ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN VĂN THÌN
TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM
PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY
NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN VĂN THÌN
TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM
PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY
NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TSKH Trần Văn Tấn
2. PGS. TS. Hà Trần Phương
THÁI NGUYÊN - 2016
i
Líi cam oan
Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îng
d¨n cõa PGS. TSKH Tr¦n V«n T§n v PGS. TS H Tr¦n Ph÷ìng. C¡c
k¸t qu£ trong luªn ¡n vi¸t chung vîi c¡c t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷ñc sü nh§t
tr½ cõa çng t¡c gi£ khi ÷a v o luªn ¡n. C¡c sè li»u, k¸t qu£ trong luªn
¡n l trung thüc v ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t k¼ cæng tr¼nh n o
kh¡c.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2016
T¡c gi£
Nguy¹n V«n Th¼n
ii
Líi c£m ìn
Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa PGS.
TSKH Tr¦n V«n T§n v PGS. TS H Tr¦n Ph÷ìng. T¡c gi£ luªn ¡n
xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc nh§t ¸n PGS. TSKH Tr¦n V«n T§n v
PGS. TS H Tr¦n Ph÷ìng ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n v· m°t khoa håc v
t¤o nhúng i·u ki»n thuªn lñi nh§t º t¡c gi£ ho n th nh luªn ¡n.
T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc S÷
ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, c¡c pháng ban chùc n«ng ¢ t¤o i·u ki»n
thuªn lñi v· tinh th¦n công nh÷ vªt ch§t º t¡c gi£ ho n th nh luªn ¡n.
T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m khoa To¡n v c¡c th¦y,
cæ gi¡o cõa khoa To¡n Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n,
°c bi»t xin ÷ñc c£m ìn c¡c th¦y cæ cõa bë mæn Gi£i t½ch - khoa To¡n
¢ luæn ëng vi¶n, t¤o i·u ki»n v· thíi gian º t¡c gi£ ho n th nh luªn
¡n.
T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ GS. TSKH H Huy Kho¡i,
GS. TSKH é ùc Th¡i, GS. TSKH L¶ Mªu H£i, PGS. TSKH T¤ Thà
Ho i An, PGS. TS Ph¤m Vi»t ùc, TS. Vô Ho i An v TS. Trành Thà
Di»p Linh trong hëi çng cì sð ¢ cho nhúng nhªn x²t quþ b¡u º luªn
¡n ÷ñc ho n thi»n hìn.
Cuèi còng, luªn ¡n n y ÷ñc d¥ng t°ng bè mµ, c¡c anh chà em trong
¤i gia ¼nh th¥n y¶u, t°ng vñ v con y¶u d§u, nhúng ng÷íi ¢ chàu
nhi·u khâ kh«n v d nh h¸t nhúng t¼nh c£m y¶u th÷ìng, ëng vi¶n º
t¡c gi£ ho n th nh nhúng nghi¶n cùu cõa m¼nh.
iii
Möc löc
Mð ¦u
1
2
3
1
Hå chu©n tc c¡c h m ph¥n h¼nh
11
1.1
Mët sè ki¸n thùc cì b£n trong Lþ thuy¸t Nevanlinna . .
11
1.2
Hå chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh . . . . . . . . . . .
13
Mët sè ành lþ kiºu Lappan cho h m
ϕ
- chu©n tc v hå
chu©n tc
37
2.1
H m ph¥n h¼nh ϕ - chu©n tc . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2
ành lþ kiºu Lappan cho hå chu©n tc . . . . . . . . . .
46
Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m
v
3.1
q
- sai ph¥n chung nhau mët h m nhä
Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m
chung nhau mët h m nhä . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
57
57
Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc q - sai
ph¥n chung nhau mët h m nhä . . . . . . . . . . . . . .
68
K¸t luªn v · nghà
79
Danh möc cæng tr¼nh li¶n quan ¸n luªn ¡n
80
T i li»u tham kh£o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
1
Mð ¦u
1. Lþ do chån · t i
÷ñc h¼nh th nh tø nhúng n«m ¦u cõa th¸ k XX, vîi nguçn gèc
tø nhúng cæng tr¼nh cõa J. Hadamard, E. Picard, E. Borel v °c bi»t
cæng tr¼nh n«m 1925 cõa R. Nevanlinna [66], Lþ thuy¸t Nevanlinna luæn
thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc,
ng y c ng ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qu£ s¥u sc v câ nhi·u ùng döng trong
mët sè l¾nh vüc kh¡c nhau cõa to¡n håc nh÷ h¼nh håc phùc [31, 40], lþ
thuy¸t sè [48, 55].
Cèt lãi cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna chõ y¸u n¬m ð hai d¤ng ành lþ,
÷ñc gåi l c¡c ành lþ cì b£n thù nh§t v thù hai. Sü k¸t hñp cõa hai
ành lþ n y cho ta thæng tin v· sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c h m (¡nh x¤)
ph¥n h¼nh. Méi th nh tüu ¤t ÷ñc v· c¡c ành lþ n y th÷íng k²o theo
c¡c ùng döng trong vi»c nghi¶n cùu h m (¡nh x¤) ph¥n h¼nh. Ng÷ñc l¤i
º gi£i quy¸t nhi·u b i to¡n v· h m (¡nh x¤) ph¥n h¼nh, ta công c¦n x¥y
düng nhúng d¤ng ành lþ cì b£n t÷ìng th½ch. Trong thüc t¸ â, chóng
tæi chån · t i T½nh chu©n tc cõa hå h m ph¥n h¼nh mët bi¸n
v b i to¡n duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n
º nghi¶n cùu hai
ùng döng ti¶u biºu v µp ³ cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna. º gi£i quy¸t
÷ñc c¡c v§n · trong luªn ¡n, nh÷ ¢ b¼nh luªn ð tr¶n, khæng ch¿ khai
th¡c sû döng c¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna, chóng tæi
ph£i thi¸t lªp nhúng d¤ng ành lþ cì b£n thù hai phò hñp vîi t¼nh huèng
cõa b i to¡n ang °t ra.
Sau ¥y chóng tæi · cªp chi ti¸t hìn v· bèi c£nh n£y sinh tøng v§n
·.
2
V§n · nghi¶n cùu v· hå chu©n tc ÷ñc khði nguçn tø nhúng n«m
¦u cõa th¸ k XX b¬ng c¡c cæng tr¼nh cõa P. Montel [71], G. Julia [69],
P. Fatou [68]. N«m 1912, P. Montel [71] ÷a ra kh¡i ni»m hå chu©n tc:
Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mi·n D ⊂ C ÷ñc gåi l chu©n tc
n¸u vîi måi d¢y {fn } ⊂ F luæn chùa mët d¢y con {fnk } hëi tö ·u tr¶n
méi tªp con compact cõa D theo kho£ng c¡ch c¦u tîi h m ph¥n h¼nh f
ho°c ∞.
N«m 1931, F. Marty [70] ÷a ra ti¶u chu©n quan trång nhªn bi¸t hå
chu©n tc: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mët mi·n D ⊂ C l
chu©n tc n¸u v ch¿ n¸u tr¶n méi tªp con compact K cõa D, ¤o h m
|f 0 (z)|
cõa f bà ch°n bði mët h¬ng sè C(K) phö thuëc
c¦u f # (z) =
1 + |f (z)|2
K nh÷ng khæng phö thuëc v o f.
Nguy¶n lþ Bloch nâi r¬ng: Méi ành lþ kiºu Picard (ti¶u chu©n cho
mët h m l h¬ng) ·u t÷ìng ùng vîi mët ti¶u chu©n hå chu©n tc. Nh¬m
triºn khai nguy¶n lþ Bloch, n«m 1975, L. Zalcman [60] ÷a ra k¸t qu£
chuyºn sü kiºm tra mët hå chu©n tc v· vi»c ch¿ ra sü khæng tçn t¤i c¡c
d¢y con nhi¹u hëi tö ·u tr¶n c¡c tªp con compact tîi mët h m kh¡c
h¬ng. N«m 1998, æng [61] xem x²t l¤i v§n · tr¶n v ¤t ÷ñc k¸t qu£
quan trång sau: Cho hå F c¡c h m ph¥n h¼nh x¡c ành tr¶n ¾a ìn và
U sao cho måi khæng iºm cõa c¡c h m trong hå F câ bëi ½t nh§t p v
måi cüc iºm câ bëi ½t nh§t q. Cho α l sè thüc thäa m¢n −p < α < q.
Khi â hå F khæng chu©n tc t¤i z0 ∈ U n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i sè thüc
0 < r < 1, d¢y iºm zn : |zn | < r v zn → z0 , d¢y h m fn ∈ F v d¢y
sè thüc d÷ìng ρn → 0+ sao cho gn (ξ) = ραn fn (zn + ρn ξ) hëi tö ·u theo
kho£ng c¡ch c¦u tr¶n méi tªp con compact cõa C ¸n g(ξ), trong â g
l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C, måi khæng iºm v cüc iºm cõa g
câ bëi t÷ìng ùng ½t nh§t p v q. Hìn núa g # (ξ) ≤ g # (0) = 1.
K¸t qu£ tr¶n th÷íng ÷ñc gåi l Bê · Zalcman. º þ r¬ng, khi phõ
ành k¸t luªn trong Bê · Zalcman, ta thu ÷ñc h m hëi tö g l h¬ng.
Trong khi â mët trong nhúng ùng döng µp ³ cõa Lþ thuy¸t Nevan-
3
linna l nâ cho ta ti¶u chu©n º kiºm tra mët h m l h¬ng, ch¯ng h¤n
tø ành lþ cì b£n thù nh§t v ành lþ cì b£n thù hai, ta d¹ d ng nhªn
l¤i ành lþ Picard b²: Mët h m ph¥n h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc l h m
h¬ng n¸u nâ khæng nhªn ba gi¡ trà ph¥n bi»t. Nh÷ vªy, Bê · Zalcman
l c¦u nèi quan trång thuªn ti»n cho vi»c sû döng Lþ thuy¸t Nevanlinna
v o nghi¶n cùu Lþ thuy¸t hå chu©n tc.
Theo quan iºm n¶u tr¶n cõa Bloch, ành lþ Picard b² ùng vîi ti¶u
chu©n chu©n tc sau cõa Montel: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n
mi·n D l chu©n tc n¸u méi h m trong hå bä qua ba gi¡ trà ph¥n bi»t
cho tr÷îc n o â.
Nh¬m l m gi£m sè gi¡ trà m h m bä qua trong ành lþ Picard b²,
n«m 1959, W. Hayman [24] ¢ chùng minh mët ành lþ kiºu Picard cho
h m v ¤o h m: Mët h m ph¥n h¼nh f l h m h¬ng n¸u f khæng ¥u
tri»t ti¶u v f (k) khæng nhªn gi¡ trà 1, trong â k l sè nguy¶n d÷ìng
cho tr÷îc. Düa theo nguy¶n lþ Bloch, W. Hayman ([26], V§n · 5.11) ¢
÷a ra gi£ thuy¸t v· t½nh chu©n tc cõa hå c¡c h m ph¥n h¼nh t÷ìng ùng
vîi ành lþ tr¶n. K¸t hñp ti¶u chu©n Marty v Lþ thuy¸t Nevanlinna, D.
Drasin [13] ¢ tr£ líi gi£ thuy¸t n y trong tr÷íng hñp hå c¡c h m ch¿nh
h¼nh. Sau â, Y. X. Gu [19] ¢ tr£ líi gi£ thuy¸t cõa Hayman nh÷ sau:
Cho k l sè nguy¶n d÷ìng, mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mi·n D
trong m°t ph¯ng phùc, khæng ¥u tri»t ti¶u s³ chu©n tc n¸u f (k) 6= 1
( ¤o h m c§p k cõa f khæng nhªn gi¡ trà 1) vîi måi f ∈ F.
Chó þ r¬ng trong k¸t qu£ cõa Gu, h m c¦n tr¡nh tîi hai gi¡ trà (méi
f v f (k) tr¡nh mët gi¡ trà). Trong mët sü cè gng nh¬m gi£m sè iºm
xuèng mët, n«m 1989, W. Schwick [49] ¤t ÷ñc k¸t qu£ t÷ìng tü m ð
â i·u ki»n tr¶n v· ¤o h m ÷ñc thay th¸ bði (f n )(k) 6= 1, vîi n, k l
sè tü nhi¶n cho tr÷îc thäa m¢n n ≥ k + 3. Trong tr÷íng hñp hå c¡c h m
ch¿nh h¼nh, Schwick chùng minh i·u ki»n n ≥ k + 3 câ thº gi£m th nh
n ≥ k + 1. N«m 2010, J. M. Chang [9] công ¢ têng qu¡t k¸t qu£ cõa Gu
v nhªn ÷ñc k¸t qu£: Hå F c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng iºm
tr¶n mi·n D s³ chu©n tc n¸u f (k) − 1 câ nhi·u nh§t k khæng iºm ph¥n
4
bi»t vîi méi f ∈ F, trong â k l sè nguy¶n d÷ìng. Nhi·u cæng tr¼nh
kh¡c nh÷ X. C. Pang v L. Zalcman [42, 43], M. L. Fang v L. Zalcman
[16], P. C. Hu v D. W. Meng [29], L. Yang [59], W. Bergweiler v J. K.
Langley [5] công ¢ nghi¶n cùu ti¶u chu©n cho hå chu©n tc c¡c h m
ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n khæng iºm cõa c¡c a thùc ¤o h m cö thº.
Trong bèi c£nh nh÷ vªy, chóng tæi °t ra v§n · thù nh§t trong luªn
¡n l : Nghi¶n cùu ti¶u chu©n cho hå chu©n tc ùng vîi i·u ki»n tr¶n
a thùc ¤o h m têng qu¡t. V§n · n y ÷ñc gi£i quy¸t trong Ch÷ìng 1
cõa luªn ¡n.
Li¶n quan ch°t ch³ tîi kh¡i ni»m hå chu©n tc l kh¡i ni»m h m chu©n
tc, nâ ÷ñc bt ¦u nghi¶n cùu tø c¡c cæng tr¼nh cõa K. Noshiro [41],
O. Lehto v K. L. Virtanen [34]. Mët h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn
và U ÷ñc gåi l chu©n tc n¸u hå {f ◦ τ : τ ∈ T } chu©n tc tr¶n U,
trong â T l tªp t§t c£ c¡c ¡nh x¤ b£o gi¡c cõa U v o ch½nh nâ. Lehto
v Virtanen ch¿ ra r¬ng: H m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U ⊂ C l
chu©n tc khi v ch¿ khi supz∈U (1 − |z|2 )f # (z) < ∞. K½ hi»u N l tªp
c¡c h m ph¥n h¼nh chu©n tc tr¶n U. V· þ ngh¾a h¼nh håc, vîi mët h m
|z − w|
chu©n tc f, ta luæn câ χ(f (z), f (w)) ≤ ||f ||N supξ∈[z,w]
, trong
1 − |ξ|2
â ||f ||N = supz∈U (1 − |z|2 )f # (z).
Quan s¡t k¸t qu£ tr¶n cõa Lehto v Virtanen, C. Pommerenke [45]
¢ ÷a ra c¥u häi: Cho sè thüc M > 0, li»u câ tçn t¤i tªp E húu h¤n
sao cho vîi méi h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U thäa m¢n i·u ki»n
(1 − |z|2 )f # (z) ≤ M vîi måi z ∈ f −1 (E) th¼ f l h m chu©n tc? N«m
1974, P. Lappan [32] ¢ tr£ líi m¤nh m³ cho c¥u häi tr¶n, æng ch¿ ra tçn
t¤i tªp E ⊂ C gçm 5 iºm ph¥n bi»t.
N«m 1995, A. Hinkkanen [28] v P. Lappan [33] ¢ ëc lªp chùng minh
k¸t qu£ t÷ìng tü cho hå chu©n tc: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n
mi·n D ⊂ C l chu©n tc khi v ch¿ khi vîi méi tªp compact K ⊂ D,
tçn t¤i tªp con E ⊂ C chùa 5 iºm ph¥n bi»t v h¬ng sè d÷ìng M sao
cho sup{f # (z) : f ∈ F, z ∈ f −1 (E) ∩ K} < M.
5
V§n · nghi¶n cùu ch½nh thù hai trong luªn ¡n l : Thi¸t lªp c¡c d¤ng
ành lþ Lappan cho tr÷íng hñp ½t hìn 5 iºm. V§n · n y ÷ñc gi£i
quy¸t trong Ch÷ìng 2 cõa luªn ¡n.
