Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới...

Tài liệu Tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới

.PDF
48
130
139

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LÂM QUANG TÀI TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI Chuyên ngành: Giải tích Mã số: : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS-TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU Thái Nguyên, năm 2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luân văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác đã công bố ở Việt Nam. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2015 Tác giả Lâm Quang Tài Xác nhận Xác nhận của trƣởng khoa chuyên môn của ngƣời hƣớng dẫn khoa học GS. TSKH. Nguyễn Quang Diệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Nguyễn Quang Diệu người thầy đã tận tình giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Giải Tích trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ những kiến thức quan trọng cho tôi, tạo điều kiện thuận lợi, cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu giúp đỡ tôi nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn ĐHSP Thái Nguyên khoa toán - tin nơi mà tôi đã được đào tạo và hoàn thành luận văn thạc sỹ. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người luôn ủng hộ tôi trong suốt quá chình hoàn thành luận văn. Thái Nguyên tháng 10 năm 2015 Tác giả Lâm Quang Tài Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời cam đoan .............................................................................................................. i Lời cảm ơn .................................................................................................................ii Mục lục ..................................................................................................................... iii MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN .......................................................................... 3 1.1. Phân bố ............................................................................................................. 3 1.2. Dạng vi phân ..................................................................................................... 3 1.3. Dòng.................................................................................................................. 4 1.4. Hàm nửa liên tục ............................................................................................... 8 1.5. Hàm điều hòa dưới.......................................................................................... 11 1.6. Hàm đa điều hòa dưới ..................................................................................... 13 1.7. Hàm đa điều hòa dưới cực đại. ....................................................................... 16 1.8. Toán tử Monge-Ampère phức ........................................................................ 18 Chƣơng 2. TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI ................... 34 2.1. Bài toán ........................................................................................................... 