Tài liệu Tìm số hạng tổng quát của dãy số

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Ở đây ta chỉ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại này. Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 … Giải: Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là: u1; u2 ; u3 ;...un ... thì ta có: u2  u1  1; u3  u2  2; u4  u3  3...un  un 1  n  1 � un  u1  1  2  3  ...  n  1  n(n  1) / 2 � un  n(n  1) / 2  1 Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau: 1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; … u1  1 � � ( u ) : Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy n � un 1  3un  2(n �N * ) � Giải: Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau: un  3un 1  2;3un 1  32 un 2  2.3;32 un 2  33 un 3  2.32....3n 2 u2  3n 1u1  2.3n 2 n 1 � un  3 2 n2 u1  2(1  3  3  ...  3 )3 Cách 2: Đặt vn 1  un 1   sao cho vn 1  3vn n 1 3n 1  1  2.  2.3n 1  1 3 1 � vn 1  un 1    3un  2    3vn  3(un   ) �   1 . Vậy (vn ) là một cấp số nhân có công bội q =3 và v1  u1  1  2 � vn  v1 3n 1  2.3n 1 � un  vn  1  2.3n 1  1. Từ cách giải 2 ta có lời giải của bài toán tổng quát sau: u1  a � ( u ) : Tìm số hạng tổng quát của dãy n � un 1  bun  c (b �0;1) � Đặt vn 1  un 1   sao cho: Giải: vn 1  b.vn � vn 1  un 1    bun  c    b.vn  b(un   ) �   Như vậy (vn ) là một cấp số nhân có c b 1 DOÃN XUÂN HUY---THPT ÂN THI---HƯNG YÊN v1  u1    a  c c c c � vn  v1.q n 1  (a  ).b n 1 � un  (a  ).b n 1  b 1 b 1 b 1 b 1 u1  2 � � Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) : � un 1  un  2n  1(n �N * ) � Giải: Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được: un  u1  2  (n  1)  (n  2)  ...  3  2  n  1  n( n  1)  n  1  ( n  1) 2  2 u1  2 � � ( u ) : Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy n � un 1  2un  3n  2(n �N * ) � Giải: - Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra: un  2un 1  3n  1;2un 1  22 un  2  2(3n  4)...2 n  2 u2  2n 1 u1  2 n  2.5 � un  2n 1 u1  S  2n  S với S  3n  1  2(3n  4)  22 (3n  7)  ...  5.2n 1 � 2S  2(3n  1)  22 (3n  4)  ...  8.2n  2  5.2n 1 � S  3.2  3.22  ...  3.2 n  2  5.2n 1  3n  1  6(1  2  ...  2n 3 )  5.2n 1  3n  1  6(2 n 2  1)  5.2n 1  3n  1  8.2n 1  3n  5  4.2n  3n  5 � un  5.2n  3n  5. Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số cộng và một cấp số nhân. - Cách 2: Đặt vn  un  an  b sao cho vn  2vn 1 � vn  un  an  b  2un 1  3n  1  an  b  2(un 1  a (n  1)  b) � a  3; b  5 Có v1  u1  3.1  5  10 � vn  un  3n  5  v1.2n 1  10.2 n 1  5.2 n � un  5.2n  3n  5 u1  1 � � ( u ) : Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy n � un 1  3un  2n 1 ( n �N * ) � 2 DOÃN XUÂN HUY---THPT ÂN THI---HƯNG YÊN Giải: - Cách 1: Theo giả thiết ta có: un  3un 1  2n ;3un 1  32 un  2  2 n 1.3;...3n  2 u2  3n 1 u1  2 2.3n  2 n 1 � un  3 3 32 3n 2 u1  2 (1   2  ...  n 2 )  3n 1  4(3n 1  2n 1 )  5.3n 1  2n 1 2 2 2 n Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của hai cấp số nhân. - Cách 2: Đặt vn  un  k .2n với vn  3vn 1 � 3un 1  2n  k .2n  3(un 1  k .2n 1 ) � 2  2k  3k � k  2 � un  2.2n  vn  v1.3n1  5.3n1 � un  5.3n1  2 n1. u1  1; u2  5 � � ( u ) : Bài toán 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy n � un  2  5un 1  6un (n �N * ) � Giải: Từ giả thiết ta suy ra: un  2  2un 1  3(un 1  2un ) . Đặt vn 1  un  2  2un 1 � vn 1  3.vn . Vậy (vn ) là cấp số nhân có công bội q = 3 và v1  u2  2u1  5  2.1  3 � vn 1  un  2un 1  v1.3n  2  3n 1 � un  2un 1  3n 1 . Đặt xn  un  k .3n 1 sao cho: xn  2.xn 1 � xn  un  k .3n 1  2.un 1  3n 1  k .3n 1  2.xn 1  2(un 1  k .3n  2 ) � 3  3.k  2.k � k  3 . Do ( xn ) là cấp số nhân có công bội q = 2 và x1  u1  k .30  2 � xn  x1.2n 1  2n � un  xn  k.3n 1  xn  3n  3n  2 n . Bây giờ ta giải bài toán tổng quát của bài toán trên: u1  a; u2  b � � Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) : � trong đó a,b,c,d là các * u  cu  du (1)( n � N ) �n  2 n 1 n hằng số thực; a và b khác 0. Giải: Giả sử un  r n với r là một số thực nào đó. Khi đó từ (1) ta suy ra: r n  2  c.r n 1  d .r n  0 � r 2  c.r  d  0(2) . (2) được gọi là phương trình đặc trưng ( PTĐT ) của dãy (un ) . Có hai trường hợp: 1/ (2) có hai nghiệm phân biệt r1 và r2 . Khi đó ta có: r1n  2  c.r1n 1  d .r1n  0 và 3 DOÃN XUÂN HUY---THPT ÂN THI---HƯNG YÊN r2n  2  c.r2n1  d .r2n  0 � (k .r1n  2  l.r2n 2 )  c.(k .r1n 1  l.r2n 1 )  d .(k .r1n  l.r2n )  0 Điều đó chứng tỏ un  k .r1n  l.r2n thỏa mãn (1). Trong đó k và l là các hằng số thỏa mãn hệ k .r1  l.r2  a r1r2 � � D   r1r2  r1  r2   d  r1  r2  �0 nên hệ phương trình sau: � 2 . Do 2 2 2 k .r1  l.r2  b r1 r2 � phương trình trên có nghiệm duy nhất; điều đó cũng chứng tỏ dãy số đã cho được xác định một cách duy nhất. Áp dụng vào bài 6 ta có a = 1; b = 5; c = 5; d = -6 � r1  2; r2  3 � k  1; l  1 � un  k .r1n  l.r2n  2n  3n Đối với dãy Fibônaxi ta có a = b = c = d = 1 nên PTĐT r 2  r  1  0 có hai nghiệm: � 1 5 1 5 .k  .l  1(3) � � 2 2 1 5 1 5 . Từ đó ta có hệ phương trình: � r1  & r2  2 2 �3  5 .k  3  5 .l  1(4) � � 2 2 Lấy (4) trừ (3) ta được: k+l = 0. Thay l = -k vào (3) ta được: 5.k  1 � k  1/ 5 . n n� � � � � � 1 �1  5 1 5 � Vậy un  � � � � . 2 2 � 5 � � � �� � � c c2 2/ (2) có nghiệm kép r1  r2  �  d  r1.r2  . Đặt un  r1n .vn ; thay vào (1) ta được: 2 4 n2 n 1 n n2 r1 .vn  2  c.r1 .vn 1  d .r1 .vn  2.r1 .vn 1  r1n  2 .vn � vn  2  vn 1  vn 1  vn Vậy (vn ) là một cấp số cộng nên vn  k .n  l với k và l là các số thỏa mãn hệ phương trình: (k  l ).r1  a r1r2 � 3 Do D  2 2  r1 �0 nên k và l được xác định một cách duy nhất; tức � 2 (2k  l ).r1  b r1 2.r1 � là có duy nhất dãy (un ) mà un  ( k .n  l )r1n thỏa mãn điều kiện của bài toán. u1  4; u2  20 � � Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) : � un  2  4un 1  4un (n �N * ) � Ở đây ta có: a = 4; b = 20; c = 4; d = -4 nên PTĐT có nghiệm: r1  r2  2 . Giải hệ phương trình ta tìm được: k = 3 và l = -1. Vậy un  (3n  1).2n 4 DOÃN XUÂN HUY---THPT ÂN THI---HƯNG YÊN ---------------- // -------------- 5