Tài liệu Tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân đại số với trễ bội và nghiệm số của chúng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGÔ THỊ LAM TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGÔ THỊ LAM TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Đào Thị Liên THÁI NGUYÊN - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2016 Tác giả luận văn Ngô Thị Lam i LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ và khoa học của cô giáo -Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lời cám ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, các phòng ban chức năng, các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn. Sau cùng tôi xin được bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình, các bạn đồng nghiệp đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi các hạn chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện hơn. Học viên cao học Ngô Thị Lam ii M CL C Trang Trang bìa phụ Lời cam đoan .......................................................................................................i Lời cảm ơn ........................................................................................................ ii Mục lục ............................................................................................................ iii Danh mục các kí hiệu viết tắt ............................................................................iv MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ................................................................... 4 1.1. Một số khái niệm và kết quả về hệ phương trình vi phân đại số. ............ 4 1.2. Phép chiếu, chỉ số của ma trận. ................................................................ 4 1.3. Chỉ số của phương trình vi phân đại số .................................................... 6 1.4. Phương trình vi phân đaị số tuyến tính với hệ số hằng ........................... 7 1.5. Sự ổn định (Lyapunov) của phương trình vi phân đại số......................... 9 1.6. Tính giải được của DDAE chính quy..................................................... 13 1.7. Phương trình DAEs có trễ dạng Hessenberg........................................ 17 Chƣơng 2. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG ............ 21 2.1. Tiêu chuẩn ổn định................................................................................. 21 2.1.1. Tính ổn định tiệm cận của hệ có trễ độc lập ...................................... 22 2.1.2. Tiêu chuẩn ổn định đại số thực hành .................................................. 31 2.2. Tính ổn định của nghiệm dạng số .......................................................... 43 2.2.1. Phương pháp θ .................................................................................... 43 2.2.2. Phương pháp BDF............................................................................... 45 2.2.3. Phương trình vi phân đại số có trễ chính quy yếu. ............................. 46 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 51 iii DANH M C CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT ODE: Phương trình vi phân thường. DAE: Phương trình vi phân đại số . DDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ. DODE: Phương trình vi phân thường có trễ. NDODE: Phương trình vi phân thường có trễ trung tính. NDDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ trung tính. UDODE: Phương trình vi phân thường cơ bản có trễ. UDDAE: Phương trình vi phân đại số cơ bản có trễ. iv MỞ ĐẦU Các phương trình vi phân đại số (DAEs) đóng vai trò quan trọng trong việc mô phỏng các bài toán ứng dụng thực tế, ví như trong ứng dụng của ngành cơ học đa vật thể, điều khiển quỹ đạo theo lệnh, thiết kế mạng điện, hệ thống phản ứng hóa học, sinh học và y học lâm sàng.(xem [4,18] và các tài liệu tham khảo trong đó). Trong nhiều bài toán, các hệ được chú ý đến nhiều là hệ chứa trễ, (xem [3,6-8,12,20,21,22,25-27]). Lý thuyết và các nghiệm dạng số của các phương trình vi phân thường có trễ (DODEs) được biết đến và bàn luận hàng thập kỷ qua,(xem [14] và các bài tham khảo trong đó), có rất ít các kết quả nghiên cứu về hệ phương trình vi phân đại số có trễ (DDAEs). Lý do chính là vì ngay cả đối với các DDAEs tuyến tính, cơ chế động học của chúng vẫn chưa được tìm hiểu kỹ, đặc biệt khi cặp ma trận {A,B} trong (0.1) là không chính quy. Vấn đề khó nhất là tồn tại dạng không bị nén để trong đó một bộ nhiều hơn hai ma trận có thể được đồng thời biến đổi. Hầu hết các kết quả nghiên cứu trước đây đều chỉ dành cho phương trình vi phân đại số có trễ (DDAEs) chính quy tuyến tính với thời gian không đổi (xem [12,25]), hoặc các DDAEs dạng đặc biệt (xem [3, 20, 26, 27]). Cho tới thời điểm đăng bài báo này, chỉ mới có hai công trình nghiên cứu liên quan tới phương trình vi phân đại số không chính quy (xem [8, 21]). Kết quả tổng quan về tính giải được và tính ổn định của DDAE vẫn còn khá ít. Ví dụ dưới đây minh họa một vài sự khác biệt quan trọng giữa ODEs có trễ, DAEs không trễ và DAEs có trễ. Ví dụ 1. Xét hệ thuần nhất sau  x1 (t )  x1 (t )  x1 (t  1)  x2 (t  1)  0 (t  0)  2 x ( t )  x ( t  1)  x ( t  1)  0  2 1 2 trong đó, x1 và x2 được cho bởi các hàm liên tục trên (-1,0]. Động lực học của x1 bị chi phối bởi một toán tử vi phân và sự liên tục của x1 được kỳ vọng. Động 1 lực học của x2 được quy định bởi một toán tử vi phân và không giống x1, thành tố này nhìn chung chỉ cần là liên tục từng khúc. Ví dụ 2. Xét hệ không thuần nhất dưới đây x1 (t )  f (t )  (t  0)  x ( t )  x ( t  1)  g ( t )  1 2 Nghiệm được cho bởi t t 1 0 0 x1 (t )   f ( s)ds  C , x2 (t )   g (t  1)   f ( s)ds  C ( t  0 ) trong đó, C là hằng số. Hệ động lực này không phải ngẫu nhiên. Không những x2 được xác định trên (-1,0], mà nghiệm cũng phụ thuộc và những lần tích phân sau này của hàm đầu vào f(t). Hiện tượng thú vị này cần được lưu ý thêm rằng ngoài những lý thuyết đã biết trước đây về DAE là nghiệm có thể phụ thuộc vào đạo hàm của hàm đầu vào. Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận độc lập với trễ của DAEs với trễ đơn được đưa ra trong [26]. Theo đó, tính ổn định tiệm cận của phương pháp , phương pháp BDF, phương pháp đa bước tuyến tính tổng quát, cũng như phương pháp Runge-Kutta ẩn đều được phân tích. Không may, trong thực tế rất khó kiểm tra những điều kiện này. Mục đích chính của luận văn này là trình bày các kết quả bổ sung cho lý thuyết về tính ổn định của các DDAEs đã được các tác giả đề xuất trong [26]. Cụ thể là, chúng ta có ý định đưa các tiêu chuẩn về tính ổn định cho DDAEs độc lập dạng (0.1) và (0.2). Chúng ta tập trung vào các tiêu chuẩn ổn định mà thực tế có thể dễ dàng kiểm tra được. Kết quả của chúng ta đạt được là mở rộng các tiêu chuẩn dành cho DODEs (xem [15,16]) sang các DDAEs trung tính. Theo những tiêu chuẩn này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng, các nghiệm dạng số có được bằng phương pháp và phương pháp BDF đều bảo toàn tính ổn định tiệm cận của DDAE. Kết quả này cũng chỉ ra rằng kết quả của DAE có trễ đơn trong [26] là một trường hợp đặc biệt. Hơn nữa, 2 chúng tôi cũng nghiên cứu tính giải được và tính ổn định của một lớp đặc biệt các DDAE không chính quy. Luận văn gồm 60 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung chính gồm có hai chương. Chƣơng 1. Kiến thức cơ sở Nội dung chương này trình bày một số khái niệm và kết quả về các phương trình vi phân đại số, phương trình vi phân có trễ, lí thuyết ổn định của phương trình vi phân sẽ được sử dụng trong chương 2. Chƣơng 2. Tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân đại số với trễ bội và nghiệm số của chúng. Nội dung chương này trình bày một số kết quả nghiên cứu về tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân đại số với trễ bội và nghiệm số của chúng mà các tác giả Stephen L. Campbell và Vũ Hoàng Linh đã đề cập trong bài báo: “Stability criteria for differential-algebraic equations with multiple delays and their numerical solutions” đăng trên “Applied Mathematics and Computation ” vào năm 2009. 3 Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Một số khái niệm và kết quả về hệ phƣơng trình vi phân đại số. Xét phương trình vi phân dạng F (t , x(t ), x(t ))  0 trong đó: x : I  n F : I  D , I   a,    n  (t , x, x) D là tập mở trong (1.1) n n F (t , x, x) , F  (I  D  n , n ), Fx , Fy  ( I  D  n , L( n )) Định nghĩa 1.1.1. Phương trình vi phân (1.1) được gọi là phương trình vi phân đại số (DAEs) nếu hàm F thỏa mãn ker Fx (t , x(t ), x(t ))  0 với mọi (t, x, x)  I  D  n Hệ quả 1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính A(t ) x(t )  B(t ) x(t )  q(t ) trong đó A, B  ( I , L( n (1.2) )) , q liên tục trên I, detA(t) = 0 với t  I , là phương trình vi phân đại số tuyến tính. 1.2. Phép chiếu, chỉ số của ma trận. Định nghĩa 1.2.1. Cho P  L( n ). P được gọi là một phép chiếu nếu Nhận xét 1.2.2. Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có: KerP  Im P  Mỗi phân tích n n  U  V tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V Đặt Q:= I-P thì Q cũng là một phép chiếu lên V dọc theo U. 4 Định nghĩa 1.2.3. (Chỉ số của ma trận) Cho A  L( n ) . Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A kí hiệu là indA, k k 1 k k 1 nếu đó là số nhỏ nhất sao cho KerA  KerA , min k  : KerA  KerA  Định lý 1.2.4. Với mọi A  L( imAk  ker Ak  n n ) ta luôn có . Với mọi k thoả mãn 0  k  indA . imAk  ker Ak  imAk  ker Ak  n với k  indA . Định nghĩa 1.2.5. Cặp ma trận {A,B} được gọi là chính quy nếu c  sao cho det(cA  B)  0 . Định nghĩa 1.2.6. Giả sử cặp ma trận {A,B} chính quy, c  det(cA + B) thỏa mãn . Chỉ số của cặp ma trận {A,B} là chỉ số của ma trận (cA  B)1 A, kí hiệu là ind(A,B), tức là ind ( A, B)  ind (cA  B)1 A (định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị của c) Định lý 1.2.7. Nếu Q  L( n ) không suy biến thì ind (QA, QB)  ind ( AQ, AB)  ind ( A, B) Nếu A và B là giao hoán được thì ind ( A, B)  indA. Định lý 1.2.8. Giả sử cặp ma trận {A,B} chính quy, c  sao cho cA  B khả nghịch, đặt Q  (cA  B)1. Khi đó QA, QB là giao hoán được. Định lý 1.2.9. Giá sử cặp ma trận {A,B} chính quy, chỉ số k và rank ([cA+B1 ]k )  r khi đó tồn tại các ma trận khả nghịch P, Q sao cho A  Pdiag ( I r ,U )Q, B  Pdiag (W,U nr )Q Định lý 1.2.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương 1) Cặp (A,B) là chính quy chỉ số 1. 2) x  ker A và Bx  imA suy ra x  0 3) Cặp ( A, B ) chính quy và deg P  rankA với P( z) : det( zA  B) 4) Cặp( A, B  AW ) chính quy và ind{ A, B  AW }=1 với mọi W  L( 5 n ) 5) G : A  BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên ker A 6) Với S : {x  n : Bx  imA} thì S  ker A  n . 7) Bằng cách nhân ma trận không suy biến thích hợp E  L( A  n ) thỏa B  mãn EA   1  , EB   1  , ta nhận được ma trận không suy biến 0  B2   A1     L(  B2  n ) . 1.3. Chỉ số của phƣơng trình vi phân đại số Chỉ số của phương trình vi phân đại số là một số nguyên dương cung cấp những thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và những phức tạp tiềm ẩn trong phân tích và tìm nghiệm của phương trình vi phân đại số. Nhìn chung, chỉ số càng cao, sẽ càng khó khăn hơn trong việc tìm nghiệm cho phương trình vi đại số. Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về khái niệm chỉ số này. Ví dụ: chỉ số Kronecker, chỉ số vi phân (Brenan và đồng nghiệp, 1986), chỉ số nhiễu (Hairer và đồng nghiệp, 1996), chỉ số mềm (Griepentrog và đồng nghiệp, 1986), chỉ số hình học (Rabier và đồng nghiệp, 2002), hay chỉ số lạ (Kunkel et al. 2006),.. Vì một phương trình vi phân là hỗn hợp của các phép vi phân và tích phân, nên có người cho rằng việc lấy đạo hàm các điều kiện ban đầu và thay thế khi cần thiết trong các phương trình vi phân, lặp lại nếu cần, thì sẽ dẫn tới kết quả của một phương trình vi phân thường cho tất cả các ẩn hàm. Số lần lấy đạo hàm cần thiết trong phép biến đổi từ phương trình vi phân đại số về phương trình vi phân thường gọi là chỉ số vi phân của phương trình vi phân đại số. Như vậy, phương trình vi phân thường là phương trình vi phân đại số chỉ số là . Hệ phương trình Ax  Bx  0 được gọi là chính quy chỉ số k nếu cặp ma trận  A, B là chính quy chỉ số k (k là chỉ số mềm). Người ta có thể phân lớp các phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm chỉ số của các phương trình vi phân này. 6 Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số (mềm) của phương trình vi phân đại số 1.4. Phƣơng trình vi phân đaị số tuyến tính với hệ số hằng Xét phương trình vi phân đại số dạng F (t , x(t ), x(t ))  0 trong đó: x : I  n (1.3) , I   a,    F : I  D n (t , x, x) D là tập mở trong n  n F (t , x, x) , F  (I  D  n , n ), Fx , Fy  ( I  D  ker Fx (t , x(t ), x(t ))  0 với mọi (t , x, x)  I  D  không phụ thuộc vào (t , x, x)  I  D  n và ́ tức là n n , L( n )) . Giả thiết ker Fx (t , x(t ), x(t ))  0 ker Fx (t , x(t ), x(t ))  N (t ) với mọi . Định nghĩa 1.4.1. Không gian hạch N (t ) được gọi là trơn trên I nếu có ma trận hàm khả vi liên tục Q  l ( I , L( n )) sao cho Q(t )2  Q(t ), imQ(t )  N (t ) , t  I . Khi đó Q(t ) là phép chiếu lên N(t). Đặt P(t )  I n  Q(t ) suy ra P  l ( I , L( n )). 1 Ta có F (t , x, y)  F (t , x, P(t ) y)   Fx (t , x, sy  (1  s) P(t ) y)Q(t ) yds 0 và từ Q(t ) y  imQ(t )  N (t )  ker Fx (t , x, x)  Fx (t, x, y)Q(t ) y  0. 1 suy ra F (t , x, y)  F (t , x, P(t ) y)   Fx (t , x, sy  (1  s) P(t ) y)Q(t ) yds  0 0 hay F (t , x, y)  F (t , x, P(t ) y)  F (t , x, x)  F (t , x, P(t ) x)  F (t , x,(Px)(t )  P(t ) x(t )) Điều này cho thầy, để hàm x : I  P( x)  1 N (I , l n (I , n ) , Q( x)  ( I , )  {x  l (I, n n ): P(x)  n là nghiệm của (1.3) thì cần phải có ) . Bây giờ ta quan tâm tới không gian hàm sau l (I, n )} 7 Đặt S (t , x, y )  {z  n : Fx (t,x,y)z  Fy (t,x,y)} G1 (t , x, y) : Fy(t, x, y)  Fx(t, x, y)Q(t) A1 (t , x, y) : G1 (t , x, y)  Fy(t , x, y) P(t )Q(t ) N1 (t , x, y) : ker A1 (t , x, y) S1 (t , x, y) : {z  n : Fx (t,x,y)P(t)z  imA1 (t,x,y)} Định nghĩa 1.4.2. Phương trình vi phân đại số (1.3) được gọi là có chỉ số 1 trên tập mở G  I  D  n nếu N (t )  S (t , x, y)  n , (t , x, y)  G Định nghĩa 1.4.3. Phương trình vi phân đại số (1.1) được gọi là có chỉ số 2 trên tập mở G  I  D  n nếu dim N1 (t , x, y)  const>0 và N1 (t , x, y)  S1 (t , x, y)  n , (t , x, y)  G Cụ thể đối với phương trình vi phân tuyến tính dạng A(t ) x(t )  B(t ) x(t )  0 trong đó x : I  n , A, B  ( I , L( (1.4) n )) , det A(t )  0 với t  I .. N (t )  ker A(t ) trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t) khả vi liên tục. Đăt P(t ) : I  Q(t ) S (t ) : {z  n : B(t)z  imA(t)} A1 (t ) : A(t )  ( B(t )  A(t ) P(t ))Q(t ) N1 (t ) : ker A1 (t ) S1 (t ) : {z  n : B(t)P(t)z  imA1 (t)} Gọi Q1 (t ) là phép chiếu khả vi liên tục lên N1(t) dọc theo S1(t), P1 (t ) : I  Q1 (t ) B1 (t ) : ( B(t )  A1 (t )( PP1 )) P(t ) Đặt A2 (t ) : A1 (t )  B1(t )Q1 (t ) 8 Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.4) có chỉ số 1 trên I khi và chỉ khi N (t )  S (t )  n , t  I . Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.4) có chỉ số 2 trên I khi và chỉ khi  dim N1 (t )  const  0  det A1 (t )  0, t  I tức là   n det A2 (t )  0, t  I  N1 (t )  S1 (t )  , t  I Đặc biệt khi xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Ax(t )  Bx(t )  0 trong đó x : I  (1.5) n , A, B  ( I , L( n )) , det A(t )  0 . Khi đó: N : ker A S : {z  n : Bz  imA} Gọi Q là chép chiếu lên N, đặt P : I  Q (P là phép chiếu lên imA ). A1 : A  BQ N1 : ker A1 s1 : {z  n : B1z  imA} Gọi Q1 là phép chiếu lên N1 dọc S1, đặt P1 : I  Q1 B1 : BP, A2 : A1  B1Q1 ( A1  BPQ1 ) Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.5) có chỉ số 1 khi và chỉ khi N S  n  det A1  0. Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.5) có chỉ số 1 khi và chỉ khi  dim N1  const  0 tức là  n  N1  S1  , t  I  det A1  0  det A2  0 1.5. Sự ổn định (Lyapunov) của phƣơng trình vi phân đại số Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính sau A(t ) x(t )  B(t ) x(t )  q(t ) (1.6) 9 trong đó x : I  n , A, B  L( n ), det A  0, q(t )  ( I , n ) Rõ ràng hệ (1.6) có nghiệm tầm thường x(t )  0 . a. Phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 Giả sử (1.6) có chỉ số 1 và KerA(t) trơn. Gọi Q(t) là phép chiếu khả vi liên tục lên KerA(t), đặt P(t ) : I n  Q(t ) Ký hiệu x(t , t0 , x0 ) là nghiệm của (1.6) thỏa mãn P(t0 ) x(t0 )  P(t0 ) x0 , t0  I , x0  điều kiện đầu n Định nghĩa 1.5.1. Nghiệm tầm thường x(t )  0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số ( đều tồn tại ‖ x(t , t0 , x0 ) ‖ ) cho trước và với mọi sao cho nếu x0  n thỏa mãn P(t0 ) x0   thì với mọi Định nghĩa 1.5.2. Nghiệm tầm thường x(t )  0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số ( ) ‖ ( ) ‖ sao cho nếu ( ) thì ‖ x(t , t0 , x0 ) ‖ b. Phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2 Giả sử hệ (1.6) có chỉ số 1 và ker A(t ) trơn. Các phép chiếu P(t ), P1 (t ) như ở mục (1.4). Ký hiệu x(t , t0 , x0 ) là nghiệm của (1.6) thỏa mãn điều kiện đầu P(t0 ) P1 (t0 ) x(t0 )  P(t0 ) P1 (t0 ) x0 , t0  I , x0  n Định nghĩa 1.5.3. Nghiệm tầm thường x(t )  0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số đều tồn tại ( ) sao P(t0 ) P1 (t0 ) x0   thì ‖ x(t , t0 , x0 ) ‖ cho trước và với mọi cho với mọi 10 nếu thỏa mãn Định nghĩa 1.5.4. Nghiệm tầm thường x(t )  0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định ( ) tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số sao cho nếu P(t0 ) P1 (t0 ) x0   0 (t0 ) thì ‖ x(t , t0 , x0 ) ‖ Trong phần tiêp theo, chúng ta tóm tắt ngắn gọn những kiến thức cần thiết cho các phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng và có trễ (DDAEs). Chúng ta giả định rằng người đọc đã rất quen thuộc với lý thuyết cơ bản về DAEs (xem [4],[12],[17]), ví dụ như A ̇ + Bx = 0 (1.7) Cặp ma trận {A,B} được gọi là chính quy nếu tồn tại λ det(λA+B) sao cho 0. Hệ (1.7) là giải được nếu và chỉ nếu {A,B} là chính quy. Nếu det(λA+B) =0 với λ , chúng ta nói rằng {A,B} là không chính quy. Nếu {A,B} là chính quy, thì λ là giá trị riêng hữu hạn của {A,B} khi det(λA+B) = 0. Tập hợp tất cả các giá trị riêng được gọi là phổ của cặp {A,B} và được kí hiệu bằng σ{A,B}. Giá trị lớn nhất của giá trị riêng hữu hạn được gọi là bán kính phổ của cặp {A,B} và được kí hiệu bằng ρ{A,B}. Những khái niệm này cũng được mở rộng cho trường hợp bộ n+1 ma trận cho trước * +  tức là các giá trị riêng của bộ      i 0 n  ma trận này có được bằng cách định nghĩa   Ai i0    : det    ni Ai   0 và (* + A mm ) *| | (* + ) n  ). Vì vậy, với một ma trận cho trước , ta đã biết phổ σ(A) và bán kính phổ ρ(A) lần lượt là σ(-I,A) và ρ(-I,A). Giả sử rằng, A là suy biến và cặp {A,B} là chính quy. Khi đó tồn tại các ma trận không suy biến W, T sao cho 11 I WAT   d 0 0  B1  , WBT   0 N  0   I m d  (1.8) trong đó N là lũy linh bậc k (xem [4,13,18]). Nếu N là một ma trận không thì k=1. Hơn nữa, không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng, N và nằm trong ma trận tam giác trên. Nếu cặp{A, B} là chính quy, chỉ số lũy linh của N trong (1.8) được gọi là chỉ số của cặp ma trận {A,B} và chúng ta viết index{A,B}=k. Nếu A không suy biến, chúng ta viết index{A,B}=0. Định nghĩa 1.5.5. Giả sử {A, B} là chính quy. Gọi Q là một phép chiếu lên không gian con của A với điều kiện đầu tương thích. Đặt P= I - Q. Nghiệm không của (1.7) là ổn định nếu: với thỏa mãn ‖ ‖ một vector tùy ý sao cho với , nghiệm của bài toán giá trị ban đầu  Ax  Bx  0, t   0,    P( x(0)  x0 )  0  tồn tại duy nhất và thỏa mãn‖ ‖ với t . Nghiệm không được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và ‖ ‖ với nghiệm x của (1.7). Nếu nghiệm không của (1.7) là ổn định và ổn định tiệm cận , chúng ta nói rằng hệ (1.7) là ổn định, ổn định tiệm cận. Nếu index{A,B}=1 ta có thể chọn Q là phép chiếu lên ker(A) (xem [13]). Sự khác biệt giữa các ODEs và DAEs là đối với ODEs thì điều kiện x(0)  x0 là tùy ý cón đối với DAEs thì không kì vọng vào điều đó mà điều kiện đầu x(0)  x0 là tương thích. Nói cách khác, với DAEs, chúng ta cần giá trị ban đầu tương thích xo sao cho (1.7) thỏa mãn, với các điều kiện ban đầu x(0)  x0 , sẽ đúng cho trường hợp nghiệm trơn. Chúng ta không xem xét các trường hợp phát sinh trong luận văn này và vì lý do đó chúng ta sẽ thường xuyên đưa ra các giả thiết về chỉ số. Đối với hệ bất biến tuyến tính, các khái niệm về sự ổn 12 định tiệm cận và ổn định mũ là tương đương. Các hệ (1.7) là ổn định nếu và chỉ nếu cặp ma trận{A, B} là ổn định, tức là, ( ) trong đó nửa mặt phẳng phức vế trái là mở (xem [24]). Rõ ràng (WAT,WBT) = ( ) đối với các W, T không suy biến. 1.6. Tính giải đƣợc của DDAE chính quy Lý thuyết về phương trình vi phân thường có trễ (DODEs) đã được biết đến khá nhiều (xem [14]), khi ma trận đầu ra A trong (1.7) là ma trận đơn vị, những hệ phương trình dạng này được phân loại theo dạng của chúng. Đối với một DODE vô hướng a ̇ + bx + c ̇ ( trình là loại có trễ nếu a loại cải tiến nếu a=0, b ) ( ) ( ), hệ phương , là loại trung tính nếu a và c , và là . Một thuộc tính quan trọng của các lớp phương trình ta phân loại ở trên là nó phân loại các DODEs gián đoạn lan truyền đến các khoảng trễ trong tương lai (giả thiết của bài toán điều kiện ban đầu). Các điểm gián đoạn xuất hiện trong hệ trễ trở nên trơn hơn trong mỗi khoảng thời gian kế tiếp, trong khi đó các gián đoạn trong các hệ cải tiến trở nên kém trơn trong mỗi khoảng thời gian kế tiếp. Gián đoạn trong hệ trung tính được thực hiện vào khoảng thời gian trễ kế tiếp với cùng một độ trơn. Do đó, chúng ta sẽ nghiên cứu riêng rẽ DDAEs gồm có phần trễ và DODEs trung tính, nhưng việc tránh hoàn toàn những điều kiện dẫn đến DODEs cải tiến. Đối với một số ví dụ thú vị về DDAEs và một số DAEs không trễ nhưng thực sự là loại trung tính hoặc cải tiến, (xem [7,8]). Trong phần này, chúng ta xét DAEs có trễ đơn Ax  Bx  Dx(t   )  0 (1.9) DDAE dạng (1.9) được gọi là chính quy (xem [8]) nếu cặp ma trận {A.B} được gọi là chính quy và chính quy yếu nếu tồn tại α, β, γ det(α β γ ) sao cho tức là bộ ba {A, B, D} là chính quy. Chúng ta giả sử rằng {A,B} là chính quy và có chỉ số k. Chú ý rằng các DAEs có độ trễ đơn. Ax  Bx  Cx(t  )  Dx(t   )  0 (1.10) 13 luôn có thể biến đổi được về dạng (1.9). Thật vậy, bằng cách định nghĩa một biến mới y qua phương trình y(t) = x(t- ), chúng ta có được một DAE có trễ mới Ax  Bx  Dx(t   )  0  A C  x (1.11)  B D 0 0  , D    I  0 I  với x    , A  , B   0 0 0  y Tuy nhiên, phép biến đổi này có thể làm tăng chỉ số của hệ phương trình DAE. Ngoài ra, số chiều của hệ mới được biến đổi trở thành 2m, đem lại ít lợi ích khi tính toán trong thực tế. Mệnh đề 1.6.1. Cặp ma trận {̃ , ̌} là chính quy nếu và chỉ nếu {A,B} là chính index  A, B  k  1 quy. Tuy nhiên, index{A, B}=k hoặc , trong đó index(A,B)=k. Chứng minh. Sự tương đương giữa tính chính quy của 2 cặp ma trận là rõ ràng. Chúng ta kiểm tra khẳng định về chỉ số của cặp  A, B . Không làm mất tính tổng quát, chúng ta giả đỉnh rằng cặp {A,B} được cho dưới dạng chuẩn Kronecker (1.8). Theo đó, C và D được cho sẵn dưới dạng khối:  C C2   D1 C  1 , D    C3 C4   D3 D2   D4  (1.12) Do đó, ta có thể giả sử  A, B là I 0  0 N A 0 0  0 0 C1 C2   B1 0 D1   C3 C4  0 I D3 , B 0 0 I 0 0   0 0 0 0 0 D2   D4  0   I  14 (1.13)