Tài liệu Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phương trình vi tích phân trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: CS2004.23.56 Chủ nhiệm: Lê Hoàn Hóa. Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004 Tháng 9 năm 2004 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: CS2004.23.56 Chủ nhiệm: LÊ HOÀN HÓA. Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004 Tháng 9 năm 2004 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: CS2004.23.56 Chủ nhiệm: Lê Hoàn Hóa. Cán bộ tham gia thực hiện: Lê Thị Phƣơng Ngọc, Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Nha Trang Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004 BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Tính comp act, li ên thông của tập nghiệm trong phƣơng t rình vi tích phân trong không gian Banach. Mã số: CS2004.23.56 Các thành viên tham gia : 1 - PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA (chủ nhiệm đề tài) 2 - Nghiên cứu sinh : LÊ THỊ PHƢƠNG NGỌC BÁO CÁO TỔNG QUAN Đề tài về tính compact, liên thông của một số phƣơng trình phi tuyến đã đƣợc chúng tôi nghiên cứu trong thời gian hai, ba năm. Một số kết quả đã đƣợc trình bày dƣới dạng : luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, báo cáo khoa học, báo cáo tại Hội nghị toán học toàn quốc, báo cáo tại Hội nghị Quốc tế về phƣơng trình vi phân. Trong khuôn khổ của bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về tính compact, liên thông của tập nghiệm cho các bài toán sau : ở đây u0,U1,f đƣợc cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t) và giá trị biên chƣa biết p(t) thỏa phƣơng tình phi tuyến sau : P(t) = g(t) + H(u(0,t))-∫ , trong đó g,H,k là các hàm cho trƣớc. BÁO CÁO KẾT QUẢ Báo cáo kết quả gồm hai phần : 1. Một ghi chú về tính compact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hóa. 2. Tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu của một phƣơng trình sóng nửa tuyến tính liên kết với một phƣơng trình tích phân phi tuyến. 3 MỘT GHI CHU VỀ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TIẾN HÓA Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phƣơng Ngọc 2 1.Trƣởng ĐHSP Tp.HCM 2.Trƣờng CĐSP Nha Trang Tóm tắt : Bài báo chứng minh rằng tập hợp tất cả các nghiệm của các phƣơng trình sau là khác rỗng, compact và liên thông : ở đây : (1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H. (2). f : H→ H hoàn toàn liên tục, thỏa điều kiện : Có các số dƣơng không đổi a, b và α (0 < α< 1) sao cho | f(x) | < a + b | x |α , ∀x∈H. Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact và các tính chất của toán tử tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe. 1. Lời giới thiệu : Trong bài báo [1] mới đây, chúng tôi đã đƣa ra các điều kiện cho toán tử A và toán tử f để có đƣợc tính khác rỗng, compact, liên thông của tập hợp nghiệm của hai bài toán (I), (II). Trong bài báo này, chúng tôi đƣa ra một điều kiện mới, tốt hơn cho toán tử f để có đƣợc kết quả tƣơng tự cho hai bài toán trên. 2. Các kết quả chính : Cho H là không gian Hinbe và chuẩn đƣợc sinh ra bởi tích vô hƣớng trên H đƣợc ký hiệu là |.| . Xét các phƣơng trình và với giả thiết: (1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H. (2). f : H→ H hoàn toàn liên tục, thoả điều kiện: Có các số dƣơng không đổi a, b, α (0 < α < 1) sao cho |f(x) | < a + b |X |α, ∀x∈H. Ta có : Định lý 1 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Khi đó tập hợp các nghiệm của phƣơng trình (I) khác rỗng, compact và liên thông. Định lý 2 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Giả sử thêm rằng nếu u(t) là nghiệm của phƣơng trình thì | u(0) | < E, với E là hằng số dƣơng cho trƣớc. 4 Khi đó t ập hợp các nghiệ m của phƣơng t r ình (II) khác rỗng, co mpact và liên t hông. Chú thích : Sự t hu hẹp |u(0)|< E, với E là hằng số dƣơng cho t rƣớc, là chấp nhận đƣợc t heo ý nghĩa vật lý của bài t oán t rên, (xem [2], [3]). Chứng minh định lý 1: Chứng minh hoàn t oàn t ƣơng t ự nhƣ chứng minh định lý 1 ở bài báo [1], với các ký hiệu giố ng nhƣ ƣơng [1]. Do đó t rong chứng minh sau đây chỉ t rình bà y k ỹ một số ý cần t hiết . Gọi X= C([0,1], H ) là khô ng gian Banach các ánh xạ liên t ục t rên [0, 1], nhận giá t r ị t rong không gian H inbe H với chuẩn ||.|| t hông t hƣờng; X 1 = C 1 ([0,1], H ) với chuẩn ||u||= max {|u(t ) | + |u'(t )|, t ∈ [0, 1]}. Bƣớc 1 : Xét χ = 0. Gọi X 1 *= { u ∈ X 1 /u(0) = 0 }. Đ ặ t T : X 1 * → x sao cho T(u)(t ) = u t (t ) +A(u(t )), ∀t ∈ [0, 1]. F:X→x u→ F(u) sao cho F(u)(t ) = f(u(t )), ∀t ∈ [0, 1]. - Bổ đề : Với giả t hiết (1), (2), các t ính chất sau là đúng : i. T là t oán t ử t uyến t ính liên t ục và khả nghịch. T -1 là t oán t ử t uyến t ính liên t ục. ii. Toán t ử F là t oán t ử compact . iii.Toán t ử T -1 F là t oán t ử compact . Chứng minh ii. Rõ ràng F liên t ục. Điều này có đƣợc do f, u liên t ục. Khi đó nếu u → u 0 t hì ∀t ∈ [0, l], u(t ) → u 0 (t) => ∀t ∈ [0, 1], f(u(t )) → f(u 0 (t )) => F(u) →F (U0). Mặt khác : Lấy B bị chặn t rong X. t a chứng minh đƣợc F(B) co mpact t ƣơng đối t rong X bằng cách sử dụng định lý Asco li- Azela nhƣ sau : Ta có : F(B) đẳng liên t ục. Vì : ∀u ∈ B, f 0 u liên t ục t rên [0, 1] nên f 0 u liên t ục đều t rên [0, 1] =>∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀t ,t '∈ [0, 1] t a có: 0 < | t -t' | < s => |f0u(t)- f0u(t') | < e => |F(u)(t)-F(u))(') | < e . F(B) bị chặn đều . Vì : Do B bị chặn nên ∃C' > 0 :||u|| |u(t)|0 : | f( v) | < m, ∀v∈ (0,C). Do đó |F(u)(t)| < m, ∀t ∈ [0,1], ∀u∈ B. Tóm lại F là t oán t ử compact . 5 - Ta chứng minn t ập nghiệ m của phƣơng t r ình : bị chặn. Nghĩa là chứng minh có một số dƣơng khô ng đổ i M để mọ i nghiệ m u(t ) của phƣơng t ình (3) đều t hoả điều kiện : |u(t )| < M, ∀ T∈ [0,1], ∀ Λ ∈ [0,1], (4). Chứng minh nhƣ sau : Nếu u(t ), T∈[0,1] là nghiệm của (3) t hì: (u t , u) = - (Au, u) + ( f(u), u) và u(0) = 0. Từ đó, với các giả t hiết (1),(2) và 0 ≤ λ ≤ 1, t a có : Nên : Để có (4), trƣớc hết t a chú ý rằng : Vì vậy với hằng số dƣơng R= t a xét hai t rƣờng hợp : Trƣờng hợp 1. Với mọ i Λ ∈ [0,1], nếu f |u(t) I < R , ∀ T∈ [OA] t hì (4) đúng. Trƣờng hợp 2. Với mọ i Λ ∈ [0,1]. nếu t ồn tại t 0 ∈ [0,1] sao cho |u (t 0 )| ≥ R t hì (4) cũng đúng. Thật vậ y, Vì |u(t )| liên t ục t rên đoạn [0,1], tồn t ại một lân cận của t 0 sao cho |u(t ) | ≥ R, với mọ i t t huộc vào lân cận đó. Mặt khác, | u(0) | = 0 và |u(t 0 )| > R, nên có s' ∈(0, t 0 ) sao cho |u(s')| = R. Suy ra t ồn t ại s ∈ (0, t 0 ) sao cho |u(t ) | ≥ R, ∀ T ∈ [s, t 0 ] và |u(s)| = R. Nhƣ t hế, V t ∈ [s, to], t heo t rên t a có : 6 Suy ra với mọi Ta nhận đƣợc : w(t0)< w(s) +4(1-β)b (t0 - s) < w(s) +4(l-β)b. Nên Do đó (4) đúng. Vậy (4) sẽ đúng ƣơng cả hai trƣờng hợp, nếu ta chọn Do đó tồn tại tập mở và bị chặn D trong X sao cho u ∈ D và u ∂D (ở đây ∂D là biên của D), với mọi λ∈[0,1]. Suy ra mọi nghiệm của phƣơng trình (3) (nếu có), với mọi λ∈[0,1] đều chứa trong D nhƣng không chứa trong ∂D. - Bằng việc chứng minh toán tử T-1F : ⊂ X→X 1 * thỏa mãn các điều kiện của định lý Krassosel'skii-Perov. bƣớc 1 hoàn thành. Bƣớc 2 : Xét χ ≠ 0 . Với mọi u thuộc tập nghiệm của (I), đặt u* : [0,1]→Hs sao cho: u*(t) = u(t)-χ. Khi đó u* ∈X1, u*(0)= 0 và u*t = ut. Suy ra Nhƣ thế u*(t) là nghiệm của phƣơng trình (I)' trong đó f* : H→ H X→ f*(x) = f(x+χ ) -A(χ ). Ngƣợc lại, nếu u*(t) là nghiệm của (I)' thì u(t) = u*(t)+ χ sẽ là nghiệm của (I). Rõ ràng, tập nghiệm của (I) khác rỗng, compact, liên thông khi và chỉ khi tập nghiệm của (I) khác rỗng, compact, liên thông. Ta có f* hoàn toàn liên tục vì f hoàn toàn liên tục. Mặt khác : ∀x∈ H, | f*(x)| ≤ | f (x+χ)||A(x)|≤ a +|A(χ)|+ b | x +χ|α≤; ≤a +|A(χ)| + b ( | x | + |χ|) α< a *+bC| x | α, với a* = >a+| A(χ)| > 0; b > 0; 0 < α < 1 và C >1 là các hằng số cho trƣớc, nếu và chỉ nếu 7 Từ t ính chất nà y của f* bằng cách chứng minh t ƣơng t ự NHƢ Ở BƢỚC 1, t a sẽ chứng minh đƣợc tập nghiệm của (I') khác rỗng, compact, liên thông. Bƣớc 2 hoàn thành. Tóm lại tập các nghiệm của phƣơng trình : với các điều kiện (1),(2) là khác rỗng, compact và liên thông. Chứng minh định lý 2 : Ta chỉ cần chứng minh định lý 2 đúng trong trƣờng hợp X = 0. Hoàn toàn tƣơng tự nhƣ ở định lý 2, [1], chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chứng minh đƣợc tập nghiệm của phƣơng trình sau bị chặn : trong đó toán tử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Ta sẽ chứng minh có một số dƣơng không đổi M để mọi nghiệm u(t) của (5) đều thoả điều kiện : |u(t)| ≤ M. ∀t∈ [0,1], ∀λ∈ [0,1], (6). Chứng minh tƣơng tự (4), với giả thiết (1), (2) và có thêm điều kiện |u(0)| R thì (6) đúng. Thật vậy, Vì |u(t)| liên tục trên [0,1], có một lân cận của t 0 sao cho |u(t)| ≥ R với mọi t thuộc vào lân cận đó. Ta lại có |u(1)| = 0 và |u(t0)| > R nên có s' ∈ (t0,l) sao cho |u(s')| = R. Nhƣng ta không sử dụng đƣợc s' trong chứng minh ở đây, ta cần thêm giả thiết |u(0)|< E . Nếu có s∈ [0, t0) sao cho |u(s)| ≤ R thì nhƣ ở (4), ta có (6) đúng. Nếu không nhƣ vậy thì ∀t∈ [0, to], ta có |u (t)| > R. Suy ra : 8 W(t0)< W(0)+4(1- β)b < + 4(1- β)b Nên Do đó (6) đúng. Nhƣ thế (6) sẽ đúng trong cả hai trƣờng hợp nếu ta chọn : Tóm lại tập các nghiệm của phƣơng trình : với các điều kiện đã đƣa ra là khác rỗng, compact và liên thông. Tài liệu tham khảo : [1] L. H. Hóa - L. T. P. Ngọc. Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm của bài toán tiến hóa. Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp. HCM, tháng 5/2004. [2] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh, Approximation of a parabolic nonlinear evolution equation backwards in time. Inverse Problem 10 (1994) 905-914. Printed in the UK. [3] Richard E. Ewing, The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations. SIAM J. Math. Anal. Vol 6, No. 2, April 1975. Note on the connectivity and compactness of solution set of the evolution problem Abstract : The paper proves that for the following equations the sets of solutions are nonempty, compact and connected : where where : (1). A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend on t and χ is a given vector in a Hilbert space H. (2). f : H→H is completely continuous and satisties the following condition : There are positive constants a, b, α (0 < α < 1) such that |f(x)| a+b ∀x∈H. The main tools are the topological degree theory of compact vector field and properties of the non-negative, self-adjoint operator. 9 TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM YẾU CỦA MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG NỬA TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phƣơng Ngọc 2 1. Trƣờng ĐHSP Tp.HCM 2.Trƣờng CĐSP Nha Trang Tóm tắt : Bài báo này chứng tỏ tập hợp các nghiệm yếu của phƣơng trình sóng thỏa điều kiện đầu và điều kiện biên sau đây là khác rỗng, liên thông và compact trong đó U0, U 1 , f đƣợc cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x, t) và giá trị biên chƣa biết P(t) thoa phƣơng trình tích phân phi tuyến sau : ở đây g, H, k là các hàm cho trƣớc. Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact. 1. Lời giới thiệu : Trong các bài báo [1], [2], [3] gần đây các tác giả đã chỉ ra đƣợc tính khác rỗng, compact và liên thông của các tập hợp nghiệm của một số phƣơng trình vi phân, tích phân và của bài toán tiến hóa. Trong bài báo này, chúng tôi lại tiếp tục nghiên cứu tính chất đó cho tập hợp các nghiệm yếu của phƣơng trình sóng nửa tuyến tính với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên nhƣ sau : trong đó U0, U1 ,f là các hàm cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t) và giá trị biên P(t) chƣa biết thoả phƣơng trình tích phân phi tuyến ở đây g, H, k là các hàm đã cho. Bài toán này đã đƣợc Nguyễn Thành Long và Trần Minh Thuyết ([4]) nghiên cứu. Một trong những kết quả mà hai tác giả nghiên cứu đƣợc là chứng minh sự tồn tại và sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán trên với các điều kiện tƣơng ứng. Sử dụng kết quả này và lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact kết hợp với việc vận dụng định lý Krassnosel'skii-Perov (xem [2], [3]) và sự xấp xỉ Lipschitz 10 địa phƣơng của hàm f (xem [1], [2], [3]), trong mục 3 chúng tôi chứng minh tập hợp các nghiệm yếu tìm đƣợc theo phƣơng pháp xấp xỉ Galerkin ([4]) của bài toán nói trên khác rỗng, compact và liên thông. 2. Các định lý : Chúng tôi nhắc lại các định lý quan trọng ở đây để sử dụng cho chứng minh ở mục 3. Định lý 1 : (Định lý Krassnoserskii-Perov) Cho (E,|.|) là không gian Banach, D là tập con mở và bị chặn của E và T: là toán tử compact. Giả sử 0 (I-T) δD và deg (I-T,D,0) ≠ 0 Giả sử T thoả thêm điều kiện: Với mọi ε >0có toán tử compact Tε sao cho | Tε (x)-T(x)|< ε ( * ) ∀x ∈ ̅ và với mỗi h (*) mà|h|< ε phƣơng trình x= Tε (x)+h có nhiều nhất một nghiệm trên Khi đó tập các điểm bất động của T khác rỗng, compact và liên thông. Định lý 2 [4] (Định lý về sự tồn tại và tồn tại duy nhất nghiệm yếu) -Các ký hiệu đƣợc sử dụng trong định lý 2 : ở đây H1, H2 là các không gian Sobolev trên Ω Chuẩn trong không gian L2 đƣợc ký hiệu là||.||,< . , . > là ký hiệu tích vô hƣớng trong L2 hoặc để chỉ sự cặp đôi đối ngẫu của một hàm tuyến tính liên tục với một phần tử trong không gian hàm,||.||x ký hiệu cho chuẩn trong không gian Banach X và X' là đối ngẫu của X. Lp(0, T ; X), 1 < p < là không gian Banach các hàm số thực đo đƣợc u : (0, T) →X với Đặt V là không gian con đóng của H1 và trên V, và là hai chuẩn tƣơng đƣơng. -Các giả thiết :(A1) u0∈H1, u1∈ L2; (A2) g ∈ H 1 ( 0 , T ) , ∀ T > 0 ; (A3) k ∈ H1(0, T), ∀T>0 và k(0) = 0; 11 (A4) Hàm H ∈ C1(R) thoa H(0) = 0 và có một số không đổi h0 > 0 sao cho Hàm f: R2→ R thỏa điều kiện f(0, 0) = 0 và các điều kiện sau : Có hai số không đổi α, β∈ (0, 1] và hai hàm số B1, B2 : R+→R+ liên tục, sao cho : - Định lý 2 :Giả sử các giả thiết (A1) - (A4) và (F1) -(F3) đúng. Khi đó với mọi số T>0, tồn tại một nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1.1)-(1.5) sao cho u ∈ L∞(0, T; V), ut ∈ L∞(0, T; L2), ut(0,t) ∈ L2(0,T), P(t)∈H1(o, T). Hơn nữa, nếu β = 1 trong (F3) và hàm H, B2 thỏa thêm điều kiện (A5) H ∈ C2(R), H'(s) > - 1 , ∀s∈R; (F4) B2 (|v|) ∈ L2(Qt), với mọi ∀ ∈ L2(QT), ∀ T > 0, thì nghiệm tồn tại duy nhất. Chứng minh : Để thuận lợi cho việc sử dụng kết quả này trong chứng minh định lý ở mục 3, chúng tôi xin nêu lại các bƣớc chứng minh cần thiết mà các tác giả của bài báo [4] đã thực hiện nhƣ sau : Bƣớc 1 : (Sử dụng phƣơng pháp Galerkin) Tìm nghiệm (um(t), Pm(t)) với của hệ phƣơng trình : (hội tụ mạnh) trong H1, (hội tụ mạnh) ƣơng L2. Hệ này đƣợc viết lại thành một hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình có dạng : (2.4) c = Uc, ở đây c = (c1,c2,...,cm), Uc = ((Uc)1,(Uc)2,...(Uc)m), (chỉ số m đƣợc lƣợc bỏ trong thành phần thứ j, 1 ≤ j ≤m ) (2.5) (Uc)j (t)= Gj(t) + ∫ 12 ||G|| 1 * =||G|| 0 * +||G’|| 0 * = Chọ n Khi đó và' S là + sao cho t ập con lồ i, đóng và bị chặn củ a khô ng gian Banach và toán t ử U : S Y có các t ính chất : U liên t ục t rên S, , là t ập compact t rong Y. Áp d ụng đ ịnh lý điểm bất độ ng Shauder, t oán t ử U có mộ t điểm bất động ∈ S. Từ đó hệ phƣơng t ình (2.1)-(2.3) có nghiệ m Bƣớc 2: Tìm các ƣớc lƣợng để có t hể lấy = T với mọ i m. Bƣớc 3 : Chuyển qua giới hạn . tồn t ại mộ t dãy co n của dã y(đƣợc chọn hai lần), cũng ký hiệu là U m ,P m , sao cho : u m →u trong L∞ (0,T;V) yếu * ,um→u mạnh trong L2 (Qt) u’m→u’ trong L∞(0,T;L 2 ) yếu *, um (0,t) → u (0,t) trong L∞(0,T) yếu* , um (0,t) → u (0,t) mạnh trong C0 ([0,T]), u’m (0,t) → u’ (0,t) trong L2(0,T) yếu, P m →P^ trong H1(0,T) yếu , P ≡ P^h.k.n trong Qt f(um,u’m ) →f(u,u’) trong L∞(0,T;L 2 ) yếu *, 13 u(0) = U0, u'(0) = u1. Khi đó (u, P) chính là nghiệm yếu cần tìm. Bƣớc 4. Chứng minh nghiệm tồn tại duy nhất với giả thiết của bài toán . 