34 2.2. Tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới........................................................ 34 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 44 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tính duy nhất của một hàm nào đó có vai trò quan trọng trong toán học. Ở phổ thông ta thường gặp bài toán giải phương trình, việc tìm ra lời giải không hề dễ dàng nhưng bằng những cách thông thường ta lại tìm được một nghiệm của nó. Công việc của chúng ta là chứng minh hàm số đó có nghiệm duy nhất trên miền xác định. Tương tự trong giải tích hàm ta có: Giả sử dãy hàm f1 ( x) , f 2 ( x) …, f n ( x ) xác f n ( x) f(x) thì ta có f(x) là duy nhất. định trên miền D thỏa mãn lim n Tính duy nhất của một hàm được các nhà toán học rất quan tâm, đặc biệt trong giải tích phức. Trong lớp các dãy hàm chỉnh hình chúng ta đã biết Định lí sự tồn tại duy nhất của hàm chỉnh hình. Cụ thể: Giả sử cho f ( z ) , g ( z ) là các hàm chỉnh hình trong miền zn mở trong  n . Nếu f ( zn ) mà hội tụ tới một điểm a g ( zn ) trên một dãy điểm khác nhau thì f ( z ) g ( z ) với mọi z Thế còn lớp hàm đa điều hòa dưới xác định trên miền . mở trong  n thì sao? Chúng có là duy nhất hay không, nếu không duy nhất thì chúng phải thỏa mãn điều kiện gì để trở thành duy nhất? 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài này là trình bày một số kết quả gần đây của Nguyễn Quang Diệu về tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới trên tập mở trong  n nhằm làm sáng tỏ vấn đề trên. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Cho là miền siêu lồi bị chặn trong  n . Cho K chỉnh hình trong . Cho u1, u2 chúng bằng nhau trên là tập compact lồi PSH ( ), u1, u2 phải thỏa mãn các điều kiện gì để . Đây là nhiệm vụ hàng đầu mà ta cần giải quyết. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 1 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Ta nghiên cứu trên tập các hàm đa điều hòa dưới, âm trên tập mở là miền siêu lồi bị chặn trong  n. 5. Nội dụng của luận văn Nội dung chính của luận văn là trình bày một số kết quả gần đây của Nguyễn Quang Diệu về tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới trên tập mở trong  n . Chương I. Trình bày các kiến thức cơ sở như hàm nửa liên tục, đa điều hòa dưới, toán tử Monge-Ampère ... làm cơ sở lí thuyết cho chương sau. Chương II. Phát biểu và chứng minh chi tiết bài toán về “tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới”. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu là dựa vào tính chất của toán tử Monge-Ampère cùng với đặc trưng hình học của tập lồi phân hình và lồi chỉnh hình làm công cụ để chứng minh tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới, âm thỏa mãn một số điều kiện cho trước trên tập mở trong  n . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 2 Chƣơng 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Phân bố Định nghĩa. Giả sử U  n là tập mở. Một phân bố trên U là dạng tuyến tính liên tục trên D(U ) , với D(U ) là các hàm khả vi vô hạn trên U . Ta kí hiệu các phân bố trên U là D (U ) . Ví dụ : Giả sử U bố u f  n là tập mở và f C(U ) khi đó f xác định một phân D (U ) cho bởi uf ( ) f dV , D(U ) . U Thật vậy, rõ ràng u f là dạng tuyến tính trên D(U ) . Giả sử K Ð U . Chọn k f liên tục trên U . Khi đó với mọi uf ( ) D(U ) , sup p c K 0 , ., do K , ta có: . Vậy u f ( ) là một phân bốtrên U . 1.2. Dạng vi phân Giả sử  n là không gian vector n-chiều với cơ sở chính tắc e j = (0,…,1,0,…,0), ở đó 1 ở vị trí thứ j. Giả sử với mỗi 1≤ j ≤ n kí hiệu u j là hàm tọa độ thứ j : u j ( x) x j . Một ánh xạ n f :  ...  