TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN
I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất:
x0 const
. Tìm số hạng tổng quát của dãy số?
ax n+1 bxn 0
Dạng 1: Cho dãy số {xn} :
2
n
b
b
b
Từ công thức truy hồi ta có : xn .xn1 .xn2 .................... .x0
a
a
a
n
b
Khi đó công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi : xn x0 . .
a
x 5
Thí dụ : Cho dãy số {xn} được xác định bởi : 0
.
xn 1 3xn 0 , n
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Giải: Từ công thức truy hồi ta có : xn 3xn1 32 xn2 ................. 3n x0 hay xn 5.3n .
x0
, với Pk (n) là đa thức bậc k của n.
ax n+1 bxn Pk (n)
Dạng 2: Cho dãy số {xn} :
Tìm số hạng tổng quát của dãy số ?
b
a
Giải: Xét phương trình đặc trưng : a b 0 .
Đối với dạng này ta xét thêm một giá trị xn* gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân.
Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi : xn c. n xn* . Trong đó nghiệm
riêng xn* được xác định như sau :
Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng xn* Qk (n) thay vào phương trình ta được:
a.Qk (n 1) b.Qk (n) Pk (n) . Đồng nhất hệ số ta tìm được Qk (n) .
Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng xn* n.Qk (n) thay vào phương trình ta được:
a(n 1).Qk (n 1) bn.Qk (n) Pk (n) . Đồng nhất hệ số ta tìm được n.Qk (n) .
x 7
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 0
.Tìm số hạng tổng quát xn .
2
xn 1 2 xn 3n 4n 5 , n .
Giải: Xét phương tình đặc trưng 2 0 2 .
Ta có : a + b = 1 – 2 = -1 ≠ 0 nên nghiệm riêng pt có dạng : xn* an2 bn c . Thay xn* vào
pt, ta được : a(n 1)2 b(n 1) c 2an2 2bn 2c 3n2 4n 5
an2 (2a b)n a b c 3n2 4n 5 .
Đồng nhất hệ số hai vế ta được :
a 3
a 3
2a b 4 b 10
a b c 5 c 18
xn* 3n 2 10n 18 .
CTTQ của số hạng trong dãy : xn c.2n 3n2 10n 18 .
Từ x0 7 c 18 7 c 25. Suy ra xn 25.2n 3n2 10n 18 .
x0 5
. Tìm CTTQ của xn.
xn 1 xn 4n 5 , n .
Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :
Giải: Xét phương trình đặc trưng 1 0 1.
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng xn* n(an b) an2 bn . xn* vào pt,
ta được : a(n 1)2 b(n 1) an2 bn 4n 5 .
2an a b 4n 5 .
Đồng nhất hệ số hai vế ta được :
2a 4
a 2
xn* 2n2 3n .
a b 5 b 3
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn c 2n2 3n .
Từ x0 5 c 5. Suy ra xn 2n2 3n 5.
x0
ax n+1 bxn d (d const) , n .
Dạng 3: Cho dãy số {xn} :
b n
d
1
n
b
a
xn .x0
Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là :
b
a
a 1
a
xn x0 nd
neu a b 0.
neu a b 0.
x0 5
. Tìm CTTQ của xn .
x
x
6
,
n
.
n
1
n
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :
Giải: Từ công thức truy hồi ta có :
xn xn1 6 xn2 2.6 xn3 3.6 ....... x0 6n hay xn 6n 5 .
x0 3
. Tìm CTTQ của xn .
xn 1 8 xn 4 , n
Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :
Giải: Từ công thức truy hồi, ta có :
xn 8 xn 1 4 8 8 xn 2 4 4 82.xn 2 4 8 1 82.xn 2 4.
82 1
8n 1
........ 8n.x 0 4.
.
8 1
8 1
Suy ra xn 3.8n . 8n 1
4
7
25 n 4
.8 .
7
7
x
Dạng 4: Cho dãy số {xn} : 0
. Tìm CTTQ của xn.
n
ax
bx
d
.
,
n
n
n 1
b
Giải: Xét phương trình đặc trưng : a b 0 q.
a
Nếu thì nghiệm riêng của phương trình xn* c. n thay vào pt, ta được :
a.c.
n 1
d
d n
d n
*
b.c. d . c
xn
a b
a b a q
n
n
Số hạng tổng quát của dãy : xn c1.q n xn* c1.q n
do
b qa .
d n
.
a q
n
d
d
d
d n
d n qn
n
c1 x0
xn x0
.
q
x
.
q
.
0
a( q)
a( q)
a( q)
a( q)
a q
Nếu thì nghiệm riêng của phương trình xn* cn n thay vào pt, ta được :
d
d
d
ac(n 1) n1 bcn n d n c
(do q ) .
a(n 1) bn a(n 1) aqn aq
Từ x0 c1
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
Suy ra xn*
dnq n dnq n1
.
aq
a
dnq n 1
Số hạng tổng quát của dãy : xn c1.q x c1.q
.
a
dnq n 1
Từ x0 c1 xn x0 .q n
.
a
d qn n
neu q
.
a q
n
Vậy từ trên ta có : xn x0 .q
.
d
.nq n 1
neu q
a
n
*
n
n
x 5
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 0
n
xn 1 3xn 2.5 , n
. Tìm CTTQ của xn .
b
a
Ta có : q 3 ; d 2 ; 5. Vì q nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là :
d qn n
3n 5n
xn x0 .q n .
5.3n 2.
4.3n 5n.
a q
35
x 2
Thí dụ 2: Cho dãy {xn} : 0
. Tìm CTTQ của xn.
n
xn 1 3xn 5.3 , n
b
Ta có: q 3 ; 3 ; d 5. Vì q nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là :
a
d
xn x0 .q n .nq n 1 2.3n 5n.3n 1 (5n 6).3n 1 .
a
x
Dạng 5: Cho dãy số {xn} : 0
. Xác định
n
n
n
(1) , n
axn 1 bxn d11 d 2 2 ..... d k k
sô hạng tổng quát của dãy trên.
Gọi xn*1 là nghiệm riêng của phương trình axn1 bxn d11n
xn*2 là nghiệm riêng của phương trình axn1 bxn d2 2n
...................................................................................
*k
xn là nghiệm riêng của phương trình axn1 bxn dk kn .
Khi đó nghiệm riêng của phương trình (1) sẽ là xn* xn*1 xn*2 .... xn*k .
b
Khi đó số hạng tổng quát xn c. n xn* .
a
x 2
Thí dụ: Cho dãy {xn} : 0
. Tìm CTTQ của xn.
n
n
xn 1 2 xn 3.2 5.7 (*) , n .
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 2 0 2.
Do 1 nên nghiệm riêng xn*1 d1n.2n , thay vào phương trình, ta được :
3
d1 (n 1).2n1 2d1n.2n 3.2n d1 xn*1 3n.2n1 .
2
*2
Do 2 nên nghiệm riêng xn d2 .7n , thay vào phương trình, ta được :
d2 .7n1 2d2 .7n 5.7n d2 1 xn*2 7n .
Số hạng tổng quát xn c.2n xn*1 xn*2 c.2n 3n.2n1 7n
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
Từ x0 2 c 1 2 c 1. Suy ra xn 2n 3n.2n1 7n .
x
Dạng 6: Cho dãy số {xn} : 0
n
axn 1 bxn Pk (n) d , n
Ta gọi xn*1 là nghiệm riêng của axn1 bxn Pk (n)
. Tìm CTTQ của xn.
xn*2 là nghiệm riêng của axn1 bxn d n .
Công thức tổng quát của dãy số được xác định là xn c. n xn*1 xn*2 .
Từ giá trị của x0 ta tìm được giá trị c.
x 3
Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 0
n
xn 1 5 xn 3n 2 2.3 , n
Giải: Xét Phương trình đặc trưng : 5 0 5.
. Tìm CTTQ của xn.
3
4
Gọi xn*1 là nghiệm riêng của phương trình xn1 5xn 3n 2 xn*1 n
11
.
16
xn*2 là nghiệm riêng của phương trình xn1 5xn 2.3n xn*2 3n .
3
11
Số hạng tổng quát của dãy cho bởi: xn c. n xn* c.5n n 3n .
4
16
11
75
75
3
11
Từ x0 3 c 1 3 c . Suy ra xn .5n n 3n.
16
16
16
4
16
II-Phƣơng trình sai phân bậc hai:
Dạng 1: Dạng thuần nhất và có phương trình đặc trưng bậc hai tồn tại nghiệm thực.
x0 ; x1
. Tìm CTTQ của xn.
axn 2 bxn 1 cxn 0 , n
Cho dãy số {xn} :
Xét phương trình đặc trưng a 2 b c 0 (1) .
Phương trình (1) có nghiệm 1 ; 2 (1 2 ) thì số hạng tổng quát có dạng :
xn c1.1n c2 .2n . Từ x0 ; x1 ta tìm được c1 và c2.
Phương trình (1) có nghiệm 1 2 thì số hạng tổng quát có dạng :
xn (c1 nc2 ). n . Từ x0 ; x1 ta tìm được c1 và c2.
x0 2; x1 5.
. Tìm CTTQ của xn .
xn 2 5 xn 1 6 xn , n .
Thí dụ 1: Cho dãy {xn} :
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 5 6 0 1 2 2 3.
Số hạng tổng quát của dãy có dạng xn c1.2n c2 .3n .
x0 2 c1 c2 2
c 1
1
. Suy ra xn 2n 3n .
2c1 3c2 5 c2 1
x1 5
Từ
x0 3; x1 10.
. Tìm CTTQ của xn .
xn 2 4 xn 1 4 xn , n .
Thí dụ 2: Cho dãy {xn} :
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 4 4 0 1,2 2.
Số hạng tổng quát của dãy có dạng xn (c1 nc2 ).2n .
x0 3
c 3
c 2
2
1
. Suy ra xn (2n 3).2n .
2(
c
c
)
10
c
3
x
10
1 2
2
1
Từ
Dạng 2: Dạng thuần nhất và phương trình đặc trưng vô nghiệm thực.
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
x0 ; x1
. Tìm CTTQ của xn .
axn 2 bxn 1 cxn 0 , n
Cho dãy số {xn} :
Xét phương trình đặc trưng a 2 b c 0 (2) . Ta có phương trình (2) không tồn tại
nghiệm thực, khi đó số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn r n (c1cosn +c2 sin n ) .
Trong đó r A2 B 2 ; arctan
b
B
với A ; B
.
A
2a
2a
Từ hai giá trị x0 và x1 ta tìm được c1 và c2.
x 1 ; x1 3 3 1
Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 0
. Tìm CTTQ của xn .
xn 2 2 xn 1 16 xn , n .
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 2 16 0 co 22 16 12 0 .
Suy ra phương trình sai phân không có nghiệm thực.
b
B
1 ; B
3 và r A2 B 2 2 ; arctan .
2a
2a
A 3
n
n
Khi đó số hạng tổng quát của xn có dạng : xn 2n c1cos c2 sin .
3
3
c1 1
x0 1
c 1
n
n
c1 c2 3
1
. Suy ra xn 2n cos
3sin
Từ
3
3
x1 3 3 1 2 2 2 3 3 1 c2 3
x ; x
Dạng 3: Cho dãy số {xn} : 0 1
. Tìm CTTQ của xn.
axn 2 bxn 1 cxn d , n
Đặt A
.
Gọi xn* là nghiệm riêng của phương trình. Khi đó nghiệm riêng xn* được xác định như sau:
d
*
xn a b c khi a b c 0
x* dn khi a b c 0 ; 2a b 0
.
n 2a b
xn* n(n 1) d khi a b c 0 ; 2a b 0.
2a
Xét phương trình đặc trưng, xét nghiệm của phương trình đặc trưng như các trường hợp
trên. Kết hợp với nghiệm riêng ta có được công thức của x n.
x0 4 ; x1 1
. Tìm CTTQ của xn.
2 xn 2 5 xn 1 2 xn 3 , n
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :
1
2
d
3
3 .
Do a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình xn*
a bc 25 2
1
Số hạng tổng quát của dãy số : xn c1.2n c2 . n 3 .
2
c c 3 4
x0 4 1 2
c 3
1
1
. Suy ra xn 3.2n n 2 3 .
Từ
c2
2
2c1 3 1 c2 4
x1 1
2
Xét phương trình đặc trưng : 2 2 5 2 0 1 2 2 .
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
89
x0 5; x1
Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :
. Tìm số hạng tổng quát xn.
5
xn 2 7 xn 1 6 xn 11, n
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 7 6 0 1 1 2 6.
dn
11n
11
Do a+b+c=0 và 2a+b ≠ 0 nên nghiệm riêng xn*
n.
2a b 2 7
5
11
Số hạng tổng quát của dãy có dạng xn c1 c2 .6n n , n .
5
x0 5
c1 c2 5
c1 2
11
Từ
. Suy ra xn 2 3.6n n .
11 89
89
5
c1 6c2
x1
c2 3
5
5
5
x 3; x1 2
Thí dụ 3: Cho dãy {xn} : 0
. Xác định công thức tổng quát xn.
xn 2 2 xn 1 xn 6 , n
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 2 1 0 1,2 1.
d
3n(n 1).
2a
Số hạng tổng quát của dãy là : xn c1 nc2 3n(n 1) , n .
Có a+b+c=0 và 2a+b=0 nên nghiệm riêng xn* n(n 1)
x0 3 c2 3
c 1
1
.
c2 3
x1 2 c1 c2 2
Từ
Suy ra xn 3n2 4n 3 , n .
x ; x
Dạng 4: Cho dãy số {xn} : 0 1
n
axn 2 bxn 1 cxn dq , n .
. Xác định CTTQ của xn.
Gọi xn* là nghiệm riêng của phương trình sai phân trên. Khi đó nghiệm riêng này được xác
*
dq n
xn aq 2 bq c khi q 1 q 2 .
* ndq n 1
khi q 1 q 2 .
đinh như sau : xn
.
2aq b
*
d n2
khi q 1 2 .
xn n(n 1) .q
2a
Xét phương trình đặc trưng, lập công thức nghiệm và ta có được công thức xn.
x 2 ; x1 5
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 0
. Lập công thức tính xn.
n
xn 2 8 xn 1 15 xn 3.4 , n
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 2 8 15 0 1 3 2 5.
dq n
3.4n
3.4n .
Ta có q 1 q 2 nên nghiệm riêng của phương trình x 2
aq bq c 16 32 15
n
n
n
Số hạng tổng quát của dãy là : xn c1.3 c2 .5 3.4 , n .
*
n
x0 2 c1 c2 3 2
c 4
1
. Suy ra xn 4.3n 5n 3.4 n , n .
3c1 5c2 12 5
c2 1
x1 5
Từ
x 8 ; x1 5.
Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 0
. Tìm CTTQ của xn .
n
xn 2 11xn 1 28 xn 6.7 , n .
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 11 28 0 1 4 2 7.
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
ndq n1
6n.7n1
2n.7n1.
2aq b 2.1.7 11
n
n
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn c1.4 c2 .7 2n.7n1 .
Ta có: q 2 nên nghiệm riêng của phương trình xn*
x0 c1 c2 8
c 10
1
. Suy ra xn 10.4n 2.7 n 2n.7 n 1 , n .
x1 4c1 7c2 2 28 c2 2
Từ
x 4 ; x1 5.
Thí dụ 3: Cho dãy {xn} : 0
n
xn 2 10 xn 1 25 xn 2.(5) , n .
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 10 25 0 1 2 5 .
. Tìm CTTQ của xn.
d n2
.q n(n 1).(5)n2 .
2a
Số hạng tổng quát của dãy : xn c1n c2 .(5)n n(n 1).(5)n , n .
Ta có q 1 2 nên nghiệm riêng của phương trình xn* n(n 1)
Từ
x0 c2 4
c 3
1
. Suy ra xn (3n 4).(5) n n(n 1).(5) n (n 2 76n 100).(5) n n .
x1 5(c 1 c2 ) 5 c2 4
x ; x
Dạng 5: Cho dãy số {xn} được xác định bởi : 0 1
với Pk (n)
axn 2 bxn 1 cxn Pk (n) , n .
là đa thức bậc k theo n. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
Nghiệm riêng xn* cua phương trình đượ xác định như sau:
xn* Qk (n) khi a b c 0.
*
xn nQk (n) khi a b c 0 2a b 0.
x* n 2Q (n) khi a b c 0 2a b 0.
k
n
Xác định công thức tổng quát theo trình tự các bước như đã trình bày ở các ví dụ trên.
x 31 ; x1 60.
Thí dụ : Cho dãy số {xn} : 0
. Tìm CTTQ của xn.
n
xn 2 7 xn 1 10 xn 8n 12n 14, n .
Giải: Xét phương trình đặc trưng của dãy : 2 7 10 0 1 2 2 5.
Ta có : a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình xn* an2 bn c . Thay vào công thức
truy hồi, tiến hành đồng nhất hệ số ta được : xn* 2n2 8n 15 .
Số hạng tổng quát của dãy : xn c1.2n c2 .5n 2n2 8n 15.
x0 c1 c2 15 31
c 15
1
. Suy ra xn 15.2n 5n 2n2 8n 15, n .
c
1
x
2
c
5
c
25
60
2
1
1
2
Từ
x ; x
Dạng 6: Cho dãy xác định bởi {xn} : 0 1
n
axn 2 bxn 1 cxn Pk (n). , n .
.Tìm CTTQ xn.
Nghiệm riêng xn* của phương trình dạng này được xác định như sau :
xn* Qk (n). n khi 1 2 .
*
n
xn n.Qk (n). khi 1 2 . Từ đây tìm được công thức tổng quát cảu xn.
x* n 2 .Q (n). n khi .
k
1
2
n
x 5; x1 18.
Thí dụ: Cho dãy {xn} : 0
n2
xn 2 6 xn 1 9 xn 2(3n 1).3 , n .
. Xác định công thức xn.
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 6 9 0 1 2 3.
Ta có 1 2 nên nghiệm riêng của pt xn* n2 an b .3n . Thay xn* vào công thức truy hồi,
rút gọn và đồng nhất hệ số, ta được xn* n3 2n2 .3n .
Số hạng tổng quát của dãy là xn (c1n c2 ).3n (n3 2n2 ).3n , n .
x0 c2 5
c 2
1
. Suy ra xn (2n 5).3n (n3 2n 2 ).3n n3 2n 2 2n 5 .3n .
c
5
x
3(
c
c
)
3
18
2
1
1
2
Từ
Dạng 7: Cho dãy số được xác định bởi {xn} :
x0 ; x1.
. Xác định số hạng tổng quát của dãy trên.
axn 2 bxn 1 cxn .cosn + sinn , n .
Đối với phương trình dạng này, nghiệm riêng của nó có dạng : xn* Acosn +Bsinn .
Thay xn* vào công thức truy hồi để xác định được hai hệ số A và B.
Thí dụ: Cho dãy {xn} : được xác định bởi :
x0 4 ; x1 4 2
. Tìm số hạng tổng quát của dãy.
n
n
sin
, n .
xn 2 3xn 1 2 xn 3 3 2 .cos
4
4
2
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 3 2 0 1 1 2 2.
n
n
Nghiệm riêng của phương trình có dạng : xn* Acos B sin . Thay vào công thức truy
4
4
hồi, ta được :
(n+2)
(n 2)
(n+1)
(n 1)
n
n
3 Acos
B sin
2 Acos
B sin
Acos 4 B sin
4
4
4
4
4
n
n
.
3 3 2 .cos
sin
4
4
Phân tích vế trái và rút gọn ta được :
3 A 3B
n
3 A 3B
n
n
n
2 A .cos
A
2 B .sin
3 3 2 cos
sin
.
B
4
4
4
4
2
2
2
2
3 A 3B
B 2 2 2 A 3 3 2
A 1
n
n
xn* cos
sin
Đồng nhất hệ số, ta được :
.
4
4
B 1
A 3 A 3B 2 A 1
2
2
n
n
Số hạng tổng quát của dãy : xn c1 c2 .2n cos sin .
4
4
x
c
c
1
4
0 1 2
c 6
n
n
Từ
1
. Suy ra xn 2n 6 cos
sin
, n .
4
4
x1 c1 2c2 2 4 2
c2 1
x0 ; x1
axn 2 bxn 1 cxn d n1 d n 2 ... d nk (1), n .
Dạng 8: Cho dãy số dạng sau { xn} :
Trong đó d ni là một trong các dạng sau : hắng số d, d . n , Pk (n) , n .Pk (n) , ....
Khi đó ta gọi xn*i là nghiệm riêng của phương trình axn2 bxn1 cxn dni .
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
k
Nghiệm riêng của (1) được xác định là x xn*i . Sau đó ta thiết lập được công thức tổng
*
n
i 1
quát như các thí dụ đã cho.
III-Phƣơng trình sai phân bậc ba:
Loại 1: Phƣơng trình thuần nhất :
x0 ; x1 ; x2
. Xác định số hạng tổng quát
axn 3 bxn 2 cxn 1 dxn 0 n .
Dạng 1: Cho dãy {xn} :
xn của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng a 3 b 2 c d 0 . Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
1 ; 2 va 3 . Khi đó số hạng của dãy được xác định là : xn c1.1n c2 .2n c3 .3n .
Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .
x0 1; x1 5 ; x2 8.
. Tìm CTTQ của xn .
xn3 6 xn 2 11xn1 6 xn 0 n .
Thí dụ: Cho dãy số {xn} :
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 3 6 2 11 6 0 1 1 ; 2 2 ; 3 3.
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn c1 c2 .2n c3.3n .
11
c1 2
x0 c1 c2 c3 1
11
5
Từ x1 c1 2c2 3c3 5 c2 9 . Suy ra xn 9.2n .3n n .
2
2
x c 4c 9c 8
5
2
3
2 1
c3
2
x ; x ; x
Dạng 2: : Cho dãy {xn} : 0 1 2
. Xác định số hạng tổng
axn 3 bxn 2 cxn 1 dxn 0 n .
quát xn của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng a 3 b 2 c d 0 có hai nghiệm phân biệt 1 va 2 3 .
Khi đó số hạng tổng quát của dãy số cho bởi : xn c1.1n c2 n c3 . n .
Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .
x0 5; x1 11 ; x2 16
. Tìm CTTQ của dãy.
xn 3 11x n 2 32 xn 1 28 xn 0 , n .
Thí dụ: Cho dãy số {xn} :
Giải: Xét phương trình đặc trưng 3 11 2 32 28 0 1 7 2 3 2.
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn c1.7n c2n c3 .2n
6
c1 35
x0 c1 c3 5
13
6
181 n
13
. Suy ra xn .7 n n
Từ x1 7c1 2c2 2c3 11 c2
.2 , n .
14
35
35
14
x 49c 4c 4c 16
1
2
3
2
181
c3 35
x ; x ; x
Dạng 3: Cho dãy {xn} : 0 1 2
. Xác định số hạng tổng quát
axn 3 bxn 2 cxn 1 dxn 0 n .
xn của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng a 3 b 2 c d 0 có 1 nghiệm kép 1 2 3 . Khi đó
công thức nghiệm tổng quát có dạng : xn c1n2 c2n c3 . n .
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .
x0 3 ; x1 2 ; x2 8
. Xác định số hạng tổng
xn 3 3xn 2 3xn 1 xn 0 , n .
Thí dụ: Cho dãy số {xn} :
quát của dãy.
Giải: Xét phương trình đặc trưng : 3 3 2 3 1 0 1 2 3 1 .
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn c1n2 c2 n c3 .
7
c
1
2
x0 c3 3
9
7
9
Từ x1 c1 c2 c3 2 c2 . Suy ra xn n 2 n 3, n .
2
2
2
x 4c 2c c 8
1
2
3
2
c
3
3
x ; x ; x
Dạng 4: Cho dãy {xn} : 0 1 2
. Xác định số hạng tổng quát
axn 3 bxn 2 cxn 1 dxn 0 n .
xn của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng a 3 b 2 c d 0 có 1 nghiệm thực và hai nghiệm phức.
Khi đó số hạng tổng quát của phương trình có dạng : xn c1. n c2 .cosn +c3 .sin n .
Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .
x 3; x1 4 3 ; x2 8 3.
Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 0
. Tìm CTTQ của xn.
xn 3 5 xn 2 22 xn 1 48 xn 0 , n .
Giải: Xét phương trình đặc trưng 3 5 2 22 48 0 3 2 2 16 0
3
. Phương trình sai phân bậc hai 2 2 16 0 không có nghiệm
2
2 16 0 VN
thực nên theo thí dụ trong dạng 2 của phương trình sai phân bậc hai ta có số hạng tổng
quát là xn' c2 .cos
n
n
n
n
c3 sin
. Vậy số hạng tổng quát xn c1.3n c2 .cos c3 .sin .
3
3
3
3
x0 c1 c2 3
c c 3
Từ x1 3c1 2 3 4 3
2
2
c2 c3 3
8 3
x2 9c1
2
2
c1 1
n
n
c2 2 . Suy ra xn 3n 2 cos
sin
3
3
c3 2
, n .
Loại 2: Phƣơng trình không thuần nhất.
x0 ; x1 ; x2
.
axn 3 bxn 2 cxn 1 dxn d n , n .
Cho dãy số dạng {xn} :
Trong đó d n có thể là hăng số, m n , đa thức bậc k theo n Pk (n) , ....
Ta tiến hành tìm nghiệm riêng như dạng đối với phương trình bậc 2 đã trình bày ở trên.
IV-Phƣơng trình sai phân bậc cao.
Dạng 1: Phương trình thuần nhất : a0 xnk a1 xnk 1 ...... ak xn 0 .
Xét phương trình đặc trưng : a0 k a1 k 1 .............. ak 0 .
TH1: có k nghiệm thực phân biệt, khi đó số hạng tổng quát của dãy sẽ có dạng :
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
k
xn c1. c2 . c3 . ........... ck . ci .in .
n
1
n
2
n
3
n
k
i 1
TH2: Có s nghiệm bằng nhau , (k – s) nghiệm khác nhau và khác với s nghiệm trên. Khi
k
s 1
p
n
đó số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn c p 1.n . ci .in .
i s 1
p 0
TH3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức : x j A Bi r cos +isin trong đó
r A2 B 2 ; arctan
B
và k – 2 nghiệm thực khác nhau thì số hạng tổng quát của dãy
A
k 2
số sẽ có dạng : xn ci .in r n c1' .cosn +c'2 .sin n .
i 1
Dạng 2: Phương trình không thuần nhất: a0 xnk a1 xnk 1 ....... ak xn bn .
Ta xét thêm nghiệm riêng xn* tuỳ theo dạng của bn và các hệ số ai . Thiết lập công thức
tổng quát của xn từ các giả thiết của bài.
V-Một số dạng đặc biệt khác thƣờng gặp của dãy số trong các kì thi.
Dạng 1: Phương trình sai phân dạng " Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một".
xn 1 axn byn
.
yn 1 cxn dyn
Cho dãy số {xn} , {yn} được xác định như sau :
Tìm số hạng tổng quát xn và yn.
Đưa hệ về phương trình sai phân tuyến tính cập 2 của từng dãy {x n} và {yn} :
xn2 axn1 byn1 axn1 b(cxn dyn ) axn1 bcxn d ( xn1 axn ) (a d ) xn1 (bc ad ) xn
yn2 cxn1 dyn1 c(axn byn ) dyn1 dyn1 bcyn a( yn1 dyn ) (a d ) yn1 (bc ad ) yn .
Đưa được hệ về dạng phương trình cơ bản, từ đây ta dễ dàng tìm được CTTQ của số hạng
từng dãy đã cho.
u0 2; un 1 2un vn
n .
v0 1; vn 1 un 2vn
Thí dụ: Tìm CTTQ của dãy số {xn} và {yn} :
Giải: Ta có : un2 (a d )un1 (bc ad )un 4un1 3un và u1 5 .
1 3
Từ đây, ta có : un
2
n1
vn un 1 2un
1 3n 1
.
2
Dạng 2: Phương trình sai phân dạng phân thức tuyến tính:
Tìm CTTQ của dãy số có công thức xác định như sau : x0 ; xn1
Cách 1: Đặt xk
yn 1
zn 1
axn b
n .
cxn d
yk
( zk 0). Khi đó dãy được biến đổi thành :
zk
yn
b
yn 1 ayn bzn
yn 2 (a d ) yn 1 (bc ad ) yn
zn
ay bzn
n
n .
yn
z
cy
dz
z
(
a
d
)
z
(
bc
ad
)
z
cy
dz
n
1
n
n
n
2
n
1
n
n
n
c. d
zn
a.
Từ công thức tổng quát của {yn} và {zn} ta suy ra CTTQ của {xn} .
Cách 2: Đặt xn un t , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có :
aun at b
(a ct ) xn ct 2 (a d )t b
un 1
t
cun ct d
cun ct d
(*).
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
Ta chọn t sao cho ct 2 (d a)t b 0. Khi đó ta chuyển (*) về dạng :
Từ đây ta tìm được
1
1
m
n.
un
un 1
1
, suy ra un .
un
u1 2
Thí dụ: Tìm CTTQ của dãy số {un} :
.
9un 1 24
un 5u 13 n 2.
n 1
x
Cách 1: Đặt un n , thay vào công thức truy hồi ta được :
yn
x
9 n 1 24
xn 1 9 xn 24 yn
xn 2 4 xn 1 3xn
xn
yn 1
9 xn 1 24 yn 1
n .
x
yn
5 xn 1 13 yn 1
yn 1 5 xn 13 yn
yn 2 4 yn 1 3 yn
5 n 1 13
yn 1
x 2 ; x2 42
42
. Ta chọn 1
.
23
y1 1 ; y2 23
x 22.3n 1 24
22.3n 1 24
Từ đây ta tìm được : n
.
Suy
ra
u
n 2.
n
n 1
n 1
11.3
10
y
11.3
10
n
Cách 2: Đặt un xn t , thay vào công thức truy hồi ta được :
Từ u1 2 u2
9 xn 9t 24
(9 5t ) xn 1 5t 2 22t 24
xn t
xn
5 xn 5t 13
5 xn 1 5t 13
Ta chọn t : 5t 2 22t 24 0 t 2 x1 4.
xn
xn1
1
3
1 11.3n 1 10
4
22.3n 1 24
5
xn
u
x
2
.
n
n
5 xn 1 3
xn xn 1
xn
4
11.3n 1 10
11.3n 1 10
Dạng 3: Hệ phương trình tuyến tính bậc 2.
un un21 a.vn21 ; u1
Tìm CTTQ của dãy số (un) và (vn) được xác định bởi :
vn 2un 1.un 1 ; v1
2
2
un u a.v
un a .vn un 1 a .vn 1 ....... u1 a .v1
2
2n1
a
.
v
2
a
.
u
.
v
u av u a .v
n
n 1 n 1
....... u1 a .v1
n
n 1
n 1
n
.
2n1
2n1
1
u
a
a
n 2
n1
n1
v 1 a 2 a 2
n 2 a
2
n 1
2
n 1
n1
Thí dụ: Xác định CTTQ của hai dãy số {un} và {vn} thoả :
u1 2
và
v1 1
Giải:
2
2
un un 1 2vn 1
n 2.
v
2
u
.
v
n 1 n 1
n
u 2v u 2v
2
2
n
n 1
n 1
un un 1 2vn 1
n
Ta có:
2vn 2 2un 1vn 1
un 2vn un 1 2vn 1
2
2
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
a
un 2vn u1 2v1
u 2v u 2v
n
1
1
n
2n1
2n1
2 2
2 2
2n1
2n1
2n1
2n1
1
u
2
2
2
2
n 2
.
2n1
2n1
1
v
2 2
2 2
n 2 2
Dạng 4: Dạng phân thức bậc 2 trên bậc 1:
x1
n 2.
Tìm CTTQ của dãy {xn} :
xn21 a
x
a
.
n
2 xn 1
u
Đặt xn n , khi đó dãy trên được chuyên về hai dãy {un} và {vn} như
vn
un u a.v
vn 2un 1vn 1
2
n 1
2
n 1
; u1
; v1 1
n 2.
Khi đó xn
un
a
vn
a
a
2n1
2n1
sau :
a
a
2n1
2n1
.
x1 2
Thí dụ: Xác định CTTQ của dãy số {xn} :
.
xn21 2
x
n 2.
n
2 xn 1
un un21 2vn21
u1 2
Giải: Xét hai dãy số {un} và {vn} :
và
n 2.
v1 1
vn 2un 1vn 1
u
Ta dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp xn n .
vn
Theo kết quả bài toán trên, ta có : xn 2.
2 2
2 2
2n1
2
n1
2 2
2 2
2n1
2n1
.
Dạng 5: Dạng có căn thức trong công thức truy hồi.
u1
a) Với dãy số {un} :
, với a2 b 1 ta xác định CTTQ như sau:
un aun 1 bu c n 2.
Từ dãy truy hồi un aun1 bun21 c un2 2aunun1 un21 c 0
2
n 1
Thay n bởi n – 1, ta được un22 2aun2un1 un21 c 0.
Ta đây ta dễ thấy un và un2 là nghiệm của phương trình bậc hai X 2 2aun1 X un21 c 0 .
Theo định lý Vi-et, ta có un un2 2aun1 . Từ đây ta dễ dàng xác định CTTQ của xn.
b) Một cách biểu diễn khác : Cho dãy số {un} :
u1
un 1
u
n 2.
n
2
a
cu
b
n 1
, trong đó
0; a 1 ; a 2 b 1 ta xác định CTTQ như sau :
Ta viết lại công thức tổng quát dưới dạng :
1
a
b
c 2 .
un un 1
un 1
Đặt xn
1
un
.
Ta có xn axn1 bxn21 c đây là dãy mà ta đã xét ở trên.
u1 1
Thí dụ: Cho dãy số {un} :
un 5un 1 24un 1 8 n 2.
Tìm un ?
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
Giải: Từ công thức truy hồi của dãy ta có : un 5un1 24un21 8
2
(1) . Thay n bởi n – 1 ta được :
un22 10un2un1 un21 8 0 (2).
Từ (1) và (2) un2 , un là hai nghiệm của phương trình :
Áp dụng định lý Vi-et, ta có : un un2 10un1.
un2 10unun1 un21 8 0
t 2 10un1t un21 8 0
n 1
n 1
Ta dễ dàng tìm được un 6 2 5 2 6 6 2 5 2 6 .
2 6
2 6
Dạng 6: Công thức truy hồi bậc hai dạng phân thức.
u1 ; u2
Cho dãy số {un} :
. Tìm un ?
un21 a
u
n 2.
n
un 2
Đối với dạng này thì từ công thức truy hồi u 3, u4, u5. Ta giả sử un xun1 yun2 z .
u3 xu2 yu1 z
Lập hệ phương trình u4 xu3 yu2 z x, y, z.
u xu yu z
4
3
5
Từ công thức truy hồi ta dễ dàng tìm được công thức tổng quát của un.
u1 u2 1
Thí dụ: Tìm CTTQ của dãy số {un} :
.
un21 2
u
n 2.
n
un 2
Giải: Ta có : u3 3; u4 11; u5 41. Ta giả sử un xun1 yun2 z.
u3 xu2 yu1 z
x y z 3
x 4
Ta có hệ pt : u4 xu3 yu2 z 3x y z 11 y 1 un 4un1 un2 .
u xu yu z
11x 3 y z 41 z 0
4
3
5
n
n
95 3
95 3
. 2 3
. 2 3
n 1.
Ta dễ dạng tìm được xn
6
6
VI-Sử dụng lƣợng giác để tìm công thức tổng quát của dãy số :
u1
Dạng 1: Xác định công thức dãy số dạng {un} :
2
un 2un 1 1 n 2.
Nếu u1 1 : ta đặt u1 cos . Khi đó ta có :
ta làm như sau :
un cos2n-1 .
1
1
Nếu u1 1 : ta đặt u1 a a 0 va au1 0 . Khi đó
2
a
1
1
1
1
1
1
1 n1
1
u2 a 2 2 2 1 a 2 2 u3 a 4 4 ........un a 2 2n1
2
a
2
a
2
a
2
a
.
Với cách xác định số a, ta có a là nghiệm (cùng dấu với u1) của phương trình
a 2 2u1a 1 0 .
Do tích hai nghiệm la 1 nên nếu a là 1 nghiệm thì
1
a
sẽ là
nghiệm còn lại của phương trình. Khi đó công thức tổng quát có thể viết như
sau :
1
un u1 u12 1
2
u
2n1
1
u 1
2
1
2n1
.
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
1
u1
Thí dụ 1: Cho dãy số {un}:
. Xác định CTTQ của dãy {un}.
2
u 2u 2 1 n 2.
n 1
n
1
2
2
22
Giải: Ta có u1 cos u2 2cos2 1 cos u3 2cos 2 1 cos
2
3
3
3
3
3
n-1
2
Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng un cos
n 1. .
3
u 3
Thí dụ 2: Cho dãy số {un} : 1
. Xác định CTTQ của un.
2
un 2un 1 1 n 2.
1
1
Giải: Gọi a là nghiệm lớn của phương trình : a 3 a 2 6a 1 0 a 3 2 2 .
2
a
2
1
1
1
1
1
Ta có a 6a 1 0 u1 a 3 , khi đó u2 a 1 a 2 2 .
2
a
a
2
a
k 1
k
1
1
Giả sử xk a 2 2k 1 thì xk 1 a 2 2k .
a
a
2n1
2n1
n1
1
Theo nguyên lý quy nạp, ta được xn a 2 2n1 3 2 2 3 2 2 .
a
Thí dụ 3: Cho dãy số {xn} được xác định như sau : x1 5, xn1 xn2 2 n 1 .
xn 1
Tìm giá trị của S nlim
.
x x .....x
1 2
n
2
Giải: Chọn a là nghiệm lớn của phương trình x 2 5 x 1 0 a
5 21
1.
2
2
1
1
1
Ta có a 5a 1 0 x1 a 5 ; khi đó x2 x12 2 a 2 a 2 2 .
a
a
a
n1
1
Bằng quy nạp ta chứng minh được xn a 2 2n1 n 1.
a
k
1
k
1
k
1
1
1
2
2
Chú ý rằng a 2 2k 1
a 2k 1 a 2k ,
a
a
a
1 n
1
1
1
a a 2 2n 1 n
a xn 1
xn 1
a
a
a
a2 . a 1 .
ta có
1
1
1
x1 x2 .....xn
a
2n
a
1
a
x
x
.....
x
n
n
1 2
n
a
a2
a2
1
1 2n
xn 1
a . a 1 a 1 21.
lim
Do đó S nlim
x x ......x
n
1
a
a
1 2
n
1 2n
a
u p
Dạng 2: Tìm CTTQ của dãy số {un} : 1
, ta làm như sau :
3
u
4
u
3
u
n
2.
n 1
n 1
n
Nếu p 1 , thì 0; : cos =p . Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được :
2
un cos3n-1 .
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
1
1
Nếu p 1 thì ta đặt u1 a
2
au1 0 . Bằng quy nạp ta chứng minh được
a
3
3
1
1 n1
1
u1 u12 1 .
un a3 3n1 . hay un u1 u12 1
2
2
a
2
u1
Thí dụ 1: Xác định CTTQ của dãy {un} :
.
2
3
u 4u 3u , n 2.
n 1
n
n
n1
n1
2
3
3
3
32
.
cos u2 4cos3 3cos cos
u3 4cos3
3cos
cos
2
4
4
4
4
4
4
4
3n-1
Bằng quy nạp ta chứng minh được un cos
n 1.
4
x 7
Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy {xn} : 1
.
3
xn 4 xn 1 3xn 1 n 1.
Giải: Gọi a là nghiệm lớn của phương trình x2 14 x 1 0 a 7 4 3 .
Giải: Ta có u1
3
1
1
1
1
3
1
1
1
Ta có u1 a 7 u2 a a a3 3 .
2
a
2
a 2
a 2
a
n1
1
1
Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được un a3 3n1 n 1.
2
a
n1
3
3n1
1
Vậy công thức tổng quát của dãy là : un 7 4 3 7 4 3 n 1.
2
u p
Dạng 3: Cho dãy {un} : 1
. Để xác định công thức tổng quát của
3
un 4un 1 3un 1 , n 2.
nó ta có thể làm như sau :
1
1
Ta đặt u1 a . Khi đó bằng nạp ta chứng minh được :
2
a
1 n1
1
un a3 3n1
2
a
1
2
2 u1 u1 1
u
3n1
1
u 1
2
1
3n1
.
3
u1
6
Thí dụ : Xác định CTTQ của dãy {un} :
u 24u 3 12 6u 2 15u 6 n 2.
n 1
n 1
n 1
n
Đặt un xvn y . Thay vào công thức truy hồi của dãy, biến đổi và rút gọn ta được :
xvn y 24 x3vn31 12 6 x 2 y 6 x 2 vn21 3 24 xy 2 8 6 xy 5 x vn1
24 y 3 12 6 y 2 15 y 6.
6 x 2 y 6 x 2 0
Ta chọn y sao cho : 3
2
24 y 12 6 y 15 y 6 y
y
1
.
6
Khi đó : xvn 24 x3vn31 3xvn1 vn 24 x2vn31 3vn1 . Ta chọn x
vn 4vn31 3vn 1 ; v1 2 vn
1
2 5
2
3n1
2 5
3n1
1
6
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
1
Suy ra un
2 5
2 6
3n1
2 5
3n1
1
6 n 1.
u1
1
Dạng 4: Xác định CTTQ của dãy {un} :
với
.
a
2
un a bun 1 n 2.
ab 2
Khi đó ta đặt u1 acos u 2 a b acos a 1 2cos2 acos2 .
2
Bằng quy nạp ta ta chứng minh được un acos 2n-1 n 1.
3
u1
Thí dụ 1: Xác định CTTQ của {un} :
.
2
u 2 u 2 n 2.
n 1
n
3
Giải: Đặt cos , ; , khi đó : u1 2cos u 2 2(1 2cos2 ) 2cos2 .
4
2
Bằng quy nạp ta chứng minh được un 2cos2n-1 n 1.
1
x1 2
Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy số {xn} :
.
2 2 1 un21
n 2.
xn
2
2 2 1 sin 2
1
2
Giải: Ta có : u1 sin u2
6
2
Bằng quy nạp ta chứng minh được là : un sin
2 1 cos
6
6
sin
2
2.6
n 1
2 .6
n 2.
Thí dụ 3: Cho a, b là hai số dương không đổi thoả mãn a < b và hai dãy {an} , {bn}
ab
a1 2 ; b1 ba1
được xác định như sau :
. Tìm CTTQ của an và bn.
a
b
n
1
n
1
a
; bn anbn 1 n 2.
n
2
a
a
Giải: Ta có 0 1 nên ta đặt cos với 0; .
b
b
2
Khi đó : a1
a b
a2 1 1
2
bcos +b b 1 cos
bcos2
và b1 b.bcos2 bcos
2
2
2
2
2
bcos 2
2
bcos
2
2 bcos .cos 2 và b bcos .cos .
2
2
22
2
22
Bằng quy nạp ta chứng minh được :
an bcos
2
cos
2
2
.....cos 2
2
n
2
2
và bn bcos cos
2
.....cos 2
2n
.
u1 a
Dạng 5: Để tìm CTTQ của dãy {un} :
un 1 b
n 2.
un 1 bu
n 1
Ta đặt a tan và b tan , khi đó ta dễ dàng chứng minh được un tan (n 1) .
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
u1 3
Thí dụ 1 : Cho dãy {un} :
. Tính giá trị của u2011 .
un 1 2 1
n 2.
un 1 1 2 u
n 1
Giải: Ta có tan
8
tan
2 1 và u1 3 tan
tan
3
.
8 tan . Bằng quy nạp ta chứng minh được :
3 8
1 tan .tan
3
8
5
un tan (n 1) n 2. Suy ra u2011 tan 2010. tan
2 3.
8
8
3
3
3 4
u1 3
Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy số {un} :
un 1
n 2.
un
1 1 un21
1
1
1
1
1 2 . Đặt xn
Giải: Ta có :
, khi đó ta được dãy {xn} dược xác định như
un un 1
un 1
un
1
sau : x1
và xn xn1 1 xn21 .
3
Khi đó, u2
3
1
1 cos 3
Vì x1
.
cot x2 cot 1 cot 2
cot
3
3
3
2.3
3
sin
3
Bằng quy nạp ta chứng minh được : xn cot
n 1
2 .3
un tan
n 1
2 .3
n 1, 2,3...........
BÀI TẬP DÀNH CHO ĐỘC GIẢ TỰ LUYỆN
Bài 1: Xác định công thức tổng quát của các dãy số sau đây :
3xn1 2 xn 0
n0
a) Cho x0 1;
n
b) Cho x0 1; 5xn1 4 xn 2
n 0.
n 0.
c) Cho x0 2; xn1 xn 2n2 n 4
4 xn1 7 xn 6n 5
n 0.
d) Cho x0 5;
xn1 xn 13
n 0.
e) Cho x0 3;
3xn1 2 xn 23
n 0.
f) Cho x0 4;
n
g) Cho x0 7;
xn1 3xn 2.3
n 0.
2 xn1 xn 2n2
n 0.
h) Cho x0 15;
7
n 0.
5
n 1.
j) Cho x0 1; x1 4; xn1 4 xn1 xn1 0
2
1
n 1.
k) Cho x0 4; x1 ; xn1 xn xn1 0;
3
4
n 1.
l) Cho x0 3; x1 3 4 3 ; xn1 2 xn 13xn1 0
i) Cho x0 ; 11xn1 6 xn 2.3n 4n
m) Cho x0 5; x1 1;
xn1 6 xn 3xn1 14
n 1.
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
Cho x0 4; x1 3; xn1 2 xn 3xn1 6
n 1.
Cho x0 2; x1 4; xn1 2 xn xn1 11
n 1.
n
Cho x0 1; x1 5; xn1 8xn 15n1 4.2
n 1.
Cho x0 1; x1 4; xn1 3xn 4 xn1 3.4n
n 1.
Cho x0 4; x1 2; xn1 6xn 9xn1 5.3n ;
n 1.
2
Cho x0 1; x1 3; xn1 7 xn 12 xn1 (2n 3n 1).2n n 1.
Cho x0 2; x1 3; xn1 7 xn 10 xn1 (3n 1).5n
n 1.
Cho x0 1; x1 3; xn1 8xn 16xn1 (2n2 3).4n
n 1.
n
n
2sin
3
3
n
n
w) Cho x0 1 ; x2 5 ; 2 xn1 7 xn 5xn1 2 5
n 1.
v) Cho x0 1; x1 6 ;
xn1 3xn 2 xn1 3cos
xn 1 2 xn 5 yn
yn 1 5 xn 3 yn
x) Cho x1 3; y1 2 ;
y) Cho x1 2;
xn1
2 xn 7
4 xn 3
n 1.
n 1.
n 1.
;
Bài 2: Xác định Công thức tổng quát của các dãy số đặc biệt sau :
1
2
xn 2 .xn
2002 xn1 2001xn 2000 xn 1 xn
a) Cho x0 1; x1 ;
xn 2
b) Cho x0 1;
xn2 xn21.xn3
xn
x1 2;
c) Cho x1 1; xn1
d) Cho u0 2;
2 3 xn2
u1 6 33 ;
với n 0.
n 0.
n 1
un1 3un 8un2 1
n 1
3
u1
3
e) Cho
u 2 3
un n 1
n 2.
1 3 2 un 1
un , n .
Bài 3: Cho dãy số {un} thoả mãn như sau : u0 1, u1 9
u 10.u u
n 1
n 2 n , n 2.
n
Chứng minh rằng k , k 1.
a) uk2 un21 10uk uk 1 8
b) 5uk uk 1 4 và 3.uk2 1 2 .
x0 1; x1 0
.
xn 2 xn 1 xn 2 2 n 2.
Bài 4: Cho dãy {xn} xác định như sau :
Xác định số tự nhiên n sao cho : xn1 xn 22685.
x0 1; x1 5
.
xn 1 6 xn xn 1 n 1.
Bài 5: Cho day {xn} được xác định bởi :
Tìm nlim
xn 2 ( TH&TT T7/253)
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
1
1 2
2 2
1
1 1 an
Bài 6: Xét dãy {an} : a1 và an 1
n 1.
2
2
Chứng minh rằng : a1 a2 a3 ...... a2005 1,03 (TH&TT T10/335)
Bài 7: Cho dãy số {an} : a0 2; an1 4an 15an2 60 n 1. Hãy xác định CTTQ của an và
chứng minh rằng số
1
a2n 8 có thể biểu diễn thành tổng bình phương của 3 số nguyên
5
liên tiếp với n 1. (TH&TT T6/262)
Bài 8: Cho dãy số p(n) được xác định như sau :
p(1) 1; p(n) p(1) 2 p(2) ....... (n 1) p(n 1) n 2. Xác định p(n) . (TH&TT T7/244).
u 2
Bài 9: Xét dãy {un} : 1
. Chứng minh rằng với mỗi số
3
2
un 3un 1 2n 9n 9n 3 n 2.
p 1
nguyên tố p thì 2009 ui chia hết cho p (TH&TT T6/286).
i 1
x a
Bài 10: Dãy số thực {xn} : 0
.
2
xn 1 2 xn 1 n 0.
Tìm tất cả giá trị của a để xn 0 n 0 . (TH&TT T10/313)
xn1.xn
1
Bài 11: Dãy số {xn} : x0 1; x1 và xn2
n 0.
2002 xn1 2001xn 2000 xn 1.xn
2
Hãy tìm CTTQ của xn (TH&TT T8/298).
1
a1 2
Bài 12: Cho dãy số {an} được xác định như sau {an} :
an 1
an
n 1.
2nan 1 1
Tính tổng S a1 a2 .......... a2010.
Bài 13: Cho dãy số được xác định bởi : a1 1.2.3; a2 2.3.4; ......; an n(n 1)(n 2).
Đặt Sn a1 a2 .... an . Chứng minh rằng 4Sn 1 là số chính phương .
( HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B)
Bài 15: Cho hai dãy số {an} và {bn} được xác định như sau :
a0 2 ; b0 1
.
2anbn
an 1 a b ; bn 1 an 1bn n 0.
n
n
Chứng minh rằng các dãy {an} và {bn} có cùng giới hạn chung khi n .
Tìm giới hạn chung đó. ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2)
Bài 16: Cho các số nguyên a, b. Xét dãy số nguyên {an} được xác định như sau :
a0 a; a1 b; a2 2b a 2
.
an 3 3an 2 3an 1 an n 0.
a) Tìm CTTQ của an
b) Tìm các số nguyen a, b để an là số chính phương với n 1998 .
(HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B).
Mai Xuân Việt – Email:
[email protected] – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
.PDF 
22 
1036 
103 
