Tài liệu Tính chuẩn tác và tính khai triển của không gian tôpô tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -----  ----- BÙI QUANG THỊNH TÍNH CHUẨN TÁC VÀ TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -----  ----- BÙI QUANG THỊNH TÍNH CHUẨN TÁC VÀ TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ TÍCH CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ MÃ SỐ: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh; người thầy dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học. Sự tận tình hướng dẫn cùng những lời động viên, chỉ bảo của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn: 1. Ban lãnh đạo và các chuyên viên của phòng Sau đại học; ban chủ nhiệm khoa và các giảng viên khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh; các giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Hình học và Tôpô khóa 20 đã tạo điều kiện học tập thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học. 2. Ban giám hiệu, lãnh đạo khoa Sư phạm, tập thể Tổ Tự nhiên và các thầy cô đồng nghiệp trường Đại học Tiền Giang đã luôn sẵn sàng giúp đỡ, tạo mọi điều kiện có thể tôi học tập và hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình trong thời gian học Cao học. 3. Bạn Liễu Mỹ Chương (Singapore, email: [email protected]) đã hỗ trợ tôi hết mình trong việc tìm kiếm các tài liệu tham khảo. 4. Cô Trương Thị Hồng Nhung (trường Trung học phổ thông Chuyên Tiền Giang) và thầy Hồ Công Xuân Vũ Ý (trường Đại học Tiền Giang) đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong việc soạn thảo luận văn bằng . 5. Các bạn lớp Cao học Hình học và Tôpô khóa 20 đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong quá trình học tập. Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn bên cạnh, động viên, hổ trợ về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành thành tốt khóa học. MỤC LỤC Trang phụ bìa ............................................................................................................... ii Lời cảm ơn ................................................................................................................... iii Mục lục......................................................................................................................... iv Mở đầu .......................................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ .................................................................................. 4 1.1. Bội Hilbert ............................................................................................................. 4 1.2. Phản continuum Cantor ......................................................................................... 4 1.3. Tôpô thứ tự ............................................................................................................ 5 1.4. Các tiên đề tách ..................................................................................................... 5 1.5. Phủ ......................................................................................................................... 9 1.6. Không gian Baire ................................................................................................. 13 1.7. Không gian compact, không gian paracompact .................................................. 14 1.8. P -không gian ..................................................................................................... 16 1.9. Không gian metric hóa ........................................................................................ 18 1.10. Σ -không gian ...................................................................................................... 19 Chương 2. TÍNH CHUẨN TẮC CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ TÍCH ....................... 22 2.1. L là lớp các không gian Hausdorff compact ..................................................... 23 2.2. L là lớp các không gian metric compact ........................................................... 25 2.3. L là lớp các không gian metric hóa ................................................................... 28 Chương 3. TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ TÍCH ....................... 37 3.1. Tính chất khai triển .............................................................................................. 37 3.2. Tính chất σ -khai triển ........................................................................................ 38 3.3. Tính chất θ -khai triển ......................................................................................... 46 3.4. Tính chất khai triển con ....................................................................................... 53 Kết luận và kiến nghị ................................................................................................. 58 Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 60 1 MỞ ĐẦU Theo Tôpô đại cương, tôpô trên tích Decartes của hai không gian tôpô được xây dựng từ tôpô trên các không gian thành phần thông qua khái niệm cơ sở. Vì vậy, các tính chất trên không gian tôpô tích có thể kế thừa từ các không gian thành phần. Một ví dụ dễ thấy chính là tích của hai không gian Hausdorff là một không gian Hausdorff. Một vấn đề được đặt ra: ‘‘Có phải mọi tính chất trên không gian tôpô tích đều được kế thừa từ các không gian tôpô thành phần hay không?’’. Câu trả lời là không trong trường hợp tổng quát. Một minh chứng khá nổi tiếng chính là tích tôpô của hai không gian chuẩn tắc nhìn chung không chuẩn tắc. Bài toán này đã được các nhà Toán học trên thế giới nghiên cứu từ những thập niên 30 của thế kỷ trước. Cụ thể, J. Dieudonné [10] năm 1939 đã xét tích tôpô giữa một không gian chuẩn tắc với một không gian compact; R. H. Sorgenfrey [30] năm 1947 đã xét tích giữa hai không gian Linderlöf. Hơn nữa, năm 1971 M. E. Rudin [29] đã chứng minh được rằng tồn tại một không gian chuẩn tắc sao cho tích tôpô của nó với khoảng đơn vị đóng [ 0,1] không là không gian chuẩn tắc. Từ các ví dụ cụ thể trên cùng với các công trình nghiên cứu gần đây, tính chuẩn tắc của không gian tôpô tích là một bài toán thu hút được sự quan tâm của các nhà Toán học trên thế giới. Họ mong muốn không gian tôpô tích có thể kế thừa tính chuẩn tắc từ các không gian thành phần. Do đó, một vấn đề được mở ra: ‘‘Để không gian tôpô tích kế thừa tính chuẩn tắc từ các không gian thành phần, cần phải bổ sung những điều kiện gì?’’. Trong số các nghiên cứu về vấn đề này, chúng ta có thể kể đến công trình của C. H. Dowker và H. Tamano. Nghiên cứu của C. H. Dowker [11] năm 1951 đã mô tả được tính paracompact đếm được của không gian tôpô X thông qua tính chuẩn tắc của X × [ 0,1] . Tương tự, năm 1960 H. Tamano [34] cũng đã mô tả tính paracompact của không gian hoàn toàn chính quy X thông qua tính chuẩn tắc của không gian tôpô tích của X với compact hóa Čech-Stone của nó. Chính các kết quả này đã tạo động lực thúc đẩy nghiên cứu và góp phần to lớn cho sự phát triển của Tôpô đại cương. Nhiều kết quả đẹp và quan trọng trên không gian tôpô tích đã ra đời từ hướng nghiên cứu của C. H. Dowker và H. Tamano. Một trong số các nhà Tôpô học xuất sắc có nhiều cống hiến theo hướng này không thể không nhắc tới K. Morita. Các vấn đề thú vị khác nhau liên 2 quan trực tiếp hay gián tiếp đến các công trình của ông đã được nghiên cứu và phát triển hơn cả mong đợi. Trong luận văn này, chúng tôi kế thừa các nghiên cứu của C. H. Dowker, H. Tamano và K. Morita nhằm giải quyết một bài toán hẹp về tính chuẩn tắc của không gian tôpô tích: Bài toán 1. Gọi L là lớp các không gian chuẩn tắc thỏa mãn một số tính chất nào đó. Tìm điều kiện cần và đủ đối với không gian chuẩn tắc X để tích của X với mọi không gian Y thuộc vào L là một không gian chuẩn tắc. Theo một hướng nghiên cứu khác, năm 1971 L. L. Krajewski [16] đã định nghĩa tính chất khai triển của một không gian tôpô và nghiên cứu cùng J. C. Smith [31] đưa ra một số đặc trưng của tính chất khai triển. Sau đó, Y. Katuta [15] năm 1975 đã định nghĩa một số thuật ngữ mới về tính khai triển: σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ -khai triển, θ -khai triển rời rạc, khai triển con rời rạc và khai triển con … Kế thừa ý tưởng của Bài toán 1 và kết hợp với các kết quả đã nghiên cứu về tính khai triển của P -không gian, một thuật ngữ được đưa ra bởi K. Morita [22], chúng tôi cũng nghiên cứu giải quyết thêm Bài toán 2. Tìm điều kiện cho không gian tôpô Y để tích tôpô của một P -không gian chuẩn tắc X với Y kế thừa được tính khai triển từ P -không gian chuẩn tắc X . Xuất phát từ những mục tiêu trên, nội dung của luận văn này sẽ gồm phần mở đầu, ba chương chính và phần kết luận. Cụ thể như sau: 1. Phần mở đầu: Đặt vấn đề và trình bày sơ lược lịch sử của vấn đề. 2. Phần nội dung: a. Chương 1 – KIẾN THỨC BỔ TRỢ. Chương này trình bày các khái niệm cần thiết và đưa ra cơ sở lý thuyết cho các kết quả được nghiên cứu ở Chương 2 và Chương 3. b. Chương 2 – TÍNH CHUẨN TẮC CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ TÍCH. Chương này trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với đầy đủ chứng minh nhằm giải quyết Bài toán 1 trong ba trường hợp của L : • L là lớp các không gian Hausdorff compact, • L là lớp các không gian metric compact, • L là lớp các không gian metric hóa. 3 c. Chương 3 – TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ TÍCH. Chương này trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với đầy đủ chứng minh nhằm giải quyết Bài toán 2 trong bốn trường hợp của tính khai triển: • tính chất khai triển, • tính chất σ -khai triển, • tính chất θ -khai triển, • tính chất khai triển con. 3. Phần kết luận: Tổng kết lại các kết quả nghiên cứu và đưa ra những nhận xét cũng như các vấn đề mở cho hướng nghiên cứu sắp tới. 4 Chương 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ Nội dung chương này chủ yếu đưa ra cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở những chương sau. Nhiều định lý trong chương chỉ được nêu ra và lược bỏ chứng minh. Độc giả quan tâm chứng minh chi tiết có thể tham khảo R. Engelking [12] và J. Nagata [28]. Trong suốt luận văn, nếu không có gì nhầm lẫn thì thuật ngữ không gian được hiểu là không gian tôpô, thuật ngữ không gian tôpô tích là tích tôpô của hai không gian tôpô. 1.1. Bội Hilbert  ∞   i =1  H ( x1 , x2 , …) xi ∈ = , i 1, 2, …, ∑ xi 2 < +∞  cùng với metric ρ Định nghĩa 1.1. Tập hợp = xác định bởi: 1  ∞ 2 2 , y )  ∑ ( xi − yi )  = ∀x ( x1 , x2 , …= ) , y ( y1 , y2 ,…) ∈ H : ρ ( x=  i =1  tạo thành một không gian metric. Vì thế, ( H , ρ ) cũng là một không gian tôpô và được gọi là không gian Hilbert.   1 i   Không gian con I ω = ( x1 , x2 ,…) xi ∈ , 0 ≤ xi ≤ , i = 1, 2, … của không gian Hilbert được gọi là bội Hilbert. Từ định nghĩa trên, chúng ta thấy rằng I ω đồng phôi với tích tôpô của đếm được các  1 khoảng đóng 0,  . Do đó, I ω đồng phôi với tích tôpô của đếm được bản sao khoảng đơn  i  1 vị đóng [ 0,1] vì 0,  và [ 0,1] đồng phôi với nhau.  i 1.2. Phản continuum Cantor Đặt I 0 = [ 0,1] , 5  1 2  1 2 I1 = 0,  ∪  ,1 = [ 0,1] \  ,  ,  3  3  3 3  1  2 3 6 7  8   3k + 1 3k + 2  I 2 = 0,  ∪  ,  ∪  ,  ∪  ,1 = [ 0,1] \   m , m , 3   9 9 9 9 9  9  1m 2;0k < m  3 … I n = [ 0,1] \  3k + 1 3k + 2   m , m  3  1mn ,0k < m  3  Tổng quát, I n được xây dựng bằng cách chia mỗi khoảng đóng cấu tạo nên I n −1 thành ba phần đều nhau và bỏ đi khoảng giữa trong ba phần ấy. ∞ Định nghĩa 1.2. C =  I i được gọi là phản continuum Cantor. i =0 1.3. Tôpô thứ tự Giả sử ωξ là số thứ tự bé nhất tương ứng với bản số ℵξ và đặt W= ξ {α | 0 ≤ α < ω } . ξ Chúng ta định nghĩa một họ  các tập con của Wξ như sau: { U ⊂ Wξ vôù i moïi α ∈ U thoû a α > 0, =  toà n taïi β < α sao cho ( β ,α= {γ | β < γ ≤ α } ⊂ U} ∪ {0} . Không khó kiểm tra  là một tôpô trên Wξ . Định nghĩa 1.3. Tôpô  xác định trên Wα được gọi là tôpô thứ tự. 1.4. Các tiên đề tách Tiên đề T0 . Với mọi cặp điểm phân biệt x , y của không gian X ; tồn tại một lân cận U của x không chứa y hoặc tồn tại một lân cận V của y không chứa x . Tiên đề T1 . Với mọi cặp điểm phân biệt x , y của không gian X ; tồn tại một lân cận U của x không chứa y và một lân cận V của y không chứa x . Tiên đề T2 . Với mọi cặp điểm phân biệt x , y của không gian X ; tồn tại một lân cận U ∅. của x và một lân cận V của y sao cho U ∩ V = 6 Tiên đề T3 . Với mọi điểm x và mọi tập con đóng F không chứa x của không gian X , ∅. tồn tại một lân cận U của x và một lân cận V của F sao cho U ∩ V = Tiên đề T4 . Với mọi cặp tập con đóng rời nhau F , G của không gian X ; tồn tại một lân ∅. cận U của F và một lân cận V của G sao cho U ∩ V = Định nghĩa 1.4. Không gian X thỏa mãn tiên đề Ti ( i = 0,1, 2,3, 4 ) được gọi là Ti -không gian. T0 -không gian được giới thiệu bởi Kolmogoroff nên còn được gọi là không gian Kolmogoroff. Các khái niệm T1 -không gian và T2 -không gian lần lượt được đưa ra bởi Riesz năm 1907 và Hausdorff năm 1914. Người ta còn gọi T1 -không gian là không gian Fréchet và T2 -không gian là không gian Hausdorff. Định nghĩa 1.5. Không gian X được gọi là T 1 -không gian hay không gian hoàn toàn 2 2 Hausdorff nếu với mọi cặp điểm phân biệt x , y của X ; tồn tại một lân cận U của x và một lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅. Năm 1921, trong công trình nghiên cứu của mình Vietoris đưa ra khái niệm không gian chính quy và tính chuẩn tắc của một không gian. Định nghĩa 1.6. Một không gian thỏa mãn đồng thời tiên đề T1 và tiên đề T3 được gọi là không gian chính quy. Định nghĩa 1.7. Một không gian thỏa mãn đồng thời tiên đề T1 và tiên đề T4 được gọi là không gian chuẩn tắc. Sau đó, Tietze năm 1923 và Alexandroff - Urysohn năm 1924 đã phát triển khái niệm này đồng thời phân lớp một số không gian chuẩn tắc. Năm 1925 Urysohn định nghĩa thêm tính chất T 1 và sau này được nghiên cứu, phát triển bởi Tychonoff. 3 2 Định nghĩa 1.8. Không gian X được gọi là T 1 -không gian nếu mọi điểm x và mọi tập con 3 2 đóng F không chứa x của X , tồn tại một hàm liên tục f : X → [ 0,1] sao cho f ( x ) = 0 và f (F ) =1. 7 Định nghĩa 1.9. Một không gian được gọi là không gian hoàn toàn chính quy hay không gian Tychonoff nếu không gian đó đồng thời là T1 -không gian và T 1 -không gian. 3 2 T4 -không gian được đặc trưng lần lượt bởi các định lý sau: Định lý 1.1. Không gian X là một T4 -không gian khi và chỉ khi với mọi tập con đóng F và mọi tập con mở G của X thỏa F ⊂ G , tồn tại một một tập con mở U của X thỏa F ⊂U ⊂U ⊂ G . Định lý 1.2 (Bổ đề Urysohn). Không gian X là một T4 -không gian khi và chỉ khi với mọi cặp tập con đóng rời nhau F , G của X ; tồn tại một hàm liên tục f : X → [ 0,1] sao cho f ( F ) = 0 và f ( G ) = 1 . Chúng ta cũng có đặc trưng của không gian chính quy thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai: Định lý 1.3 (Định lý nhúng Urysohn). Không gian chính quy X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai khi và chỉ khi X đồng phôi với một tập con của bội Hilbert I ω . Hệ quả 1.1. Với m là bản số vô hạn, không gian X là một không gian Tychonoff có trọng số ≤ m khi và chỉ khi X đồng phôi với một không gian con của I m , trong đó I m là tích tôpô của m bản sao khoảng đơn vị đóng [ 0,1] . Các tiên đề tách có tính di truyền cũng như được bảo toàn thông qua một phép đồng phôi. Định lý 1.4. Giả sử ( X ,  ) là một không gian tôpô. Khi đó, (a) Nếu A là một tập con của Ti -không gian thì A sẽ là một Ti -không gian với tôpô cảm 1 2 1 2 sinh  A = {V ∩ A | V ∈  } , trong đó i = 0,1, 2, 2 ,3,3 . (b) Nếu A là một tập con đóng của T4 -không gian X thì A sẽ là một T4 -không gian với tôpô cảm sinh  A = {V ∩ A | V ∈  } . Định lý 1.5. Giả sử f : X → Y là một đồng phôi từ không gian X vào không gian Y . Khi 1 2 1 2 đó, X là một Ti -không gian khi và chỉ khi Y là một Ti -không gian với i = 0,1, 2, 2 ,3,3 , 4 . 8 Từ các định lý trên, chúng ta chứng minh được rằng: 1 2 1 2 Định lý 1.6. Với i = 0,1, 2, 2 ,3,3 ; không gian tôpô tích thỏa mãn tiên đề tách Ti khi và chỉ khi mỗi không gian thành phần thỏa mãn tiên đề tách Ti . Chứng minh. Giả sử X × Y là tích tôpô của hai không gian X và Y . Gọi p X : X × Y → X là phép chiếu lên không gian thành phần X . Chiều nghịch của định lý được chứng minh trong từng trường hợp cụ thể của i . 1. Trường hợp 1 ( i = 0 ). Lấy bất kỳ cặp điểm phân biệt x = ( x1 , x2 ) , y = ( y1 , y2 ) của không gian X × Y . Không mất tổng quát giả sử x1 ≠ y1 . Do X là T0 -không gian nên trong X tồn tại một lân cận U của x1 không chứa y1 hoặc một lân cận V của y1 không chứa x1 . Suy ra p X−1 (U ) , p X−1 (V ) lần lượt là lân cận của x không chứa y và lân cận của y không chứa x hay X × Y là T0 -không gian. 2. Trường hợp 2 ( i = 1 ). Lấy bất kỳ cặp điểm phân biệt x = ( x1 , x2 ) , y = ( y1 , y2 ) của không gian X × Y . Không mất tổng quát giả sử x1 ≠ y1 . Do X là T1 -không gian nên trong X tồn tại một lân cận U của x1 không chứa y1 và một lân cận V của y1 không chứa x1 . Suy ra p X−1 (U ) , p X−1 (V ) lần lượt là lân cận của x không chứa y và lân cận của y không chứa x . Do đó X × Y là T1 -không gian. 3. Trường hợp 3 ( i = 2 ). Lấy bất kỳ cặp điểm phân biệt x = ( x1 , x2 ) , y = ( y1 , y2 ) của không gian X × Y . Không mất tổng quát giả sử x1 ≠ y1 . Do X là T2 -không gian nên trong X tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận V của y1 sao cho U ∩ V = ∅. Suy ra p X−1 (U ) , p X−1 (V ) lần lượt là lân cận của x và lân cận của y thỏa mãn p X−1 (U ) ∩ p X−1 (V ) = ∅ hay X × Y là T2 -không gian. 1 2 4. Trường hợp 4 ( i = 2 ).Lấy bất kỳ cặp điểm phân biệt x = ( x1 , x2 ) , y = ( y1 , y2 ) của không gian X × Y . Không mất tổng quát giả sử x1 ≠ y1 . Do X là T 1 -không gian nên 2 2 trong X tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận V của y1 sao cho U ∩ V = ∅. Suy ra p X−1 (U ) , p X−1 (V ) lần lượt là lân cận của x và lân cận của y thỏa mãn 9 p X−1 (U ) ∩ p X−1 (V ) = ∅ (do p X−1 (U ) = p X−1 (U ) và p X−1 (V ) = p X−1 (V ) ) hay X × Y là T 1 2 2 không gian. 5. Trường hợp 5 ( i = 3 ). Lấy bất kỳ điểm x = ( x1 , x2 ) và bất kỳ tập con đóng F không chứa x của không gian X × Y . Do X là T3 -không gian nên trong X tồn tại một lân cận U của x1 , một lân cận V của p X ( F ) sao cho U ∩ V = ∅ . Suy ra p X−1 (U ) , p X−1 (V ) lần lượt là lân cận của x và lân cận của F thỏa mãn p X−1 (U ) ∩ p X−1 (V ) = ∅ hay X × Y là T3 -không gian. 1 2 6. Trường hợp 6 ( i = 3 ). Lấy bất kỳ điểm x = ( x1 , x2 ) và bất kỳ tập con đóng F không chứa x của không gian X × Y . Do X là T 1 -không gian nên tồn tại một hàm liên tục 3 f : X → [ 0,1] sao cho = g f  p X : X × Y → [ 0,1] f ( x1 ) = 0 và 2 ( ) f p X ( F ) = 1 . Không khó để thấy rằng, là hàm liên tục thỏa mãn = g ( x ) f=  pX ( x ) 0 và = g ( F ) f=  pX ( F ) f = ( pX ( F ) ) 1 . Vậy X × Y là T 1 -không gian. 3 2 1 2 1 2 Ngược lại, giả sử X × Y là một Ti -không gian với i = 0,1, 2, 2 ,3,3 . Khi đó, X × { y} cũng là một Ti -không gian với tôpô cảm sinh theo Định lý 1.4. Mặt khác, nếu gọi iX ×{ y} : X × { y} → X × Y là phép nhúng từ X × { y} vào X ×Y thì ánh xạ hạn chế = p X | M p X  iX ×{ y} : X × { y} → X của phép chiếu p X lên X × { y} là phép đồng phôi. Theo Định lý 1.5, X là một Ti -không gian. Chứng minh tương tự, chúng ta cũng có Y là một Ti không gian.  Các hệ quả sau được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.6: Hệ quả 1.2. Không gian tôpô tích là không gian chính quy khi và chỉ khi mỗi không gian thành phần là không gian chính quy. Hệ quả 1.3. Không gian tôpô tích là không gian hoàn toàn chính quy khi và chỉ khi mỗi không gian thành phần là không gian hoàn toàn chính quy. 1.5. Phủ 10 Giả sử  ,  là hai họ các tập con của không gian X . Định nghĩa 1.10.  được gọi là một phủ của X nếu các phần tử của  phủ X , tức là X. {U | U ∈  } = Một phủ  của X được gọi là phủ con của  nếu  ⊂  . Định nghĩa 1.11.  được gọi là hữu hạn (đếm được, vô hạn) nếu  chứa hữu hạn (đếm được, vô hạn) phần tử.  được gọi là mở (đóng) nếu  chỉ chứa các tập con mở (đóng) của X .  được gọi là rời rạc (hữu hạn địa phương, đếm được địa phương) nếu với mọi điểm p thuộc X , tồn tại một lân cận U của p trong X có giao khác rỗng với không quá một (không quá hữu hạn, không quá đếm được) phần tử của  .  được gọi là σ -rời rạc ( σ -hữu hạn địa phương, σ -đếm được địa phương) nếu ∞  =  i , trong đó i là một họ rời rạc (hữu hạn địa phương, đếm được địa phương) các i =1 tập con của X với mọi=i 1, 2,…  được gọi là hữu hạn điểm (đếm được điểm) nếu mọi điểm p của X bị chứa trong không quá hữu hạn (không quá đếm được) phần tử của  .  được gọi là rời nếu hai phần tử bất kỳ của  luôn rời nhau. Các tính chất sau dễ dàng suy ra từ định nghĩa: =  {U ξ | ξ ∈ Ξ} là một họ hữu hạn địa phương (rời rạc) các tập con của Định lý 1.7. Nếu không gian X thì =  {U ξ | ξ ∈ Ξ} cũng là một họ hữu hạn địa phương (rời rạc) các tập con của không gian X . =  {U ξ | ξ ∈ Ξ} là một họ hữu hạn địa phương các tập con của không gian Định lý 1.8. Nếu X thì  Uξ = ξ Uξ . ξ ∈Ξ ∈Ξ Định nghĩa 1.12. Họ {f ξ : X → [ 0,1] | ξ ∈ Ξ} các hàm liên tục được gọi là một phân hoạch đơn vị trên không gian X nếu ∑ fξ ( x ) = 1 với mọi ξ ∈Ξ x∈ X . 11 Phân hoạch đơn vị { fξ | ξ ∈ Ξ} trên không gian X được gọi là hữu hạn địa phương nếu phủ { fξ −1 ( ( 0,1]) | ξ ∈ Ξ} của X hữu hạn địa phương. Phân hoạch đơn vị { fξ | ξ ∈ Ξ} trên không gian X được gọi là phụ thuộc vào phủ  của X nếu phủ { f ( ( 0,1]) | ξ ∈ Ξ} của ξ −1 X là một mịn của phủ  . Gọi x và A lần lượt là điểm và tập con bất kỳ của không gian X . Chúng ta quy ước một số ký hiệu sau: S ( x= ,) ( A,  )  {U | U ∈  ,U ∩ A ≠ ∅} , {U | x ∈U ∈  } , S= ( ) , n 2,3, 4,… , S 1 ( x,  ) = S ( x,  ) , S n ( x,  ) = S S n −1 ( x,  ) , = ( ) , n 2,3, 4,… , S 1 ( A,  ) = S ( A,  ) , S n ( A,  ) = S S n −1 ( A,  ) , = = ∆ = * { S ( x,  ) | x ∈ X } ,  ∆∆ = (  ∆ ) , …, {S (U ,  ) | U ∈  } ,  ** = (  * ) , … ∆ * Định nghĩa 1.13. S ( x,  ) ( S ( A,  ) ) được gọi là tập sao của x (của A ) tương ứng với  . Định nghĩa 1.14.  được gọi là một mịn của  và được ký hiệu là    nếu với mọi U ∈  , tồn tại một V ∈  thỏa mãn U ⊂ V .  được gọi là một mịn delta (mịn sao) của  nếu  ∆   (  *   ). Định lý 1.9. Giả sử ωα là số thứ tự bé nhất tương ứng với bản số ℵα . Ký hiệu Wα là không gian tôpô gồm tất cả các số thứ tự ≤ ωα với tôpô thứ tự. Nếu X × Wα là một không gian chuẩn tắc với mọi không gian X thì mỗi phủ mở  thỏa  ≤ ℵα của X luôn có một mịn đóng F thỏa F ≤ ℵα . Năm 1941, J. W. Tukey đưa ra một số khái niệm về phủ chuẩn tắc. Định nghĩa 1.15. Dãy phủ mở { i = | i 1, 2, …} của X được gọi là chuẩn tắc nếu i+1 là một mịn sao của i với mọi=i 1, 2,… (tức là, …  2  2*  1  1* ). 12 Phủ mở  của X được gọi là chuẩn tắc nếu tồn tại một dãy phủ mở { i = | i 1, 2, …} của * * X thỏa …  2  2  1  1   . Hay nói cách khác, phủ mở  của X chuẩn tắc nếu tồn tại một dãy phủ mở chuẩn tắc { i = | i 1, 2, …} sao cho 1 là mịn sao của  . Chúng ta quan tâm đến các tính chất sau của phủ mở chuẩn tắc: Định lý 1.10 (Định lý 1.2 trong K.Morita [21]). Giả sử  là một phủ mở của không gian X . Khi đó, các mệnh đề sau tương đương nhau: (a)  là một phủ mở chuẩn tắc. (b) Tồn tại một ánh xạ liên tục f từ X vào không gian metric Y sao cho  bị làm mịn bởi ảnh ngược của một phủ mở nào đó của Y . =  {Vξ | ξ ∈ Ξ} là phủ mở hữu hạn địa phương sao cho với mỗi ξ ∈ Ξ (c)  có một mịn = Vξ phần tử Vξ ∈  có thể biểu diễn dưới dạng { x | f ( x ) > 0} , ξ trong đó fξ : X → I = [0,1] là một hàm liên tục nào đó. (d)  có một mịn là phủ mở chuẩn tắc hữu hạn địa phương. (e) Tồn tại một phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương phụ thuộc  . (f) Tồn tại một phân hoạch đơn vị phụ thuộc  . =  {Vξ | ξ ∈ Ξ} của X sao cho với mỗi ξ ∈ Ξ , hạn chế (g) Tồn tại một phủ mở chuẩn tắc {V ξ ∩ U | U ∈  } của  lên Vξ là một phủ mở chuẩn tắc của Vξ . Hệ quả 1.4. Giả sử  là một phủ mở của không gian chuẩn tắc X . Nếu tồn tại một phủ mở =  {Vξ | ξ ∈ Ξ} của X sao cho với mỗi ξ ∈ Ξ , Vξ bị phủ bởi hữu hạn phần tử của chuẩn tắc  thì  là một phủ mở chuẩn tắc của X . Chứng minh. Gọi W là một phủ mở chuẩn tắc của X sao cho W   . Khi đó, với mỗi W ∈ W , W là một không gian chuẩn tắc bị phủ bởi hữu hạn phần tử của  . Do đó, hạn chế của  lên W là một phủ mở chuẩn tắc của W . Theo Định lý 1.10,  là một phủ mở chuẩn  tắc của X . ∞ Hệ quả 1.5. Giả sử  =  i là một phủ mở σ -hữu hạn địa phương của không gian X , i =1 trong đó = i {Giα | α ∈ Ωi } là họ hữu hạn địa phương các tập con của X . Nếu với mỗi Giα , 13 tồn tại một hàm liên tục ϕiα : X → [ 0,1] sao = cho Giα { x | ϕ α ( x ) > 0} i thì  là một phủ mở chuẩn tắc. Chứng minh. Vì i hữu hạn địa phương nên ϕ xác định bởi ϕi ( x ) = ∑ ϕ α ( x) α ∈Ωi i với mọi x ∈ X là một hàm liên tục trên X . ∞ Nếu với mọi x ∈ X , đặt ϕ ( x ) = ∑ i =1 ϕi ( x ) thì ϕ cũng là một hàm liên tục trên X . 2 (1 + ϕi ( x ) ) i Vì  là một phủ mở của X nên ϕ ( x ) > 0 với mọi x ∈ X . Với mọi x ∈ X , đặt ψ iα ( x ) = và Giα = ∞ ϕiα ( x ) . Khi đó, ∑ ∑ ψ iα ( x ) = 1 với mọi x ∈ X 2i ϕ ( x ) (1 + ϕi ( x ) ) =i 1 α ∈Ωi ,i { x |ψ α ( x ) > 0} . Do đó, {ψ iα ( x ) : X → [0,1] | α ∈ Ωi= i 1, 2, …} là một phân hoạch đơn vị trên X phụ thuộc  . Theo Định lý 1.10,  là phủ mở chuẩn tắc.  Định lý 1.11. Mọi phủ mở σ -hữu hạn địa phương của một không gian chuẩn tắc paracompact đếm được 1 là phủ mở chuẩn tắc. ∞ Chứng minh. Gọi  =  i là phủ mở σ -hữu hạn địa phương của không gian chuẩn tắc i =1 paracompact đếm được X , trong đó i là họ hữu hạn địa phương các tập con của X với mọi=i 1, 2,… Nếu= đặt Gi |i {G | G ∈  } thì {G = i i 1, 2, …} là phủ mở đếm được của X . Do đó, tồn tại một phủ mở đếm được hữu hạn địa phương { H i = | i 1, 2, …} của X sao cho H i ⊂ Gi với mọi = i 1, 2, … Khi đó, { H i ∩ G | G ∈ i , i =1, 2, …} là một phủ mở hữu hạn địa phương, vì vậy cũng là một phủ mở chuẩn tắc của X . Vì { H i ∩ G | G ∈ i , i =1, 2,…} là mịn của  nên  là phủ mở chuẩn tắc của X .  