n  p gọi là p - tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định. Một ánh xạ p - tuyến tính sao cho f (v1,..., v p ) 0 mỗi khi v j v j 1 , 1≤ j < p gọi là p - tuyến tính thay dấu. Tập các p - tuyến tính thay dấu từ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 3 n  ...  n  p n p kí hiệu là n ( ,  ) . Bằng cách thay mỗi v j uk (v j )ek , ta có thể biểu diễn mỗi k 1 ánh xạ p - tuyến tính thay dấu bằng công thức f (v1, v2,..., v p ) f j (u j1 1 j1 u j p )(v1, , v p ) jp n ở đó: (u j1 u j p )(v1, , v p ) det u jk (v j ) và f J Định nghĩa : Giả sử .  n là tập mở. Một p - dạng vi phân trên Ω là một ánh xạ p : Nếu đặt dxk ( x) uk , 1 ≤ k ≤ n, x vi phân ( n,  ) . thì từ lí luận trên ta có thể viết mỗi p - dạng dưới dạng : trên (x) I (x)dxI I ở đó I (i1, , i p ) , 1 i1 dxI I ( x) là các hàm trên n dxi1 ... dxip . Tùy thuộc vào các hàm khả vi lớp nào hay trơn… ta nói ip I I ( x) là các hàm bị chặn, liên tục ( x) là dạng bị chặn, liên tục khả vi lớp nào hay trơn… 1.3. Dòng 1.3.1. Định nghĩa Một dòng bậc p hay có chiêu (n-p) trên tập mở T : D(n p) ( ) compact trong  n là dạng tuyến tính liên tục  , với D(n p) ( ) là không gian các (n- p) - dạng trơn có giá . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 4 là dạng trong D(n p) ( ) , giá trị của T tại Nếu , kí hiệu T ( ) hay T , . Thông thường các dòng thường được xét với tôpô yếu. Như vậy với tôpô này, một dãy Tn các dòng bậc p trên gọi là hội tụ tới dòng T bậc p trên Tn hội tụ tới T trong không gian ( D( n p) nếu dãy ( )) , nghĩa là với mọi a D( n ) I ,J T ( dxJ ) được chọn sao cho I ,J dxI dxJ là dạng thể tích trong  n . Từ T ( D( n bố trên . D(U ) xác định TI ( I ,J T, ( j1,..., jn p ) là dãy tăng các chỉ số là phần bù của I n . Giả sử J trong tâp 1,2,...,n . Khi đó ở đó ( ) , Tn ,  n , T ( D( n p ) ( )) . Giả sử I (i1,..., i p ) là dãy tăng với Giả sử T bậc p trên 1 i1 ... i p p) dV p) dx1 ... dxn ( )) nên TI ( D( )) , nghĩa là các phân . Do đó dòng T bậc p có thể viết ' T TI dxI I và như thế mọi dòng bậc p trên phân bố. Nếu coi Dn ( ) D( ) thì dòng bậc 0 trên T với u là một phân bố trên dòng bậc p trên có thể xem như p dạng vi phân với hệ số là có thể viết: udx1 ... dxn . Lúc đó ta cần thống nhất T với u có thể nói rằng các và ngược lại. là một phân bố trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 5 Dòng T bậc p trên trên không gian D0( n compact trong gọi là cấp 0 nếu nó thác triển tới dạng tuyến tính liên tục p) ( ) các (n p) dạng với hệ số là các hàm liên tục có giá . Trong trường hợp này nếu ' T TI dxI I thì TI là các dạng tuyến tính liên tục trên C0 ( ) với giá trị trong  , do đó TI là độ đo Borel chính quy phức trên Ví dụ : Giả sử .  n là tập mở và E một dòng bậc 0 , kí hiệu E , trên là tập Borel. Khi đó E xác định cho bởi E , Dn ( ) . , E Dòng E được gọi là dòng tích phân trên . Khi xét các dạng vi phân cũng như các dòng trên tập mở trong  n phát biểu các khái niệm này theo tọa độ phức z dx j 1 (dz dz ) j j 2 dy j 1 (dz dz ) j j 2i  2n ta sẽ (z1, z2, , zn )  n . Bằng cách thay và và do đó sẽ xuất hiện các khái niệm dạng phức song bậc (p, q) cũng như các dòng song bậc (p, q). 1.3.2. Dòng song bậc Định nghĩa. Mỗi phần tử T ( D( n p .n q ) ( )) gọi là một dòng song bậc ( p,q) hay ( p,q) dòng (tương ứng với song chiều (n ( D0( n p.n q ) p, n q) ). Những phần tử của ( )) gọi là dòng cấp 0 , song bậc (hay ( p,q) dòng cấp 0 ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 6 . Các (n, n) dòng là cấp 0 là các độ đo Rõ ràng (n, n) dòng là các phân bố trên Borel chính quy trên Ví dụ : Giả sử trên . Khi đó , D( n p. n q) là tác động của T lên ( ) , ta kí hiệu T , . là ( p,q) dạng với hệ số là các hàm khả tích địa phương xác định một ( p,q) dòng T trên bởi : T ( ) với D(n p .n q ) ( ). Các phép toán trên dòng song bậc. Giả sử (k,l) - dạng trong là (p, q) - dòng trong với hệ thống trong  ( ,  ) và max p k, q l D (n là (p+k, q+l) - dòng được xác định: nếu p k,n q l ) (T , n, khi đó ( ) thì: ), T, . Chúng ta nhắc lại toán tử vi phân : D( p,q) ( ) D( p 1,q) ( ) cho bởi: I ,J I ,J 1 k n zk dzk dz I dz J nếu I ,J dz I dz J I ,J và : D( p,q)( ) I,J I,J zk 1 k n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN dzk dzI D( p,q 1)( ) dz J . http://www.lrc.tnu.edu.vn 7 là  . Khi đó ta xác định : Giả sử T là (p, q) - dòng trên T, ( 1) p q 1 T, T, ( 1) p q 1 T, và dT T T, d cT i( T T) như vậy ddcT 2i T và dd cT , ,dd cT , D (n p 1,n q 1) ( ). c Do đó dd T là (p+1, q+1) - dòng . Dòng T gọi là đóngnếu dT 0 và T 0 , hay T 0. 1.3.3. Dòng dƣơng Định nghĩa. Giả sử T là (p, q) - dòng trên tập mở  . T được gọi là dòng dương nếu với mỗi dạng dương sơ cấp i 2 ta có T 1 , ,i 2 1 n p n p  (n p, n p) là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel dương trên . 1.3.4. Dòng dƣơng đóng Định nghĩa. Dòng T là (p, q) - dòng trên tập mở  . T thỏa mãn hai điều kiên dương và đóng thì T được gọi là dòng dương đóng. 1.4. Hàm nửa liên tục 1.4.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u: X liên tục trên trên X nếu với mỗi X ; gọi là nửa  thì tập x X : u( x ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 8 là mở trong X. Ta có định nghĩa tương đương. ; Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u: X gọi là nửa liên tục trên trên X nếu lim supu(x) u(x 0 ) với mọi x0 x x 0 X. Tương tự ta có khái niệm nửa liên tục dưới trên X. gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu -u là hàm nửa liên ; Hàm u: X tục trên trên X. Dễ thấy định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính chất địa phương sau. Giả sử u : X , . Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x X nếu với 0 tồn tại lân cận U x của x0 trong X sao cho x U x0 ta có: 0 u ( x) u ( x0 ) 1 u ( x) nếu u ( x0 ) nếu u ( x0 ) . Hàm u được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u là nửa liên tục trên tại mọi x0 X . Mặt khác nếu ta cho định nghĩa sau. Giả sử E X và u : E , là hàm trên E . Giả sử x0 E . Ta định nghĩa lim sup u ( x) inf sup u ( y ) : y V x x0 x E ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x0 . Khi đó có thể thấy rằng hàm u: X , là nửa liên tục trên tại x0 X nếu lim sup u ( x) u ( x0 ) . x x0 Ta có kết quả sau. 1.4.2. Định lí. Giả sử u là hàm nửa liên tục trên trên không gian tôpô X và K Ð X là tập compact. Khi đó u đạt cực đại trên K . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 9 Chứng minh. Các tập x X : u ( x) n với n 1 tạo nên phủ mở của K . Do đó có phủ con hữu hạn phủ K . Vậy u bị chặn trên K . Giả sử M 1 không thể phủ K . Vậy có x0 n Khi đó các tập mở x X : u ( x) M u ( x0 ) M sup u ( x) : x K . K sao cho 1 với mọi n . Vậy u ( x0 ) M . Ta có điều phải chứng minh. n 1.4.3. Định lí. Giả sử u là hàm nửa liên tục trên và bị chặn trên không gian metric ( X , d ) . Khi đó tồn tại các dãy giảm các hàm liên tục :X  với lim n ( x) u( x) , x X . n Chứng minh. Có thể giả sử u bởi vì trái lại chỉ cần lấy n n . Với mỗi n 1, xác định sup(u( y) nd ( x, y)) ở đó x X . n y X Khi đó với mỗi n ta có n Vậy n ( x) liên tục trên X . Dễ thấy n n ( z ) nd ( x, y) , x, y X . là dãy giảm và n u trên X với mọi n . Do đó lim n ( x) u ( x) với x X . n Giả sử B( x, r ) y X : d ( x, y ) r là hình cầu tâm x bán kính r . Khi đó n ( x) max( sup u,sup(u nr )) , x X , r B ( x ,r ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 0. X http://www.lrc.tnu.edu.vn 10 Do đó lim n ( x) sup u n cho r B ( x ,r ) 0 và dùng tính nửa liên tục trên của hàm u tại x ta được n ( x) u ( x) . Định lí được chứng minh. Rõ ràng hàm liên tục thì nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. 1.5. Hàm điều hòa dƣới 1.5.1.Định nghĩa. Giả sử dưới trên trên là tập mở trong  . Hàm u : nếu nó nửa liên tục trên trên , nghĩa là với mọi gọi là điều hòa ; và thỏa mãn bất đẳng thức trung bình 0 sao cho với mọi 0 r tồn tại ta có u( ) 1 2 2 u( reit )dt . 0 Chú ý rằng với định nghĩa trên thì hàm đồng nhất hàm điều hòa dưới trên SH( dưới trên được xem là . Ta ký hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên ). Sau đây là ví dụ đáng chú ý về hàm điều hòa dưới trên  là hàm chỉnh hình trên Ví dụ: Nếu f : là . thì log f là hàm điều hòa . Chứng minh: trường hợp f trên trên 0 trên thì kết quả là rõ ràng. Giả sử f . Khi đó rõ ràng log f là hàm nửa liên tục trên trên f ( ) 0 thì chọn 0 sao cho f log f là hàm điều hòa trên B( , ) bình được thỏa mản trên 0 trên B( , ) z . Trường hợp f :z z . Giả sử :z . Nếu . Khi đó nên Bất đẳng thức trung 0 . Khi đó log f và do đó Bất đẳng thức trung bình cộng luôn đúng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 11 0 1.5.2.Mệnh đề. Giả sử u , v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở trong  . Khi đó (i) Max(u, v) là hàm điều hòa dưới trên (ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên u, v SH ( ) và 0, 0 thì u là mộtnónsiêu lồi, nghĩa là nếu v cũng thuộc SH ( ) . Chứng minh.Dễ thấy từ Định nghĩa 1.5.1. Bây giờ ta đi đến Nguyên lí cực đại của hàm điều hòa dưới. 1.5.3.Định lí.Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền bị chặn (i) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên (ii) Nếu limsup u ( z ) 0 thì với mỗi thì u là hằng số trên thì u z trên  . Khi đó: 0 trên Chứng minh. (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M tại điểm z0 . . . Đặt A z : u( z) M B z : u( z) M . và Khi đó A là tập mở vì u là hàm nửa liên tục trên.Từ Bất đẳng thức dưới trung bình ta dễ thấy B cũng là tập mở. Ta có A B , A B Do đó hoặc A , hoặc B . . Nhưng theo giả thiết B nên B (i) được chứng minh. (ii) Mở rộng u lên nhờ đặt u ( ) limsup u ( z ) ( z Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN ). http://www.lrc.tnu.edu.vn 12 và Do đó là tập compact nên u đạt cực đại tại . Do đó u giả thiết u ( ) 0 trên . Trường hợp 0 trên . Do đó là hằng số trên u là hằng số trên . Nếu . Vậy u thì do thì theo (i) thì 0 trên . Định lí sau cho ta thấy giới hạn của dãy hàm điều hòa dưới là hàm điều hòa dưới. 1.5.4.Định lí. Giả sử un là dãy các hàm điều hòa dưới trên tập mở u lim un . Khi đó u là hàm điều hòa dưới trên trên  và . n Chưng minh.Đầu tiên ta chứng minh u là hàm nửa liên tục trên trên mỗi a . Với  , tập z  : u( z) z : un ( z ) . n 1 Do đó nó là tập mở. Vậy u là hàm nửa liên tục trên trên . Do đó với mỗi u n thỏa mãn Bất đẳng thức dưới trung bình nên dùng Định lí hội tụ đơn điệu suy ra u cũng thỏa mãn Bất đẳng thức dưới trung bình trên dưới trên . Do đó u là hàm điều hòa . 1.6. Hàm đa điều hòa dƣới 1.6.1. Định nghĩa. Giả sử  n là tập mở, hàm u : trên, không đồng nhất bằng thông của tập b 1.6.2. Định lí. Giả sử u : bằng (viết u , và b a và trên mọi thành phần liên . là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất trên mọi thành phần liên thông của vàchỉ khi với mọi a . Hàm u PSH ( ) ) nếu với mọi a u(a b ) là hàm điều hòa dưới hoặc  :a là hàm nửa liên tục trên mọi thành phần liên thông của được gọi là đa điều hòa dưới trên b  n , hàm ;  n . Khi đó u PSH ( ) khi  n sao cho b: , 1 ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 13 2 1 2 u (a) u (a rei b)d : l (u , a, b). 0 Chứng minh.Điều kiện cần là hiển nhiên suy ra từ Định nghĩa 1.6.1. Điều kiện đủ. Giả sử a  n và xét và b  :a U b . Khi đó U là tập mở trên  . Đặt v( ) u ( a b) , U. Ta cần chứng minh v( ) là hàm điều hòa dưới trên U . Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu 0 0 sao cho với 0 r U tồn tại 1 2 v( 0 ) Từ a 0 Với 0 r b U nếu có thì 2 v( rei )d . 0 0 0 sao cho thì a 0 b b . ta có a 0 b rb : 0 1 2 1 . Do đó từ giả thiết ta có u (a b) 2 v(a 0 b rbei b)d . 0 Vậy v( 0 ) 1 2 2 v( 0 rei )d . 0 Điều phải chứng minh. 1.6.3. Định lí.Giả sử (i) Nếu u, v u là tập mở trong  n . PSH ( ) thì max u, v PSH ( ) và nếu , 0 thì v PSH ( ) . Nghĩa là PSH (U ) là một nón siêu lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 14 (ii) Nếu u j hòa dưới trên uj (iii) j 1 PSH ( ) là dãy giảm thì u hoặc bằng j 1 lim u j hoặc là hàm đa điều . PSH ( ) là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của tới  thì u PSH ( ) . hàm u : (iv) Giả sử u I I là bị chặn địa PSH ( ) sao cho u sup u , phương. Khi đó chính quy hóa nửa liên tục trên u* PSH ( ) . Chứng minh. Các khẳng định (i), (ii), (iii) được suy ra từ Định nghĩa 1.6.1và Định lí hội tụ đơn điệu hay Định lí qua giới hạn dưới dấu tích phân trong trường hợp dãy hội tụ đều. Ta cần chứng minh (iv). Chỉ cần chứng tỏ a cho a b: , 1 và b Từ z , chọn dãy zn b, 1 2 1 2 u * ( a ei b) d . 0  n sao cho z u (z) Với a  n sao thì u * (a) Dễ thấy a và b b, 1 2 1 2 u * ( z ei b)d . 0 sao cho zn a và u( zn ) nên với n đủ lớn thì zn u (z n ) thì 1 2 b, u * (a) . 1 . Khi đó 2 u * ( zn ei b) d . 0 Nên ta có u *(a) limsup u ( zn ) n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 15 1 2 2 1 2 2 lim sup u * ( zn ei b)d 0 0 n lim sup u * ( a ei b) d . n Ta có điều phải chứng minh. 1.6.4. Mệnh đề. (Nguyên lí cực đại) Giả sử D là một miền trong  n và u PSH ( D) , u const . Khi đó u không đạt cực đại toàn thể trên D . Hơn nữa nếu D là miền bị chặn thì với mọi z D ta có u ( z ) sup D z D sao cho u ( z0 ) max u ( z ) : z Chứng minh.Giả sử z0 D0 u 1 (u ( z0 )) . Khi đó lim sup u ( z ) . ,z D D . Giả sử a D0 D0 D . Đặt D. Khi đó u( z0 ) z Vậy a cho z z lim sup u( z) a , z D0 lim sup u ( z ) u(a) u ( z0 ) . a,z D D0 và D0 đóng trong D . Nếu a b, r D0 và với mọi b  n , chọn r 0 sao D . Khi đó u (z 0 ) u (a ) 1 2 2 u ( a ei b) d 0 Từ đó do tính nửa liên tục trên của hàm u nên suy ra u của a . Vậy D0 là mở, do đó D0 u (z 0 ) . u ( z0 ) là một dãy lân cận D . Điều này kéo theo u u ( z0 ) trên D . Mâu thuẫn với Giả thiết. 1.7. Hàm đa điều hòa dƣới cực đại Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 16
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan