BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
NGUYỄN THU HƯỜNG
TÍNH COMPACT VÀ TÍNH LIÊN THÔNG
CỦA TẬP NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU
TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – Năm 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
NGUYỄN THU HƯỜNG
TÍNH COMPACT VÀ TÍNH LIÊN THÔNG
CỦA TẬP NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU
TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 01. 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG
Hà Nội – Năm 2015
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Danh mục kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.2
Tôpô và giải tích hàm
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.1
Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2
Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.3
Không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . .
13
Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.1
Định nghĩa ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.2
Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . .
22
2 Tính compact và tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu
yếu trong bài toán cân bằng vectơ
25
2.1
Các định nghĩa và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2
Tính compact và tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu
yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3 Tính compact và tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu
yếu trong bài toán cân bằng vectơ suy rộng
1
38
Mục lục
3.1
Các định nghĩa và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Tính compact và tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu
38
yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2
Mục lục
1
Lời nói đầu
Bài toán cân bằng vectơ là mô hình toán học chứa một số lớn các
bài toán thực tế, thí dụ: bài toán tối ưu vectơ, bất đẳng thức biến phân
vectơ, bài toán bù vectơ, bài toán điểm yên ngựa....
Trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã tìm ra các điều kiện tồn
tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ. Mặt khác, rất nhiều bài toán
quan trọng của bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán cân bằng
vectơ cần đến sự nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm. Trong số các tính
chất của tập nghiệm, tính compact và tính liên thông đóng vai trò quan
trọng. Bởi vì tính liên thông đường của tập nghiệm cho phép chuyển liên
tục từ một nghiệm này sang nghiệm khác.
Mục đích của luận văn này là trình bày các kết quả trong [10] và [11]
về tính compact và tính liên thông của tập nghiệm.
Luận văn gồm ba chương.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị trình bày một số định nghĩa và kết
quả sẽ được sử dụng trong Chương 2 và Chương 3. Đó là các khái niệm
và tính chất cơ bản của không gian vectơ, không gian tôpô, không gian
vectơ tôpô, các Định lý, Mệnh đề về tính nửa liên tục của ánh xạ đơn
trị và ánh xạ đa trị.
Chương 2 Tính compact và tính liên thông của tập nghiệm
hữu hiệu yếu trong bài toán cân bằng vectơ trình bày các khái
niệm về bài toán cân bằng vectơ, phát biểu và chứng minh Định lý về
tính compact và tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu yếu trong bài
toán cân bằng vectơ.
3
Lời nói đầu
Chương 3 Tính compact và tính liên thông của tập nghiệm
hữu hiệu yếu trong bài toán cân bằng vectơ suy rộng trình bày
các khái niệm về bài toán cân bằng vectơ suy rộng và các bài toán liên
quan, phát biểu và chứng minh các Bổ đề, Mệnh đề, Định lý, Hệ quả về
tính compact và tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu yếu trong bài
toán cân bằng vectơ suy rộng.
Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy
Phượng.
Tác giả chân thành cảm ơn thầy Tạ Duy Phượng đã tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình làm luận văn.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô và cán bộ công nhân
viên của Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu tại Viện.
Hà Nội, ngày 28 tháng 08 năm 2015
Nguyễn Thu Hường
4
Danh mục kí hiệu
R
đường thẳng thực
R+
nửa đường thẳng thực không âm
Rn
không gian Euclide n-chiều
Rn+
tập các véc tơ có các thành phần không âm của Rn
x∈M
phần tử x thuộc M
x∈
/M
phần tử x không thuộc M
∅
tập rỗng
2X
tập tất cả các tập con của X
M ⊂N
M là tập con của N
M ∩N
giao của hai tập M và N
M \N
tập các điểm thuộc M nhưng không thuộc N
M ×N
tích Đề-các của hai tập M và N
M +N
tổng của hai tập M và N
λM
vị tự tập M theo tỉ số λ ∈ R trong không gian véc tơ
∀x
với mọi x
∃x
tồn tại x
inf x∈K f (x) infimum của tập {f (x) : x ∈ K}
intD
phần trong của tập D
clD
bao đóng của tập D
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày vắn tắt một số khái niệm, tính chất cơ bản của
giải tích hàm và lý thuyết ánh xạ đa trị. Ngoài ra cũng trình bày một
số mệnh đề, định lý quan trọng về tính nửa liên tục của ánh xạ đa trị
được sử dụng trong các chứng minh của chương tiếp theo.