3. K ết quả chính : Định lý : Giả sử các giả thiết (A1) - (A4) và (F1) -(F3) đúng. Khi đó với mọi số T>0, tập hợp các nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1.1)-(1.5) sao cho : u ∈ L∞(0, T; V), ut ∈ L∞(0, T; L ), ut(0, t) ∈ L2(0,T), P(t)∈ H1(0, T), tìm đƣợc theo phƣơng pháp trên khác rỗng, compact và liên thông (với cách chọn phù hợp). Chứng minh : Ta chứng minh lần lƣợt theo các bƣớc sau : Bƣớc 1 : Tập các điểm bất động c của toán tử U : s →Y là tập khác rỗng, compact, liên thông. Ở đây là bao đóng của tập con lồi, mở và bị chặn : với M > 0 sẽ đƣợc chọn thích hợp dƣới đây. Chứng minh : Ta có f:(u, .) ∈ R2→ f(u, .) ∈ R liên tục nên ∀ε > 0, có ánh xạ fε: (u, .)→ fε (u,.) là xấp xỉ lipschitz địa phƣơng của f theo biến thứ nhất sao cho (3.1) , ∀u∈R , với μ> 0 đƣợc chọn thích hợp để đủ bé. Rõ ràng ánh xạ fε thoả mãn các giả thiết (F1)(F2). - Xét toán tử Uε: ̅ → Y xác định nhƣ sau : (xác định nhƣ ở (2.7)) ( xác định nhƣ ở (2 14 Đặt , (giá t r ị này hoàn t oàn xác đ ịnh do f ε liên t ục t rên R 2 ), -Xét họ toán t ử viết gọn là xác định nhƣ sau : xác định nhƣ ở (2.6), (2.7) Đặt Chọn và SAO cho : -Khi đó, t ừ chứng minh ở bƣớc 1 của định lý 2 t a suy ra các t oán t ử u : :[0, 1 ] x là CÁC TOÁN TỬ COMPACT, (3.6) Hơn nữa do (rõ ràng Từ đó nên các t oán t ử khi có điểm bất động c ∈ s nhƣng Tƣơng t ự, t a cũng chứng minh đƣợc t oán tử với chú ý sau : Khi t hay f bởi . t rong toán t ử u : là t oán t ử compact , ,t a có toán tử Khi chứng minh u là t oán t ử compact , giả t hiết đƣợc sử dụng ƣơng chứng minh bất đẳng t hức (2.26) và chứng minh t oán tử u liên t ục (xem [4]). Ánh xạ không t hoả t ính chất nhƣ t rong giả t hiết đẳng t hức (2.26) t rong [4] vẫn đúng và nên với mọ i c ∈ s, t ồn t ại một lân cận của c ó t ính chất Lipschit z t rên lân liên t ục. 15 liên t ục nên bất có t ính chất Lipschit z địa phƣơng để cận này, do đó vẫn chứng minh đƣợc nhƣng Ta lại có : kết hợp (3.1), ta có Suy ra : và nếu μ đủ lớn. Nhƣ thế - Bây giờ ta chứng minh với mỗi h mà||h||1 < ε , phƣơng trình (3.9) : c = Uεc + h có nhiều nhất một nghiệm trên Thật vậy : . Giả sử c = (c1, c2,...,cm), d = (d1. d2,...,dm) là hai nghiệm của (3.9) với h = 0. Khi đó : là hai nghiệm của hệ phƣơng trình (2.1)-(2.2). (Để cho gọn ta lƣợc bỏ chỉ số m trong ký hiệu trên cũng nhƣ trong các ký hiệu tƣơng ứng sau đây.) Rõ ràng c = d khi và chỉ khi u1 = u2, do hệ ω j độc lập tuyến tính. Vậy ta chứng minh u1 = u2. Ta có u1(0) = u2(0) = u0. Đặt b = max {a € [0, T] : u1 (t) = u2(t), ∀t∈ [0, a]}. Ta chứng minh b = T. Giả sử 0 < b < T. Ta có ánh xạ f ε(u, .): R2→R có tính chất Lipschitz địa phƣơng nên với u1 (b) = u2(b) ∈ R, tồn tại một lân cận B của u1(b) có bán kính r > 0 và số L> 0 sao cho : Ta lại có u1 (t) , u2(t) liên tục trên [0, T] nên liên tục tại b. Do đó, với số r >0 ở trên, tồn tại số δ > 0 sao cho u1(t), u2(t) thuộc B với mọi t ∈ [b, b + δ ]. Nhƣ thế: ||fε(u1(s),u2'(s))-fε(u2(s),u2'(s)|| ≤ L||u1-u2||v,∀s ∈ [0, b + δ ] . 16 Từ tính chất này và chứng minh tƣơng tự nhƣ chứng minh định lý 2 ở bƣớc 4, ta có u1=u2 trên [0,b+ δ].Điều này mâu thuẫn với cách chọn b. Suy ra u1=u2 trên [0,T] • Giả sử là hai nghiệm của (3.9) với đó Khi là hai nghiệm của hệ phƣơng trình (2.1')-(2.3f) : (hội tụ mạnh) trong H1 (hội tụ mạnh) ƣơng Ớ đây có tính chất Do h thuộc s nên hàm có các tính chất nhƣ g(t). Từ đó cũng có các tính chất TƢƠNG tự Vì vậy, tƣơng tự trên ta có : , Suy ra đpcm. - Cuối cùng ta chỉ ra deg (I-U, D, 0) 0, (3.10). Ta có họ toán t ử co mpact : [0,1] X t hỏa điều kiện (3.7) : 0 , nên theo tính bất biến đồng luân, ta có: deg(I s, 0) không phụ thuộc Suy ra deg(I s, 0) = deg(I s, 0), trong đó I - = I - U,I = I -G với G là ánh xạ hằng vì hay deg(I -U, s, 0) = deg(I - G, s, 0) = I. Từ (3.6) - (3.10) và áp dụng định lý Krassnosel'skii-Perov, ta chứng minh xong Bƣớc 1 . Bƣớc 2 : Tập các nghiệm tìm đƣợc tƣơng ứng là tập khác rỗng, compact, liên thông. Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng c =(c1m, c2m,…, cmm) với um sao cho là ánh xạ liên tục. Bƣớc3 : Tập các nghiệm yếu (u, P) có đƣợc do chuyển các nghiệm (um,Pm) qua giới hạn là khác rỗng, compact, liên thông. 17 Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt t ƣơng ứng mỗ i nghiệ m (u m , p m ) với nghiệ m yếu (u, P) là ánh xạ liên t ục . Định lý hoàn t oàn đƣợc chứng minh. Tài liệu tham khảo : [1] L. H. Hóa - V. T. T. Nhiều - N. T. Phƣơng, The co nnect ivit y and co mpact ness o f so lut ion set s. Hội nghị Toán học t oàn quốc, Huế, 7 10/09/2002. Chƣơng t rình và t óm t ắt các báo cáo, 82 - 83. [2] L. H. Hóa - L. T. P. Ngọc, Tính liên t hông và t ính co mpact của t ập hợp nghiệ m. Hộ i nghị Khoa học T oán-T in học, ĐHSP Tp. HCM, t háng 12/2002. [3] L. H. Hóa - L. T. p. Ngọc, Tính liên t hông và t ính co mpact của t ập hợp nghiệ m của bài t oán t iến hóa.(Đang chuẩn bị gởi đăng ở Tạp chí khoa học của Trƣờng ĐHSP Tp HCM.) [4] Nguyen Thanh Lo ng - Tran Minh T huyet , A semilinear wave equat ion associat ed vit h a nonlinear int egral equat ion, Demo nst rat io Mat hemat ica, Vo l.XXXVI, No 4, 2003. Abst ract : The paper proves t hat for t he follo wing semilinear wave equat ion wit h t he init ial- boundar y, t he set of weak so lut io ns is no nempt y, co mpact and connect ed : where U0,U1 f are given funct ions, t he unknown funct ion u ( x,t ) and t he unkno wn boundar y value P(t ) sat isfy t he fbllo vving nonlinear int egral equat ion where g, H, k are given funct ions. The main t ool is t he t opological degree t heory o f co mpact vect or field. 18 KẾT LUẬN Đố i với đề t ài nghiên cứu cấp cơ sở "T ính compact , liên t hông c ủa t ập nghiệm của phƣơng t rình vi t ích phân t rong không gian Banach", ngoài bài báo "T ính co mpact , liên t hông c ủa t ập nghiệm của bài t oán t iến hóa" đăng t rong Tạp chí Khoa học t ự nhiên số 36 (2-2004) Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM t háng 5/ 2004, t rong phần báo cáo này, chúng t ôi đã t r ình bày mộ t kết quả khác về t ính co mpact , liên t hông c ủa t ập nghiệm cho phƣơng t rình t iến hóa với một điều kiện mớ i t ốt hơn và t ính co mpact , liên t hô ng c ủa t ập nghiệm yếu cho phƣơng t rình sóng n ửa t uyến t ính liên kết với mộ t phƣơng t rình t ích phân phi t uyến. Chúng t ôi s ẽ t iếp t ục gửi đăng các kết quả t rên t rong các t ạp chí t rong nƣớc và ngoài nƣ ớc. 19