Tài liệu Tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Thu Hà TÌM HIỂU VỀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN THỜI GIAN LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60 46 01 06 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. PHAN VIẾT THƯ Hà Nội - 2014 Mục lục Lời cảm ơn 3 Mở đầu 4 1 Qúa trình ngẫu nhiên 1.1 Qúa trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . 1.2 Phân phối hữu hạn chiều . . . . . . . 1.3 Tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov . . 1.4 Quá trình Gaussian . . . . . . . . . . 1.5 Tính không khả vi của các quỹ đạo của 1.6 Bộ lọc và thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . chuyển . . . . 2 Martingales 2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . 2.2 Martingales thời gian rời rạc . . . . . . . 2.2.1 Biến đổi martingale . . . . . . . . 2.2.2 Các bất đẳng thức . . . . . . . . . 2.2.3 Khai triển Doob . . . . . . . . . . 2.2.4 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . 2.2.5 Các định lý dừng tùy chọn . . . . . 2.3 Martingales thời gian liên tục . . . . . . . 2.3.1 Upcrossings trong thời gian liên tục 2.3.2 Tính chính quy . . . . . . . . . . . 2.3.3 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . 2.3.4 Các bất đẳng thức . . . . . . . . . 2.3.5 Tùy chọn dừng . . . . . . . . . . . 2.4 Ứng dụng chuyển động Brown . . . . . . . 2.4.1 Biến phân bậc hai . . . . . . . . . 2.4.2 Bất đẳng thức mũ . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 9 10 14 17 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 26 26 29 31 32 37 40 40 41 44 45 46 48 48 50 MỤC LỤC 2.4.3 2.4.4 3 Luật loga lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phân bố các lần chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . Quá trình Markov 3.1 Định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . 3.2 Sự tồn tại của một bản sao chính tắc . . . 3.3 Quá trình Feller . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Hàm chuyển trạng thái Feller và các 3.3.2 Sự tồn tại của một bản sao cadlag . 3.3.3 Sự tồn tại của một bộ lọc tốt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . giải thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 54 56 56 59 63 63 68 71 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 2 Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình và tận tâm của PGS. TS Phan Viết Thư. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Hà nội, tháng 03 năm 2014 3 Mở đầu Lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục là một trong những lĩnh vực quan trọng của chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Nói một cách đơn giản, quá trình ngẫu nhiên là một hiện tượng có thể được coi như phát triển trong thời gian một cách ngẫu nhiên. Ví dụ thường thấy là vị trí của một hạt trong một hệ thống vật lý, giá của một cổ phiếu trong một thị trường tài chính, lãi suất,. . . Một ví dụ cơ bản là sự chuyển động thất thường của hạt phấn hoa lơ lửng trong nước, gọi là chuyển động Brown, được đặt theo tên tiếng Anh nhà thực vật học R. Brown, người đầu tiên quan sát được nó vào năm 1827. Sự chuyển động của các hạt phấn hoa được cho là do tác động của các phân tử nước bao quanh nó. Những va chạm này xảy ra với một số lượng lớn, trong mỗi khoảng thời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, và tác động của một va chạm duy nhất là rất nhỏ so với tổng hiệu lực. Điều này cho thấy sự chuyển động của các hạt có thể được xem như là một quá trình ngẫu nhiên. Trong khuôn khổ hạn chế, luận văn này chỉ đề cập đến một phần xung quanh vấn đề tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục. Nội dung chính của luận văn : " Tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục" giới thiệu một số các khái niệm cơ bản của quá trình ngẫu nhiên, bao gồm các định lý, định nghĩa, bổ đề có chứng minh, sử dụng mô hình toán học của chuyển động Brown, và các kiến thức có liên quan các Martingale và quá trình Markov. Bố cục của luận văn này gồm 3 chương: 4 MỤC LỤC Chương 1: Quá trình ngẫu nhiên. Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên (định lý, định nghĩa, bổ đề, hệ quả), phân phối hữu hạn chiều, điều kiện liên tục của Kolmogorov, quá trình Gaussian, tính không khả vi của các quỹ đạo chuyển động Brown, bộ lọc và thời điểm dừng. Chương 2: Các Martingale. Mục đính của chương này là giới thiệu định nghĩa và cung cấp các ví dụ về Martingale, lý thuyết Martingale với thời gian rời rạc, Martingale thời gian liên tục và ứng dụng của chuyển động Brown. Chương 3: Quá trình Markov. Chương này trình bày các định nghĩa cơ bản, sự tồn tại của một bản sao chính tắc, quá trình Feller. 5 Chương 1 Qúa trình ngẫu nhiên 1.1 Qúa trình ngẫu nhiên Nói một cách đơn giản, quá trình ngẫu nhiên là một hiện tượng có thể được coi như phát triển trong thời gian một cách ngẫu nhiên. Ví dụ thường thấy là vị trí của một hạt trong một hệ thống vật lý, giá của một cổ phiếu trong một thị trường tài chính, lãi suất,. . . Một ví dụ cơ bản là sự chuyển động thất thường của hạt phấn hoa lơ lửng trong nước, gọi là chuyển động Brown, được đặt theo tên tiếng Anh nhà thực vật học R. Brown, người đầu tiên quan sát được nó vào năm 1827. Sự chuyển động của các hạt phấn hoa được cho là do tác động của các phân tử nước bao quanh nó. Những va chạm này xảy ra với một số lượng lớn, trong mỗi khoảng thời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, và tác động của một va chạm duy nhất là rất nhỏ so với tổng hiệu lực. Điều này cho thấy sự chuyển động của các hạt có thể được xem như là một quá trình ngẫu nhiên với những đặc tính sau: (i) Sự di chuyển trong khoảng thời gian bất kỳ [s,t] là độc lập với những gì xảy ra trước thời gian s. (ii) Di chuyển như vậy có một phân phối Gaussian, mà chỉ phụ thuộc vào độ dài của khoảng thời gian [s,t]. (iii) Sự chuyển động là liên tục. Mô hình toán học của chuyển động Brown sẽ là đối tượng chính đề cập đến trong luận văn này. Hình 1.1 cho thấy một thể hiện cụ thể của quá trình 6 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên ngẫu nhiên này. Hình ảnh cho thấy chuyển động Brown có một số điểm đáng chú ý, và chúng ta sẽ thấy rằng điều này thực sự đáng để nghiên cứu. Hình 1.1: Biểu diễn các chuyển động Brown Định nghĩa 1.1.1. Cho T là một tập hợp và (E, E) là một không gian đo được. Một quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số T, lấy giá trị trong (E, E), là một tập hợp X = (Xt )t∈T , của những ánh xạ đo được Xt từ một không gian xác suất (Ω, F, P) vào (E, E). Không gian (E, E) được gọi là không gian trạng thái của quá trình. Chúng ta coi t như một tham số thời gian, và xem các bộ chỉ số T như tập hợp tất cả các thời điểm có thể. Trong luận văn này chúng ta thường gặp T = Z+ = {0, 1, . . .} hoặc T = R+ = [0, ∞). Trong trường hợp đầu chúng ta gọi thời gian là rời rạc, trong trường hợp sau chúng ta gọi thời gian là liên tục. Lưu ý rằng một quá trình thời gian rời rạc có thể được xem như là một quá trình liên tục mà nó là hằng số trên khoảng [n − 1, n) với mọi n ∈ N. Không gian trạng thái (E, E) thường dùng nhất là không gian ơclid Rd , được trang bị σ -đại số Borel B(Rd ) . Nếu E là không gian trạng thái của một quá trình, chúng ta gọi là quá trình E -giá trị. Với mọi t ∈ T cố định, quá trình ngẫu nhiên X cho chúng ta một phần tử ngẫu nhiên E - giá trị Xt trên (Ω, F, P). Chúng ta cũng có thể cố định ω ∈ Ω và xét các ánh xạ t 7→ Xt (ω) trên T. Những ánh xạ này được gọi là các quỹ đạo, hoặc quỹ đạo mẫu của quá trình. Các quỹ đạo mẫu là các hàm từ T vào E, tức là các phần tử của E T . Do đó, chúng ta có thể coi quá trình 7 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên X là một phần tử ngẫu nhiên của không gian hàm E T . (Khá thường xuyên, các quỹ đạo mẫu là các phần tử của một số tập hợp con tốt của không gian này.) Mô hình toán học của chuyển động Brown là một quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.1.2. Quá trình ngẫu nhiên W = (Wt )t ≥ 0 được gọi là một chuyển động Brown tiêu chuẩn, hoặc quá trình Wiener, nếu (i) W0 = 0, h.c.c (ii) Wt − Ws độc lập với (Wu : u ≤ s) với mọi s ≤ t, (iii) Wt − Ws có phân phối N (0, t − s) cho tất cả các s ≤ t, (iv) Hầu tất cả các quỹ đạo mẫu của W là liên tục Chúng ta viết tắt chuyển động Brown là BM. Tính chất (i) nói rằng một BM tiêu chuẩn bắt đầu ở 0. Một quá trình với tính chất (ii) được gọi là một quá trình với số gia độc lập. Tính chất (iii) thể hiện rằng sự phân bố của gia số Wt − Ws chỉ phụ thuộc vào t − s. Được gọi là tính dừng của gia số. Một quá trình ngẫu nhiên có tính chất (iv) được gọi là quá trình liên tục. Tương tự như vậy, chúng ta gọi một quá trình ngẫu nhiên là liên tục phải nếu gần như tất cả các quỹ đạo mẫu của nó là hàm liên tục phải. Chúng ta sẽ thường sử dụng các từ viết tắt cho các quá trình với quỹ đạo là liên tục phải có những giới hạn bên trái hữu hạn ở mọi thời điểm. Từ định nghĩa không khẳng định rằng BM thực sự tồn tại! Chúng ta sẽ phải chứng minh rằng tồn tại một quá trình ngẫu nhiên mà thỏa mãn tất cả các tính chất của Định nghĩa 1.1.2. Mệnh đề 1.1.3. Quá trình W thỏa mãn các tính chất (i), (ii), và (iii) của Định nghĩa 1.1.2 nếu và chỉ nếu với mọi t1 , ..., tn ≥ 0 vector (Wt1 , ..., Wtn ) có phân phối Gaussian n chiều với vector trung bình 0 và ma trận hiệp phương sai (ti ∧ tj )i,j=1,...,n . 8 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên 1.2 Phân phối hữu hạn chiều Trong phần này, chúng ta nhớ lại định lý Kolmogorov về sự tồn tại của quá trình ngẫu nhiên với các phân phối hữu hạn chiều đã cho. Chúng ta sử dụng nó để chứng minh sự tồn tại của một quá trình có tính chất (i), (ii) và (iii) Định nghĩa 1.1.2. Định nghĩa 1.2.1. Cho X = (Xt )t∈T là một quá trình ngẫu nhiên. Phân phối của các vectơ hữu hạn chiều có dạng (Xt1 , ..., Xtn ) được gọi là phân phối hữu hạn chiều (fdd) của quá trình. Có thể dễ dàng kiểm tra được fdd của một quá trình ngẫu nhiên tạo thành một họ các độ đo, thể hiện bởi các định nghĩa dưới đây. Định nghĩa 1.2.2. Cho T là một tập hợp và (E, E) là một không gian đo được. Với mọi t1 , ..., tn ∈ T , cho µt1 ,..., tn là một độ đo xác suất trên (E n , E n ). Bộ các độ đo được gọi là nhất quán nếu nó có các tính chất sau: (i) Với mọi t1 , ..., tn ∈ T , mọi hoán vị π của {1, ..., n} và mọi A1 , ..., An ∈ E µt1 ,...,tn (A1 × ... × An ) = µtπ(1) ,...,tπ(n) (Aπ(1) × ... × Aπ(n) ) (ii) Với mọi t1 , ..., tn+1 ∈ T và A1 , ..., An ∈ E µt1 , ..., tn+1 (A1 × ... × An × E) = µt1 ,..., tn (A1 × ... × An ) . Định lý Kolmogorov về tính nhất quán khẳng định ngược lại, dưới điều kiện chính quy nhẹ, mọi họ nhất quán của các độ đo trong thực tế là họ của fdd của một quá trình ngẫu nhiên. Một số giả thiết là cần thiết trên không gian trạng thái (E, E). Chúng ta giả thiết E là một không gian Polish ( không gian metric khả ly đủ ) và E là σ -đại số Borel của nó, tức là σ -đại số được tạo ra bởi các tập mở. Rõ ràng, không gian Euclid (Rn , B(Rn )) phù hợp với nội dung này. Định lí 1.2.3. (Định lý nhất quán của Kolmogorov). Giả sử E là một không gian Polish và E là σ -đại số Borel. Cho T là một tập hợp và với mọi t1 , ..., tn ∈ T , lấy µt1 ,...,tn là một độ đo trên (E n , E n ). Nếu độ đo µt1 ,...,tn tạo thành một hệ nhất quán, khi đó trên không gian xác suất (Ω, F, P) nào đó tồn tại một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t∈T có độ đo µt1 ,...,tn là fdd của nó. Chứng minh. Xem ví dụ Billingsley (1995). 9 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên Bổ đề sau đây là bước đầu tiên trong việc chứng minh sự tồn tại của BM. Hệ quả 1.2.4. Tồn tại một quá trình ngẫu nhiên W = (Wt )t≥0 thỏa mãn các tính chất (i), (ii) và (iii) của Định nghĩa 1.1.2. Chứng minh. Chúng ta hãy lưu ý đầu tiên là một quá trình W có tính chất (i), (ii) và (iii) của Định nghĩa 1.1.2 khi và chỉ khi với mọi t1 , ..., tn ≥ 0 vectơ (Wt1 , ..., Wtn ) có phân phối Gaussian n chiều với vectơ trung bình 0 và ma trận hiệp phương sai (ti ∧ tj )i,j=1...n ( Mệnh đề 1.1.3). Vì vậy, chúng ta phải chứng minh rằng tồn tại một quá trình ngẫu nhiên có phân bố như trên trùng với fdd của nó. Đặc biệt, chúng ta phải chỉ ra rằng ma trận (ti ∧ tj )i,j =1...n là một ma trận hiệp phương sai hợp lệ, tức là nó xác định không âm. Điều này thực sự là thích hợp, do với mọi a1 ...an , ta có : n X n X i=1 j=1 ai aj (ti ∧ tj ) = Z∞ X n !2 ai 1[0,ti ] (x) dx ≥ 0. i=1 0 Điều này suy ra rằng với mọi t1 , ..., tn ≥ 0 tồn tại một véc tơ ngẫu nhiên (Xt1 , ..., Xtn ) có phân phối Gaussian n chiều µt1 ,...,tn với trung bình 0 và ma trận hiệp phương sai (ti ∧ tj )i,j =1...n . Khi đó suy ra các độ đo µt1 ,...,tn tạo thành một hệ nhất quán. Do đó, theo định lý nhất quán của Kolmogorov, tồn tại một quá trình W có các phân phối µt1 ,...,tn như các fdd của nó. Để chứng minh sự tồn tại của BM, còn cần phải xem xét tính liên tục (iv) trong định nghĩa của BM. Đây là chủ đề của mục tiếp theo. 1.3 Tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov Theo hệ quả 1.2.4 tồn tại một quá trình W có tính chất (i) - (iii) của Định nghĩa 1.1.2. Chúng ta muốn quá trình này cũng có cả tính chất liên tục (iv) của định nghĩa. Tuy nhiên, chúng ta đi vào vấn đề mà không có lý do cụ thể tại sao tập {ω : t → Wt (ω) là liên tục} ⊆ Ω có thể đo được. Do đó, xác suất để quá trình W có đường quỹ đạo mẫu liên tục nói chung không được xác định rõ. Một cách giải quyết vấn đề này là liệu chúng ta có thể thay đổi được quá trình W theo cách như quá trình kết quả, ký hiệu là W̃, có quỹ đạo mẫu liên 10 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên tục và vẫn thỏa mãn (i) - (iii), tức là có cùng các fdd như W. Để làm cho ý tưởng này trở nên chính xác, chúng ta cần các khái niệm sau. Định nghĩa 1.3.1. Cho X và Y là hai quá trình đánh chỉ số bởi cùng một tập T và với cùng không gian trạng thái (E, E), định nghĩa trên các không gian xác suất (Ω, F, P) và (Ω0 , F 0 , P0 ) tương ứng. Hai quá trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng fdd, tức là nếu với mọi t1 , ..., tn ∈ T và B1 , ..., Bn ∈ E P(Xt1 ∈ B1 , ..., Xtn ∈ Bn ) = P0 (Yt1 ∈ B1 , ..., Ytn ∈ Bn ) Định nghĩa 1.3.2. Cho X và Y là hai quá trình đánh chỉ số bởi cùng một tập T và với cùng không gian trạng thái (E, E), định nghĩa trên cùng một không gian xác suất (Ω, F, P). Hai quá trình được gọi là bản sao của nhau nếu ∀t ∈ T : Xt = Yt h.c.c. Khái niệm thứ hai rõ ràng là mạnh hơn so với khái niệm đầu tiên: nếu hai quá trình là bản sao của nhau, thì chắc chắn cũng là hai quá trình tương đương nhau. Những điều ngược lại nói chung là không đúng . Định lý sau đây cho một điều kiện đủ để một quá trình có một chỉnh sửa liên tục. Điều kiện (1.1) được gọi là điều kiện liên tục của Kolmogorov. Định lí 1.3.3. Tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov. Cho X = (Xt )t∈ [0;T ] là một quá trình Rd - giá trị. Giả sử rằng tồn tại các hằng số α, β, K > 0 sao cho E k Xt − Xs kα ≤ K|t − s|1+β (1.1) với mọi s, t ∈ [0, T ]. Khi đó tồn tại một chỉnh sửa liên tục của X. Chứng minh. Để đơn giản, chúng ta giả thiết rằng T = 1 trong chứng minh. Đầu tiên quan sát thấy theo Bất đẳng thức Chebychev, điều kiện (1.1) có nghĩa là quá trình X là liên tục theo xác suất. Điều này có nghĩa là nếu tn → t, khi đó Xtn → Xt theo xác suất. Bây giờ với n ∈ N, định nghĩa S Dn = {k/2n : k = 0, 1, ...2n} và lấy D = ∞ n=1 Dn . Khi đó D là một tập đếm được, và D là trù mật trong [0, 1]. Mục tiêu tiếp theo của chúng ta là chỉ ra rằng với xác suất 1, quá trình X là liên tục đều trên D. 11 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên Cố định γ ∈ (0, β/α) tùy ý. Sử dụng bất đẳng thức Chebychev một lần nữa, chúng ta thấy rằng
P k Xk/2n − X(k−1)/2n k≥ 2−γn . 2−n(1+β−αγ) . 1 Khi đó  P ≤ 2n P −γn  max k Xk/2n − X(k−1)/2n k≥ 2 1≤k≤2n
P k Xk/2n − X(k−1)/2n k≥ 2−γn . 2−n(β−αγ) . k=1 Do đó, theo bổ đề Borel-Cantelli, hầu chắc chắn tồn tại một N ∈ N sao cho maxn k Xk/2n − X(k−1)/2n k< 2−γn 1≤k≤2 (1.2) với mọi n ≥ N. Tiếp theo, xét một cặp tùy ý s, t ∈ D sao cho 0 < t − s < 2−N . Mục đích của chúng ta trong đoạn này là để chỉ ra thấy rằng k Xt − Xs k. |t − |γ (1.3) Chú ý rằng có tồn tại một n ≥ N sao cho 2−(n +1) ≤ t − s < 2−n . Chúng tôi khẳng định rằng nếu s, t ∈ Dm với m ≥ n + 1, thì k Xt − Xs k≤ 2 n X 2−γk (1.4) k=n+1 Chứng minh nhận định này tiến hành bằng quy nạp. Trước tiên giả sử rằng s, t ∈ Dn+1 .Khi đó, nhất thiết, t = k/2n+1 và s = (k − 1) /2n+1 đối với một số k ∈ {1, ..., 2n+1 }. Từ (1.2), suy ra : k Xt − Xs k< 2−γ(n−1) điều đó chứng minh khẳng định trên cho m = n+1. Bây giờ giả sử rằngkhẳng định đó đúng với m = n + 1, ..., l và giả thiết rằng s, t ∈ Dl+1 . Định nghĩa các số s0 , t0 ∈ Dl bởi: s0 = min {u ∈ Dl : u ≥ s}, 1 t0 = max{u ∈ Dl : u ≤ t}. Ký hiệu ‘.’ có nghĩa là vế trái nhỏ hơn một hằng số dương so với vế phải. 12 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên Khi đó bằng cách xây dựng, s ≤ s0 ≤ t0 ≤ t và s0 −s ≤ 2−(l+1) , t0 −t ≤ 2−(l+1) . Do đó, theo bất đẳng thức tam giác, (1.2) và giả thuyết quy nạp, k Xt − Xs k ≤k Xs0 − Xs k + k Xt0 − Xt k + k Xt0 − Xs0 k ≤2 −γ(l+1) +2 −γ(l+1) +2 l X 2 −γk =2 k=n+1 l+1 X 2−γk , k=n+1 vậy khẳng định cũng đúng với m = l + 1. Chứng minh (1.3) bây giờ đơn giản. Thật vậy, từ t, s ∈ Dm với m đủ lớn, quan hệ (1.4) suy ra rằng. ∞ P k Xt − Xs k≤ 2 2−γk = 1−22−γ 2−γ(n+1) ≤ 1−22−γ |t − s|γ . k=n+1 Chú ý là (1.3) dẫn đến đặc biệt là hầu chắc chắn, quá trình X là liên tục đều trên D. Nói cách khác, chúng ta có một biến cố Ω∗ ⊆ Ω với P (Ω∗ ) = 1 sao cho với mọi ω ∈ Ω∗ , quỹ đạo mẫu t → Xt (ω) là liên tục đều trên tập hợp đếm được, trù mật D. Bây giờ chúng ta xác định một quá trình ngẫu nhiên mới Y = (Yt )t∈[0,1] trên (Ω, F, P) như sau: với ω ∈ / Ω∗ , ta đặt Yt = 0 với mọi t ∈ [0, 1], với ω ∈ Ω∗ . Ta định nghĩa   nếu t ∈ D, Xt Yt = / D. lim X (ω) nếu t ∈  tn →t tn tn ∈D Tính liên tục đều của X có nghĩa là Y là một quá trình ngẫu nhiên liên tục định nghĩa-tốt. Vì X là liên tục theo xác suất (xem phần đầu tiên của chứng minh), Y là một chính sửa của X. Hệ quả 1.3.4. Sự tồn tại chuyển động Brown. Chứng minh. Theo định lý 1.3.3, tồn tại một quá trình W = (Wt )t ≥ 0 có tính chất (i) - (iii) của Định nghĩa 1.1.2. Theo (iii) số gia Wt − Ws có phân 4 2 phối N (0, t − s) với mọi s ≤ t. Suy ra E(Wt − Ws ) = (t − s) EZ 4 . Trong đó Z là một biến ngẫu nhiên Gauss tiêu chuẩn. Điều này có nghĩa là tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov (1.1) thỏa mãn với α = 4 và β = 1. Vì vậy, với mỗi giá trị T ≥ 0, tồn tại một chỉnh sửa liên tục WT = (WtT )t ∈[0,T ] của quá trình (Wt )t∈[0,T ] . Bây giờ ta định nghĩa quá trình X = (Xt )t ≥0 bởi Xt = ∞ X Wnt 1[n−1,n) (t). n=1 13 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên Quá trình X là một chuyển động Brown. 1.4 Quá trình Gaussian Chuyển động Brown là một ví dụ của quá trình Gaussian. Định nghĩa chung là như sau. Định nghĩa 1.4.1. Một quá trình ngẫu nhiên giá trị thực được gọi là Gaussian nếu tất cả các fdd của nó là Gaussian. Nếu X là một quá trình Gaussian đánh chỉ số bởi tập T, hàm trung bình của quá trình là hàm m trên T được xác định bởi m (t) = EXt . Các hàm hiệp phương sai của quá trình này là hàm r trên T × T xác định bởi r (s, t) = Cov (Xs , Xt ). Các hàm m và r xác định các fdd của quá trình X. Bổ đề 1.4.2. Hai quá trình Gaussian có cùng hàm trung bình và hàm hiệp phương sai thì tương đương nhau. Hàm trung bình m và hàm hiệp phương sai r của BM được cho bởi m (t) = 0 và r (s, t) = s ∧ t (Mệnh đề 1.1.3). Ngược lại, bổ đề trước nói rằng tất cả các quá trình Gaussian có cùng hàm trung bình và hàm hiệp phương sai có fdd giống nhau là BM. Khi đó một quá trình như vậy có tính chất (i) -(iii) của Định nghĩa 1.1.2. Do đó, ta có kết quả như sau. Bổ đề 1.4.3. Một quá trình Gaussian liên tục X = (Xt )t ≥0 là một BM nếu và chỉ nếu nó có hàm EXt = 0 và hàm hiệp phương sai EX s X t = s ∧ t Sử dụng bổ đề này, ta có thể chứng minh các tính chất đối xứng và tỉ lệ xích sau đây của BM. Định lí 1.4.4. Cho W là một BM. Khi đó, các quá trình sau cũng là BM (i) (Thời gian thuần nhất) với mọi s ≥ 0, quá trình (Wt+s − Ws )t≥0 , 14 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên (ii) (Đối xứng) quá trình -W, (iii) (Xác định tỉ lệ xích) với mọi a > 0, quá trình Wa xác định bởi Wat = a−1/2 Wat , (iv) (Nghịch đảo thời gian) quá trình Xt xác định bởi X0 = 0 và Xt = tW1/t cho t > 0. Chứng minh. Phần (i), (ii) và (iii) dễ dàng chứng minh theo bổ đề trên. Để chứng minh phần (iv), lưu ý đầu tiên là quá trình X có cùng hàm trung bình và hàm hiệp phương sai như là BM. Do đó, theo bổ đề trên, chỉ cần chứng minh rằng X là liên tục. Từ (Xt )t> 0 là liên tục, dễ thấy chỉ cần chứng minh nếu tn ↓ 0, khi đó P (Xtn → 0 khi n → ∞) = 1. (1.5) Nhưng xác suất này được xác định bởi các fdd của quá trình (Xt )t> 0 . Vì giống như của fdd của (Wt )t>0 , ta có: P (Xtn → 0 khi n → ∞) = P(Wtn → 0 khi n → ∞) = 1. Hoàn thành chứng minh. Sử dụng các tính chất tỉ lệ xích và đối xứng, ta có thể chứng minh được rằng các quỹ đạo của BM dao động giữa +∞ và −∞. Hệ quả 1.4.5. Cho W là một BM. Khi đó P(sup Wt = ∞) = P(inf Wt = −∞) = 1. t≥0 t≥0 Chứng minh. Theo tính chất tỉ lệ xích, ta có với mọi a > 0 1 1 sup Wt =d sup √ Wat = √ sup Wt . a a t t t Khi đó với n ∈ N,  2  P(sup Wt ≤ n) = P(n sup Wt ≤ n) = P sup Wt ≤ 1/n . t t t Bằng cách cho n tiến dần đến vô cùng chúng ta thấy rằng: P(sup Wt < ∞) = P(sup Wt = 0), t t 15 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên để phân phối của supt Wt tập trung trên {0, ∞}. Do đó, để chứng minh rằng supt Wt = ∞ h.c.c, ta chỉ cần chứng minh rằng P(sup Wt = 0) = 0. Bây t giờ chúng ta có : P(sup Wt = 0) ≤ P(W1 ≤ 0, sup Wt ≤ 0) t t≥1 ≤ P(W1 ≤ 0, sup Wt − W1 < ∞) t≥1 = P(W1 ≤ 0)P(sup Wt − W1 < ∞), t≥1 bởi sự độc lập của các số gia Brown. Do thời gian thuần nhất của BM, xác suất cuối cùng ở trên là xác suất mà các cận trên đúng của BM hữu hạn. Ta đã chỉ ra rằng điều này phải bằng P(supt Wt = 0). Do đó, ta nhận được : 1 2 P(sup Wt = 0) ≤ P(sup Wt = 0) t t chứng tỏ P(supt Wt = 0) = 0 và chúng ta có được những khẳng định đầu tiên của hệ quả. Theo tính chất đối xứng, sup Wt =d sup − Wt = −inf Wt t≥0 t≥0 t≥0 Cùng với khẳng định đầu tiên, điều này chứng minh khẳng định thứ hai. Vì BM là liên tục, kết quả trước đó nói lên rằng hầu hết các quỹ đạo đi qua tất cả các điểm của R vô hạn lần. Một quá trình giá trị thực với tính chất này được gọi là lặp. Hệ quả 1.4.6. BM là lặp. Một hệ quả thú vị của nghịch đảo thời gian là luật mạnh số lớn sau đây cho BM. Hệ quả 1.4.7. Cho W là một BM. Khi đó Wt t h.c.c −−→ 0 khi t → ∞. 16 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên Chứng minh. Cho X là như trong phần (iv) của Định lý 1.4.4. Khi đó P(Wt /t → 0 khi t → ∞) = P(X1/t → 0 khi t → ∞) = 1, vì X là liên tục và X0 = 0 1.5 Tính không khả vi của các quỹ đạo của chuyển động Brown Chúng ta đã thấy rằng các quỹ đạo của BM là các hàm liên tục dao động giữa + ∞ và − ∞. Hình 1.1 cho thấy các quỹ đạo là "rất lởm chởm". Định lý sau đây nói rằng điều này thực tế là đúng. Định lí 1.5.1. Cho W là một chuyển động Brown. Đối với mọi ω bên ngoài một tập hợp có xác suất bằng không, đường quỹ đạo t → Wt (ω) là không nơi nào khả vi. Chứng minh. Cho W là một BM. Xét các đạo hàm trên và dưới từ bên phải DW (t, ω) = lim sup Wt+h (Ω) − Wt (Ω) h h↓0 Và DW (t, ω) = lim inf Wt+h (Ω) − Wt (Ω) h↓0 h . Xét các tập A = {ω : tồn tại t ≥ 0 sao cho: DW (t, ω) và DW (t, ω) là hữu hạn }. Lưu ý là A không nhất thiết phải đo được! Chúng ta sẽ chứng minh rằng A được chứa trong một tập hợp B đo được với P (B) = 0, tức là A có xác suất ngoài 0. Để xác định các biến cố B, xét đầu tiên với k, n ∈ N biến ngẫu nhiên     o n       Xn,k = max W