1.1
1.1.1
Tôpô và giải tích hàm
Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1. ([1], trang 181) Không gian vectơ V định nghĩa trên
trường số thực R là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép
cộng vectơ và phép nhân với một số được định nghĩa sao cho các tiên đề
cơ bản sau đây được thỏa mãn:
Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp:
Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán:
Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v;
Phép cộng vectơ có phần tử trung hòa:
Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là vectơ không: v + 0 = v;
Phép cộng vectơ có phần tử đối:
Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V : v + w = 0;
6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Phép nhân vô hướng có tính chất phân phối với phép cộng vectơ:
Với mọi α ∈ R; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;
Phép nhân vectơ có tính chất phân phối với phép cộng vô hướng:
Với mọi α, β ∈ R; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv;
Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường R:
Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v;
Phần tử đơn vị 1 của trường R có tính chất:
Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1 = v.
Định nghĩa 1.2. ([1], trang 256) Cho X là không gian vectơ. Tập D ⊆ X
được gọi là tập lồi, nếu D chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ
của nó. Tức là, D được gọi là lồi nếu
x, y ∈ D, λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ D.
Định nghĩa 1.3. ([1], trang 262) Cho X là không gian vectơ,
x1 , x2 , ..., xk ∈ X và các số λ1 , λ2 , ..., λk thỏa mãn λj ≥ 0, j = 1, 2..., k
k
k
P
P
và
λj = 1. Khi đó x =
λj xj được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ
j=1
j=1
x1 , x2 , ..., xk ∈ X.
Định nghĩa 1.4. ([1], trang 262) Giả sử S ⊂ X. Bao lồi của S, kí hiệu
là convS là tập hợp các tổ hợp lồi của các phần tử của S.
Định nghĩa 1.5. Cho X là không gian vectơ.
1. Một tập C ⊆ X được gọi là nón đỉnh tại 0 nếu λx ∈ C với mọi λ ≥ 0,
và với mọi x ∈ C.
2. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi.
Mệnh đề 1.1. Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất
sau:
(i) λC ⊆ C với mọi λ ≥ 0,
(ii) C + C ⊆ C.
7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chứng minh. Giả sử C là một nón lồi thì tính chất (i), (ii) thỏa mãn.
Thật vậy, do C là một nón nên với mọi λ ≥ 0, mọi x ∈ C thì λx ∈ C.
Suy ra λC ⊆ C. Do C là một tập lồi, nên với mọi x, y ∈ C thì 12 x+ 21 y ∈ C
⇒ 12 (x + y) ∈ C. Vậy theo (i) ta có x + y ∈ C hay C + C ⊆ C.
Ngược lại, giả sử có (i), (ii). Ta cần chứng minh C là một nón lồi.
Từ (i) suy ra ngay C là một nón. Giả sử x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1]. Từ (i)
suy ra λx ∈ C, và (1 − λ) y ∈ C. Theo (ii) ta có λx + (1 − λ) y ∈ C. Vậy
C là một nón lồi.
Định nghĩa 1.6. Một nón lồi được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa
đường thẳng nào.
Định nghĩa 1.7. ([1], trang 211) Cho không gian vectơ X. Một hàm số
f (x) xác định trên X và lấy giá trị là số thực được gọi là tuyến tính nếu
1) f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ X.
2) f (αx) = αf (x) với mọi x ∈ X và mọi số α ∈ R.
Định nghĩa 1.8. Cho D là một tập lồi trong Rn . Một hàm f : D →
[−∞, +∞] được gọi là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ D và mọi số thực λ ∈ [0, 1]:
λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) ≥ f (λx1 + (1 − λ) x2 ) .
Định nghĩa 1.9. ([1], trang 228) Hàm f được gọi là một hàm lõm trên
D, nếu −f lồi trên D.
Định nghĩa 1.10. Cho X, Y là hai không gian vectơ, K là tập con
lồi trong X, C là một nón lồi nhọn trong Y . Ánh xạ nhận giá trị véc
tơ f : K → Y được gọi là C−lồi trên K nếu, với mỗi x1 , x2 ∈ K và
λ ∈ [0; 1] ta có
λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) ∈ f (λx1 + (1 − λ) x2 ) + C.
Nếu ánh xạ f : K → R, C = R+ ta có
λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) = f (λx1 + (1 − λ) x2 ) + α,
⇒ λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) ≥ f (λx1 + (1 − λ) x2 ) .
Do đó Định nghĩa 1.11 trùng với Định nghĩa 1.9.
8
α ≥ 0.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.11. Nếu −f là C−lồi trên K thì f được gọi là C−lõm
trên K.
Nhận xét 1.1. f là C−lồi trên K khi và chỉ khi với mỗi xi ∈ K và
P
λi ∈ [0; 1] (i = 1, 2, 3, ...., n) với ni=1 λi = 1, ta có
n
n
P
P
λi f (xi ) ∈ f
λi xi + C.
(∗) .
i=1
i=1
Chứng minh. Thật vậy
(⇐) Vì (∗) đúng ∀n ∈ N nên (∗) đúng với n = 2, tức là
λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) ∈ f (λx1 + (1 − λ) x2 ) + C.
Vậy f là C− lồi trên K.
(⇒) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
+) Với n = 2: (∗) đúng do Định nghĩa 1.11.
+) Giả sử (∗) đúng với mọi 2 ≤ n = p − 1, tức là với mỗi xi ∈ K và
p−1
P
λi ∈ [0; 1] (i = 1, 2, 3, ...., p − 1) với
λi = 1 ta có
i=1
p−1
X
p−1
X
λi f (xi ) ∈ f
i=1
!
λi xi
+ C.
i=1
Ta sẽ chứng minh (∗) đúng với mọi n = p (≥ 3). Giả sử xi ∈ K và
p
P
λi ∈ [0; 1] (i = 1, 2, 3, ...., p) với
λi = 1. Khi đó tồn tại một λi < 1 vì
nếu tất cả λi = 1 thì
p
P
i=1
λi =p (≥ 3) mâu thuẫn với
i=1
p
P
λi = 1. Không
i=1
mất tính tổng quát, ta giả sử λp < 1. Do đó 0 < 1 − λp < 1 và
p−1
P
i=1
p−1
P
λi
i=1
1−λp
=
p
X
1−λp
1−λp
λi
1−λp
= 1. Suy ra
λi f (xi )
i=1
p−1
X
=
λi f (xi ) + λp f (xp ) = (1 − λp )
i=1
p−1
X
i=1
9
λi
f (xi ) + λp f (xp )
1 − λp
=
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
∈ (1 − λp ) f
∈f
∈f
p−1
X
λi x i
1 − λp
i=1
!
+ λp f (xp ) + (1 − λp ) C(theo quy nạp),
p−1
X
λi x i
+ λp xp
(1 − λp )
1
−
λ
p
!i=1
p
X
λi xi + C.
!
+ C + (1 − λp ) C(f là C− lồi),
i=1
Suy ra
p
X
λi f (xi ) ∈ f
i=1
p
X
!
λi xi
+ C với mọi λi , xi ∈ K.
i=1
Vậy
n
X
n
X
λi f (xi ) ∈ f
i=1
!
λi xi
+ C.
i=1
Nhận xét 1.2. Nếu f là C−lồi trên K thì f (K) + C là tập lồi.
Chứng minh. Thật vậy, vì f là C− lồi trên K nên với mỗi x1 , x2 ∈
K, λ ∈ [0, 1] ta có λx1 + (1 − λx2 ) ∈ K và λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) ∈
f (λx1 + (1 − λ) x2 ) + C.
Lấy y1 , y2 ∈ f (K) + C ⇒ ∃x1 , x1 ∈ K, c1 , c2 ∈ C sao cho
y1 = f (x1 ) + c1 , y2 = f (x2 ) + c2 .
Ta phải chứng minh λy1 + (1 − λ) y2 ∈ f (K) + C.
Ta có
λy1 + (1 − λ) y2 = λ (f (x1 ) + c1 ) + (1 − λ) (f (x2 ) + c2 ) ,
∈ f (λx1 + (1 − λ) x2 ) +C + λc1 + (1 − λ) c2 ,
|
{z
}
|
{z
}
∈K
C
∈ f (K) + C.
Vậy f (K) + C là tập lồi.
10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Nhận xét 1.3. Nếu f1 , f2 : K → Y là hai ánh xạ giá trị véc tơ C−lồi
trên K thì f1 + f2 là C−lồi trên K.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử x1 , x2 ∈ K và λ ∈ [0, 1], ta cần chứng
minh
λ (f1 + f2 ) (x1 ) + (1 − λ) (f1 + f2 ) (x2 )
∈ (f1 + f2 ) (λx1 + (1 − λ) x2 ) + C.
Ta có
λ (f1 + f2 ) (x1 ) + (1 − λ) (f1 + f2 ) (x2 )
= λf1 (x1 ) + (1 − λ) f1 (x2 ) + λf2 (x1 ) + (1 − λ) f2 (x2 ) ,
= f1 (λx1 + (1 − λ) x2 ) + c1 + f2 (λx1 + (1 − λ) x2 ) + c2 , (c1 , c2 ∈ C) ,
= (f1 + f2 ) (λx1 + (1 − λ) x2 ) + c1 + c2 ,
∈ (f1 + f2 ) (λx1 + (1 − λ) x2 ) + C (vì C lồi nên c1 + c2 ∈ C).
Vậy f1 + f2 là C−lồi trên K.
Định nghĩa 1.12. Giả sử E là không gian vectơ trên trường các số thực
R. Hàm ρ xác định trên E được gọi là một nửa chuẩn trên E nếu ρ thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i) ρ (x) ≥ 0 với mọi x ∈ E,
(ii) ρ (λx) = |λ| ρ (x) với mọi λ ∈ R và với mọi x ∈ E,
(iii) ρ (x + y) ≤ ρ (x) + ρ (y), với mọi x, y ∈ E.
1.1.2
Không gian tôpô
Định nghĩa 1.13. ([1], trang 372) Cho tập X bất kỳ. Ta nói một họ
τ các tập con của X được gọi là một tôpô (hay xác định một cấu trúc
tôpô ) trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
(i) ∅ ∈ τ và X ∈ τ ;
11
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
(ii) Nếu U1 , U2 ∈ τ thì U1 ∩ U2 ∈ τ ;
(iii) Nếu Us ∈ τ với mọi s ∈ S, S là một tập chỉ số bất kì, thì
S
s∈S Us ∈ τ
Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập mở trong X. Một tập X được
trang bị một tôpô τ trên X được gọi là không gian tôpô.
Kí hiệu (X, τ ) (hay đơn giản là không gian tôpô X).
Định nghĩa 1.14. ([1], trang 375 − 376) Cho (X, τ ) là không gian tôpô
và x ∈ X.
(i) Tập con U của không gian tôpô X gọi là lân cận của x nếu có một
tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ U .
(ii) Cho A ⊂ X và x ∈ A, x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại
một lân cận của x sao cho lân cận đó nằm trọn trong A .
Định nghĩa 1.15. ([1], trang 376) Cho không gian tôpô (X, τ ). Tập
F ⊂ X được gọi là tập đóng nếu phần bù X \ F là một tập mở trong X.
Định nghĩa 1.16. ([1], trang 377) Cho không gian tôpô (X, τ ) và tập
A ⊂ X.
(i) Giao của họ tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của
A, kí hiệu là clA.
Như vậy, clA là tập đóng nhỏ nhất chứa A.
(ii) Hợp của tất cả các tập mở nằm trong A được gọi là phần trong
của A, kí hiệu là intA.
Như vậy, intA là tập mở lớn nhất chứa trong A.
Định nghĩa 1.17. Một tập con A của X được gọi là compact nếu mọi
S
phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn, nghĩa là: nếu α Gα ⊃ X
S
và các Gα là các tập mở thì phải có các α1 , ..., αn , sao cho ni=1 Gαi ⊃ X.
Định nghĩa 1.18. Cho tập I khác rỗng được gọi là tập định hướng nếu
trên nó xác định một quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Với mọi m, n, p ∈ I sao cho: m ≥ n, n ≥ p thì m ≥ p;
12
.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
(ii) Nếu m ∈ I thì m ≥ m;
(iii) Với mọi m, n ∈ I thì tồn tại p ∈ I sao cho: p ≥ m, p ≥ n.
Khi đó ta nói tập I được định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và kí hiệu là
(I, ≥) hoặc viết tắt là I.
Định nghĩa 1.19. Cho I là tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ”. Ánh xạ
x xác định trên I và nhận giá trị trong tập X được gọi là lưới (hay dãy
suy rộng) trong X. Ta viết xi = x(i) và kí hiệu lưới là (xα )α∈I . Nếu miền
giá trị của lưới là không gian tôpô X thì (xα )α∈I được gọi là lưới trong
không gian tôpô.
Định nghĩa 1.20. Cho I là một tập định hướng xác định bởi quan hệ
” ≥ ” và X là một không gian tôpô. Lưới (xα )α∈I được gọi là hội tụ
trong không gian tôpô đến điểm x đối với tôpô τ nếu với mọi lân cận U
của x tồn tại α0 ∈ I sao cho với mọi α ∈ I mà α ≥ α0 thì xα ∈ U.
Kí hiệu là lim xα = x hay xα → x.
α→∞
Định nghĩa 1.21. ([1], trang 377) Cho X, Y là hai không gian tôpô.
Một ánh xạ f từ X vào Y được gọi là liên tục tại x0 , nếu với mọi lân cận
V của điểm f (x0 ) đều có một lân cận U của điểm x0 sao cho f (U ) ⊂ V ,
nghĩa là: x ∈ U ⇒ f (x) ∈ V .
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.22. Ánh xạ f : X → Y được gọi là một phép đồng phôi,
nếu f là một song ánh liên tục và ánh xạ ngược f −1 : Y → X cũng liên
tục.
Định nghĩa 1.23. ([1], trang 382) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là
không gian Hausdorff nếu với hai phần tử x1 6= x2 bất kỳ của X luôn
tồn tại hai lân cận V1 , V2 của x1 và x2 sao cho V1 ∩ V2 = ∅.
1.1.3
Không gian vectơ tôpô
Định nghĩa 1.24. ([1], trang 387) Cho X là không gian vectơ và trên
X có trang bị cấu trúc tôpô τ . Ta nói, cấu trúc tuyến tính tương hợp
13
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
với cấu trúc tôpô τ nếu các phép toán tuyến tính là liên tục đối với tôpô
đó, tức là
(i) Với mọi x, y ∈ X và với mọi lân cận V của x + y luôn tồn tại lân
cận Ux của x và Uy của y sao cho nếu x0 ∈ Ux , y 0 ∈ Uy thì
x0 + y 0 ∈ V .
(ii) Với mọi x ∈ X, λ ∈ R và với mọi lân cận V của λx luôn tồn tại
lân cận Ux của x và một số ε > 0 sao cho với mọi x0 ∈ Ux và
|λ0 − λ| < ε thì λ0 x0 ∈ V .
Không gian tuyến tính X trên đó có một cấu trúc tuyến tính tương hợp
với cấu trúc tôpô được gọi là không gian vectơ tôpô.
Nhận xét 1.4. Trong không gian vectơ tôpô X, V +a = {x + a : x ∈ V }
được gọi là phép tịnh tiến V từ gốc đến a và αV = {αx : x ∈ V } được
gọi là phép vị tự của V đối với gốc theo tỉ số α. Do đó
(i) V là lân cận của gốc khi và chỉ khi V + a là lân cận của điểm a.
(ii) Nếu V là lân cận của gốc thì αV là lân cận của gốc với mọi α 6= 0.
Vì vậy, trong phần tiếp theo ta dùng thuật ngữ "lân cận" thay cho "lân
cận gốc".
Định nghĩa 1.25. ([1], trang 376)
Một họ V = V : V là lân cận của điểm x ∈ X được gọi là cơ sở lân
cận của điểm x nếu với mọi lân cận U của điểm x, tồn tại lân cận V ∈ V
sao cho x ∈ V ⊂ U.
