Tài liệu Tích vô hạn (kl07195)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* VŨ THỊ HÙY TÍCH VÔ HẠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin được gửi lời cảm ơn tới các Giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành bản khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đã đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành như hiện tại. Xuân Hòa, ngày 30 tháng 4 năm 2015 Sinh viên Vũ Thị Hùy 2 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào khóa luận của em với đề tài “Tích vô hạn” được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác. Trong quá trình làm đề tài, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự chân trọng và biết ơn. Xuân Hòa, ngày 30 tháng 4 năm 2015 Sinh viên Vũ Thị Hùy 3 Mục lục 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương . . . . . . . . 12 1.1.3 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý . . . . . . . . . 17 Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số . . 22 1.2.3 Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ đều . 26 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1 Khái niệm về chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . 27 1.3.2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa . . . . . . . 28 1.3.3 Khai triển thành chuỗi lũy thừa của một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 TÍCH VÔ HẠN 2.1 8 31 32 Giới thiệu về tích vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1 Một số khái niệm cơ bản và ví dụ . . . . . . . . 32 2.1.2 Mối liên hệ giữa tích vô hạn và chuỗi . . . . . . 34 4 Tích vô hạn của ln 2 và e. . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Sự hội tụ tuyệt đối của tích vô hạn . . . . . . . . . . . 40 2.3 Định lý Tannery và hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.1 Định lý Tannery cho chuỗi . . . . . . . . . . . . 41 2.3.2 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.3 Định lý Tannery đối với tích vô hạn . . . . . . . 45 2.1.3 2.4 Khai triển tích vô hạn Euler cho hàm lượng giác và số π 46 2.4.1 Khai triển tích Euler thứ nhất đối với hàm sine 2.4.2 Khai triển tích vô hạn Euler thứ hai cho hàm sine 49 2.4.3 Ứng dụng của tích Euler . . . . . . . . . . . . . 5 46 53 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lí thuyết tích vô hạn được hình thành một cách khá tự nhiên xuất phát từ các công trình tính toán của các nhà toán học từ nhiều lĩnh vực thực tế. Theo tiến trình lịch sử có lẽ phải kể đến sự quan tâm của các nhà toán học về việc tính toán số π. Vào thế kỉ XVI, nhà toán học người Pháp F. Viete đã đưa ra công thức q p √ √ √ p 2 + 2+ 2 2 2+ 2 2 = . . ... π 2 2 2 Đến thế kỉ XVII, John Wallis đưa ra công thức ∞ Q 2n 2n 2 2 4 4 6 6 π = = . . . . . ... 2 n=1 2n − 1 2n + 1 1 3 3 5 5 7 Việc nghiên cứu tích vô hạn thu được kết quả quan trọng khi Euler đưa ra khai triển của một số hàm thành tích vô hạn. Ví dụ như khai triển hàm sine sin z = z ∞ Q n=1  1 − z2 n2 z 2  Đồng thời Euler cũng đưa ra biểu diễn hàm Riemann - zeta thành tích vô hạn vào năm 1749 ξ(k) = 1 ; −k p∈P 1 − p Q với P là tập hợp tất cả các số nguyên tố. Biểu diễn này là kết quả quan trọng trong việc phát triển nghiên cứu đối với hàm Riemann zeta. Sự khai triển các hàm thành tích vô hạn tương tự như việc phân tích đa thức thành các nhân tử tuyến tính. Bằng việc nghiên cứu tích 6 vô hạn, người ta có thể tính được số π một cách chính xác hơn hay nghiên cứu các hàm thông qua sự khai triển thành tích vô hạn của nó. Ngày nay, lí thuyết tích vô hạn đã được nghiên cứu gần như hoàn thiện một cách chuẩn mực. Được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào và mong muốn tìm hiểu về tích vô hạn, em đã chọn đề tài “Tích vô hạn”. Khóa luận được cấu trúc hai chương Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi số, chuỗi hàm và chuỗi lũy thừa. Chương 2. Trình bày các khái niệm về tích vô hạn, chứng minh các kết quả quan trọng và đưa ra một số ứng dụng của tích vô hạn. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các khái niệm cơ bản về tích vô hạn, chứng minh các kết quả quan trọng và một số ứng dụng của tích vô hạn. 3. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu các khái niệm cơ bản về tích vô hạn, các kết quả quan trọng và ứng dụng của tích vô hạn. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn. 7 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Chuỗi số Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa. Cho dãy số {an }. Tổng vô hạn +∞ P a1 + a2 + ... + an + ... = an (1.1) n=1 được gọi là một chuỗi số. + an được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi số. + Tổng sn = a1 + a2 + ... + an = n P ak , (1.2) k=1 được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. Dãy {sn } được gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1). Nếu giới hạn của dãy tổng riêng lim sn = s tồn tại và hữu hạn thì n→∞ chuỗi được gọi là hội tụ và có tổng riêng là s. Khi đó ta cũng viết +∞ P an = s. n=1 Nếu lim sn = ±∞ hoặc không tồn tại giới hạn này thì chuỗi được gọi n→∞ là phân kì. Ví dụ 1.1. Xét chuỗi số 8 +∞ P q n = 1 + q + q 2 + ... + q n + ... n=0 Tổng riêng thứ n của chuỗi được xác định như sau sn = 1 + q + q 2 + ... + q n−1 . Ta xét các trường hợp (i) Trường hợp q 6= 1, ta có tổng riêng thứ n của chuỗi là sn = 1 − qn . 1−q + Nếu |q| < 1 thì lim q n = 0. Do đó n→∞ lim sn = n→∞ 1 . 1−q Vậy chuỗi số đã cho là hội tụ và có tổng là +∞ P qn = n=0 1 . 1−q + Nếu |q| > 1 thì lim sn = ∞ nên chuỗi đã cho phân kì. n→∞ (ii) Trường hợp q = 1, khi đó ta có lim sn = lim n = +∞. n→∞ n→∞ Vậy chuỗi đã cho phân kì. (iii) Trường hợp q = −1. Dãy tổng riêng được xác định như sau   0 khi n = 2k sn = .  1 khi n = 2k + 1 Như vậy dãy {sn } không có giới hạn. Do đó với |q| = 1 thì chuỗi đã cho phân kì. Ví dụ 1.2. Cho chuỗi số +∞ P 1 . n=1 n(n + 1) 9 Ta có 1 1 1 1 + + + ... + 1.2 2.3  3.4  n(n  + 1)   1 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + − + ... + − 2 2 3 3 4 n n+1 1 . =1− n+1 Từ đó, suy ra lim sn = 1. Vậy chuỗi đã cho là hội tụ với tổng bằng 1. sn = n→∞ 1.1.1.1. Điều kiện để chuỗi hội tụ Định lí 1.1 (tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và mọi số nguyên dương p ta có |an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε. (1.3) Chứng minh. Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn } hội tụ. Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và mọi số nguyên dương p ta có |sn+p − sn | < ε. Điều này tương đương với |an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε. Hệ quả 1 (điều kiện cần để chuỗi hội tụ). Nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì lim an = 0. n→∞ Thật vậy, theo (1.3) thì với mọi n ≥ N chọn p = 1 ta nhận được |an+1 | < ε. Do đó ta có 10 lim an = 0. n→∞ Chú ý. Điều kiện trên chỉ là điều kiện cần chứ không phải điều kiện đủ. Ví dụ 1.3. +∞ P a) Chuỗi n 1 n phân kì vì lim = . n→∞ 2n + 1 2 n=1 2n + 1 +∞ P 1 1 b) Xét chuỗi . Mặc dù lim = 0 nhưng chuỗi này phân kì. Thật n→∞ n n=1 n vậy, ta có 1 1 1 s2n − sn = + + ... + n+1 n+2 2n 1 1 1 n 1 > + + ... + = = . 2n 2n 2n 2n 2 Nếu chuỗi này hội tụ thì các dãy tổng riêng {sn } và {s2n } phải dần tới một giới hạn khi n → +∞, tức là lim (s2n − sn ) = 0. Tuy nhiên, n→∞ điều này mâu thuẫn với đánh giá trên. Hệ quả 2. Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc cùng phân kì. 1.1.1.2. Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ +∞ +∞ P P Định lí 1.2. Nếu các chuỗi an , bn hội tụ và có tổng lần lượt là n=1 +∞ P s và t thì các chuỗi n=1 +∞ P (an ± bn ) và n=1 (λan ) cũng hội tụ và lần lượt n=1 được xác định theo công thức dưới đây +∞ P (an ± bn ) = s ± t; n=1 +∞ P λan = λs. n=1 Chứng minh. Kí hiệu sn = a1 + a2 + ... + an ; tn = b1 + b2 + ... + bn . 11 Khi đó {sn ± tn } là tổng riêng của chuỗi +∞ P (an ± bn ) và {λsn } là tổng riêng của chuỗi n=1 +∞ P (λan ). Theo tính chất của dãy số hội tụ ta có n=1 lim (sn ± tn ) = s ± t; lim λsn = λs. n→∞ n→∞ Vậy có điều cần chứng minh. 1.1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương +∞ P Định nghĩa. Chuỗi số an được gọi là chuỗi dương nếu an ≥ 0 với n=1 mọi n. Định lí 1.3. Điều kiện cần và đủ để một chuỗi dương hội tụ là dãy tổng riêng của nó bị chặn. +∞ P Chứng minh. Vì an hội tụ nên dãy tổng riêng (sn ) của nó hội tụ. n=1 Do đó dãy (sn ) bị chặn. Ngược lại, do dãy tổng riêng của chuỗi dương là dãy (sn ) tăng nên nếu +∞ P dãy (sn ) bị chặn thì tồn tại giới hạn. Do đó chuỗi an hội tụ. n=1 1.1.2.1. Dấu hiệu so sánh. Cho hai chuỗi số dương +∞ P an và n=1 +∞ P bn n=1 Định lí 1.4 (dấu hiệu so sánh thứ nhất). Giả sử tồn tại số nguyên dương n0 và một hằng số C > 0 sao cho an ≤ Cbn ; với mọi n ≥ n0 . Khi đó ta có các khẳng định sau +∞ +∞ P P (i) Nếu chuỗi bn hội tụ thì kéo theo chuỗi an hội tụ. n=1 n=1 12 (ii) Nếu chuỗi +∞ P an phân kì thì kéo theo chuỗi n=1 +∞ P bn phân kì. n=1 Chứng minh. Như đã nói trong hệ quả 2, mục 1.1, không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết n0 = 1. Gọi sn và tn lần lượt là tổng riêng +∞ +∞ P P thứ n của các chuỗi an và bn . Khi đó ta có n=1 n=1 sn ≤ Ctn ; với mọi n ≥ 1. Như vậy nếu dãy {tn } bị chặn thì dãy {sn } cũng bị chặn và nếu dãy {sn } không bị chặn thì dãy {tn } cũng không bị chặn. Từ đó ta suy ra kết luận của định lý. an = k. Khi đó n→∞ bn Định lí 1.5 (dấu hiệu so sánh thứ hai). Giả sử lim ta có các khẳng định sau (i) Nếu 0 ≤ k < +∞ thì từ sự hội tụ của chuỗi +∞ P bn kéo theo sự n=1 hội tụ của chuỗi +∞ P an . n=1 (ii) Nếu 0 < k ≤ +∞ thì từ sự phân kì của chuỗi +∞ P bn kéo theo sự n=1 phân kì của chuỗi +∞ P an . n=1 an = k và 0 ≤ k < +∞ nên tồn tại số n→∞ bn nguyên dương n0 để với mọi n ≥ n0 Chứng minh. (i) Bởi vì lim an ≤ k + 1 ⇔ an ≤ (k + 1)bn . bn Theo định lí 1.4 thì chuỗi +∞ P an hội tụ. n=1 (ii) Trường hợp 0 < k ≤ +∞ và chuỗi +∞ P bn phân kì. Khi đó ta có n=1   1 bn k lim = k∗ = n→∞ an 0 13 khi k 6= +∞ khi k = +∞ tức là 0 ≤ k ∗ < +∞. Theo phần chứng minh trên, nếu chuỗi +∞ P an n=1 hội tụ thì chuỗi +∞ P bn cũng phải hội tụ. Do đó, chuỗi n=1 Ví dụ 1.4. Xét chuỗi +∞ P an phân kì. n=1 +∞ P 1 . 2 n=1 n Với mọi n ta có 1 1 1 1 1 + ... + ≤ 1 + + + ... + 22 n2 1.2 2.3 (n − 1)n 1 1 1 1 1 = 1 + 1 − + − + ... + − 2 2 3 n−1 n 1 = 2 − < 2. n Vì dãy tổng riêng bị chặn nên chuỗi hội tụ theo định lý 1.3. sn = 1 + Từ kết quả trên đây cùng dấu hiệu so sánh thứ nhất, ta cũng suy ra ngay hàm Riemann-zeta ζ(s) = ∞ 1 P ; với s ≥ 2 s n=1 n là một chuỗi hội tụ. +∞ P n tan π . 2hn+1 i π Dễ dàng kiểm tra rằng nếu x ∈ 0, thì tan x ≤ 2x. Do đó, với mọi 4 n ≥ 1 ta có π 2π n n tan n+1 ≤ n. n+1 = π. n . 2 2 2 +∞ P 1 Theo ví dụ 1.4, chuỗi hội tụ. Lại vì 2 n=1 n n n n2 2 lim = lim n = 0, n→∞ 1 n→∞ 2 2 n +∞ P n hội tụ.Từ đó theo định lý 1.4, chuỗi nên theo định lý 1.5, chuỗi n n=1 2 +∞ P π n tan n+1 hội tụ. 2 n=1 Ví dụ 1.5. Xét chuỗi n=1 14 1.1.2.2. Dấu hiệu Cauchy Định lý 1.6. Cho chuỗi dương +∞ P an . Gỉa sử lim √ n n→∞ n=1 an = c. Khi đó, ta có các khẳng định sau (i) Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ. (ii) Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho phân kì. Chứng minh. (i) Nếu c < 1 thì tồn tại số p để c < p < 1. Vì √ lim n an = c nên tồn tại n0 để n→∞ √ n Vì chuỗi +∞ P an < p ⇔ an < pn ; với mọi n ≥ n0 . n p hội tụ, nên chuỗi n=1 +∞ P an hội tụ theo định lí 1.4. n=1 (ii) Nếu c > 1 thì tồn tại n0 để √ n an > 1 ⇔ an > 1; với mọi n ≥ n0 . Như vậy chuỗi phân kỳ theo hệ quả 1 của định lý 1.1. 1.1.2.3. Dấu hiệu D’Alembert +∞ P an+1 = Định lý 1.7. Cho chuỗi dương an . Giả sử tồn tại giới hạn lim n→∞ a n n=1 d. Khi đó ta có các khẳng định sau (i) Nếu d < 1 thì chuỗi đã cho hôi tụ. (ii) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ. an+1 =d n→∞ an Chứng minh. Nếu d < 1 thì tồn tại p để d < p < 1. Vì lim nên tồn tại số nguyên dương n0 để mọi n ≥ n0 và an+1 < p ⇔ an+1 < pan . an Từ đó, ta có an0 +1 < an0 q an0 +2 < an0 +1 q 2 < an0 q 2 15 ........... an0 +k < an0 q k ............ +∞ +∞ P P Vì chuỗi an0 q k hội tụ, nghĩa là chuỗi an hội tụ theo định lý 1.1. n=1 n=1 Nếu d > 1 thì tồn tại n0 để mọi n ≥ n0 và an+1 > 1 hay an+1 > an ≥ an0 . an Vậy không có lim an = 0 nên chuỗi phân kỳ. n→∞ 1.1.2.4. Dấu hiệu tích phân Cauchy +∞ P Định lý 1.8. Cho chuỗi số dương an . Giả sử f (x) là một hàm đơn n=1 điệu giảm và liên tục trên [1; +∞) sao cho f (n) = an ; với mọi n = 1, 2, ... Khi đó, chuỗi +∞ P an và tích phân n=1 R∞ f (t)dt cùng hội tụ hoặc cùng phân 1 kỳ. Chứng minh.Từ giả thiết của định lý, với mọi x ∈ [k, k + 1] và số tự nhiên k ≥ 1, ta đều có ak+1 = f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k) = ak . (1.4) Từ đó, ta có ak+1 ≤ k+1 R f (x)dx ≤ ak . k Lấy tổng các vế của bất đẳng thức trên theo k từ 1 đến n ta được n P k=1 ak+1 ≤ k+1 R f (x)dx ≤ n P ak k=1 1 hay sn+1 − a1 ≤ n+1 R 1 16 f (x)dx ≤ sn ; (1.5) trong đó sn là tổng riêng thứ n của chuỗi +∞ P ak . k=1 n+1 R kép (1.5) ta thấy rằng dãy {sn } và tích phân Từ bất đẳng thức f (x)dx cùng bị chặn 1 hoặc cùng không bị chặn. Điều đó cho ta khẳng định của định lý. Chú ý. Khi áp dụng dấu hiệu D’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếu an+1 √ lim = 1 hoặc lim n an = 1 thì chưa kết luận được gì về sự hội n→∞ an n→∞ tụ hay phân kỳ của chuỗi. Tuy nhiên, nếu từ một số n0 nào đó trở đi an+1 mà ≥ 1 thì có thể suy ra an am ≥ an0 ; ∀m ≥ n0 . Điều đó cho ta khẳng định dãy an không tiến đến 0 khi n → +∞ và +∞ P như vậy chuỗi an phân kỳ. n=1 1.1.3 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý 1.1.3.1. Chuỗi đan dấu Định nghĩa. Một chuỗi số có dạng +∞ P (−1)n−1 an trong đó các số an n=1 cùng dấu được gọi là chuỗi đan dấu. 1.1.3.2. Sự hội tụ Định lý 1.9 (dấu hiệu Leibniz). Giả sử dãy {an } là đơn điệu giảm và +∞ P lim an = 0. Khi đó, chuỗi (−1)n−1 an hội tụ. n→∞ n=1 Chứng minh. Gọi {sn } là dãy tổng riêng của chuỗi. Bởi vì s2m = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + ... + (a2m−1 − a2m ) các số hạng trong ngoặc đều không âm nên dãy {s2m } đơn điệu tăng. Mặt khác, ta lại có thể viết 17 s2m = a1 − [(a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + ... + (a2m−2 − a2m−1 ) + a2m ]. Do đó, s2m ≤ a1 với mọi m. Vậy {s2m } hội tụ theo tiêu chuẩn đơn điệu. Từ đó, nếu lim s2m = s thì với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên m→∞ N1 dương N1 để với mọi m ≥ ta đều có 2 ε |s2m − s| < . 2 Lại vì lim an = 0 nên với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N2 để n→∞ với mọi n ≥ N2 cũng có ε |an | < . 2 Đặt N = max{N1 , N2 } thì với mọi n ≥ N ta có ε |sn − s| < ; với n chẵn. 2 Với n lẻ thì n + 1 chẵn nên ta cũng có |sn − s| = |sn+1 − s − an+1 | ≤ |sn+1 − s| + |an+1 | < ε ε + = ε. 2 2 Như thế, với mọi n ≥ N ta nhận được 1 |sn − s| < ε . 2 Vậy lim sn = s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s. Chuỗi n→∞ đan dấu thỏa mãn điều kiện của định lí 1.9 gọi là chuỗi Leibniz. Vậy chuỗi Leibniz hội tụ. 1.1.3.3. Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ +∞ P Định nghĩa. Chuỗi số an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi +∞ P n=1 +∞ P |an | hội tụ. Khi chuỗi n=1 thì chuỗi an hội tụ nhưng chuỗi n=1 +∞ P +∞ P n=1 an được gọi là bán hội tụ. n=1 18 |an | phân kỳ Định lý 1.10. Một chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ. +∞ P Chứng minh. Nếu chuỗi |an | hội tụ thì theo định lý 1.1, với mọi n=1 ε > 0 tồn tại số nguyên dương N để với mọi n ≥ N và mọi p ∈ N∗ ta có đánh giá |an+1 + an+2 + ... + an+p | ≤ |an+1 | + |an+2 | + ... + |an+p | < ε. Như vậy, chuỗi +∞ P an hội tụ theo định lý 1.1. n=1 +∞ P 1 hội tụ theo dấu hiệu Leibniz (định lý n n=1 +∞ +∞ P P 1 1 phân kỳ. Do đó chuỗi (−1)n+1 là bán hội 1.9) nhưng chuỗi n n=1 n=1 n tụ. +∞ P sin nx Ví dụ 1.7 Chuỗi . 2 n=1 n +∞ +∞ P 1 P |sin nx| |sin nx| 1 Ta có ≤ , ta đã biết chuỗi hội tụ nên chuỗi 2 n2 n2 n2 n=1 n n=1 +∞ P sin nx hội tụ tuyệt đối. hội tụ. Vậy chuỗi 2 n=1 n 1.1.3.4. Các tính chất của chuỗi hội tụ +∞ P Tính chất 1 (tính chất kết hợp). Nếu chuỗi an hội tụ và có tổng Ví dụ 1.6. Chuỗi (−1)n+1 n=1 là s thì chuỗi (a1 + a2 + ... + an1 ) + (an1 +1 + an1 +2 + ... + an2 ) + ... +(ank−1 +1 + ank−1 +2 + ... + ank ) + ...; (∗) cũng hội tụ và có tổng là s. Chứng minh. Gọi tk là tổng riêng thứ k của chuỗi (∗) và sn là tổng +∞ P riêng thứ n của chuỗi an . Ta có n=1 tk = snk . 19 Do đó, từ lim sn = s suy ra lim tk = lim snk = s. Vậy ta có điều cần n→∞ n→∞ n→∞ chứng minh. Tính chất 2 (tính chất giao hoán). Nếu chuỗi số +∞ P an hội tụ tuyệt n=1 +∞ P đối và có tổng là s thì chuỗi bn nhận được bằng cách đổi chỗ tùy ý n=1 các số hạng của chuỗi +∞ P an n=1 +∞ P Chứng minh. Vì chuỗi cũng hội tụ và có tổng bằng s. an hội tụ tuyệt đối nên chuỗi n=1 +∞ P |an | hội n=1 tụ. Do đó, theo định lý 1.1, với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n1 để P |ai | < i∈F ε 2 với mọi tập con hữu hạn F ⊂ {n ∈ N : n > n1 }. Gọi sn và tn lần lượt là tổng riêng thứ n của chuỗi +∞ P an và chuỗi n=1 +∞ P bn . n=1 Giả sử lim sn = s. Khi đó tồn tại n2 ≥ n1 sao cho với mọi n ≥ n2 n→∞ ε |sn − s| < . 2 Chọn n3 ≥ n2 sao cho các số hạng a1 , a2 , ..., an2 có đủ mặt trong các số hạng b1 , b2 , ..., bn3 . Khi đó với mọi n ≥ n3 , ta có |tn − s| = |tn − sn0 + sn0 − s| ≤ |tn − sn0 | + |sn0 − s| < ε ε + = ε. 2 2 Vậy ta cũng có lim tn = s. Định lý trên chỉ đúng với chuỗi hội tụ n→∞ +∞ P tuyệt đối. Còn nếu chuỗi số an bán hội tụ thì ta có thể thay đổi n=1 thứ tự của các số hạng của nó để thu được chuỗi hội tụ và có tổng bằng một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân kỳ. 20