Vi»c nghi¶n cùu sü x¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n
v· nghàch £nh cõa mët tªp hñp iºm ÷ñc khði nguçn tø cæng tr¼nh
cõa Nevanlinna [67] n«m 1926, æng chùng minh r¬ng: N¸u hai h m ph¥n
h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc câ còng £nh ng÷ñc khæng t½nh bëi cõa 5 iºm
ph¥n bi»t th¼ chóng tròng nhau v chóng l biºu di¹n ph¥n tuy¸n t½nh
cõa nhau n¸u câ còng £nh ng÷ñc t½nh c£ bëi cõa 4 iºm ph¥n bi»t. Kº
tø â, v§n · n y thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc
trong v ngo i n÷îc nh÷: H. H. Kho¡i [30], D. D. Th¡i [52], T. V. T§n
[23, 52], T. T. H. An [1], H. T. Ph֓ng [44], S. . Quang [47], V. H. An
[2], G. Gundersen [20], C. C. Yang [35], M. Shirosaki [50], S. Mori [22].
Khi x²t b i to¡n duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n nghàch £nh
cõa a thùc ¤o h m d¤ng f n f 0 , n«m 1997, C. C. Yang v X. H. Hua [57]
chùng minh r¬ng: N¸u hai h m ph¥n h¼nh f v g kh¡c h¬ng sao cho c¡c
a thùc ¤o h m f n f 0 −1 v g n g 0 −1 câ còng khæng iºm t½nh c£ bëi (vîi
n nguy¶n d÷ìng n o â, n ≥ 11) th¼ f = c1 ecz v g = c2 e−cz ho°c f = tg,
trong â c¡c h¬ng sè c1 , c2 , c v t thäa m¢n 4(c1 c2 )n+1 c2 = −1, tn+1 = 1.
Kº tø ¥y, nhi·u nh to¡n håc ¢ thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ theo h÷îng
nghi¶n cùu n y cho c¡c d¤ng a thùc ¤o h m kh¡c nhau: K. Boussaf,
A. Escassut v J. Ojeda [6], R. S. Dyavanal [14], J. Grahl v S. Nevo
[21], C. C. Yang v H. X. Yi [58], M. L. Fang [15], . . . . Chó þ r¬ng khi
x²t nhúng d¤ng a thùc ¤o h m kh¡c nhau, c¡c t¡c gi¢ công ¢ thi¸t
lªp ÷ñc c¡c kiºu ành lþ cì b£n thù hai t÷ìng th½ch.
Lþ thuy¸t Nevanlinna ¢ ÷ñc nghi¶n cùu cho to¡n tû q - sai ph¥n
trong cæng tr¼nh [4] n«m 2007 cõa R. G. Halburd v c¡c cëng sü. Kº tø
â, vi»c nghi¶n cùu ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna cho to¡n tû q
- sai ph¥n ¢ thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc tr¶n
th¸ giîi nh÷ J. Zhang v R. Korhonen [62], A. Fletcher, J. K. Langley
v J. Meyer [18], T. B. Cao, K. Liu v N. Xu [7], K. Liu v X. Qi [36].
6
Hi»n nay, c¡c nghi¶n cùu theo h÷îng n y tªp trung v o c¡c v§n ·: sü
duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh k¸t hñp vîi a thùc q - sai ph¥n, ph¥n
bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n, ph÷ìng tr¼nh q - sai ph¥n. V· v§n
· ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n, n«m 2010, J. Zhang v R.
Korhonen [62] chùng minh mët k¸t qu£ ph¥n bè gi¡ trà kiºu Hayman
cho a thùc q - sai ph¥n d¤ng f n (z)f (qz) çng thíi c¡c æng công chùng
minh k¸t qu£ duy nh§t kiºu Yang - Hua cho a thùc q - sai ph¥n: Cho
f (z) v g(z) l hai h m ph¥n h¼nh (nguy¶n) si¶u vi»t vîi bªc khæng. Gi£
sû r¬ng q l h¬ng sè phùc kh¡c khæng v n l mët sè nguy¶n d÷ìng thäa
m¢n n ≥ 8 (n ≥ 6). N¸u f n (z)f (qz) − 1 v g n (z)g(qz) − 1 câ còng sè
khæng iºm v cüc iºm kº c£ bëi th¼ f ≡ tg, trong â t l h¬ng sè thäa
m¢n tn+1 = 1. N«m 2015, Q. Zhao v J. Zhang [64] chùng minh r¬ng:
(f n (z)f (qz + c))(k) − 1 câ væ h¤n khæng iºm n¸u f (z) l h m ph¥n h¼nh
si¶u vi»t vîi bªc khæng, trong â q 6= 0, c l c¡c sè phùc v n, k l c¡c
sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n n > k + 5. Hìn núa, Q. Zhao v J. Zhang
[64] công chùng minh ành lþ duy nh§t t÷ìng ùng: N¸u hai h m nguy¶n
si¶u vi»t f (z) v g(z) vîi bªc khæng thäa m¢n (f n (z)f (qz + c))(k) − 1 v
(g n (z)g(qz + c))(k) − 1 câ còng sè khæng iºm kº c£ bëi th¼ f ≡ tg, trong
â q 6= 0, c l c¡c sè phùc, n, k l c¡c sè nguy¶n d÷ìng v t l h¬ng sè
thäa m¢n tn+1 = 1, n > 2k + 5.
V§n · nghi¶n cùu thù ba trong luªn ¡n l : Mð rëng k¸t qu£ cõa Zhao
v Zhang khi thay f n bði mët a thùc P (f ). V§n · n y ÷ñc gi£i quy¸t
trong Ch÷ìng 3 cõa luªn ¡n.
2. Möc ½ch cõa · t i luªn ¡n
2.1.
Möc ½ch thù nh§t cõa · t i luªn ¡n l thi¸t lªp ti¶u chu©n chu©n
tc cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh èi vîi tr÷íng hñp a thùc ¤o h m têng
qu¡t, thay v¼ c¡c a thùc ¤o h m cö thº nh÷ c¡c t¡c gi£ i tr÷îc.
2.2.
Möc ½ch thù hai cõa · t i luªn ¡n l thi¸t lªp ti¶u chu©n chu©n
tc cho h m ph¥n h¼nh v cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n ¤o
h m c¦u bà ch°n tr¶n tªp t¤o £nh cõa mët sè gi¡ trà.
2.3.
Möc ½ch thù ba cõa · t i luªn ¡n l nghi¶n cùu b i to¡n x¡c ành
7
duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa a thùc ¤o h m
v q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n k¸t hñp vîi ¤o
h m.
3. èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu
Hå chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh, h m ph¥n h¼nh chu©n tc, b i
to¡n duy nh§t h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m v q - sai ph¥n, ph¥n
bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n k¸t hñp ¤o h m.
4. Ph÷ìng ph¡p v cæng cö nghi¶n cùu
Luªn ¡n sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p v kÿ thuªt cõa Gi£i t½ch phùc mët
bi¸n, Lþ thuy¸t Nevanlinna.
5. Þ ngh¾a khoa håc
Luªn ¡n gâp ph¦n l m s¥u sc th¶m nhúng nghi¶n cùu v· ùng döng
cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna trong c¡c b i to¡n v· hå chu©n tc, h m chu©n
tc, b i to¡n duy nh§t h m ph¥n h¼nh v ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc
¤o h m.
6. C§u tróc v k¸t qu£ luªn ¡n
Ngo i c¡c ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, t i li»u tham kh£o, Luªn ¡n ÷ñc
chia l m ba ch÷ìng t÷ìng ùng vîi ba v§n · nghi¶n cùu ch½nh:
Ch÷ìng 1 d nh cho vi»c nghi¶n cùu ti¶u chu©n chu©n tc cho hå c¡c
h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n v· tªp khæng iºm cõa a thùc ¤o h m.
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu hå chu©n tc theo quan iºm
cõa Bloch. Bê · Zalcman âng vai trá quan trång trong c¡c k¸t qu£
cõa chóng tæi. º chùng minh c¡c k¸t qu£ cõa m¼nh, mët m°t chóng
tæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Picard, m°t kh¡c chóng tæi ph£i sû lþ khâ
kh«n g°p ph£i trong vi»c ¡p döng Bê · Zalcman trong t¼nh huèng ành
lþ kiºu Picard cõa chóng tæi khæng cho ti¶u chu©n h m h¬ng. ành lþ
1.8, ành lþ 1.10 v ành lþ 1.12 l c¡c ti¶u chu©n cho hå chu©n tc cõa
c¡c h m ph¥n h¼nh, ch¿nh h¼nh d÷îi i·u ki»n khæng iºm cõa a thùc
¤o h m têng qu¡t. Trong ành lþ 1.8, cho q = 1 v `1 = +∞, chóng
tæi nhªn ÷ñc H» qu£ 1.9. Khi n = 0, k = 1, H» qu£ 1.9 nhªn l¤i k¸t
qu£ cõa Schwick [49] cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh. Trong ành lþ 1.10,
8
cho q = 1 v `1 = +∞, chóng tæi nhªn ÷ñc H» qu£ 1.11. H» qu£ 1.11
v ành lþ 1.12 l têng qu¡t k¸t qu£ cõa Schwick [49] cho hå c¡c h m
nguy¶n. Nh÷ vªy ành lþ 1.8, ành lþ 1.10 v ành lþ 1.12 l nhúng mð
rëng thüc sü c¡c k¸t qu£ cõa W. Schwick [49] n«m 1989. Ti¸p theo l
ành lþ 1.19 v· hå chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng
iºm. Cho n = 0, k = 1, n1 = 1, uI (z) = 0 vîi måi I, khi â ành lþ 1.19
nhªn l¤i mët k¸t qu£ cõa J. M. Chang [9].
Nëi dung Ch÷ìng 1 ÷ñc cæng bè trong c¡c cæng tr¼nh [12, 53].
Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu h m ph¥n h¼nh chu©n tc theo quan iºm cõa
Lappan. Cö thº, chóng tæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Lappan cho h m
chu©n tc vîi sè iºm ½t hìn n«m.
N«m 2011, R. Aulaskari v J. Ratty
a [3] ¢ ÷a ra kh¡i ni»m h m
ϕ - chu©n tc nh÷ sau: Cho h m t«ng ϕ : [0, 1) → (0, ∞) thäa m¢n
ϕ(|a + z/ϕ(|a|)|)
ϕ(r)(1 − r) → ∞ khi r −→ 1− v Ra (z) =
hëi tö ·u
ϕ(|a|)
tr¶n méi tªp con compact cõa C ¸n 1 khi |a| → 1− (ta gåi ϕ l h m
t«ng trìn). Mët h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U ÷ñc gåi l ϕ f # (z)
chu©n tc n¸u supz∈U
< +∞. K½ hi»u N ϕ l tªp c¡c h m ph¥n
ϕ(|z|)
h¼nh ϕ - chu©n tc tr¶n U. V· m°t h¼nh håc, vîi mët h m ϕ - chu©n
tc f, ta luæn câ χ(f (z), f (w)) ≤ ||f ||N ϕ supξ∈[z,w] ϕ(|ξ|)|z − w|, trong â
f # (z)
||f ||N ϕ = supz∈U
.
ϕ(|z|)
Kh¡i ni»m ϕ - chu©n tc nh÷ tr¶n khæng bao h m kh¡i ni»m chu©n
tc. Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi mð rëng kh¡i ni»m h m ϕ - chu©n tc
nâi tr¶n tîi mët lîp c¡c h m ϕ - chu©n tc rëng hìn v trong tr÷íng
hñp °c bi»t cõa ϕ, chóng tæi nhªn l¤i kh¡i ni»m h m chu©n tc thæng
th÷íng. Sau â, chóng tæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Lappan cho c¡c
tr÷íng hñp m tªp E chùa 1, 3 v 4 iºm. ành lþ 2.5 v ành lþ 2.6 l
c¡c ành lþ kiºu Lappan cho h m ϕ - chu©n tc vîi ba iºm, bèn iºm.
1
Khi chån ϕ(|z|) =
, chóng tæi nhªn ÷ñc c¡c H» qu£ 2.7 v 2.8
1 − |z|
cho h m chu©n tc theo ngh¾a thæng th÷íng.
9
èi vîi hå chu©n tc, chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 2.9, ành lþ 2.10,
ành lþ 2.11 v ành lþ 2.12, chóng l c¡c k¸t qu£ kiºu Lappan vîi mët,
ba v bèn iºm. ành lþ 2.10 v ành lþ 2.12 çng thíi têng qu¡t ti¶u
chu©n chu©n tc cõa Montel.
C¡c ành lþ kiºu Lappan cho c¡c tr÷íng hñp 3 v 4 iºm ÷ñc thi¸t
lªp düa tr¶n i·u ki»n bà ch°n cõa ¤o h m c¦u cõa c¡c h m ang x²t
v ành lþ cì b£n thù hai cõa Nevanlinna âng vai trá quan trång trong
chùng minh (l÷u þ r¬ng º sû döng ành lþ n y, chóng ta c¦n ½t nh§t 3
iºm). ành lþ kiºu Lappan cho tr÷íng hñp câ óng 1 iºm ÷ñc düa
tr¶n i·u ki»n bà ch°n cõa ¤o h m c¦u cõa mët a thùc ¤o h m. º
chùng minh k¸t qu£ n y, chóng tæi c¦n sû döng mët d¤ng ành lþ cì
b£n thù hai kiºu Hayman cho h m v ¤o h m. K¸t qu£ kiºu Lappan
vîi óng 1 iºm ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Vîi c¡c sè nguy¶n d÷ìng n, k
thäa m¢n n > k + 3 + k2 , hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mi·n D, måi
khæng iºm cõa f câ bëi khæng b² hìn k s³ chu©n tc n¸u vîi méi tªp
compact K ⊂ D, tçn t¤i a ∈ C \ {0} v h¬ng sè d÷ìng M = M (K) sao
cho (f n f (k) )# (z) ≤ M, vîi måi f ∈ F v måi z ∈ K ∩ {f n f (k) = a}.
Mët i·u thó và l m°c dò ÷ñc nh¼n nhªn theo mët h÷îng kh¡c, k¸t
qu£ tr¶n çng thíi mð rëng k¸t qu£ cõa Pang-Zalcman [42] tîi tr÷íng
hñp f n f (k) − a câ khæng iºm.
Nëi dung Ch÷ìng 2 ÷ñc cæng bè trong cæng tr¼nh [51].
Ch÷ìng cuèi còng cõa luªn ¡n tªp trung v o vi»c nghi¶n cùu b i to¡n
x¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n v· £nh ng÷ñc cõa a
thùc ¤o h m v a thùc q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc ¤o
h m k¸t hñp vîi q - sai ph¥n.
¦u ti¶n, chóng tæi nghi¶n cùu b i to¡n x¡c ành duy nh§t h m ph¥n
h¼nh d÷îi i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa a thùc ¤o h m [f n P (f )](k) , trong
â P (z) l a thùc câ d¤ng
P (z) = (z − b1 )m1 . . . (z − bv )mv Q(z),
v, mi , i = 1, . . . , v l c¡c sè nguy¶n d÷ìng v Q(z) l mët a thùc.
10
Ti¸p theo, chóng tæi nghi¶n cùu ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna
cho to¡n tû q - sai ph¥n trong c¡c b i to¡n: x¡c ành duy nh§t h m ph¥n
h¼nh d÷îi i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa a thùc ¤o h m k¸t hñp vîi q - sai
ph¥n d¤ng [P (f (z))f (qz + c)](k) , ph¥n bè gi¡ trà kiºu Hayman cho a
thùc ¤o h m k¸t hñp q - sai ph¥n d¤ng [P (f (z))f (qz + c)](k) , trong â
P (f ) l a thùc kh¡c h¬ng v q 6= 0, c l c¡c h¬ng sè phùc.
K¸t qu£ ¦u ti¶n cõa ch÷ìng n y l ành lþ 3.10 v· sü duy nh§t cõa
c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m chung nhau mët h m nhä. C¡c
k¸t qu£ ti¸p theo cõa Ch÷ìng 3 l ành lþ 3.14 v ành lþ 3.15 v· ph¥n
bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n v ¤o h m cõa c¡c h m ph¥n h¼nh,
ành lþ 3.16 v· sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc q - sai
ph¥n v ¤o h m chung nhau mët h m nhä. Trong ành lþ 3.14, khi
m = 1, n ≥ 2k + 6, chóng tæi nhªn l¤i k¸t qu£ cõa Zhao v Zhang [64].
Khi m = 1, n ≥ 5, ành lþ 3.15 l c£i ti¸n mët k¸t qu£ cõa Zhao v
Zhang [64]. ành lþ 3.16 l mët mð rëng k¸t qu£ duy nh§t cho a thùc
¤o h m k¸t hñp q - sai ph¥n cõa Zhao v Zhang [64].
Nëi dung cõa Ch÷ìng 3 ÷ñc cæng bè trong cæng tr¼nh [54].
K¸t qu£ nghi¶n cùu cõa luªn ¡n âng gâp mët ph¦n v o · t i nghi¶n
cùu cì b£n Nafosted Lþ thuy¸t Nevanlinna v hå chu©n tc c¡c ¡nh x¤
ph¥n h¼nh cõa PGS. TSKH Tr¦n V«n T§n v · t i c§p ¤i håc Hå
chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh v ùng döng cõa t¡c gi£. C¡c k¸t qu£
cõa luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i hëi nghà: ¤i sè - tæpæ - h¼nh håc, Qu£ng
Ninh 2015, Seminar Gi£i t½ch - ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n 2012 2016, Seminar nhâm nghi¶n cùu t¤i Vi»n To¡n håc.
11
Ch֓ng 1
Hå chu©n tc c¡c h m ph¥n h¼nh
1.1
Mët sè ki¸n thùc cì b£n trong Lþ thuy¸t Nevanlinna
Trong ph¦n n y, chóng tæi nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m v· h m Nevanlinna v mët sè k¸t qu£ cì b£n trong Lþ thuy¸t Nevalinna ÷ñc sû döng
trong luªn ¡n.
Mët divisor ν tr¶n C l ¡nh x¤ ν : C −→ Z sao cho {z : ν(z) 6= 0} l
mët tªp ríi r¤c.
Cho r l mët sè thüc d÷ìng, kþ hi»u D(0, r) = {z ∈ C : |z| < r}. Cho
ν l mët divisor tr¶n C. Khi â, h m ¸m cõa divisor ν ÷ñc ành ngh¾a
bði
Zr
X
n(t)
N (r, ν) =
dt (r > 1), trong â n(t) =
ν(z).
t
1
z∈D(0,t)
Cho f l mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Ta k½ hi»u νf l divisor
cüc iºm cõa f v divisor ν f ÷ñc ành ngh¾a bði ν f (z) = min{νf (z), 1}.
H m ¸m t¤i c¡c cüc iºm v cüc iºm khæng kº bëi cõa f ÷ñc ành
ngh¾a t÷ìng ùng bði
N (r, f ) = N (r, νf ) v N (r, f ) = N (r, ν f ).
Cho a l mët sè phùc, khi â divisor a - iºm cõa f ÷ñc ành ngh¾a
bði νfa = ν1/(f −a) . Divisor ν af ÷ñc ành ngh¾a bði ν af = ν 1/(f −a) . H m
12
¸m t¤i c¡c a - iºm v a - iºm khæng kº bëi cõa f ÷ñc ành ngh¾a
t÷ìng ùng bði
1
1
) = N (r, νfa ) v N (r,
) = N (r, ν af ).
f −a
f −a
1
1
Ta câ N (r,
) ≤ N (r,
) vîi måi sè phùc a.
f −a
f −a
Cho m l mët sè nguy¶n d÷ìng, khi â divisor ν f,(m ÷ñc ành ngh¾a
bði
1 n¸u ν (z) ≥ m
f
ν f,(m (z) =
.
0 n¸u ν (z) < m
f
N (r,
H m ¸m t÷ìng ùng vîi divisor ν f,(m ÷ñc ành ngh¾a bði
N (m (r, f ) = N (r, ν f,(m ).
Cho a l mët sè phùc v m l mët sè nguy¶n d÷ìng, h m ¸m
1
) ÷ñc ành ngh¾a bði
N (m (r,
f −a
1
N (m (r,
) = N (r, ν 1/(f −a),(m ).
f −a
H m x§p x¿ cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði
1
m(r, f ) =
2π
Z2π
log+ f (reiθ ) dθ,
0
trong â log+ x = max{log x, 0} vîi måi x ≥ 0.
H m °c tr÷ng cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði
T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ).
Ta th§y r¬ng N (r, f ) ≤ N (r, f ) ≤ T (r, f ).
Cho f l h m ph¥n h¼nh, khi â bªc cõa f k½ hi»u l ρf v ÷ñc ành
ngh¾a bði
log T (r, f )
.
log r
r−→∞
Sau ¥y, chóng tæi ph¡t biºu Bê · ¤o h m logarithmic, ành lþ cì b£n
thù nh§t v ành lþ cì b£n thù hai.
ρf = lim sup
13
Bê · 1.1
([25]). (Bê · ¤o h m logarithmic) Cho f l h m ph¥n
h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v k l sè nguy¶n d÷ìng. Khi â ¯ng thùc
f (k)
m(r,
) = o(T (r, f ))
f
óng vîi måi r ∈ [1, ∞) ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n.
ành lþ 1.2
([25]). ( ành lþ cì b£n thù nh§t) Cho f l h m ph¥n
h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v a l mët sè phùc. Khi â
T (r,
Nhªn x²t 1.1.
1
) = T (r, f ) + O(1).
f −a
Cho f l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v a l mët
sè phùc. Khi â
1
) ≤ T (r, f ) + O(1),
f −a
1
N (r,
) ≤ T (r, f ) + O(1).
f −a
N (r,
ành lþ 1.3
([25]). ( ành lþ cì b£n thù hai) Cho f l h m ph¥n
h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Cho a1 , . . . , aq l q sè phùc ph¥n bi»t trong C.
Khi â
(q − 1)T (r, f ) 6 N (r, f ) +
q
X
i=1
N (r,
1
) + S(r, f )
f − ai
óng vîi måi r ∈ [1, ∞) ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n, trong
â S(r, f ) = o(T (r, f )) khi r −→ ∞.
1.2
Hå chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu ùng döng cõa Lþ thuy¸t
Nevanlinna trong b i to¡n v· hå chu©n tc c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u
ki»n v· tªp khæng iºm cõa a thùc ¤o h m. Chóng tæi mð rëng c¡c
v§n · ÷ñc nghi¶n cùu bði Schwick v Chang tîi tr÷íng hñp a thùc
14
¤o h m têng qu¡t. C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y ÷ñc cæng bè trong c¡c
b i b¡o [12, 53].
1.2.1. Ti¶u chu©n chu©n tc èi vîi hå c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi
i·u ki»n khæng iºm cõa a thùc ¤o h m
Trong ph¦n n y, chóng tæi chùng minh mët sè mð rëng k¸t qu£ cõa
Schwick [49]. C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc cæng bè trong [12]. Trong [49],
Schwick khæng dòng k¸t qu£ cõa Hayman º chùng minh c¡c k¸t qu£ cõa
m¼nh, t§t nhi¶n æng công câ sû döng Bê · Zalcman n«m 1975. Ngo i
ra, æng cán sû döng Bê · ¤o h m logarithmic cho mët d¢y c¡c h m
thuëc hå sao cho câ c¡c h» sè chung. Ph÷ìng ph¡p cõa chóng tæi kh¡c
cõa Schwick, thi¶n v· têng qu¡t b§t ¯ng thùc kiºu ành lþ cì b£n thù
hai cõa Hayman.
Tr÷îc khi ph¡t biºu v chùng minh c¡c k¸t qu£, chóng tæi tr¼nh b y
mët sè bê · c¦n thi¸t cho vi»c chùng minh.
Bê · 1.4
(Bê · Zalcman, [61]). Cho hå F c¡c h m ph¥n h¼nh x¡c
ành tr¶n ¾a ìn và U sao cho måi khæng iºm cõa c¡c h m trong hå F
câ bëi ½t nh§t p v måi cüc iºm câ bëi ½t nh§t q. Cho α l sè thüc thäa
m¢n −p < α < q. Khi â hå F khæng chu©n tc t¤i z0 ∈ U khi v ch¿
khi tçn t¤i
(i) sè thüc 0 < r < 1;
(ii) d¢y iºm zn : |zn | < r, zn → z0 ;
(iii) d¢y h m fn ∈ F ;
(iv) d¢y sè thüc d÷ìng ρn → 0+ ;
sao cho gn (ξ) = ραn fn (zn + ρn ξ) hëi tö ·u theo kho£ng c¡ch c¦u tr¶n méi
tªp con compact cõa C ¸n g(ξ), trong â g l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng
tr¶n C, måi khæng iºm v cüc iºm cõa g câ bëi t÷ìng ùng ½t nh§t p v
q. Hìn núa g # (ξ) ≤ g # (0) = 1, do â bªc cõa g khæng qu¡ 2.
Nhªn x²t 1.2
([61, 9]). N¸u f 6= 0 vîi måi f ∈ F th¼ kh¯ng ành cõa
Bê · 1.4 v¨n óng khi −∞ < α < 1.
Bê · 1.5
([11]). Cho g l h m nguy¶n v M l mët h¬ng sè d÷ìng.
15
N¸u g # (ξ) 6 M vîi måi ξ ∈ C, khi â g câ bªc khæng qu¡ 1.
Nhªn x²t 1.3.
Trong Bê · 1.4, n¸u F l mët hå c¡c h m ch¿nh h¼nh,
khi â theo ành lþ Hurwitz, g công l mët h m ch¿nh h¼nh. Do â, theo
Bê · 1.5, bªc cõa g khæng qu¡ 1.
Cho g l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng trong m°t ph¯ng phùc C. Khi â,
mët a thùc ¤o h m P cõa g ÷ñc x¡c ành bði
P (z) =
n
X
p
Y
αi (z) (g (j) (z))Sij ,
i=1
j=0
trong â Sij (1 6 i 6 n, 0 6 j 6 p) l c¡c sè nguy¶n khæng ¥m
v αi 6≡ 0 (1 6 i 6 n) l c¡c h m ph¥n h¼nh nhä cõa g, ngh¾a l
T (r, αi ) = o(T (r, g)) khi r −→ ∞. °t
d(P ) = min
16i6n
p
X
Sij v θ(P ) = max
16i6n
j=0
p
X
jSij .
j=0
N«m 2002, J. D. Hinchliffe [27] ¢ têng qu¡t ành lþ cõa W. Hayman
[25] v C. T. Chuang [10] v nhªn ÷ñc k¸t qu£ sau ¥y.
M»nh · 1.6.
Cho g l h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t v P (z) l a thùc ¤o
h m kh¡c h¬ng cõa g thäa m¢n d(P ) ≥ 2. Khi â
T (r, g) 6
θ(P ) + 1
1
1
1
N (r, ) +
N (r,
) + o(T (r, g))
d(P ) − 1
g
d(P ) − 1
P −1
óng vîi måi r ∈ [1, +∞) n¬m ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu
h¤n.
º chùng minh c¡c k¸t qu£ trong ph¦n n y, tr÷îc h¸t chóng tæi têng
qu¡t k¸t qu£ cõa Hinchliffe nh÷ sau.
Bê · 1.7.
Cho a1 , . . . , aq l c¡c sè phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng. Cho g l
mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v P (z) l mët a thùc ¤o h m
kh¡c h¬ng cõa g vîi d(P ) ≥ 2. Khi â
q
X
1
1
1
qθ(P ) + 1
) + o(T (r, g))
T (r, g) 6
N (r, ) +
N (r,
qd(P ) − 1
g
qd(P ) − 1 j=1
P − aj
- Xem thêm -
.PDF 
93 
261 
64 
