Tài liệu Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS. Nguyễn Trung Dũng Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng đã hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và các bạn sinh viên đã đóng góp cho tôi những lời khuyên bổ ích. Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 24 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Phương i Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc " được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Trung Dũng. Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, ngày 24 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Phương ii KÍ HIỆU TOÁN HỌC R Tập tất cả các số thực. Rn Không gian Euclide n chiều. R+ Tập các số thực dương. Z Tập các số nguyên. Z+ Tập các số nguyên dương. Z0 Tập các số nguyên không âm. PT Ma trận chuyển vị của ma trận P . W −1 Ma trận nghịch đảo của ma trận W . k x(t) k Chuẩn của vectơ x(t). diag(...) Ma trận đường chéo . iii Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 Cơ sở toán học 1.1 Hệ động lực với thời gian rời rạc . . . . . . . 1.1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản . 1.1.2 Các định lí về ổn định và ổn định tiệm 1.2 Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bài toán đảm bảo giá trị . . . . . . . . . . . 1.4 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 5 8 10 11 2 Bài toán ổn định hóa và đảm bảo giá trị tối ưu cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc 14 2.1 Các tiêu chuẩn về ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Đảm bảo giá trị tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây, vấn đề nghiên cứu định tính của hệ điều khiển đã nhận được sự chú ý và quan tâm của nhiều nhà khoa học ở trong nước và trên thế giới. Việc nghiên cứu này có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật như mô phỏng máy tính, thí nghiệm, tính toán . . . Chính vì thế, nghiên cứu tính ổn định của hệ điều khiển đóng vai trò vô cùng quan trọng đối với quá trình nghiên cứu lý thuyết các hệ động lực. Mặt khác hệ điều khiển có giá trị thay đổi liên tục theo thời gian và chúng ổn định với thời gian liên tục. Vậy hệ điều khiển có thay đổi định tính với thời gian rời rạc (một tập hợp những thời điểm rời rạc) hay không? Nếu hệ điều khiển ổn định với thời gian rời rạc thì nó ổn định như thế nào? Để trả lời cho mọi thắc mắc trên cùng với sự giúp đỡ và định hướng của Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, tôi chọn đề tài: " Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu các khái niệm ổn định, ổn định hóa của hệ đông lực với thời gian rời rạc. - Bài toán ổn định và đảm bảo giá trị cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày kiến thức về ổn định, ổn định tiệm cận. - Đưa ra bài toán ổn định hóa và đảm bảo giá trị cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức vế ổn định và ổn định tiệm cận, hàm Lyapunov. - Phạm vi nghiên cứu: Khái niệm vế ổn định, hàm Lyapunov và bài toán ổn định hóa và đảm bảo giá trị cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc. 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khóa luận bao gồm 2 chương: Chương 1: Cơ sở toán học. Chương 2: Bài toán ổn định hóa và đảm bảo giá trị cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc. 2 Chương 1 Cơ sở toán học 1.1 1.1.1 Hệ động lực với thời gian rời rạc Một số khái niệm và kết quả cơ bản Cho hệ động lực với thời gian rời rạc như sau:   x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z0 (1.1)  x(0) = x 0 trong đó: • x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái. + • f (x, x(k)) : Z × Rn → Rn là hàm liên tục theo biến x. • x0 là điều kiện ban đầu. Nếu f (x, x(k)) = Ax(k) thì hệ (1.1) được gọi là hệ tuyến tính với thời 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG gian rời rạc. Giả sử f (k, 0) = 0 ∀k ∈ Z+ tức là x(k) ≡ 0 là nghiệm tầm thường của hệ (1.1). Tiếp theo chúng ta có một số khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov như sau Định nghĩa 1.1. Nghiệm tầm thường của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu ∀ε > 0, tồn tại δ1 = δ(ε) > 0 mà kx(0)k < δ(ε) thì kx(k)k < ε ∀ k > 0. Định nghĩa 1.2. Nếu nghiệm tầm thường của hệ (1.1) là ổn định và tồn tại một δ2 = δ(k0 ) > 0 mà kx(k0 )kδ(k0 ) ⇒ lim x(k) = 0 k→∞ thì nghiệm tầm thường của hệ ( 1.1) được gọi là ổn định tiệm cận. Định nghĩa 1.3. [3] Hàm V (x) được gọi là xác định dương trên Ω nếu V (x) > 0, ∀ x 6= 0, x ∈ Ω. Định nghĩa 1.4. [3] Hàm V (x) được gọi là nửa xác định dương trên Ω nếu V (x) ≥ 0, ∀ x ∈ Ω. Định nghĩa 1.5. [3] Hàm V (x) được gọi là xác định âm (nửa xác định âm) trên Ω nếu −V (x) là xác định dương (nửa xác định dương) trên Ω. Định nghĩa 1.6. [3] Hàm φ(x) được gọi là thuộc lớp K nếu φ ∈ C[0, p, R+ ], φ(0) = 0 và φ(Ω) đơn điệu tăng theo r. 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG Chú ý 1.1. Vì V (x) là liên tục nên với r đủ nhỏ sao cho 0 < c ≤ r ≤ d chúng ta có V (x) ≤ max V (u), v(x) ≥ min V (u) kuk≤r (1.2) r≤kuk≤d ở đó kxk = r. Trong (1.2) các vế phải là các hàm đơn điệu đối với r và thuộc lớp K. Vì vậy tồn tại hai hàm φ, ϕ ∈ K sao cho: φ(kxk) ≤ V (x) ≤ ϕ(kxk). (1.3) Từ vế trái của bất đẳng thức trên, chúng ta có thể định nghĩa tương đương về sự xác định dương của hàm V (x) như sau: φ(r) ≤ V (x), kxk = r, x ∈ Ω. Ký hiệu Sp = {x ∈ Rn : kxk ≤ p} và x(k) = x(k, x0 ) là nghiệm bất kì của (1.1) với x(0) = x0 . Sai phân của hàm V (x) theo nghiệm x(k) được xác định như sau: ∆V x(k) =V (x(k + 1)) − V (x(k)) =V (f x(k)) − V (x(k)) Hàm V (x) được gọi là hàm Lyapunov. 1.1.2 Các định lí về ổn định và ổn định tiệm cận Định lý 1.1. [3] Nếu tồn tại một hàm xác định dương V (x) ∈ C[Sp , R+ ] sao cho ∆V (x(k)) ≤ 0 với mọi nghiệm x(k) = x(k, x0 ) của hệ (1.1) sao 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG cho kx(k)k < p thì nghiệm tầm thường x(k) ≡ 0 là ổn định. Chứng minh. Vì V (x) là xác định dương, nên tồn tại φ ∈ K sao cho φ(kxk) ≤ V (x) ∀x ∈ Sp . Cho 0 < ε < p. Vì V (x) liên tục và V (0) = 0 nên tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho V (x0 ) < φ(ε) với kx0 k < δ. Giả sử ngược lại, nghiệm tầm thường không ổn định. Khi đó tồn tại một nghiệm x(k) = x(k, x0 ) sao cho kx0 k < δ thỏa mãn ε ≤ x(k1 ) < p với k1 ≥ 1. Mặt khác, vì ∆V (x(k)) ≤ 0 khi kx(k)k < p nên ta có V (x(k1 )) ≤ V (x0 ). Vì vậy φ(ε) ≤ φ(kx(k1 )k) ≤ V (x(k1 )) ≤ V (x0 ) < φ(ε) vô lí. Vì vậy, nếu kx0 k < δ thì kx(k)k < ε ∀k ∈ Z+ . Điều này dẫn đến nghiệm tầm thường là ổn định. Định lý 1.2. [3] Nếu tồn tại một hàm xác định dương V (x) ∈ C[Sp , R+ ] sao cho ∆V (x(k, x0 )) ≤ −α(kx(k, x0 )k) trong đó α ∈ K với mọi nghiệm x(k) = x(k, x0 ) của hệ (1.1) sao cho kx(k)k < p thì nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Theo định lí 1.1 thì nghiệm tầm thường của hệ (1.1) là ổn định. Do đó, với ε cho trước thỏa mãn 0 < ε < p. Giả sử tồn tại δ > 0, λ > 0 và một nghiệm x(k, x0 ) của hệ (1.1) sao cho λ ≤ kx(k)k ≤ ε, k ≥ 0, kx0 k < δ. (1.4) Vì kx(k)k ≥ λ > 0 với mọi k ≥ 0 nên tồn tại một hằng số d > 0 sao cho 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG α(kx(k)k) ≥ d với mọi k ≥ 0 sao cho α(kx(k)k) ≥ d với mọi k ≥ 0. Vì vậy, chúng ta có ∆V (x(k)) ≤ −d < 0, k ≥ 0. Điều này kéo theo V (x(k)) = V (x0 ) + k−1 X ∆(x(i)) ≤ V (x0 ) − kd. i=0 Do đó với k đủ lớn thì về phải của bất đẳng thức trên là âm. Điều này mâu thuẫn với giả thiết V (x) là xác định dương. Do đó không tồn tại λ sao cho (1.4) đúng. Hơn nữa, vì V (x(k)) là dương và không giảm đối với k nên suy ra lim V x(k) = 0. Do đó, lim kx(k)k = 0. k→∞ k→∞ Vì vậy nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận. Hệ quả 1.1. Xét hệ tuyến tính rời rạc x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z+ . (1.5) Nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định dương P sao cho AT P A − A < 0 thì nghiệm tầm thương của hệ (1.5) là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V (x) = xT P x. Chúng ta thấy rằng V (x) > 0, ∀x 6= 0 và V (0) = 0. 7 (1.6) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG Xét toán tử sai phân ∆V (k) =V (x(k + 1)) − V (x(k)) =xT (k + 1)P x(k + 1) − xT (k)P x(k) =xT (k)AT P Ax(k) − xT (k)P x(k) =xT (k)[AT P A − P ]x(k). Suy ra nếu AT P A − P < 0 thì kéo theo ∆V (k) < 0. Áp dụng Định lí 1.2 suy ra hệ (1.5) là ổn định tiệm cận. Nhận xét 1.1. Điều kiện AT P A − P < 0 cũng là điều kiện cần để hệ (1.5) là ổn định tiện cận. Nhận xét 1.2. Điều kiện AT P A − P < 0 tương đương với điều kiện với bất kì ma trận đối xứng xác định dương Q thì phương trình AT P A − A = −Q có nghiệm. Phương trình này được gọi là phương trình Lyapunov. 1.2 Bài toán ổn định hóa Xét hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc như sau   x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k ∈ Z+  x(0) = x . 0 8 (1.7) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG Tương ứng, chúng ta xét hệ điều khiển tuyến tính, không chắc chắn với thời gian rời rạc như sau: x(k + 1) = [A + ∆A(k)]x(k) + [B + ∆B(k)]u(k) (1.8) trong đó ∆A(k), ∆B(k) được giả thiết có dạng như sau ∆A(k) = DA ∆FA (k)EA (1.9) ∆B(k) = DB ∆FB (k)EB với DA , EA , DB và EB là các ma trận hằng số đã biết và ∆AT (k)∆A(k) ≤ I (1.10) T ∆B (k)∆B(k) ≤ I với I là ma trận đơn vị. Chú ý: Các ma trận ∆A(k), ∆B(k) được gọi là các ma trận "không chắc chắn". Các ma trận "không chắc chắn" được gọi là chấp nhận được nếu thỏa mãn các điều kiện (1.8) và (1.9). Xét bộ điều khiển ngược u(k) = Kx(k) trong đó K được gọi là ma trận điều khiển