k+1 − W 2kn  , W k+2 − W k+1 − W k+2  , W k+3  2n 2n 2n 2n 2n và cho n ∈ N, định nghĩa : Yn = minn Xn,k k≤n2 17 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên Biến cố B được định nghĩa bởi B= ∞ \ ∞  [ Yk ≤ n=1 k=n k  2k Ta khẳng định rằng A ⊆ B và P (B) = 0. Để chứng minh phép lồng, lấy ω ∈ A. Khi đó, có tồn tại K, δ > 0 sao cho: |Ws (Ω) − Wt (Ω)| ≤ K |s − t| với mọi s ∈ [t, t + δ] . (1.6) Lấy n ∈ N đủ lớn để 4 < δ, 2n 8K < n, t < n. (1.7) Với n này, xác định k ∈ N sao cho: k−1 n 2 ≤t< k 2n (1.8) Khi đó, theo quan hệ đầu tiên trong (1.7) chúng ta có k/2n , ..., (k + 3) /2n ∈ [t, t + δ] . Từ (1.6) và quan hệ thứ hai trong (1.7) suy ra Xn,k (ω) ≤ n/2n . Từ (1.8) và mối quan hệ thứ ba trong (1.7) thì k − 1 ≤ t2n < n2n là đúng. Do đó, chúng ta có k ≤ n2n và do đó Yn (ω) ≤ Xn,k (ω) ≤ n/2n . Chúng ta đã chỉ ra rằng nếu ω ∈ A, thì Yn (ω) ≤ n/2n với mọi n đủ lớn. Điều này có nghĩa chính xác là A ⊆ B . Để hoàn thành chứng minh, chúng ta phải chỉ ra P (B) = 0. Với ε > 0, tính chất cơ bản của BM dẫn đến 3  n/2 2Z ε  3 1 1 2  3n/2 3 √ e− 2 x dx P (Xn,k ≤ ε) = P |W1 | ≤ 2n/2 ε .   ≤2 ε. 2π 0 Khi đó P (Yn ≤ ε) ≤ n2n P (Xn,k ≤ ε) . n25n/2 ε3 . Đặc biệt chúng ta thấy rằng P (Yn ≤ n/2n ) → 0, nghĩa là P (B) = 0. 1.6 Bộ lọc và thời điểm dừng Nếu W là một BM, gia số độc lập với “những gì đã xảy ra đến thời điểm t”. Trong mục này, chúng ta giới thiệu các khái niệm về một lọc để chính thức 18 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên hóa khái niệm về ‘thông tin chúng ta có đến thời điểm t’. Các không gian xác suất (Ω, F, P) là cố định một lần nữa và ta giả sử rằng T là một khoảng con của Z+ hoặc R+ . Định nghĩa 1.6.1. Một họ (Ft )t∈T của các σ -đại số con của F được gọi là một bộ lọc nếu Fs ⊆ Ft với mọi s ≤ t. Một quá trình ngẫu nhiên X xác định trên (Ω, F, P) và đánh chỉ số bởi T được gọi là thích nghi với bộ lọc nếu với mọi t ∈ T , biến ngẫu nhiên Xt là Ft - đo được. Chúng ta nên coi của một bộ lọc như một dòng chảy thông tin. Các σ -đại số Ft bao gồm các biến cố có thể xảy ra ‘tính đến thời điểm t’. Một quá trình thích nghi là quá trình đó ‘không nhìn vào tương lai’. Nếu X là một quá trình ngẫu nhiên, chúng ta có thể dùng các bộ lọc (FtX )t∈T xác định bởi : FtX = σ (Xs : s ≤ t) . Chúng ta gọi bộ lọc này là bộ lọc được tạo ra bởi X, hoặc bộ lọc tự nhiên của X. Bằng trực giác, bộ lọc tự nhiên của một quá trình theo dõi những “lịch sử” của quá trình này. Một quá trình ngẫu nhiên là luôn luôn phù hợp với bộ lọc tự nhiên của nó. Nếu (Ft ) là một bộ lọc, khi đó cho t ∈ T , chúng ta xác định σ -đại số Ft+ = ∞ \ Ft+1/n . n=1 Đây là σ -đại số Ft , gia tăng thêm với các sự kiện xảy ra ngay lập tức ‘tính sau thời gian t’. Tập hợp (FtX+ )t∈T vẫn là một bộ lọc ( Mệnh đề 1.6.2). Trường hợp nó trùng với bộ lọc ban đầu được quan tâm đặc biệt. Mệnh đề 1.6.2. Nếu (Ft ) là một bộ lọc thì (Ft+ ) cũng là một bộ lọc. Định nghĩa 1.6.3. Chúng ta gọi bộ lọc (Ft ) là liên tục phải nếu Ft+ = Ft với mọi t. Trực giác, liên tục phải của môt bộ lọc có nghĩa là ‘không có gì có thể xảy ra trong một khoảng thời gian vô cùng bé’. Lưu ý rằng đối với mỗi bộ lọc (Ft ), các bộ lọc tương ứng (Ft+ ) là liên tục phải. Ngoài việc liên tục phải người ta thường giả thiết rằng F0 chứa tất cả các biến cố trong F∞ có xác suất 0, trong đó F∞ = σ (Ft : t ≥ 0). Như một hệ quả, mỗi Ft khi đó chứa tất cả các biến cố đó. 19