Định nghĩa 1.26. (xem [1], trang 392) Một không gian vectơ tôpô X
được gọi là không gian vectơ tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ
sở lân cận (của gốc) chỉ gồm các tập lồi.
Định nghĩa 1.27. ([1], trang 404) Cho X là một không gian vectơ tôpô.
Tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ X vào R được gọi là không
gian liên hợp (hay đối ngẫu) của X và được kí hiệu X ∗ .
14
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Nhận xét 1.5. X ∗ là một không gian vectơ, với các phép toán tự nhiên:
(f1 + f2 ) (x) = f1 (x) + f2 (x) ,
(αf1 ) (x) = αf1 (x) .
Định nghĩa 1.28. Cho X là một không gian vectơ, ta nói một phiếm
hàm tuyến tính khác không f tách hai tập A, B nếu
sup {f (a) , a ∈ A} ≤ inf {f (b) , b ∈ B} ,
nghĩa là có một số α để cho
(∀x ∈ A) f (a) ≤ α và α ≤ f (b) (∀b ∈ B) .
Định nghĩa 1.29. Cho X là một không gian vectơ, ta nói một phiếm
hàm tuyến tính khác không f tách thực sự hai tập A, B nếu ta có đồng
thời hai bất đẳng thức
sup {f (a) , a ∈ A} ≤ inf {f (b) , b ∈ B}
inf {f (a) , a ∈ A} < sup {f (b) , b ∈ B} .
Định nghĩa 1.30. Cho X là một không gian vectơ, ta nói một phiếm
hàm tuyến tính liên tục f tách mạnh được hai tập A, B nếu
inf {f (a) , a ∈ A} > sup {f (b) , b ∈ B} .
Định lý 1.1. (Định lý tách) Giả sử X là không gian lồi địa phương. Giả
sử hai tập lồi rời nhau A và B trong X. Nếu một trong hai điều kiện sau
dưới đây thỏa mãn thì có một phiếm hàm f tách thực sự hai tập A, B:
a) intA ∪ intB 6= ∅,
b) X là không gian Hausdorff, hữu hạn chiều.
Định lý 1.2. (Định lý tách mạnh) Giả sử X là không gian lồi địa
phương. Giả sử hai tập A và B lồi khác rỗng rời nhau trong X sao cho
A đóng và B compact. Khi đó, tồn tại một có một phiếm hàm f tách
mạnh A và B.
15
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.31. Giả sử X là không gian vectơ tôpô. Xét A, B ⊆ X
và f : A × B → R+ . Ta nói f (., y) là hàm lõm trên A với mỗi y cố định
và f (x, .) là hàm lồi trên B với mỗi x cố định.
Bổ đề 1.1. ([13]) Nếu A là tập con khác rỗng lồi compact, B là tập con
khác rỗng lồi và hàm f : A × B → R+ là lõm trên A, lồi trên B và nửa
liên tục trên trên A với mỗi b ∈ B, thì
max inf f (a, b) = inf max f (a, b) .
a∈A
b∈B
b∈B
a∈A
Định nghĩa 1.32. ([1], trang 405) Giả sử cho X là không gian vectơ
tôpô, với đối ngẫu X ∗ và bao giờ cũng có thể đưa vào trong X ∗ một
tôpô lồi địa phương Hausdorff để cho với tôpô ấy đối ngẫu của X ∗ trở
lại chính X. Khi ta cố định một phần tử x ∈ X và cho f ∈ X ∗ chạy trên
X ∗ thì bằng cách đặt x (f ) = f (x) ta sẽ có một phiếm hàm x xác định
trên X ∗ , và phiếm hàm ấy cũng tuyến tính vì x (f1 + f2 ) = x (f1 )+x (f2 )
x (αf ) = αx (f ) . Thành thử, mỗi phần tử y ∈ X ∗ là một phiếm hàm
tuyến tính trên X và ngược lại mỗi phần tử x ∈ X cũng có thể xem
là một phiếm hàm tuyến tính trên X ∗ . Để nêu rõ sự đối xứng ấy người
ta có thể dùng kí hiệu (x, f ) = f (x). Như vậy (x, f ) là một dạng song
tuyến tính trên X × X ∗ . Vấn đề đã nêu (xây dựng trên X ∗ một tôpô
lồi địa phương để cho với tôpô ấy X trở lại là đối ngẫu của X ∗ ) chuyển
thành bài toán tổng quát sau đây.
Bài toán: Cho hai không gian X, Y và một dạng song tuyến tính
B (x, y) trên X × Y . Với những điều kiện nào có thể xây dựng được
những tôpô lồi địa phương trên X, Y để cho với các tôpô ấy thì X là đối
ngẫu của Y và ngược lại Y là đối ngẫu của X. (Ở đây mỗi x ∈ X được
coi là một phiếm hàm tuyến tính trên Y theo quy tắc y 7→ B (x, y); và
tương tự, mỗi y ∈ Y được coi là một phiếm hàm tuyến tính trên X theo
quy tắc x 7→ B (x, y) ).
Nói chung khi có hai không gian vectơ X, Y thì có thể có nhiều dạng
song tuyến tính khác nhau trên X × Y . Dạng song tuyến tính B (x, y)
đã được chọn để xét sẽ gọi là dạng song tuyến tính chính tắc và để cho
gọn ta sẽ kí hiệu B (x, y) = (x, y). Khi ấy ta cũng nói X, Y được đặt đối
16
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
ngẫu theo dạng song tuyến tính (x, y).
Thông thường ta giả thiết:
(i) Với mỗi x 6= 0 trong X có một y ∈ Y sao cho (x, y) 6= 0.
(ii) Với mỗi y 6= 0 trong Y có một x ∈ X sao cho (x, y) 6= 0.
Nếu có giả thiết (i) ta cũng nói Y tách X; nếu có giả thiết (ii) ta nói X
tách Y . Nếu có cả hai giả thiết, ta nói có một cặp đối ngẫu tách.
Mỗi phần tử x ∈ X xác định một phiếm hàm tuyến tính x (.) theo quy
tắc y 7→ (x, y). Vậy ta có một họ phiếm hàm tuyến tính {x (.) , x ∈ X}
trên Y cho nên (xem mục 1.6 trong [1]) có một tôpô yếu nhất trên Y
đảm bảo sự liên tục của tất cả các phiếm hàm ấy. Ta gọi tôpô đó là
X−tôpô trên Y và kí hiệu nó là σ (Y, X) hay σ.
Định nghĩa 1.33. ([1], trang 407) giả sử cho trước một không gian vectơ
tôpô X, với đối ngẫu X ∗ . Đặt (X, X ∗ ) đối ngẫu theo dạng song tuyến
tính (x, f ) = f (x) (x ∈ X, f ∈ X ∗ ), và áp dụng Định lý 21 trong [1]
ta đi tới kết quả (chú ý rằng X bao giờ cũng tách X ∗ ): tôpô σ (X, X ∗ )
là tôpô lồi địa phương Hausdorff, yếu nhất trong tất cả các tôpô vectơ
trên X ∗ đảm bảo cho đối ngẫu của X ∗ chính là X. Ta gọi nó là tôpô
yếu* trên X ∗ . Đồng thời tôpô σ (X, X ∗ ) là tôpô lồi địa phương trên X,
yếu nhất trong tất cả các tôpô vectơ đảm bảo cho đối ngẫu của X chính
là X ∗ . Nếu X ∗ tách X (điều này chắc chắn xảy ra nếu X là không gian
lồi địa phương Hausdorff) thì σ (X, X ∗ ) là tôpô Hausdorff. Ta gọi nó là
tôpô yếu trên X.
Nhận xét 1.6. Trong chứng minh Định lý 22 trong [1] một cơ sở lân
cận của gốc trong tôpô yếu σ (X, X ∗ ) gồm tất cả các tập có dạng
{x : |fi (x)| < ε, i = 1, 2..., n} ,
(∗)
trong đó n là số tự nhiên bất kỳ, ε là số dương bất kỳ và fi là những
phần tử bất kỳ trong X ∗ . Từ đó suy ra sự hội tụ yếu (hội tụ trong tôpô
yếu) của một dãy phần tử: xm → x (yếu) có nghĩa là
(∀f ∈ X ∗ ) f (xm ) → f (x)
17
(∗∗)
- Xem thêm -