ngược cần phải xác định. Với hệ điều khiển u(k) = Kx(k) chúng ta thu được hệ đóng của (1.8) và (1.9) như sau: x(k + 1) = (A + BK)x(k) = Acl x(k) 9 (1.11) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG với Acl = A + BK và x(k + 1) = [A + ∆A(k)] + [B + ∆B(k)]Kx(k) (1.12) = [Acl + ∆Acl (k)]x(k) Định nghĩa 1.7. Hệ (1.7) được gọi là ổn định hóa nếu tồn tại bộ điều khiển u(k) = Kx(k) sao cho hệ đóng (1.11) là ổn định. Định nghĩa 1.8. Hệ (1.8)được gọi là ổn định hóa nếu tồn tại bộ điều khiển u(k) = Kx(k) sao cho hệ đóng (1.12) là ổn định với mọi đại lượng "không chắc chắn" chấp nhận được. 1.3 Bài toán đảm bảo giá trị Xét hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc như sau   x(k + 1) = [A + ∆A(k)]x(k) + [B + ∆B(k)]u(k)  x(0) = x . 0 Liên kết với hệ thống này chúng ta có hàm mục tiêu như sau J= ∞ X [xT (k)Qx(k) + uT (k)Ru(k)] k=0 trong đó Q, R là ma trận đối xứng xác định dương. Xét bộ điều khiển có dạng như sau u(k) = Kx(k). 10 (1.13) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG Với  bộ điều khiển ngược như trên chúng ta thu được hệ đóng  x(k + 1) = [A + BK + ∆A(k) + ∆B(k)K]x(k)  x(0) = x . 0 Tương ứng với hàm chi phí cho bởi ∞ X  T x (k)[Q + K T RK]x(k)]. J= k=0 Bài toán được đặt ra là ta sẽ thiết kế một bộ điều khiển ngược sao cho hệ đóng là ổn định với mọi đại lượng không chắc chắn chấp nhận được và đảm bảo hàm chi phí không vượt quá một mức cho trước. 1.4 Một số bất đẳng thức Bổ đề 1.1. Cho W là ma trận khả nghịch, khi đó với bất kỳ ma trận U, V kích thước phù hợp, ta có   −1 U −VW V 0 T 0 W   = I −V W 0 I −1   U V T V W Chứng minh. Ta biến đổi vế phải về vế trái, ta có 11   I −1 −W V 0 T I  . Khóa luận tốt nghiệp Đại học   I −V W 0  =  =  = Do đó   0 =  =  −1  I −1 U −VW V V U V T VT  I −1 U −VW V V U V T T V T W 0 W U − V W−1 V T 0 W  0 W       W  V −V  W  0  W U − V W−1 V T  T V −VW W VT −1 V  −1 T U − V W−1 V T I −V W  NGUYỄN THỊ PHƯƠNG I 0 −1 −W V I −1 −W V T 0 T I I       Vậy bổ đề được chứng minh. Bổ đề 1.2. (Bổ đề phần bù SChur không chặt) Cho ma trận tùy ý U = U T , V và W = W T > 0 khả nghịch, khi đó   U V VT W   ≥ 0 ⇔ U − V W −1 V T ≥ 0. 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG  Chứng minh. Đặt Q =  Ta có  QT  U V T I −W V W  −1 0 V T  Q =  I  . Khi đó, Q là không suy biến. U −VW 0 −1 V T 0 W  . Do đó, ta có   U V VT W   ≥ 0 ⇔ U − V W −1 V T ≥ 0. Vậy bổ đề được chứng minh. Bổ đề 1.3. [4] Cho JA ,DA và EA là ma trận thực có số chiều phù hợp trong đó JA là ma trận đối xứng. Khi đó JA + DA FA (k)EA (t) + [DA FA (k)EA (t)]T < 0. với mọi FA (k) thỏa mãn FA (t)T FA (k) ≤ I khi và chỉ khi tồn tại εA > 0 sao cho T JA + εA DA DA (t)T + ε−1 A EA EA (t) < 0. 13 Chương 2 Bài toán ổn định hóa và đảm bảo giá trị tối ưu cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc 2.1 Các tiêu chuẩn về ổn định hóa Định lý 2.1. [1] Tồn tại một bộ điều khiển phản hồi trạng thái là ổn định hóa hệ (1.7) nếu có tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương X > 0 và một ma trận Y thỏa mãn các điều kiện LM Is sau:     X>0     −X XAT +Y T B T       < 0.     AX + BY −X Khi đó ma trận điều khiển ngược cho bởi K = Y X −1 . 14