Tài liệu Tính chất của môđun artin

1 Lêi c¶m ¬n T«i xin tr©n träng c¶m ¬n TS. NguyÔn ThÞ Dung, ng­êi thÇy trùc tiÕp h­íng dÉn vµ tËn t×nh chØ b¶o, gióp ®ì t«i, t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n GS. TSKH NguyÔn Tù C­êng, GS. TSKH Lª TuÊn Hoa, PGS. TS NguyÔn Quèc Th¾ng ë ViÖn To¸n häc Hµ Néi, cïng toµn thÓ Ban Gi¸m hiÖu tr­êng §¹i häc S­ ph¹m Th¸i Nguyªn vµ phßng §µo t¹o sau §¹i häc, tr©n träng c¶m ¬n PGS. TS Lª Thanh Nhµn cïng c¸c thÇy c« gi¸o khoa To¸n tr­êng §¹i häc S­ ph¹m Th¸i Nguyªn ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp t¹i tr­êng vµ thùc hiÖn ®Ò tµi nµy. Cuèi cïng t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ®Õn cha mÑ, ng­êi th©n, b¹n bÌ, ®Æc biÖt lµ chång t«i, ®· lu«n ñng hé, ®éng viªn vµ khuyÕn khÝch t«i hoµn thµnh kÕ ho¹ch häc tËp, còng nh­ thùc hiÖn thµnh c«ng ®Ò tµi cña m×nh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2 Më ®Çu Cho duy nhÊt mçi lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa ph­¬ng, Noether víi i®ªan cùc ®¹i (R, m) m; M R-m«®un lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh AnnR M/pM = p, h÷u h¹n sinh vµ M, A lµ R-m«®un Artin. §èi víi theo Bæ ®Ò Nakayama ta lu«n cã tÝnh chÊt víi mäi i®ªan nguyªn tè p chøa AnnR M . Mét c©u hái tù nhiªn ®­îc ®Æt ra lµ liÖu r»ng cã mét tÝnh chÊt t­¬ng tù nh­ vËy cho mäi m«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n bÊt kú hay kh«ng. N. T. C­êng vµ L. T. Nhµn [5] ®· chØ ra r»ng nh×n chung c©u tr¶ lêi cho c©u hái trªn lµ phñ ®Þnh, vµ ë ®ã, hä ®· giíi thiÖu mét líp m«®un Artin tho¶ m·n c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh cña c©u hái trªn nh­ sau: A ®­îc gäi lµ tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) (hay cßn gäi lµ tÝnh chÊt linh ho¸ tö) nÕu AnnR (0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnR A). (∗) ý nghÜa ®Çu tiªn cña tÝnh chÊt (∗) lµ "lµm m¹nh" thªm c«ng cô nghiªn cøu m«®un Artin b»ng lý thuyÕt chiÒu. Ta ®· biÕt r»ng mét trong nh÷ng c«ng cô ®Ó nghiªn cøu m«®un Artin lµ kh¸i niÖm chiÒu Noether ®­îc ®­a ra bëi R. N. Robert [14] vµ D. Kirby [7]. Bªn c¹nh ®ã, mét c¸ch tù nhiªn, ng­êi ta còng dïng kh¸i niÖm m«®un Artin. NÕu R chiÒu Krull dimR A = dim R/ AnnR A ®Ó nghiªn cøu lµ vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ th× ®èi ngÉu Matlis cho ta mét t­¬ng ®­¬ng gi÷a ph¹m trï c¸c m«®un Noether vµ m«®un Artin. V× thÕ, trªn vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ, tÝnh chÊt (∗) lu«n tho¶ m·n vµ lu«n cã ®¼ng thøc N-dimRb A = dimRb A, víi mäi R-m«®un Artin A. Tuy nhiªn, trªn vµnh giao ho¸n tuú ý ta chØ cã Artin sao cho N-dimR A 6 dimR A, thËm chÝ tån t¹i nh÷ng m«®un N-dimR A < dimR A (xem [5, VÝ dô 4.1]). Mét vÊn ®Ò ®Æt ra lµ t×m ®iÒu kiÖn khi nµo x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. KÕt qu¶ chÝnh cña [5, MÖnh ®Ò 4.5] chØ ra r»ng nÕu A tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) th× ta cã N-dimR A = dimR A. KÕt qu¶ tiÕp theo vÒ tÝnh chÊt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (∗) trong N. T. C­êng, N. T. Dung vµ http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3 L. T. Nhµn [3] cho phÐp ta nghiªn cøu tÝnh catenary cña tËp gi¸ kh«ng trén lÉn cña mét m«®un h÷u h¹n sinh hiÖu UM (0) M. lµ m«®un con lín nhÊt cña Usupp M = Supp(M/UM (0)) lµ M Gi¶ sö r»ng cã chiÒu nhá h¬n gi¸ kh«ng trén lÉn ph¸t tõ bµi to¸n nghiªn cøu tÝnh chÊt (∗) khi d. KÝ Ta gäi tËp cña m«®un M. XuÊt cho mét líp m«®un Artin ®Æc biÖt lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt qu¶ kh¸ bÊt ngê, ®ã lµ gi¸ kh«ng trén lÉn dimR M = d. Hmd (M ), hä ®· thu ®­îc kÕt Usupp(M ) lµ catenary khi vµ chØ Hmd (M ) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). Ta ®· biÕt r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng h÷u h¹n sinh M, víi i < d Hmi (M ) cña m«®un lµ m«®un Artin vµ líp m«®un nµy nh×n chung còng kh«ng tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗), ngay c¶ khi R lµ vµnh catenary. §iÒu ®ã chÝnh lµ ý t­ëng ®Ó L. T. Nhµn vµ T. N. An [13] tiÕp tôc nghiªn cøu tÝnh chÊt (∗) cho c¸c m«®un Hmi (M ), víi i = 1, . . . , d − 1. Theo M. Brodmann vµ R. Y. Sharp [2], tËp gi¶ support thø i cña M , ký hiÖu lµ PsuppiR (M ) ®­îc ®Þnh nghÜa bëi i−dim(R/p) {p ∈ Spec R | HpRp (Mp ) 6= 0}. Khi ®ã víi mçi i, hä ®­a ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó m«®un m·n tÝnh chÊt (∗), Hmi (M ) tho¶ qua ®ã thu ®­îc tÝnh ®ãng cña tËp gi¶ support cña M vµ víi gi¶ thiÕt nµy, hä më réng c«ng thøc liªn kÕt víi béi cho c¸c m«®un Hmi (M ) cña Brodmann - Sharp. H¬n n÷a, còng qua nghiªn cøu tÝnh chÊt (∗) cho c¸c m«®un R/ AnnR M Hmi (M ), hä thu ®­îc tÝnh catenary phæ dông cña c¸c vµnh vµ tÝnh chÊt kh«ng trén lÉn cña vµnh R/p, Hµng lo¹t c¸c kÕt qu¶ trªn chøng tá r»ng tÝnh chÊt (∗) víi p ∈ Supp M . kh«ng nh÷ng cã ý nghÜa trong viÖc nghiªn cøu c¸c m«®un Artin mµ cßn th«ng qua ®ã cã thÓ hiÓu râ h¬n cÊu tróc cña c¸c m«®un h÷u h¹n sinh. Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i mét c¸ch chi tiÕt c¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh chÊt (∗) ®· nªu ë trªn trong bµi b¸o "On the unmixedness and universal Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 4 catenaricity of rings and local cohomology modules " cña L. T. Nhµn vµ T. N. An ë t¹p chÝ §¹i sè n¨m 2008 vµ mét phÇn bµi b¸o cña N. T. C­êng, N. T. Dung vµ L. T. Nhµn "Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module " trªn t¹p chÝ Communication in Algebra n¨m 2007. LuËn v¨n ®­îc chia lµm hai ch­¬ng. Ch­¬ng I dµnh ®Ó hÖ thèng l¹i mét sè kiÕn thøc vÒ m«®un Artin, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether, vµnh catenary, vµnh thí,... Ch­¬ng II giíi thiÖu vÒ tÝnh chÊt (∗) (tÝnh chÊt linh ho¸ tö) cña m«®un Artin vµ chøng minh ®Æc tr­ng tÝnh catenary cña tËp gi¸ kh«ng trén lÉn Usupp M th«ng qua tÝnh chÊt (∗) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt. Néi dung chÝnh cña ch­¬ng II lµ ®Æc tr­ng cho tÝnh chÊt cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng (∗) Hmi (M ), kÕt qu¶ nµy mang l¹i tÝnh i ®ãng cña tËp gi¶ support PsuppR (M ) vµ më réng ®­îc c«ng thøc liªn kÕt víi béi cña M. Brodmann vµ R. Y. Sharp. H¬n n÷a, còng th«ng qua tÝnh chÊt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa phu¬ng phæ dông cña vµnh víi R/ AnnR M Hmi (M ), (∗) ®Æc tr­ng tÝnh chÊt catenary vµ tÝnh chÊt kh«ng trén lÉn cña vµnh R/p, p ∈ SuppR M . PhÇn kÕt luËn cña luËn v¨n tæng kÕt l¹i toµn bé c¸c kÕt qu¶ ®· ®¹t ®­îc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 5 Ch­¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Trong toµn bé ch­¬ng nµy, ta lu«n ký hiÖu R lµ vµnh giao ho¸n, Noether kh«ng nhÊt thiÕt ®Þa ph­¬ng (gi¶ thiÕt ®Þa ph­¬ng khi cÇn sÏ ®­îc nªu trong tõng tr­êng hîp cô thÓ), M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh, A lµ R-m«®un Artin. Ch­¬ng nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n ®­îc dïng phôc vô cho c¸c chøng minh ë ch­¬ng sau cña luËn v¨n: CÊu tróc cña m«®un Artin, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether, sè béi cña m«®un Artin, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng, tÝnh catenary, catenary phæ dông vµ thí h×nh thøc cña vµnh vµ m«®un,... 1.1 M«®un Artin Cho m lµ mét i®ªan cùc ®¹i cña vµnh R. Nh¾c l¹i r»ng m«®un con m-xo¾n Γm (A) cña A ®­îc ®Þnh nghÜa bëi Γm (A) = [ (0 :A mn ). n≥0 Khi ®ã, ta cã kÕt qu¶ sau. MÖnh ®Ò 1.1.1. (i) Gi¶ sö cùc ®¹i [15, MÖnh ®Ò 1.4, Bæ ®Ò 1.6] A lµ mét R-m«®un Artin kh¸c kh«ng. Khi ®ã chØ cã h÷u h¹n i®ªan m cña R sao cho Γm (A) 6= 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên NÕu c¸c i®ªan cùc ®¹i ph©n biÖt ®ã http://www.Lrc-tnu.edu.vn 6 lµ m1 , . . . , mr th× A = Γm1 (A) ⊕ . . . ⊕ Γmr (A) vµ Supp A = {m1 , . . . , mr }. j ∈ {1, . . . , r}, (ii) Víi mçi mét tù ®¼ng cÊu cña Rmj -m«®un Γmj (A). nÕu s ∈ R \ mj , Do ®ã Γmj (A) th× phÐp nh©n bëi Γmj (A) lµ mét R-m«®un Rmj -m«®un con. §Æc biÖt Amj ∼ = Γmj (A), KÝ hiÖu 1.1.2. cho ta cã cÊu tróc tù nhiªn cña mét vµ víi cÊu tróc nµy, mét tËp con cña con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ s víi mäi j = 1, . . . , r. §Ó cho thuËn tiÖn, tõ giê trë ®i ta ®Æt A = A1 ⊕ . . . ⊕ Ar vµ \ JA = m, m∈Supp A trong ®ã Aj = ∪ (0 :A mnj ) (1 6 j 6 r). Chó ý r»ng khi (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng th× Cho cña R, n>0 JA = m. (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng. Nh¾c l¹i r»ng ký hiÖu bëi b R, ®Çy ®ñ theo t« p« m-adic lµ tËp c¸c líp t­¬ng ®­¬ng cña c¸c d·y Cauchy theo quan hÖ t­¬ng ®­¬ng x¸c ®Þnh bëi c¬ së l©n cËn cña phÇn tö 0 lµ c¸c i®ªan b ®­îc trang bÞ hai phÐp to¸n hai ng«i: phÐp céng, phÐp mt , t = 0, 1, 2, . . .. R b lµm thµnh mét vµnh. nh©n c¸c d·y Cauchy vµ cïng víi hai phÐp to¸n nµy, R Mçi phÇn tö r∈R cã thÓ ®ång nhÊt víi líp t­¬ng ®­¬ng cña d·y Cauchy mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö trong d·y ®Òu lµ MÖnh ®Ò 1.1.3. r (xem [10]). [15, Bæ ®Ò 1.11, HÖ qu¶ 1.12] kh«ng trªn vµnh ®Þa ph­¬ng (R, m). Cho Khi ®ã, A A lµ R-m«®un Artin kh¸c cã cÊu tróc tù nhiªn cña b-m«®un, trong ®ã R b lµ vµnh ®Çy ®ñ theo t«p« m-adic cña R vµ mäi tËp con R b cña A lµ R-m«®un con cña A nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R-m«®un con cña A. Do ®ã, b-m«®un Artin. A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 7 Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, ®Çy ®ñ. §Æt E = E(R/m) lµ bao néi x¹ cña tr­êng thÆng d­ c¸c R/m. KÝ hiÖu D() = HomR (, E) tõ ph¹m trï CR R-m«®un vµ R-®ång cÊu vµo chÝnh nã. Víi mçi R-m«®un M , ®Æt µM : M −→ DD(M ) = HomR (HomR (M, E), E) lµ R-®ång cÊu tù nhiªn cho bëi f ∈ Hom(M, E). víi mäi µM (x)(f ) = f (x), x ∈ M, vµ Khi ®ã ta cã kÕt qu¶ sau cña E. Matlis ®­îc tr×nh bµy trong [9, §Þnh lý 4.2] (xem thªm [15, §Þnh lý 2.1]). MÖnh ®Ò 1.1.4. R-m«®un E (i) lµ Artin. Víi mçi f ∈ HomR (E, E), tån t¹i duy nhÊt af ∈ R : f (x) = af x, ∀x ∈ E. (ii) NÕu (iii) NÕu (iv) th× N lµ R-m«®un Noether, th× D(N ) lµ Artin . A lµ R-m«®un Artin, th× D(A) lµ Noether. Ann M = Ann D(M ), vµ nÕu M lµ R-m«®un sao cho `R (M ) < ∞, `R (D(M )) = `R (M ). 1.2 BiÓu diÔn thø cÊp Lý thuyÕt biÓu diÔn thø cÊp ®­îc ®­a ra bëi I. G. Macdonald [8] ®­îc xem nh­ lµ ®èi ngÉu víi lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬ quen biÕt cho c¸c m«®un Noether vµ ®©y lµ mét c«ng cô h÷u hiÖu ®Ó nghiªn cøu c¸c m«®un Artin. §Þnh nghÜa 1.2.1. nÕu víi mäi lµ R-m«®un M ®­îc gäi lµ x ∈ R, phÐp nh©n bëi x trªn M tr­êng hîp nµy M (i) Mét thø cÊp nÕu M 6= 0 vµ lµ toµn cÊu hoÆc luü linh. Trong Rad(AnnR M ) lµ i®ªan nguyªn tè, ch¼ng h¹n lµ p, vµ ta gäi p-thø cÊp. (ii) Cho M lµ R-m«®un. M = N1 + . . . + Nn Mét biÓu diÔn thø cÊp cña M lµ mét ph©n tÝch thµnh tæng h÷u h¹n c¸c m«®un con pi -thø cÊp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ni . NÕu http://www.Lrc-tnu.edu.vn 8 M = 0 hoÆc M cã mét biÓu diÔn thø cÊp th× ta nãi M lµ diÔn thø cÊp nµy ®­îc gäi lµ tèi thiÓu kh¸c nhau vµ kh«ng cã h¹ng tö Ni cÊp tèi thiÓu cña hiÖu bëi M AttR M . thø cÊp cña nµo lµ thõa, víi mäi ®Òu cã thÓ ®­a ®­îc vÒ d¹ng C¸c h¹ng tö tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña M , kÝ Ni , i = 1, . . . , n, ®­îc gäi lµ c¸c thµnh phÇn M. khi vµ chØ khi (ii) Cho M i = 1, . . . , n. {p1 , . . . , pn } lµ ®éc lËp víi viÖc chän biÓu diÔn thø vµ ®­îc gäi lµ MÖnh ®Ò 1.2.2. i) Cho thiÓu cña . BiÓu nÕu c¸c i®ªan nguyªn tè pi lµ ®«i mét DÔ thÊy r»ng mäi biÓu diÔn thø cÊp cña tèi thiÓu. Khi ®ã tËp hîp biÓu diÔn ®­îc M lµ mét R-m«®un biÓu diÔn ®­îc. Khi ®ã M 6= 0 AttR M 6= ∅. Trong tr­êng hîp nµy tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi R chøa Ann(M ) chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña AttR M. 0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0 lµ d·y khíp c¸c R-m«®un biÓu diÔn ®­îc. Khi ®ã ta cã AttR M 00 ⊆ AttR M ⊆ AttR M 0 ∪ AttR M 00 . Cho A lµ mét R-m«®un Artin. Khi ®ã, A lµ biÓu diÔn ®­îc. H¬n n÷a, theo b-m«®un vµ víi cÊu tróc nµy mçi MÖnh ®Ò 1.1.3, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R tËp con cña cho thÊy b-m«®un con. §iÒu nµy A lµ R-m«®un con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R b-m«®un lµ nh­ c¸c dµn m«®un con cña A xÐt nh­ R-m«®un vµ R nhau. Tõ ®ã ta cã c¸c kÕt qu¶ sau (xem [15, HÖ qu¶ 1.12, HÖ qu¶ 2.7]). MÖnh ®Ò 1.2.3. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ ®óng. (i) AttR A = {b p∩R:b p ∈ AttRb A}. (ii)NÕu R lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, ®Çy ®ñ, th× ta cã a) NÕu N b) NÕu A lµ R-m«®un Artin, th× AssR (D(A)) = AttR (A). lµ R-m«®un Noether, th× AttR (D(N )) = AssR (N ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 9 1.3 ChiÒu Noether vµ sè béi cña m«®un Artin Nh¾c l¹i r»ng mét d·y c¸c i®ªan nguyªn tè ®­îc gäi lµ d·y nguyªn tè p0 ⊆ p1 ⊆ . . . ⊆ pn , ®ã pi 6= pi+1 vµnh R, ký hiÖu lµ dim R lµ cËn trªn cña ®é dµi cña c¸c d·y i®ªan nguyªn tè trong R. ChiÒu Krull cña m«®un M , ký hiÖu lµ dim M cã ®é dµi n . Khi ®ã trong chiÒu Krull lµ cËn trªn cña c¸c sè n sao cho cã mét d·y nguyªn tè cã ®é dµi n trong Supp M . V× M h÷u h¹n sinh nªn ta cã cña lµ m«®un Supp M = V (AnnR M ), do ®ã dim M = dim R/ AnnR M = sup dim(R/p). p∈Ass M Kh¸i niÖm ®èi ngÉu víi chiÒu Krull cho mét m«®un Artin ®­îc ®­a ra bëi R. N. Roberts [14] vµ sau ®ã D. Kirby [7] ®æi tªn thµnh chiÒu Noether ®Ó tr¸nh nhÇm lÉn víi chiÒu Krull ®· ®­îc ®Þnh nghÜa cho c¸c m«®un Noether. C¸c thuËt ng÷ vÒ chiÒu Noether ®­îc dïng trong luËn v¨n lµ theo [7]. §Þnh nghÜa 1.3.1. ChiÒu Noether cña m«®un Artin A, ký hiÖu bëi N-dimR A, ®­îc ®Þnh nghÜa b»ng quy n¹p nh­ sau: Khi A = 0, ®Æt N-dimR A = −1. Víi A 6= 0, N-dimR A < d con cña A, cho mét sè nguyªn d ≥ 0, lµ sai vµ víi mçi d·y t¨ng tån t¹i sè nguyªn n0 sao cho ta ®Æt N-dimR A = d A0 ⊆ A1 ⊆ . . . nÕu c¸c m«®un N-dimR (An+1 /An ) < d, víi mäi n > n0 . VÝ dô 1.3.2. Cho M lµ Noether khi vµ chØ khi R-m«®un M n > n0 . víi mäi n > n0 . N-dimR M = 0. Mn+1 /Mn = 0, V× lµ R-m«®un ThËt vËy, gi¶ sö M lµ R-m«®un M0 ⊆ M1 ⊆ . . . ⊆ Mn ⊆ . . . ®Òu dõng nªn tån t¹i Do ®ã, M N-dimR M = 0. Noether. V× mäi d·y t¨ng con cña kh¸c kh«ng. Khi ®ã M 6= 0 nªn n0 ∈ N v× thÕ sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Mn = Mn+1 , víi mäi N-dimR (Mn+1 /Mn ) = −1 < 0, N-dimR M > 0 Ng­îc l¹i, gi¶ sö c¸c m«®un vµ do ®ã theo ®Þnh nghÜa, N-dimR M = 0. Khi ®ã, lÊy mét d·y http://www.Lrc-tnu.edu.vn 10 t¨ng bÊt kú N0 ⊆ N1 ⊆ . . . ⊆ Nn ⊆ . . . c¸c m«®un con cña M . nghÜa, tån t¹i sè nguyªn d­¬ng víi mäi k > n0 . nghÜa lµ M lµ Do ®ã, n0 sao cho Nk+1 = Nk , Theo ®Þnh N-dimR (Nk+1 /Nk ) = −1 < 0, víi mäi n > n0 hay d·y trªn lµ dõng, R-m«®un Noether. ChiÒu Noether cho m«®un Artin cã nhiÒu tÝnh chÊt theo mét nghÜa nµo ®ã ®èi ngÉu víi chiÒu Krull cho m«®un h÷u h¹n sinh. Ta ®· biÕt r»ng ®èi víi mçi m«®un h÷u h¹n sinh vµ `R (M ) < ∞. M th× dim M = 0 nÕu vµ chØ nÕu M 6= 0 Tõ §Þnh nghÜa 1.3.1 ta cã mét sè tÝnh chÊt sau vÒ chiÒu Noether. Bæ ®Ò 1.3.3. (i) N-dimR A = 0 nÕu vµ chØ nÕu A 6= 0 vµ `R (A) < ∞. Trong tr­êng hîp nµy AttR A = {m}. H¬n n÷a, nÕu 0 −→ A0 −→ A −→ A00 −→ 0 lµ d·y khíp c¸c R-m«®un Artin th× N-dimR A = max{N-dimR A0 , N-dimR A00 }. N-dimR A 6 dim R/ AnnR A = max{dim R/p : p ∈ AttR A} (ii) t¹i m«®un Artin (iii) vµ tån A sao cho N-dimR A < dim R/ AnnR A. b Ann b A = max{dim R/ b b N-dimRb A = dim R/ p: b p ∈ AttRb A}. R (iv) Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng vµ cÊu tróc tù nhiªn cña A lµ R-m«®un Artin. Khi ®ã A cã b-m«®un Artin vµ ta cã R N-dimR A = N-dimRb A. ChÝnh v× vËy, ta cã thÓ viÕt N-dim A thay cho N-dimR A hoÆc N-dimRb A. §· cã nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu cÊu tróc cña c¸c m«®un Artin A th«ng qua chiÒu Noether cña chóng vµ mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Noether cho m«®un Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 11 Artin ®­îc xem lµ ®èi ngÉu víi mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Krull cho m«®un h÷u h¹n sinh ®· ®­îc ®­a ra (xem [5], [7], [14],...). §Æc biÖt lµ kÕt qu¶ sau ®­îc R. N. Roberts [14, §Þnh lý 6] chøng minh cho tr­êng hîp vµnh tùa ®Þa ph­¬ng vµ sau ®ã ®­îc NguyÔn Tù C­êng vµ Lª Thanh Nhµn [4, §Þnh lý 2.6] chøng minh cho tr­êng hîp vµnh giao ho¸n bÊt kú. MÖnh ®Ò 1.3.4. `R (0 :A JAn ) lµ mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû khi n  0 vµ N-dim A = deg(`(0 :A JAn )) = inf{t : ∃x1 , . . . , xt ∈ JA sao cho `(0 :A (x1 , . . . , xt )R) < ∞}. MÖnh ®Ò 1.3.4 cho phÐp ta ®­a ra kh¸i niÖm hÖ béi, sè béi, hÖ tham sè cña mét m«®un Artin phÇn tö trong A x = (x1 , . . . , xt ) c¸c m sao cho `(0 :A (x1 , . . . , xt )R) < ∞ ®­îc gäi lµ mét hÖ béi cña A. Tr­êng hîp t hÖ (xem [4]). Nh¾c l¹i r»ng mét hÖ = 0 th× ta hiÓu `R (A) < ∞. Vµ khi t = N-dim A = d th× x = (x1 , . . . , xd ) ®­îc gäi lµ hÖ tham sè cña A. Mét phÇn tö x ∈ m ®­îc gäi lµ phÇn tö tham sè cña A nÕu vµ chØ nÕu N-dim(0 :A x) = N-dim A − 1. §èi víi mçi m«®un Artin A, Hilbert-Samuel nh­ sau. Gi¶ sö `R (0 :A q) < ∞. bËc sè béi ®­îc ®Þnh nghÜa th«ng qua ®a thøc dim R = d. Cho Khi ®ã hµm ®é dµi `R (0 :A q lµ i®ªan cña qn+1 ) R sao cho lu«n lµ ®a thøc theo n N-dim A víi hÖ sè h÷u tû khi n  0. Theo Bæ ®Ò 1.3.3 (ii), ta cã N-dim A 6 dim A = dim R/ AnnR A 6 dim R. V× thÕ, ta cã thÓ biÓu diÔn ®a thøc nµy d­íi d¹ng `R (0 :A q n+1 e0 (q; A) d )= n + d! ®a thøc cã bËc nhá h¬n d, n  0, trong ®ã e0 (q; A) lµ mét sè nguyªn kh«ng ©m. Nh­ vËy, nÕu th× e0 (q; A) N-dim A = d > 0 vµ nÕu N-dim A < d th× e0 (q; A) = 0. Khi N-dim A = d ta gäi e0 (q; A) lµ sè béi cña A øng víi i®ªan q. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 12 Trong [4], C­êng-Nhµn ®· ®Þnh nghÜa sè béi h×nh thøc øng víi mét hÖ béi cña A b»ng quy n¹p vµ hä ®· chØ ra r»ng khi i®ªan q sinh bëi mét hÖ tham sè cña A vµ N-dim A = dim R = d th× ®Þnh nghÜa nµy t­¬ng ®­¬ng víi ®Þnh nghÜa sè béi th«ng qua ®a thøc Hilbert-Samuel ë trªn. MÖnh ®Ò sau trong [4] cho ta mét sè tÝnh chÊt cña hÖ béi vµ sè béi cho m«®un Artin. MÖnh ®Ò 1.3.5. Cho x = (x1 , . . . , xt ) lµ mét hÖ béi cña A vµ n1 , . . . , nt lµ x(n) = (xn1 1 , . . . , xnt t ). Khi ®ã ta cã c¸c tÝnh chÊt c¸c sè nguyªn d­¬ng. §Æt sau. (i)
`(0 :A x(n)R) 6 n1 . . . nt `(0 :A xR) vµ e0 x(n); A = n1 . . . nt e0 (x; A). (ii) Cho d·y khíp c¸c R-m«®un Artin 0 −→ A0 −→ A −→ A00 −→ 0. Khi ®ã x lµ mét hÖ béi cña A nÕu vµ chØ nÕu x lµ mét hÖ béi cña A0 cã e0 (x; A) = e0 (x; A0 ) + e0 (x; A00 ). (iii) Ta lu«n cã chØ nÕu 1.4 0 6 e0 (x; A) 6 `(0 :A xR). H¬n n÷a vµ A00 e0 (x; A) > 0 vµ ta nÕu vµ t = d = N-dim A. M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Tr­íc hÕt, ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cña mét m«®un tuú ý. §Þnh nghÜa 1.4.1. R-m«®un. ký hiÖu lµ M«®un Cho I lµ mét i®ªan cña vµnh Noether ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng thø i cña M R vµ M lµ mét øng víi i®ªan I, HIi (M ) ®­îc ®Þnh nghÜa bëi HIi (M ) = Ri (ΓI (M )), trong ®ã øng víi Ri (ΓI (M )) lµ m«®un dÉn suÊt ph¶i thø i cña hµm tö I -xo¾n ΓI () M. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 13 Cho f g 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 Khi ®ã, do tÝnh chÊt δ -hµm lµ mét d·y khíp c¸c R−m«®un. tö ®èi ®ång ®iÒu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng, ta cã d·y khíp dµi H 0 (f ) H 0 (g) H 1 (f ) H 1 (g) I I 0 −→ HI0 (L) −→ HI0 (M ) −→ HI0 (N ) I I −→ HI1 (L) −→ HI1 (M ) −→ HI1 (N ) −→ . . . −→ HIi (f ) i HI (L) −→ HIi (g) i HI (M ) −→ HIi (N ) −→ HIi+1 (L) −→ . . . víi mäi i ∈ N. §Þnh lý sau ®©y cña Grothedieck lµ mét kÕt qu¶ ®Ñp ®Ï vÒ tÝnh triÖt tiªu vµ kh«ng triÖt tiªu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. §Þnh lý 1.4.2. ®ã, [1, §Þnh lý 6.1.2, §Þnh lý 6.1.4] (i) Cho M lµ R-m«®un. Khi HIi (M ) = 0, víi mäi i > dim M. (ii) Gi¶ sö (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng vµ M kh«ng vµ chiÒu Krull lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh, kh¸c dim M = d. Khi ®ã Hmd (M ) 6= 0. TiÕp theo lµ tÝnh Artin cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. §Þnh lý 1.4.3. M ph­¬ng, víi mäi lµ [1, §Þnh lý 7.1.3, §Þnh lý 7.1.6] (i) Cho R-m«®un R-m«®un Hmi (M ) h÷u h¹n sinh. Khi ®ã, (R, m) lµ vµnh ®Þa lµ Artin i ∈ N0 . (ii) Cho (R, m) R-m«®un lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, I lµ mét i®ªan bÊt k× cña h÷u h¹n sinh, kh¸c kh«ng cã chiÒu Krull R, M dim M = d. lµ Khi ®ã, R-m«®un HId (M ) lµ Artin. C¸c §Þnh lý ®æi c¬ së ph¼ng vµ Nguyªn lý ®Þa ph­¬ng ho¸ n©ng yÕu còng th­êng ®­îc dïng trong luËn v¨n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 14 [1, §Þnh lý 4.3.2] §Þnh lý 1.4.4. Gi¶ sö f : R −→ R0 lµ ®ång cÊu ph¼ng gi÷a c¸c vµnh. Khi ®ã HIi (M ) ⊗R R0 ∼ = HIi (M ⊗R R0 ). §Þnh lý 1.4.5. [1, §Þnh lý 11.3.8] dim R/p = t. (R, m) NÕu víi mçi sè nguyªn lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, p ∈ Spec R, i, q ∈ Spec R, q ⊆ p mµ ta cã i (Mp )) th× q ∈ AttR (Hmi+t (M )). qRp ∈ AttRp (HpR p KÕt qu¶ sau ®©y cña C­êng-Nhµn cho ta mét cËn trªn cña chiÒu Noether cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. MÖnh ®Ò 1.4.6. vµ I [5, §Þnh lý 3.1, §Þnh lý 3.5] (i) Cho t lµ mét sè nguyªn d­¬ng lµ mét i®ªan cña R. Gi¶ sö r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng HIi (M ) lµ Artin, víi mäi i = 1, . . . , t. Khi ®ã ta cã N-dimR (HIi (M )) 6 i, víi mäi (ii) Cho i = 0, 1, . . . , t. M lµ m«®un h÷u h¹n sinh víi cho m«®un Artin dim M = d vµ I lµ i®ªan cña R sao HId (M ) lµ kh¸c 0. Khi ®ã N-dimR (HId (M )) = d vµ do ®ã, HId (M ) kh«ng lµ h÷u h¹n sinh nÕu d > 0. MÖnh ®Ò 1.4.7. Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, M h÷u h¹n sinh víi chiÒu dim M = d. Khi ®ã AttR (Hmd (M )) = {p ∈ AssR M | dim R/p = d}. 1.5 TÝnh catenary phæ dông, tÝnh kh«ng trén lÉn vµ thí h×nh thøc Nh¾c l¹i r»ng vµnh R ®­îc gäi lµ mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu ®¼ng chiÒu nÕu q ∈ min(Ass R) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên dim R/q = dim R, vµ m«®un M víi ®­îc gäi http://www.Lrc-tnu.edu.vn 15 lµ ®¼ng chiÒu nÕu p ∈ min(Ass M ). dim R/p = dim M víi mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu TiÕt nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt cña líp vµnh vµ m«®un catenary phæ dông vµ kh«ng trén lÉn. Tr­íc hÕt ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm sau (xem [10] vµ [12]). §Þnh nghÜa 1.5.1. i®ªan nguyªn tè ®­îc gäi lµ Cho p⊂q lµ c¸c i®ªan nguyªn tè cña R. Mét d·y c¸c p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = q sao cho pi 6= pi+1 , víi mäi i, d·y nguyªn tè b·o hoµ gi÷a p vµ q nÕu víi mäi i, kh«ng tån t¹i mét i®ªan nguyªn tè nµo chen gi÷a pi vµ pi+1 . §Þnh nghÜa 1.5.2. (i) Vµnh R lµ catenary nÕu víi mçi cÆp i®ªan nguyªn tè p, q cña R sao cho p ⊂ q, mäi d·y b·o hoµ c¸c i®ªan nguyªn tè b¾t ®Çu tõ p vµ kÕt thóc t¹i q ®Òu cã cïng ®é dµi. (ii) Ta nãi r»ng p, q ∈ Supp M b¾t ®Çu tõ Supp M sao cho lµ p ⊂ q, nÕu víi mçi cÆp i®ªan nguyªn tè th× mäi d·y b·o hoµ c¸c i®ªan nguyªn tè p vµ kÕt thóc t¹i q ®Òu cã cïng ®é dµi. Chó ý r»ng nÕu vµnh R dim R/p + ht p = dim R, r»ng catenary Supp M lµ ®¼ng chiÒu th× M lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu víi mäi i®ªan nguyªn tè lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu trong tr­êng hîp R lµ ®¼ng chiÒu th× p R/ AnnR M Supp M cña R, vµ râ rµng lµ catenary. Do ®ã, lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu dim R/p + dim Mp = dim M , víi mäi p ∈ Supp M. §Þnh nghÜa 1.5.3. Vµnh R ®­îc gäi lµ catenary phæ dông nÕu mäi R-®¹i sè h÷u h¹n sinh ®Òu lµ catenary. Chó ý r»ng nÕu sao cho S lµ R-®¹i sè h÷u h¹n sinh, tøc lµ tån t¹i a1 , . . . , at ∈ S S = R[a1 , . . . , at ] tõ vµnh ®a thøc i = 1, . . . , t. t biÕn V× thÕ, S th× cã toµn cÊu vµnh R[x1 , . . . , xt ] ®Õn S ϕ : R[x1 , . . . , xt ] −→ S sao cho ϕ(xi ) = ai , víi mäi ®¼ng cÊu víi vµnh th­¬ng cña vµnh ®a thøc. V× vµnh th­¬ng cña vµnh catenary lµ vµnh catenary nªn suy ra vµnh dông nÕu vµ chØ nÕu mäi vµnh ®a thøc víi hÖ sè trªn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên R lµ catenary phæ R ®Òu lµ catenary. http://www.Lrc-tnu.edu.vn 16 R ®­îc gäi lµ kh«ng trén lÉn (unmixed) b b b vµ vµnh R nÕu dim(R/ p) = dim R víi mäi i®ªan nguyªn tè b p ∈ Ass R b lµ ®¼ng chiÒu, tøc lµ ®­îc gäi lµ tùa kh«ng trén lÉn (quasi-unmixed) nÕu R §Þnh nghÜa 1.5.4. (Xem [12]) Vµnh b b b víi mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu b b. dim R/ p = dim R p ∈ Ass R Sau ®©y lµ mét sè kÕt qu¶ vÒ mèi liªn hÖ gi÷a tÝnh catenary phæ dông vµ tùa kh«ng trén lÉn. Bæ ®Ò 1.5.5. [10, §Þnh lý 31.6] Cho (R, m) lµ vµnh Noether ®Þa ph­¬ng tùa kh«ng trén lÉn. Khi ®ã (i) Rp lµ tùa kh«ng trén lÉn, víi mäi I (ii) Cho lµ i®ªan cña R. Khi ®ã p ∈ Spec R. R/I lµ ®¼ng chiÒu khi vµ chØ khi R/I lµ tùa kh«ng trén lÉn. (iii) R lµ vµnh catenary phæ dông. Bæ ®Ò 1.5.6. (i) Vµnh [10, §Þnh lý 31.7] C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng R/p lµ tùa kh«ng trén lÉn, víi mäi p ∈ Spec R, nghÜa lµ b b dim R/ p = dim R/p, (ii) Vµnh (iii) Vµnh víi mäi b R. b b p ∈ min Ass R/p R lµ catenary phæ dông. R[x] lµ catenary. §Ó ®i ®Õn kh¸i niÖm vµnh thí vµ thí h×nh thøc cña vµnh, tr­íc hÕt ta cÇn nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ c¸c kÕt qu¶ vÒ m«®un ph¼ng nh­ sau. Mét R-m«®un N ®­îc gäi lµ ph¼ng nÕu víi mçi d·y khíp 0 −→ L0 −→ L −→ L00 −→ 0 c¸c R-m«®un, d·y c¶m sinh 0 −→ L0 ⊗ N −→ L ⊗ N −→ L00 ⊗ N −→ 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 17 lµ khíp. Mét R-m«®un N ®­îc gäi lµ ph¼ng hoµn toµn nÕu d·y 0 −→ L0 −→ L −→ L00 −→ 0 c¸c R-m«®un khíp khi vµ chØ khi d·y c¶m sinh 0 −→ L0 ⊗ N −→ L ⊗ N −→ L00 ⊗ N −→ 0 lµ khíp. Cho ϕ : R −→ S cÊu tróc lµ vµ lµ mét ®ång cÊu vµnh vµ L lµ S -m«®un. Khi ®ã R-m«®un víi tÝch v« h­íng ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau: y ∈ L, ry = ϕ(r)y. §ång cÊu vµnh ph¼ng (ph¼ng hoµn toµn) nÕu vµnh S ϕ : R −→ S (xÐt nh­ víi ®­îc gäi lµ L cã r∈R ®ång cÊu R-m«®un) lµ R-m«®un ph¼ng (ph¼ng hoµn toµn). Chó ý r»ng nÕu (R, m) vµ (S, n) lµ c¸c vµnh ®Þa ph­¬ng vµ ϕ : R −→ S lµ c¸c ®ång cÊu ®Þa ph­¬ng (tøc lµ ϕ(m) ⊆ n) th× ϕ lµ ®ång cÊu ph¼ng nÕu vµ chØ nÕu nã ph¼ng hoµn toµn. §Þnh nghÜa 1.5.7. Cho ϕ : R −→ S lµ ®ång cÊu gi÷a c¸c vµnh Noether ®Þa ph­¬ng. Víi mçi p ∈ Spec R, ta gäi vµnh S ⊗R R/p lµ vµnh thí cña ϕ øng b víi p. Gi¶ sö f : R −→ R lµ ®ång cÊu chÝnh t¾c. Khi ®ã víi mçi p ∈ Spec R, b sao cho b tån t¹i b p ∈ Spec R p ∩ R = p. §ång cÊu f c¶m sinh ra ®ång cÊu bbp . Khi ®ã vµnh thí R bbp ⊗R (Rp /pRp ) cña ψ øng víi p ph¼ng ψ : Rp −→ R p ®­îc gäi lµ thí h×nh thøc MÖnh ®Ò 1.5.8. cña R trªn p. [10, §Þnh lý 15.1] ϕ : R −→ S lµ ®ång cÊu gi÷a c¸c vµnh P ∈ Spec S . §Æt p = ϕ−1 (P ) := P ∩ R. Khi ®ã
(i) ht P 6 ht p + dim SP ⊗R (Rp /pRp ) . p Noether vµ (ii) NÕu ϕ lµ ®ång cÊu ph¼ng th× bÊt ®¼ng thøc trªn trë thµnh ®¼ng thøc. Chó ý r»ng víi mçi i®ªan thÕ nÕu p ∈ Spec R sao cho chÝnh lµ thí h×nh thøc cña I cña R th× ®Çy ®ñ cña vµnh R/I p⊇I th× thí h×nh thøc cña lµ R/I b R b. V× R/I trªn p R trªn p, víi p lµ ¶nh cña p trong R/I . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn còng 18 Ch­¬ng 2 TÝnh catenary phæ dông vµ tÝnh kh«ng trén lÉn cña vµnh ®Þa ph­¬ng vµ c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Trong toµn bé ch­¬ng nµy, ta lu«n gi¶ thiÕt ph­¬ng víi i®ªan tèi ®¹i duy nhÊt lµ h÷u h¹n sinh víi chiÒu Krull (R, m) m, A lµ R-m«®un Artin, M dimR M = d. (∗) lµ R-m«®un Ch­¬ng nµy nghiªn cøu ®­a ra mét ®Æc tr­ng cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng chÊt lµ vµnh Noether ®Þa Hmi (M ) tho¶ m·n tÝnh vµ trong tr­êng hîp nµy, nh­ mét hÖ qu¶ ta cã thÓ më réng ®­îc c«ng thøc liªn kÕt víi béi cña M. Brodmann vµ R. Y. Sharp [2]. H¬n n÷a, c¸c kÕt qu¶ thu ®­îc khi nghiªn cøu tÝnh chÊt phu¬ng Hmi (M ) (∗) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa cßn cho phÐp ta thu ®­îc nh÷ng tÝnh chÊt ®Ñp nh­ lµ tÝnh catenary phæ dông cña vµnh R/ AnnR M vµ tÝnh kh«ng trén lÉn cña vµnh R/p, víi p ∈ SuppR M . 2.1 TÝnh chÊt linh ho¸ tö TÝnh chÊt linh ho¸ tö (th­êng ®­îc gäi lµ tÝnh chÊt (∗)) ®­îc giíi thiÖu bëi N. T. C­êng vµ L. T. Nhµn [5]. Nh¾c l¹i r»ng ®èi víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh M ta xÐt mét tÝnh chÊt c¬ b¶n sau: Gi¶ sö Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên p lµ i®ªan nguyªn tè cña R http://www.Lrc-tnu.edu.vn chøa 19 AnnR M . Khi ®ã p ∈ SuppR M vµ do ®ã Mp 6= 0. Theo Bæ ®Ò Nakayama ta suy ra (M/pM )p = Mp /pMp 6= 0. Do ®ã p ∈ Supp(M/pM ), cã tÝnh chÊt nghÜa lµ p ⊇ AnnR (M/pM ). V× vËy ta lu«n AnnR (M/pM ) = p, víi mäi i®ªan nguyªn tè p chøa AnnR M . Mét c©u hái tù nhiªn ®­îc ®Æt ra lµ liÖu cã mét tÝnh chÊt t­¬ng tù nh­ vËy cho mäi m«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n bÊt kú hay kh«ng. C©u tr¶ lêi cho c©u hái nµy nh×n chung lµ phñ ®Þnh (xem [5, VÝ dô 4.3]), vµ ë ®ã, hä ®· giíi thiÖu mét líp m«®un Artin tho¶ m·n c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh cña c©u hái trªn nh­ sau. §Þnh nghÜa 2.1.1. nguyªn tè cña [5, §Þnh nghÜa 4.2] Ký hiÖu V (AnnR A) lµ tËp c¸c i®ªan R chøa AnnR A. Ta nãi r»ng A tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) nÕu AnnR (0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnR A). (∗) Râ rµng r»ng, khi vµnh R lµ ®Çy ®ñ th× theo ®èi ngÉu Matlis, mäi R-m«®un Artin A ®Òu tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). Líp m«®un Artin tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) cã nhiÒu tÝnh chÊt "tèt", ®Æc biÖt liªn quan chÆt chÏ ®Õn chiÒu Noether cña mét m«®un Artin. Nh¾c l¹i r»ng chiÒu Krull cña m«®un Artin A, ký hiÖu bëi dimR A, lµ chiÒu Krull cña vµnh R/ AnnR A. Theo I. G. Macdonald [8], mäi m«®un Artin ®Òu cã biÓu diÔn thø cÊp vµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu chøa chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña cña c¸c sè AttR A nªn dimR A AnnR A còng chÝnh lµ cËn trªn dim R/p khi p ch¹y kh¾p tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt dimR A = max{dim R/p | p ∈ AttR A}. Theo Bæ ®Ò 1.3.3, (ii), ta cã tÝnh chÊt N-dim A 6 dim A. MÖnh ®Ò sau ®©y chØ ra r»ng (∗) lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 20 MÖnh ®Ò 2.1.2. ®¼ng thøc [5, MÖnh ®Ò 4.5] NÕu dimR M = d. tiÕp tôc nghiªn cøu tÝnh chÊt (∗) th× ta cã N. T. C­êng, N. T. Dung vµ L. T. Nhµn [3] (∗) cho mét líp m«®un Artin ®Æc biÖt: m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt vµ mét sè øng dông cña nã. V× M tho¶ m·n tÝnh chÊt N-dimR A = dimR A. Gi¶ sö r»ng nªn A M Hmd (M ) cña m«®un h÷u h¹n sinh M lµ m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh Noether lµ m«®un Noether, do ®ã tËp c¸c m«®un con cña M lu«n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tèi ®¹i. V× thÕ ta cã thÓ chøng minh ®­îc r»ng m«®un con lín nhÊt cña M cã chiÒu thùc sù nhá h¬n lµ m«®un con lín nhÊt cña M cho ta c¸ch tÝnh m«®un con cña m«®un d lu«n tån t¹i vµ duy nhÊt. Ký hiÖu UM (0) cã chiÒu thùc sù nhá h¬n UM (0) d. KÕt qu¶ sau ®©y th«ng qua ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän 0 cña M . Bæ ®Ò 2.1.3. NÕu 0= T N (p) lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un p∈Ass M con 0 cña M , trong ®ã N (p) lµ p−nguyªn s¬ th× \ UM (0) = N (p). p∈Ass M,dim R/p=d Tõ bæ ®Ò trªn, ta cã thÓ tÝnh ®­îc tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña m«®un M/UM (0) th«ng qua tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M nh­ sau. Ass(M/UM (0)) = {p ∈ Ass M : dim R/p = d}. Râ rµng r»ng c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña m«®un M/UM (0) ®Òu cã chiÒu nh­ nhau, v× thÕ Supp(M/UM (0)) = [ V (p). p∈Ass M, dim R/p=d §iÒu nµy dÉn ®Õn kh¸i niÖm sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn