 6= IM và a1 , . . . , an là M −dãy chính quy trong I . Ta nói rằng a1 , . . . , an là M −dãy chính quy tối đại trong I nếu không tồn tại phần tử an+1 ∈ I sao cho a1 , . . . , an , an+1 là M −dãy chính quy. Mệnh đề 1.4.5. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0. Lấy I là iđêan của R sao cho M 6= IM . Với mỗi số nguyên dương n cho trước, khi đó các mệnh đề sau là tương đương: i) Tồn tại a1 , . . . , an ∈ I là một M −dãy. ii) ExtjR (R/I, M ) = 0 với mọi j < n. 9 Định nghĩa 1.4.6. (Độ sâu của môđun) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0. Lấy I là iđêan của R sao cho M 6= IM . Khi đó mọi M −dãy chính quy trong I đều có thể mở rộng thành M −dãy chính quy tối đại trong I . Các M −dãy chính quy tối đại của M trong I đều có cùng độ dài n, đó là số thỏa mãn điều kiện ExtjR (R/I, M ) = 0, ∀j < n và ExtnR (R/I, M ) 6= 0. Ta đặt n = depth(I, M ) và gọi là độ sâu của M trong I . Nếu M = IM thì ta quy ước depth(I, M ) = ∞. Trong trường hợp (R, m) là vành địa phương, thì độ sâu của M trong m là depth(m, M ) còn được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M . Kết quả sau đây là đặc trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương và môđun Ext. Mệnh đề 1.4.7. Giả sử I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó depth(I, M ) = inf{i | HIi (M ) 6= 0} = inf{i | ExtiR (R/I, M ) 6= 0}. Tiếp theo ta giới thiệu một số mở rộng của khái niệm dãy chính quy. Đó là khái niệm dãy lọc chính quy được định nghĩa bởi N.T. Cường - N.V. Trung - P. Schenzel [11], và khái niệm dãy chính quy suy rộng được định nghĩa bởi L.T. Nhàn [22]. Định nghĩa 1.4.8. (xem [11]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh. Một dãy các phần tử x1 , . . . , xr của m được gọi là một dãy lọc chính quy của M nếu xi ∈ / p với mọi p ∈ Ass(M/(x1 , . . . , xi−1 )M ) \ {m} với mọi i = 1, . . . , r. Định nghĩa 1.4.9. (xem [22]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh. Một dãy các phần tử x1 , . . . , xr của m được gọi là một dãy chính quy suy rộng của M nếu xi ∈ / p với mọi p ∈ Ass(M/(x1 , . . . , xi−1 )M ) mà dim(R/p) > 1 với mọi i = 1, . . . , r. Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm chiều của môđun. 10 Chú ý 1.4.10. Ta gọi một dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn (trong đó với mọi i ta có pi 6= pi+1 ) là một dãy các iđêan nguyên tố có độ dài là n. Ta nói chiều (Krull) của vành R, kí kiệu là dim R, là cận trên của các độ dài của các dãy iđêan nguyên tố trong R. Khi M là R−môđun, ta nói chiều môđun M , kí hiệu là dim M , là cận trên của các số n sao cho có một dãy các iđêan nguyên tố có độ dài n trong tập Supp M . Trong trường hợp M là R−môđun hữu hạn sinh thì Supp M = V (AnnR M ), do đó dim M = sup{dim(R/p) | p ∈ Ass M } = dim(R/ Ann M ). Kết quả sau đây chỉ ra rằng chiều của một môđun có thể đặc trưng thông qua tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương. Mệnh đề 1.4.11. Cho I là iđêan của R và M 6= 0 là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó (i) HIi (M ) = 0 với mọi i ≥ dim M . (ii) Nếu (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether thì i dim M = sup{i | Hm (M ) 6= 0}. 1.5 Vành và môđun phân bậc Định nghĩa 1.5.1. (i) Một vành phân bậc A là một vành giao hoán (A, +, .) L thỏa mãn các tính chất A = n≥0 An (tức là, nhóm A là tổng trực tiếp của họ các nhóm con An của nhóm cộng (A, +)), và An Am ⊆ An+m với mọi n, m ∈ N. Khi đó, mỗi phần tử a ∈ An được gọi là phần tử thuần nhất bậc n. Ta quy ước phần tử 0 có bậc tùy ý. (ii) Cho A = L là vành phân bậc và M là một A−môđun. Ta nói M là L A−môđun phân bậc nếu thỏa mãn các điều kiện M = n≥0 Mn (như là các n≥0 An nhóm cộng) và An Mm ⊆ Mn+m với mọi n, m ∈ N. Khi đó, mỗi phần tử x ∈ Mn gọi là phần tử thuần nhất (hay phần tử phân bậc) có bậc là n. Cho N là một môđun con của A−môđun phân bậc M , khi đó N được gọi là môđun con thuần L nhất (hay môđun con phân bậc) của M nếu N = n≥0 (Mn ∩ N ). 11 Chú ý 1.5.2. Giả sử A = L n≥0 An là vành phân bậc. Khi đó i) A0 là một vành con của A. Thật vậy, vì hiển nhiên có (A0 , +) là nhóm con của nhóm A và A0 A0 ⊆ A0 ; và ngoài ra nếu 1 = a0 + a1 + . . . + an với ai ∈ Ai thì với mỗi i ta có ai = 1ai = ai a0 + ai a1 + . . . + ai an . Do biểu diễn duy nhất của tổng trực tiếp ta suy ra ai = ai a0 . Do đó 1 = a0 + a1 + . . . + an = a0 a0 + a1 a0 + . . . + an a0 = (a0 + a1 + . . . + an )a0 = 1a0 = a0 ∈ A0 . ii) An là A0 −môđun với mọi n ≥ 0 (vì A0 An ⊆ An ). iii) Đặc biệt A có cấu trúc tự nhiên là một A0 −đại số (vì có đồng cấu vành L f : A0 → n≥0 An = A, a0 7−→ a0 + 0 + . . . + 0 + . . .). Nếu tồn tại hữu hạn phần tử a1 , . . . , an ∈ A1 sao cho A = A0 [a1 , ..., an ] thì ta nói A là A0 −đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh, trong trường hợp này A là ảnh đồng cấu của vành đa thức n biến trên A0 . Do đó nếu A0 là vành Noether thì theo Định lí cơ sở Hilbert, ta suy ra vành đa thức trên A0 là vành Noether. Vì thế A là vành Noether. 12 Chương 2 Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun Chương này nhằm chứng minh chi tiết các kết quả chính của luận văn (các Định lý 1, 2 và 3 như đã nêu ở phần Mở đầu). Trong cả chương này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất là m; cho I, J là hai iđêan của R và M, N là các R−môđun hữu hạn sinh. L Hơn nữa, ta giả thiết R = n≥0 Rn là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh L trên R0 = (R, m), và giả sử N = n≥0 Nn là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh. Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [8] và một phần bài báo [14]. 2.1 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết Với S là tập con của Spec(R) và với số nguyên k ≥ −1, ta đặt S≥k = {p ∈ S | dim(R/p) ≥ k} và S>k = {p ∈ S | dim(R/p) > k}. 13 Năm 2008, M. Brodmann-L.T. Nhàn đã định nghĩa khái niệm N −dãy từ chiều > k trong bài báo [4] như sau. Định nghĩa 2.1.1. (xem [4]) Cho số nguyên k ≥ −1. Một dãy các phần tử x1 , . . . , xr ∈ m được gọi là một N −dãy từ chiều > k nếu xi ∈ / p với mọi p ∈ AssR (N/(x1 , . . . , xi−1 )N )>k với mọi i = 1, . . . , r. Chú ý 2.1.2. Trong [4], họ cũng chứng minh rằng mọi N -dãy từ chiều > k cực đại trong I đều có cùng độ dài. Độ dài chung đó được kí hiệu là depthk (I, N ) (khi dim(N/IN ) ≤ k thì quy ước depthk (I, N ) = ∞). Theo [4, Lemma 2.4] ta có depthk (I, N ) = inf{i | dim Supp(HIi (N )) > k}. Chú ý rằng depth−1 (I, N ) chính là độ sâu depth(I, N ) của N trong I ; depth0 (I, N ) chính là độ sâu lọc f-depth(I, N ) định nghĩa bởi R. Lü - Z. Tang [18] và depth1 (I, N ) chính là độ sâu suy rộng gdepth(I, N ) định nghĩa bởi L.T. Nhàn [22]. Kết quả chính thứ nhất của luận văn này là định lý sau của Cường-Hoàng trong [8, Theorem 1.1]. Định lý 2.1.3. (Định lý 1) Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan của R và N là R−môđun hữu hạn sinh. Cho số nguyên k ≥ −1 và r = depthk (I, N ). Nếu r < ∞ và x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều > k trong iđêan I , thì với mọi số nguyên j ≤ r ta có tập AssR (HIj (N ))≥k là hữu hạn. Hơn nữa, ta có đẳng thức [ AssR (HIj (N ))≥k = j≤l [ AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (I) j≤l với mọi l ≤ r. Để chứng minh Định lý 2.1.3 ta cần một số kiến thức chuẩn bị sau đây: Chú ý 2.1.4. i) Nếu x1 , . . . , xr là N -dãy từ chiều > k thì x1 /1, . . . , xr /1 là Np −dãy chính quy với mọi p ∈ (Supp N )>k mà p ⊇ (x1 , . . . , xr ). ii) Nếu x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều > k , thì xn1 1 , . . . , xnr r cũng là N -dãy từ chiều > k với mọi n1 , . . . , nr ∈ Z+ . 14 Thực vậy, ta chỉ cần chứng minh xν1 , . . . , xr cũng là N -dãy từ chiều > k với mọi ν ∈ Z+ . Ta tiến hành quy nạp theo ν . Giả sử ν > 1 và xν−1 1 , x2 , . . . , xn là N -dãy từ chiều > k . Vì x1 là N -dãy từ chiều > k , nên rõ ràng xν1 cũng vậy. Lấy i > 1, giả sử tồn tại p ∈ Ass(N/(xν1 , . . . , xi−1 )N )>k sao cho xi ∈ p. Khi đó ta cũng có p ∈ (Supp N )>k và p ⊇ (x1 , . . . , xi ). Suy ra x1 /1, . . . , xi /1 là Np −dãy chính quy (theo giả thiết và theo ý trên của chú ý này) và pRp ∈ AssRp (N/(xν1 , . . . , xi−1 )N )p . Từ đó theo Mệnh đề 1.4.3 ta suy ra xν1 /1, . . . , xi /1 cũng là Np −dãy chính quy. Do đó xi /1 ∈ / pRp , điều này mâu thuẫn với xi ∈ p. Vậy xν1 , x2 , . . . , xn là N -dãy từ chiều > k với mọi ν ∈ Z+ . Bổ đề 2.1.5. ([9, Lemma 2.3]) Cho số nguyên k ≥ −1. Khi đó depthk (I, N ) = inf{depthk−i (Ip , Np ) | p ∈ SuppR (N/IN )≥i } với mọi 0 ≤ i ≤ k + 1, ở đây để tiện lợi ta quy ước inf(∅) = ∞. Tiếp theo ta nhắc lại một số kiến thức về lớp môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được định nghĩa bởi J. Herzog năm 1970 trong [13]. Định nghĩa 2.1.6. (xem [13]) Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ j của hai môđun M và N đối với giá là iđêan I , kí hiệu là HIj (M, N ), xác định bởi công thức HIj (M, N ) = lim ExtjR (M/I n M, N ). −→ (Lưu ý rằng HIj (N ) = n j lim ExtR (R/I n , N ). −→n j Do đó HIj (R, N ) ∼ = HI (N ), tức là khái niệm môđun đối đồng điều địa phương suy rộng là một mở rộng của khái niệm môđun đối đồng điều địa phương). Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Bổ đề 2.1.7. (xem [1, Proposition 5.5]) Đẳng thức sau là đúng depth(IM , N ) = inf{i | HIi (M, N ) 6= 0}, trong đó IM = AnnR (M/IM ) là iđêan linh hóa tử của R−môđun M/IM . Bổ đề 2.1.8. (xem [6, Theorem 2.4]) Đặt r = depth(IM , N ). Giả sử r < ∞ và x1 , . . . , xr là một N −dãy chính quy trong iđêan IM . Khi đó AssR HIr (M, N ) = AssR N/(x1 , . . . , xr )N ∩ V (IM ).

15 Bổ đề 2.1.9. (xem [7, Lemma 2.1]) Nếu ΓIM (N ) = N hoặc I ⊆ Ann(M ), thì j HIj (M, N ) ∼ = ExtR (M, N ) với mọi j ≥ 0. Áp dụng các tính chất trên, bây giờ ta sẽ phát biểu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn Định lý 1, đó là định lý sau đây cho môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Định lý 2.1.10. (Cường-Hoàng [8, Theorem 3.1]) Cho (R, m) là vành Noetherian địa phương, I là iđêan của R và M, N là các R−môđun hữu hạn sinh. Lấy k ≥ −1 là số nguyên và r = depthk (IM , N ). Nếu r < ∞ và x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều > k trong iđêan IM , khi đó với bất kì số nguyên l ≤ r ta luôn có đẳng thức [ AssR (HIj (M, N ))≥k = j≤l [ AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (IM ). j≤l Do đó AssR (HIj (M, N ))≥k là tập hữu hạn với mọi j ≤ r. Chứng minh. Lấy l là số nguyên sao cho 0 ≤ l ≤ r. Với mỗi iđêan nguyên tố S p ∈ j≤l AssR (HIj (M, N ))≥k , ta luôn có số nguyên j0 ≤ l sao cho p ∈ AssR (HIj0 (M, N )) và p ∈ / AssR (HIj (M, N )) với mọi j < j0 . Giả sử rằng p ∈ / AssR (N/(x1 , . . . , xj )N ) với mọi j < j0 . Khi đó pRp ∈ / AssRp ((N/(x1 , . . . , xj )N )p ), với mọi j < j0 . Do đó AssRp ((N/(x1 , . . . , xj )N )p ) = AssRp ((N/(x1 , . . . , xj )N )p )≥1 với mọi j < j0 . Từ giả thiết của x1 , . . . , xr suy ra x1 , . . . , xj0 là N −dãy từ chiều > k . Mặt khác ta lại có p ∈ Supp(N/IM N )≥k . Do đó ta suy ra x1 /1, . . . , xj0 /1 là một dãy lọc chính quy của Np theo Bổ đề 2.1.5. Từ đó dẫn đến một kết quả mạnh hơn rằng x1 /1, . . . , xj0 /1 là một dãy chính quy của Np trong (IM )p , và do vậy depth((IM )p , Np ) ≥ j0 . Lại vì p ∈ AssR (HIj0 (M, N )), nên HIj0 (M, N )p 6= 0. Do đó depth((IM )p , Np ) ≤ j0 theo Bổ đề 2.1.7, và vì vậy ta thu được depth((IM )p , Np ) = j0 . Điều đó cùng với Bổ đề 2.1.8 dẫn đến AssRp (HIj0 (M, N )p ) = AssRp ((N/(x1 , . . . , xj0 )N )p ) ∩ V ((IM )p ). 16