Tài liệu Tìm hiểu mật mã lượng tử

TRƯỜNG …………………. KHOA………………………. -----[\ [\----- Báo cáo tốt nghiệp Đề tài: TÌM HIỂU MẬT MÃ LƯỢNG TỬ L IC M N Tr c h t em xin g i l i c m n trân tr ng n TS. H V n H ng, cùng PGSTS. oàn V n Ban, các th y ã t n tình ch b o s a ch a sai sót giúp em hoàn thành khóa lu n này. Em xin trân tr ng c m n các th y cô giáo Tr ng i h c Công ngh - i h c Qu c gia Hà N i. Phong cách gi ng d y, s ch b o nhi t tình c ng v i nh ng kinh nghi m quý báu c a th y cô ã th c s em l i cho em nhi u ki n th c và cái nhìn m i m . Giúp em sau khi ra tr ng s t tin h n trong công vi c, trong ngh nghi p mà mình ã ch n. Xin chân thành c m n t t c chi n h u ã cùng sát cánh trong su t th i gian h c t p. Hà N i, tháng 5 n m 2010 Sinh viên Ph m Tr ng Sinh M U Cùng v i s phát tri n l n m nh c a ngành m t mã h c, các nhà m t mã h c ã nghiên c u và a ra m t h m t mã m i mang tên “m t mã l ng t ”. M t mã l ng t là h m t mã d a trên các tính ch t c a c h c l ng t và không ph thu c vào b t c s tính toán nào, do ó nó c cho là gi i pháp ch ng l i s tính toán l n c a máy tính l ng t . M t mã l ng t ã c ch ng minh có kh n ng b o m t vô i u ki n. Trên th gi i, ã có r t nhi u n c ang xây d ng m ng l ng t nh M , Anh,… Vi t Nam c ng ã có nhi u tài nghiên c u v m t mã l ng t nh ng do tính th i s c a nó, nên tôi v n nghiên c u v m t mã l ng t và ch n nó làm tài cho khóa lu n này. Ch ng 1: M t mã l ng t Gi i thi u s l c v m t mã l thuy t v c h c l ng t , tính toán l ng t , l ch s hình thành m t mã l ng t . Các lý ng t , t ó áp d ng nó vào m t mã l ng t . Ch ng 2: Phân ph i khóa l ng t Gi i thi u v phân ph i khóa l ng t , tìm hi u các giao th c trong phân ph i khóa l ng t . Ch ng minh kh n ng an toàn vô i u ki n c a các giao th c trong phân ph i khóa l ng t . Cách xác nh gi i h n l i, các ph ng pháp “làm m n khóa” và “t ng tính b o m t”. Ch ng 3: Th c tr ng công ngh m t mã l ng t , xu t và xây d ng ch ng trình mô ph ng m t mã l ng t Gi i thi u th c tr ng c a công ngh m t mã l ng t trong th c t , các h ng i, xu t trong m t mã l ng t . Xây d ng ch ng trình mô ph ng phân ph i khóa l ng t theo giao th c BB84. M CL C Ch ng 1. M T MÃ L NG T ....................................................................... 1 1.1 GI I THI!U V" M#T MÃ L$%NG T& ...................................................................... 1 1.2 LÝ THUY'T L$%NG T& ............................................................................................. 3 1.2.1 Bit l ng t .............................................................................................................. 3 1.2.2 (o l ng l ng t ................................................................................................... 5 1.2.3 B t nh l ng t .................................................................................................... 6 1.2.4 Liên k t l ng t ..................................................................................................... 7 1.2.5 ( nh lý không th sao chép l ng t ....................................................................... 9 1.3 TÍNH TOÁN L$%NG T&.............................................................................................. 9 1.3.1 M t s ký hi u toán h c .......................................................................................... 9 1.3.2 Bi n )i bit l ng t .............................................................................................. 10 1.3.3 Phép nhân tr ng thái l ng t ............................................................................... 10 1.3.4 (o l ng l ng t trên c s* toán h c.................................................................. 11 1.3.5 Tr ng thái Bell ....................................................................................................... 12 1.3.6 Ch ng minh không th sao chép l ng t ............................................................. 15 1.3.7 C)ng l ng t ........................................................................................................ 16 1.4 TRUY"N THÔNG L$%NG T& .................................................................................. 18 1.5 MÃ HÓA SIÊU DÀY (+C .......................................................................................... 20 1.6 K'T CH$,NG ............................................................................................................. 21 Ch ng 2. PHÂN PH I KHÓA L NG T .................................................. 22 2.1 GI I THI!U V" PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T&................................................... 22 2.2 CÁC GIAO TH.C PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T& ............................................... 25 2.2.1 Giao th c BB84 ..................................................................................................... 25 2.2.1.1 Quy c trong giao th c BB84 ......................................................................... 25 2.2.1.2 Phép o l ng trong giao th c BB84 ............................................................... 25 2.2.1.3 Các b c th c hi n giao th c BB84.................................................................. 27 2.2.1.4 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c BB84 ......................................... 32 2.2.2 Giao th c B92........................................................................................................ 38 2.2.2.1 Các b c th c hi n giao th c B92 .................................................................... 40 2.2.2.2 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c B92............................................ 44 2.2.3 Giao th c EPR ....................................................................................................... 47 2.2.3.1 Các b c th c hi n giao th c EPR.................................................................... 49 2.2.3.2 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c EPR ........................................... 50 2.2.4 Xác nh h s gi i h n l i ε ................................................................................ 51 2.2.5 Làm m n khóa và t ng tính b o m t ...................................................................... 51 2.2.5.1 Làm m n khóa.................................................................................................... 52 2.2.5.2 T ng tính b o m t .............................................................................................. 54 2.3 K'T CH$,NG ............................................................................................................. 54 Ch ng 3. TH C TR NG CÔNG NGH M T MÃ L NG T , XÂY D NG CH NG TRÌNH MÔ PH NG M T MÃ L NG T VÀ XU T……………………………………………………………………………..55 3.1 TH/C TR0NG CÔNG NGH! M#T MÃ L$%NG T&.............................................. 55 3.2 CH$,NG TRÌNH MÔ PH1NG GIAO TH.C PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T&... 57 3.2.1 M c ích mô ph ng............................................................................................... 57 3.2.2 Giao th c truy n khóa l ng t ............................................................................. 58 3.2.3 Gi i thi u ch ng trình ......................................................................................... 58 3.2.4 K t Lu n ................................................................................................................ 67 3.3 (" XU2T .NG D3NG C4A M#T MÃ L$%NG T&............................................... 67 K T LU N ............................................................................................................. 68 A. B. C. K'T QU5 (0T ($%C .................................................................................................... 68 H$ NG PHÁT TRI6N .................................................................................................... 68 Ý NGH7A .......................................................................................................................... 69 Danh M!c Hình Hình 1.1 Mô hình trao )i thông tin bí m t Hình 1.2 Mô hình trao )i thông tin bí m t d a trên c h c l Hình 1.3 Hai tr ng thái c b n c a qubit Hình 1.4 Hình c8u Bloch Hình 1.5 Hai c s* quan tr ng c a qubit Hình 1.6 Minh h a Hình 1.7 S Hình 1.8 C)ng l ng t Hadamard Hình 1.9 C)ng l ng t Cnot Hình 2.1 Mô hình phân ph i khóa Hình 2.2 Mô hình phân ph i khóa l Hình 2.3 B ng chuy n )i bit và qubit trong giao th c BB84 Hình 2.4 Mô hình giao th c BB84 Hình 2.5 B ng giao Hình 2.6 C:p ôi không tr c chu;n mà An s d ng Hình 2.7 K t qu phép o l Hình 2.8 S Hình 2.9 B ng giao Hình 2.10 S 9 tr ng thái c a Bình khi An g i qubit có tr ng thái − Hình 2.11 S 9 tr ng thái c a Bình khi An g i qubit có tr ng thái + Hình 2.12 B ng c s* dùng Hình 2.13 S nh lý b t nh l ng t ng t 9 t o c:p tr ng thái Bell ng t c trong giao th c B92 ng c a Bình 9 tr ng thái c a qubit c trong giao th c EPR 9 th c hi n E91 ol ng h t liên i Ch ng 1. M T MÃ L 1.1 GI"I THI U V M T MÃ L NG T NG T M t mã l ng t là công ngh cho phép b o m t thông tin truy n i bng quy lu t không th phá b c a t nhiên mà * ây là các tính ch t c a c h c l ng t , do ó nó c xem nh là m t s b o v m nh m? nh t có th cho d> li u. Ngu9n g c c a m t mã l ng t c a ra b*i Stephen Weisner[11], g i là "Conjugate Coding" t 8u nh>ng n m 70. Sau ó, c công b vào n m 1983 trên t p chí Sigact News b*i Bennett và Brassard, nh>ng ng i ã nghiên c u nh>ng ý t *ng c a Weisner và phát tri n chúng theo cách riêng c a mình. H cho ra "BB84", giao th c m t mã l ng t 8u tiên vào n m 1984, nh ng mãi n t n n m 1991, thí nghi m 8u tiên v th th c này m i c th c hi n thành công qua m t ng truy n 32 cm. Nh>ng giao th ng ngày nay ã c th nghi m thành công trên quang s i * dài hàng tr m km. Hình d i ây mô t m t giao th c c a m t mã, thông tin nh y c m có th c làm r i lo n b*i ng i g i (An) thành m t d ng thông tin mà ng i ngoài không th nh n bi t. (i u này c th c hi n b*i m t công th c toán h c, g i là thu t toán mã hóa. Ng i nh n c (Bình) s? có thu t toán gi i mã tìm l i d> li u ban 8u. Hình 1.1: Mô hình trao i thông tin bí m t ( g i thông tin m t cách bí m t, khóa gi i mã ph i c truy n i m t cách bí m t. Nh ng khi ng i nh n nh n c m t khóa thì làm th nào xác minh c khóa này là -1- th t và nó c gi> bí m t? Tr c ây, i u này là không th . M t mã l ng t gi i quy t v n này! Nó cho phép ng i g i và ng i nh n xác minh tính b o m t c a t ng khóa. .ng d ng tr c ti p nh t c a m t mã l ng t là quá trình truy n khóa bí m t. T i sao không dùng ng truy n l ng t này truy n tr c ti p thông tin c8n truy n i? B*i vì l ng thông tin trong m t ng truy n l ng t không nhi u và t c không cao. Nh vào quá trình mã hóa mà s truy n thông tin này có th a n s b o m t cao cho ng truy n khác có t c trao )i thông tin cao h n r t nhi u. Nguyên lí c a s trao )i thông tin l ng t này d a vào s quan sát các tr ng thái l ng t ; nh>ng photon c truy n i c :t trong m t tr ng thái riêng bi t b*i ng i g i và sau ó c quan sát b*i ng i nh n. B*i theo thuy t t ng i, nh>ng tr ng thái l ng t liên h p không th c quan sát cùng m t lúc. Tùy theo cách quan sát, giá tr c ah o c s? khác nhau, nh ng trong m t h các tr ng thái liên h p duy nh t; ví d nh phân c c c a photon c mô t b*i m t trong ba h khác nhau: phân c c ph@ng, phân c c c8u hay phân c c elip. Nh v y, n u ng i g i và ng i nh n không th a thu n tr c v h quan sát c s d ng, ng i nh n có th tình c h y thông tin c a ng i nh n mà không nh n c gì có ích. Nh v y, s ti p c n n gi n nh t v ng truy n l ng t là: ng i g i mã hóa thông tin b*i các tr ng thái l ng t , ng i nh n quan sát các tr ng thái ó, sau ó nh vào th a thu n t tr c v h quan sát, ng i g i và ng i nh n trao )i thông tin m t cách úng =n. Ta xét tr ng h p m t kênh truy n b o m t thông th ng và có "ng i t n công * gi>a" (man-in-the-middle attack). Trong tr ng h p này, ng i nghe lén (Nhân) c cho là có kh n ng i u khi n kênh truy n, có th a thông tin vào và l y thông tin ra không có thi u sót nào hay trA nào. Khi An c g=ng thi t l p khóa bí m t cùng Bình, Nhân tham gia vào và tr l i tin theo c hai h ng, làm cho An và Bình t *ng ra An và Bình v i không m t phát hi n nào. Nh ng khi m t mã l ng t c áp d ng trong các quy lu t l ng t ; tr ng thái l ng t c a photon không th c sao chép. Nh v y, m t cách t nhiên, khi Nhân c g=ng l y thông tin mã hóa b*i m t photon, s nghe lén này s? gây l i * phía Bình. (i u này s? cho phép An và -2- Bình nh n bi t c khi nào ng truy n c a h b tác ng b*i ng i nghe lén th ba, khi ó h có th chuy n qua kênh truy n khác, hay n gi n h n là làm trA ng truy n l i v i các khóa c thay )i liên t c. Hình 1.2: Mô hình trao i thông tin bí m t d a trên c h c l ng t Ngoài kh n ng trao )i khóa nh các h m t mã thông th ng, m t mã l ng t còn có kh n ng phát hi n s xu t hi n c a bên th ba tham gia vào phiên truy n khóa. (ây là tính ch t n)i tr i so v i các h m t mã khác, c ng vì có tính ch t này hai bên trao )i khóa dA dàng bi t c khóa sau khi trao )i có th c s an toàn không. 1.2 LÝ THUY T L NG T 1.2.1 Bit l ng t l M t qubit (vi t t=t c a quantum bit[7]) hay bit l ng t là m t n v thông tin ng t . Trong ó miêu t m t h c h c l ng t có hai tr ng thái c b n th ng c ký hi u là 1 và 0 ( c là két 0 và két 1) ho:c 0 và 1 ( c là bra 0 và bra 1) t ng v i hai tr ng thái phân c c th@ng d c và phân c c th@ng ngang c a photon. Hình 1.3: Hai tr ng thái c b n c a qubit -3- ng Khác v i m t bit c) i n thông th ng chB nh n m t trong hai giá tr 1 ho:c 0, m t tr ng thái qubit thu8n túy là ch9ng ch p l ng t tuy n tính c a hai tr ng thái c b n trên. Nh v y m t qubit c bi u diAn: ψ =α 0 +β 1 Trong ó α và β ph c. ( n gi n ng i ta th ψ = α 0 + β 1 = [α Khi o l c g i là biên xác su t và giá tr chúng có th nh n là s ng bi u diAn tr ng thái c a qubit d β ] ho:c ψ = α 0 + β 1 = i dang vector: α β ng ψ trong c s* c b n chB cho ta 1 v i xác su t là α 2 ho:c cho 0 v i xác su t là ϕ = α 0 + β 1 , do ó ta có α2 + β 2 =1 Không gian tr ng thái c a b nh qubit có th miêu ta trên hình h c bng tính ch t quan tr ng trong c h c l ng t c s d ng trong m t mã l ng t . 1.2.4 Liên k t l ng t Liên k t l ng t là hi u ng trong c h c l ng t trong ó tr ng thái l ng t c a hai hay nhi u v t có th liên h v i nhau dù chúng có na hai photon ch ng t ra chúng có m t m i quan h t ng tác nào ó. M i quan h t ng tác này là m t h qu c a các nh lu t trong c h c l ng t . Xét hai h th ng l ng t H A và H B H th ng g9m hai h th ng H A và H B là tích tensor c a các tr ng thái trong h th ng H A ΘH B . Nh v y n u h th ng H A có tr ng thái ψ ψ A Θψ và h th ng H B có tr ng thái ψ A B B thì tr ng thái c a h th ng h p thành là: , nh v y tr ng thái c a h th ng tính theo công th c trên là tr ng thái có th tách r i ho:c tr ng thái tích các h th ng. V y hi n t c s* {i A ng liên k t l } và Gi ng t c th hi n nh th nào? Gi s h th ng H A có s h th ng H b có c s* {i B }. Tr ng thái c bi u diAn: ψ AB = i, j Cij i A Θ j Trong ó: ψ A B CiA i = A và ψ B C Bj i = i j -7- B . a h th ng H A ΘH B c Tr ng thái ψ r i AB c g i là có th tách r i c n u cij = ciA c Bj , và không th tách c n u cij ≠ ciA c Bj . Tr ng thái liên k t l ng t là tr ng thái c a h th ng không th tách r i c. Trong m t mã l ng t chúng ta s d ng nhi u n tr ng thái Bell c a liên k t l ng t . B n tr ng thái Bell c a hai qubit c gi> b*i An(chB s d i A) và Bình(chB s d i B): 1 ( 0 A 0 B + 1 A 1 B) 2 1 = ( 0 A 0 B − 1 A 1 B) 2 1 = ( 0 A 1 B + 1 A 0 B) 2 1 = ( 0 A 1 B − 1 A 0 B) 2 φ+ = φ− ψ+ ψ− Ta s? xem xét ý nghCa c a các tr ng thái Bell trên. Xét tr ng thái φ + : N u An o l ng qubit mà anh ta n m gi trong c s ⊕ thì k t qu là ng!u nhiên 1 ho"c 0 v i xác su t nh nhau. N u k t qu phép o l ng c a An là 0 tr ng thái c a h th ng lúc ó là 0 N u k t qu phép o l ng c a An là 1 tr ng thái c a h th ng lúc ó là 1 A 1 B . A 0 B. Sau ó Bình o l ng qubit mà anh ta n m gi trong cùng c s mà An thì k t qu mà anh ta nh n c ph# thu c vào tr ng thái c a h th ng lúc ó: N u tr ng thái c a h th ng lúc ó là 0 0 B thì k t qu phép o l ng c a An là N u tr ng thái c a h th ng lúc ó là 1 A 1 B thì k t qu phép o l ng c a An là A 0 . 1 . Tính ch t quan tr ng c a liên k t l ph8n. (i u này có nghCa là không th ng t là không th tách r i thành các thành tìm ra hai qubit σ và σ ′ sao cho σ Θσ′ = φ+ . l Xét v m:t m t mã, tính ch t này là c s* hình thành giao th c phân ph i khóa ng t EPR mà chúng ta s? tìm hi u * nh>ng ph8n sau. -8- 1.2.5 ( nh lý không th sao chép l ng t ( nh lý không th sao chép l ng t là m t k t qu c a c h c l ng t . ( nh lý phát bi u rng ma tr n Pauli, t c là các ma tr n U th a mãn i u ki n UU = I , nghCa là U + = U −1 . + Ví d : ϕ = α 0 + β 1 = Và U = α β 0 1 1 0 ϕ′ = U ϕ = 0 1 α β = = β 0 +α 1 1 0 β α ϕ′ = β 0 +α 1 1.3.3 Phép nhân tr ng thái l ng t Tr ng thái c a m t h th ng liên h p các qubit là tích tensor c a các tr ng thái qubit có trong h th ng liên h p ó. N u h th ng có n qubit v i tr ng thái riêng lE là ϕ 2 , ϕ 2 , ϕ 3 ,... ϕ n thì tr ng thái liên h p c a chúng s? là ϕ1 Θ ϕ 2 Θ ϕ 3 Θ... ϕ n Ví d : Tr ng thái c a m t h th ng g9m 2 qubit: ϕ1 = a 0 + b 1 và ϕ 2 = c 0 + d 1 thì tr ng thái c a h th ng là: ϕ1 Θ ϕ 2 ac a c ad = Θ = = ac 0 0 + ad 0 1 + bc 1 0 + bd 1 1 b d bc bd - 10 - 1.3.4 (o l (o l ng l ng l ng t trên c s* toán h c c mô t b*i t p h p {M m } ( M m = a m Θ a m , am là tr ng thái ng t c a qubit sau khi th c hi n phép o l ng) c a toán t s y ra trong thí nghi m. N u tr ng thái c a qubit tr ol ng. ChB s m là 8u ra có th c khi o l ng là ϕ thì: Xác su t s y ra m sau thí nghi m là p(m) = ϕ M m+ M m ϕ . Tr ng thái c a qubit sau phép o l T p h p {M m } ph i ng là: Mm ϕ . ϕ M m+ M m ϕ M m+ M m = I . m b o: m P ( m) = T ng xác su t s y ra b$ng 1: ϕ M m+ M m ϕ = 1 . m Ví d : N u ta th c hi n phép o l toán t ol ng ϕ = α 0 + β 1 trong c s* ⊕ , t p h p c a ng s? là {M m } = ( M 0 , M 1 ) v i: M 0 = 0 Θ 0 = [1 0]Θ 1 1 0 0 0 0 = và M 1 = 1 1 = [0 1] = 0 0 0 1 0 1 M m+ M m =M 0+ M 0 + M 1+ M 1 = m Xác m su t s y ra p (0) = ϕ M 0+ M 0 ϕ = [a b] 1 0 =I 0 1 sau thí nghi m cho ta 0 1 0 a =α2 0 0 b Xác su t s y ra sau thí nghi m cho ta 1 là: p(1) = ϕ M 1+ M 1 ϕ = [α β] 0 0 α = β2 0 1 β p (m) = p(0) + p (1) = α 2 + β 2 = 1 . Th a mãn t)ng xác su t bng tr ng thái c a liên k t l ng t :t theo tên c a nhà khoa h c J. S. Bell, c ng d ng vào trong m t mã l ng t [8]. ( t o ra liên k t l ng t theo tr ng thái Bell c a hai photon phân c c trong phòng thí nghi m ng i ta dùng hai qubit ϕ = 0 và ω = 0 - 12 - Bi n )i qubit ϕ thành ϕ ′ qua U 1 = H = ϕ′ = H ϕ = 1 1 1 2 1 −1 1 1 1 1 1 1 1 (0 + 1 ) = = 2 1 −1 0 2 1 2 Lúc này h th ng hai qubit s? có tr ng thái 1 1 1 1 1 0 1 0 δ = ϕ′ Θ ω = Θ[1 0] = = 2 1 2 1 0 2 1 0 Bi n )i δ thành δ ′ qua U 2 = C not δ ′ = C not 1 0 δ = 0 0 0 1 0 0 Nh v y ta ã t o T 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 = 2 1 2 0 1 0 = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 (0 0 + 1 1 )= φ+ = 0 2 1 c c:p liên k t l ng t có tr ng thái φ + ng t th , t các c:p 8u vào khác ta s? t o 0 0 → 1 ( 0 0 + 1 1 )= φ+ ; 2 0 1 → 1 0 → 1 (0 0 − 1 1 )= φ− ; 2 11 → c các tr ng thái khác c a Bell: 1 2 (0 - 13 - 1 + 1 0 )= ψ + 1 ( 0 1 − 1 0 )= ψ − 2 Nh v y các c:p tr ng thái Bell c a hai qubit có th Hình 1.7: S t hai qubit 0 . c t o ra theo s t o c"p tr ng thái bell 9: ( ch ng minh s liên h l ol ng t c a các tr ng thái Bell ta l8n l ng σ và φ + trên t p h p {M m } = ( M 0 , M 1 ) c a toán t 1 0 Trong ó M 0 = 0 0 (o l 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 và M 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ng là: 1 0 1 p(0) = σ M 0+ M 0 σ = [1 0 1 0] 0 2 0 • K t qu s y ra 0 sau o l 1 M0 σ 0 = 0 σ M 0+ M 1 σ 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 =1 0 2 1 0 0 ng là: 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 = =σ 0 2 1 2 1 0 0 0 ng σ trong c:p toán t ol tr ng thái c a h th ng, nghCa là phép o l n qubit khác trong c:p ó. (o l 0 0 0 1 ng. ng σ : • Xác su t s y ra 0 sau o l (o l 0 0 0 0 ol t th c hi n phép ng {M m } = ( M 0 , M 1 ) không làm thay )i ng m t qubit trong c:p không làm nh h *ng ng φ + : • Xác su t s y ra 0 sau o l p(0) = φ + M 0+ M 0 φ + ng là: 1 0 1 [1 0 0 1] = 0 2 0 - 14 - 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 = = 2 1 2 2 0 1 0