1.6. Không gian Baire Không gian X được gọi là paracompact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X luôn có một mịn mở hữu hạn địa phương. 1 14 Gọi Ω là một tập khác rỗng. Với bất kỳ hai dãy = α {α1 , α 2 ,…= } , β {β1 , β 2 ,…} các phần tử của Ω , chúng ta định nghĩa 1 ,neá u α i = βi vôù i i < k vaøα k ≠ β k ,  ρ (α , β ) =  k  = = βi vôù uα i i 1,2,… i 0 ,neá Định nghĩa 1.16. Tập hợp N ( Ω ) tất cả dãy các phần tử của Ω với ρ định nghĩa như trên sẽ lập thành một không gian metric và được gọi là không gian Baire. Nếu {V (α , α 1 2 đặt V ( α1 , α 2 , … , α i ) = {( β ) | β j 1 } = α1 , β 2 = α 2 , … , β i = α i , ( β j ) ∈ N ( Ω ) thì họ , …, α i ) | α1 , α 2 , …, α i ∈ Ω= , i 1, 2, …} là một cơ sở mở của N ( Ω ) và hiển nhiên trọng số của N ( Ω ) thỏa  Ω , neá u 0 ≤ Ω ≤ ℵ0 , w N (Ω) =  u Ω ℵ0 , ℵ0 , neá ( ) trong đó ℵ0 là bản số của tập hợp các số tự nhiên. 1.7. Không gian compact, không gian paracompact Định nghĩa 1.17. Không gian X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X luôn có một phủ con hữu hạn. Không gian X được gọi là không gian compact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X luôn có một phủ con hữu hạn. Không gian X được gọi là không gian Linderlöf nếu mọi phủ mở của X luôn có một phủ con đếm được. Với m là bản số vô hạn bất kỳ, không gian X được gọi là không gian m -paracompact nếu mọi phủ mở có lực lượng ≤ m của X luôn có một mịn mở hữu hạn địa phương. Không gian X được gọi là không gian paracompact nếu mọi phủ mở của X luôn có một mịn mở hữu hạn địa phương. Không gian X được gọi là không gian paracompact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X luôn có một mịn mở hữu hạn địa phương. 15 Không gian X được gọi là không gian paracompact con nếu mọi phủ mở của X luôn có một mịn đóng σ -rời rạc. Không gian X được gọi là không gian paracompact con đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X luôn có một mịn đóng σ -rời rạc. Một số kết quả quan trọng của không gian compact và không gian paracompact: Định lý 1.12 (Định lý tích Tychonoff). Nếu { X ξ | ξ ∈ Ξ} là một họ các không gian compact ∏ { X ξ | ξ ∈ Ξ} cũng là một không gian compact. = thì X Hệ quả 1.6. Không gian X là một không gian Hausdorff compact khi và chỉ khi X đồng phôi với một tập con đóng của tích tôpô của các bản sao khoảng đơn vị đóng [ 0,1] . Định lý 1.13. Giả sử A , B là một cặp tập con đóng của không gian Hausdorff paracompact X . Nếu với mọi x ∈ B , tồn tại một lân cận U x của A và một lân cận Vx của x sao cho U x ∩ Vx = ∅ thì cũng tồn tại một lân cận U của A và một lân cận V của B sao cho U ∩V = ∅. Chứng minh. Vì họ {Vx | x ∈ B} ∪ ( X \ B ) là một phủ mở của không gian X paracompact nên nó có một mịn mở {Wξ | ξ ∈ Ξ} hữu hạn địa phương. Đặt Ξ= 0 {ξ ∈ Ξ |W ξ ∩ B ≠ ∅} . Khi đó, B ⊂ dụng Định lý 1.8, U = X \  Wξ  Wξ ξ ∈Ξ0 và A ∩ Wξ ≠ ∅ với mọi ξ ∈ Ξ 0 . Áp là một tập mở. Không khó để kiểm tra U = X \ V=  Wξ thỏa mãn các tính chất cần chứng minh.  Wξ và ξ ∈Ξ0 ξ ∈Ξ0  ξ ∈Ξ0 Từ Định lý 1.13, dễ dàng suy ra rằng Hệ quả 1.7. Mọi không gian Hausdorff paracompact là không gian chuẩn tắc. Vì mọi không gian compact là không gian paracompact nên từ Hệ quả 1.7 suy ra Hệ quả 1.8. Mọi không gian Hausdorff compact là không gian chuẩn tắc. Bên cạnh đó, Định lý 1.14 (Định lý 1.1 trong K.Morita [21]). Giả sử X là một không gian tôpô. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương nhau: