Tích phân và ứng dụng - tl ôn thi tốt nghiệp thpt

  • Số trang: 16 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 24 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Trường THPT Lai Vung 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP Hội đồng bộ môn Toán Chuyên đề: Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT Năm học 2009 – 2010 1 Trường THPT Lai Vung 2 Chuyeân ñeà : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức cơ bản: Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Bảng nguyên hàm du u  C Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản u  1 u  du   C  1  1 du ln u  C  u 0  u   e u du e u  C a u dx   au  C  0  a 1 ln a cos udu sin u  C sin udu  cos u  C 1 cos 2 u 1 sin 2 u du tan u  C du  cot u  C 2 Nguyên hàm của những hàm số hợp Trường THPT Lai Vung 2 kdx  kx  C �  1  ax  b  dx  1  ax  b  a  1 dx 1 ax  b  a ln ax  b  C 1 ax b ax b e dx  a e  C    C  1  x 0  1 cos ax  b  dx  a sin  ax  b   C 1 cos ax  b   C a 1 1 dx  tan  ax  b   C 2 a cos  ax  b  1 1 dx  cot  ax  b   C 2 a   sin ax  b sin  ax  b  dx    dx x  C x  1 x  dx   C  1  1 dx ln x  C  x 0  x   e x dx e x  C a x dx   ax  C  0  a 1 ln a cos xdx sin x  C sin xdx  cos x  C 1 cos 2 x 1 sin 2 x dx tan x  C dx  cot x  C tan xdx   ln cos x  c � cot xdx  ln sin x  c � 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]  a b a a a b f ( x)dx  0 ; � f ( x)dx   � f ( x)dx � 3 Trường THPT Lai Vung 2    b b a a k . f ( x)dx  k � f ( x) dx � b ( k là hằng số) b b [ f ( x ) �g ( x )]dx  � f ( x )dx �� g ( x )dx � a a a b c b a a c f ( x )dx  � f (c )dx  � f ( x )dx � ( với a < c < b ) 3) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a b) Công thức hạ bậc: 1  cos 2a 2 1  cos 2a * cos2a = 2 * sin2a = c) Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 2 1 * sin a.cos b   sin(a  b)  sin( a  b)  2 1 * sin a.sin b    cos(a  b)  cos(a  b) 2 * cos a.cos b   cos(a  b)  cos(a  b) 4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : * n a a 1 n và n a a m m n n a na  b b 1 * a0 = 1; a1 = a ; a-n = n a * n a . n b  n a.b ;   * a .a  a   n a ;   a   a   �a � a  �b � b *  a.b   a .b ; � �   *  a   a  .   5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) 2 *  a �b   a 2 �2ab  b 2 * a3 �b3  (a �b)(a 2 ma.b  b 2 ) 3 *  a �b   a 3 �3a 2b  3ab 2 �b3 4 Trường THPT Lai Vung 2 B) Ví dụ và bài tập: I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ sau: Ví dụ 1: Tính các tích phân 1 (3 x  1)3 dx a) I1 = � 0 2 e � b) I2 =  x2 dx 0 0 c) I3 = 3 dx � 2 x  1 1 Giải: 1 1 1 (3 x  1) 4 1 5 4 (3 x  1) dx  �   3  1  (1)4 � a) I1 = � = . � � 3 4 12 4 0 0 5 Vậy: I1 = 4 2 2 1  x2  x2 e dx = e b) I2 = � = – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1  1 0 0 3 Vậy: I2 = e2 –1 0 c) I3 = 3 dx � 2 x  1 = 3. 1 Vậy: I3 = 1 3 0 ln 2 x  1 1 =  (ln1  ln 3) 2 2 3 ln 3 2 Ví dụ 2: Tính các tích phân 2 a) J1 = x � 2 0 1 b) J2 =  1 dx 2 2x  3 �2  x dx 0 8 x  26 x dx c) J3 = � 6 x 1 Giải: a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1 2 2 2 �x 5 � 206 x3 ( x  2 x  1)dx = �  2  x �=  x  1 dx = � suy ra J1 = � 15 3 0 0 �5 �0 206 Vậy: J1 = 15 2x  3 1  2  7. b) Ta có : 2 x 2x 2 2 4 2 5 Trường THPT Lai Vung 2 1 1 2x  3 1 dx = � (2  7. )dx   2 x  7 ln 2  x  = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 suy ra J2 = � 0 2 x 2 x 0 1 0 Vậy: J2 = 7ln2 – 2 c) x  2 6 x x1/2  2 x1/6   x1/21/6  2  x1/3  2 1/6 6 x x 8 8 3 4/3 � suy ra J3 = �  x  2  dx  � � x  2 x �= �4 � 1 1 101 Vậy: J3 = 4 1/3 101 �3 4/3 � 3 = 25,25 � 8  2 �8 � (  2) = 4 �4 � 4 Ví dụ 3: Tính các tích phân  4 a) K1 = s in3x.cos xdx � 0  8 b) K2 = cos 2 2xdx � 0 1 c) K3 = e � 2 x 1  1dx 0 Giải: a) Ta có: sin3x.cosx = 1 suy ra K1 = 2 1  s in4x  s in2x  2  4 (s in4x  s in2x)dx  � 0 Vậy: K1 =  4 1 �1 1 �= 1  cos 4 x  cos 2 x � 2� 2 �4 �0 2 1 2  8 b) K2 = cos 2 2xdx � 0 Ta có: cos22x = 1 suy ra K2 = 2  8 c) K3 = e � 2 x 1  4 � 1 1� 1 �8 = 1 �  sin x  sin 4 x � � (1  cos 4 x ) dx  � � 8 �8 4 2� � 4 �0 2 � 0 Vậy: K2 = 1 1  cos 4 x 2 � 1 � 1 � � �  0  �= �  � � � 2 �8 4 � 1 � � �  1� 8 �2 �  1dx 0 Ta có : e2x–1 – 1 = 0 � e2x–1 = 1 = e0 � 2x – 1 = 0 � x = 6 1 � 0;1 2 Trường THPT Lai Vung 2 1 2 Suy ra (e � K3 = 2 x 1 0 �1 1 1  1) dx  � (e 1 2 1 � �1 2 x 1 1 �1 �2 �1 �  1) dx = � e 2 x 1  x �  � e 2 x 1  x � �2 �0 �2 �1 2 � �1 � �1 1� 1 �1 � 0 1 0 1 = � e  � � e  0 �+ � e  1� � e  �=  e + � e  1� 2 � �2 2� 2 � �2 �2 � �2 � �2 Vậy K3 = 1 1 e  e 1  1 2 2  Các bài tập tự luyện: Tính các tích phân: 1 4 2 1) L = ( x  3 x  2)dx 6 5 KQ: L = 0  4 1  sin 3 x dx 2) I =  sin 2 x  KQ: I = 3 2 2 2 6 1 3) J = x2 dx 3x 0  3  10 ln 4 9 KQ: J = 4  2 4) K = 2x 3  5x 2 dx  x2 1 KQ: K = – 2  12 KQ: M = 1 8 x  2 dx � KQ: N = 5 2 7) P = sin 2 3xdx � KQ: P =  6 5) M = sin 7 x. sin 5 xdx 0 4 6) N = 1  3 0  4 KQ: 1  8) Q = tan 2 xdx � 0  /4 9) R = �sin  /6 2 dx x.cos 2 x KQ:  4 2 3 3 b II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = f ( x)dx � a 1) Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. 7 Trường THPT Lai Vung 2 Ví dụ 4: Tính tích phân 2 �4  x a) I1 = 2 dx 0 3 1 � 9 x b) I2 = 2 dx 0 Giải: 2 a) I1 = �4  x 2 dx 0 �  �  ; + Đặt x = 2sint , t �� (u(t) = 2sint) � dx = 2costdt � 2 2� � + Cận mới: x= 0 � 2sint = 0 � sint = 0 � t = 0  x = 2 � 2sint = 2 � sint = 1 � t = 2 2 + I1 = �4  x 2 dx = 0  2 �4  4sin 0  2 2  2  2  2 0 0 0 t .2 cot dt = 4 �1  sin 2 t .cot dt = 4 �cos 2 t .cost dt =4 � cos 2 tdt  2 1 � I1 = 2 (1  cos 2t )dt = 2 � t  s in2t � =  � � � 2 �0 0 Vậy I1 =  Chú ý: + Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh chỉ thu được kết quả gần đúng của số  là 3,141592654. + Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể a �  � 2 2  ; �(u(t) = asint) � dx = acostdt rồi thực ghi nhớ cần tính �a  x dx , đặt x = asint , t �� � 2 2� 0 hiện các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ. 3 b) I2 = 1 � 9 x 2 dx 0 �  � + Đặt x = 3tant, t �� ; �� dx = 3(1 +tan2t)dt � 2 2� + Cận mới: x = 0 � 3tant = 0 � tant = 0 � t = 0  x = 3 � 3tant = 3 � tant = 1 � t = 4 3 1 + I2 = � 2 dx = 9 x 0 Vậy I2 =  4   4 1 4 1  1  3(1  tan t ) = 3(1  tan t ) 4 = = = . t dt dt dt 2 2 � � 3 � 3 0 3 4 9  9 tan t 9(1  tan t ) 0 0 0 2 2  12 8 Trường THPT Lai Vung 2 Chú ý: Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ a 1 �  � cần tính �2 2 dx , đặt x = atant , t �� ; �� dx = a(1 + tan2t)dt thực hiện các bước tiếp 0 a x �2 2� tương tự. 2) Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là  và  thì  =u(a)  = u(b) . + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính. Ví dụ 5: Tính các tích phân 2 a) J1 = 2 xe x dx � 1 e b) J2 = 1  ln x dx x � 1 1 c) J3 = x (x � 3 4  1)5 dx 0 2 d) J4 = �4  x 0  /2 e) J5 = 2 .xdx cos x �(1  sin x) 4 dx 0 Giải: 2 2 xe x dx � a) J1 = 1 1 du 2 + Đổi cận: x = 1 � u = 12 = 1; x = 2 � u = 22 = 4 (  = 1,  = 4) + Đặt u = x2 � du = 2xdx � xdx = 2 2 xe x dx = + J1 = � 1 4 1 u 1 u4 1 4 1 e du e = ( e – e1) = ( e4 – e) = � 1 2 2 2 2 1 1 4 ( e – e) 2 e 1  ln x dx b) J2 = � x 1 + Vậy J1 = 1 dx x + Đổi cận: x = 1 � u = 1  ln1 = 1; x = e � u = 1  ln e = + Đặt u = 1  ln x � u2 = 1 + lnx � 2udu = 9 2 Trường THPT Lai Vung 2 e 1  ln x dx = + J2 = � x 1 2 u.2udu = � 1 2 3 2 2 2 u ( 2)3  13 ) = (2 2  1) = 3 1 3 3 2 (2 2  1) 3 + Vậy J2 = Ghi nhớ:  Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnx � du =  ln1 = 0 và lne = 1 1 dx x 1 c) J3 = x (x � 3 4  1)5 dx 0 1 du 4 + Đổi cận: x = 0 � u = 0 – 1 = –1; x = 1 � u = 14 – 1 = 0 + Đặt u = x4 – 1 � du = 4x3dx � x3dx = 1 0 0 1 1 u6 1 x ( x  1) dx u du + J3 = � = � = =  4 6 1 24 4 0 1 3 4 + Vậy J3 =  5 5 1 24 2 d) J4 = �4  x 2 .xdx 0 2 2 4  x 2 � u = 4 – x � 2udu = – 2xdx � xdx = –udu + Đổi cận: x = 0 � u = 4  02 = 2; x = 2 � u = 4  22 = 0 + Đặt u = 2 + J4 = �4  x 0 2 0 0 2 2 .xdx = � u.(  u )du = �  u 2 du = 1 32 8 u = 3 0 3 8 + Vậy J4 = 3  /2 e) J5 = cos x �(1  sin x) 4 dx 0 + Đặt u = 1 + sinx � du = cosxdx + Đổi cận: x = 0 � u = 1 +sin0 = 1; x =  /2   � u = 1 + sin = 2 2 2 2 cos x du 2 4 1 3 2 7 dx u du = u = + J5 = � = 4 =� 4 1 (1  sin x) 3 24 u 1 0 1 + Vậy J5 = � 7 24  Các bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân: 10 Trường THPT Lai Vung 2 a) I =  6 KQ: I = 1  4 sin x . cos xdx  0 3 3 1 6 2 b) J = 3 x 3  8.x 2 dx  KQ: J = –4 0 1 c) K = e  x2 .x.dx KQ: K = e 1 2e KQ: L = 13 8 0 e d) L = (3  ln x) dx x  1 21 e) M = dx 7  x  KQ: M = 2 3 7 0 1 e x dx g) N =  x 0 2e KQ: N = ln 1 x( x  1) 2010 dx h) P = � KQ: P = 0 2e 3 1 4046132 (Kết quả P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 2.471496234x 10-7) 2) Tính các tích phân:  2 a) I1 = (2sin x  3) cos xdx � KQ: 4 0 2 x x 2  3dx b) J1 = � 1 1 c) P = KQ: 4x  2 dx � x  x 1 7 7 8 3 KQ: 2ln3 2 0  4 2 x d) Q= 5  tan dx 2 �cos 0 KQ: 16/3 x e e) L1 = 1  3ln 2 x ln xdx � x 1 KQ: 116/135 2 g) N1 = ex dx � ex 1 1 KQ: ln(e+1) III) Phương pháp tích phân từng phần: b  Công thức: udv  uv � a b a b � vdu a b P ( x).Q( x) dx  Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I  � a Dạng hàm P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay P(x): Đa thức Q(x):ekx 11 P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b) P(x): Đa thức Trường THPT Lai Vung 2 1 1 Q(x): 2 hay sin x cos 2 x coskx Cách đặt * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân Ví dụ 6: Tính các tích phân  /4 �2 x cos 2 xdx a) I1 = 0 1 ( x  1)e 2 x dx b) I2 = � 0 3 2 x ln( x  1)dx c) I3 = � 2 Giải:  /4 �2 x cos 2 xdx a) I1 = 0  Đặt: u = 2x � du = 2dx; dv = cos2xdx � v = 1 sin2x 2  /4 2 x cos 2 xdx = x.s in2x  /4 –  I1 = � 0 0  /4 sin 2xdx � 0 =   1  /4 sin  0  cos 2 x 0 4 2 2  1   1  (cos  cos 0) =  4 2 2 4 2  1 Vậy: I1 =  4 2 = 1 ( x  1)e 2 x dx b) I2 = � 0  Đặt: u = x +1 � du = dx; dv = e2xdx � v = 1 1 2x e 2 1 1 1 1 2x 1 1 1 2x ( x  1)e dx = ( x  1)e e dx = [(1  1)e 2  (0  1)e0 ]  e 2 x  I2 = � – � 0 20 2 4 2 0 0 1 1 2 3e 2  1 2 = (2e  1)  (e  1) = 2 4 4 2 3e  1 Vậy: I2 = 4 2x 3 2 x ln( x  1)dx c) I3 = � 2 12 Trường THPT Lai Vung 2 1 dx; x 1  Đặt: u = ln(x – 1) � du = dv = 2xdx � v = x2 3 3 2 x ln( x  1)dx = x 2 ln( x  1) –  I3 = � 2 2 3 3 x2 1 dx = 9ln2 – 0 – � (x 1 )dx � x 1 x 1 2 2 3 7 x2 = 9ln2 – (  x  ln x  1) = 8ln2 – 2 2 2 7 Vậy: I3 = 8ln2 – 2  Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu 1 dx; x 1 Đặt: u = ln(x – 1) � du = dv = 2xdx � v = x2 – 1 = ( x + 1)( x – 1) Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x. Như đã biết 2xdx  x 2  c , trong đa số các trường hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0. Trong bài � tích phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp hơn. Ví dụ 7: Tính các tích phân a) J1 =  4 xdx cos 2 0 2 b) J2 = x ln xdx �x 2 1 Giải: a) J1 =  4 xdx cos 0 2 x  Đặt: u = x � du = dx; dv = 1 dx � v = tanx cos 2 x  4 xdx = x.tan x  /4 –  J1 = 0  2 0 cos x  /4 �tan xdx 0 =    /4  2  tan  0  ln cos x 0 =  ln =  ln 2 4 4 4 4 2   ln 2 4 Ghi chú: Nếu học sinh không nhớ nguyên hàm sin x tanx = rồi đặt u = cosx (đổi biến loại 2). cos x Vậy: J1 = 2 b) J2 = ln xdx � x2 1  Đặt: u = lnx � du = 1 dx x 13 tan xdx   ln cos x  c � thì có thể biến đổi Trường THPT Lai Vung 2 1 1 dx dx � v =  2 x x dv = 2 2 ln xdx 1  J2 = � 2 =  ln x + x x 1 1 Vậy: J2 = (HD: 1 x 1 1  x 2 nên có 1 nguyên hàm là  ) 2 x 1 x 2 2 1 1 1 1 1 1 dx =  ln 2  ln1  =  ln 2  (  1) = (1  ln 2) 2 � x 2 2 2 2 x1 1 1 (1  ln 2) 2  Các bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân: 1 ( x  3)e x dx � a) I 1= KQ: I = 1 e b) I2 = KQ: (1  2 x) ln xdx 1  4 xdx  2 0 cos x c) I3 = e 2 ln x �x d) I4 = 2 3e 2  1 e 1 e2 2 KQ: M = dx  4 – ln KQ: N = 2(1 – 1 2 2 ) e 2) Tính các tích phân:  2 KQ:  8 dx KQ: 3 1  ln 2 16 8 dx KQ: J = 2 a) K1= � x.cos x.sin xdx 0 2 b) K2 = ln x �x 3 1 1 c) K3 = e x 0 e x 2 ln xdx d) K4 = � KQ: 1 2e3  1 9 IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết:  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và b y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = �f ( x) dx (1). a  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = b a; x= b được tính bởi: S = �f ( x)  g ( x) dx (2). a Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2. Giải: 14 Trường THPT Lai Vung 2 b f ( x) dx  Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = � 2 x  1dx � 2 thì S = a 0  Phương trình: x -1= 0 � x = �1 , nghiệm x = 1 �[0;2] 2 1 1 2 2 x3 x3 ( x  1)dx + � ( x  1)dx = (  x) + (  x) = 2 (đvdt)  Vậy S = � 3 3 0 1 0 1 2 2 Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y = x. Giải:  Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x � x2 + x – 2 = 0 � x = 1 và x = -2 b  Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = 1 �f ( x)  g ( x) dx thì S = �x  x  2 dx 2 2 a 1  Vậy S = 2 �x  x  2 dx = 2 1 1 ( x 2  x  2) dx = � 2 x3 x 2 9   2x = (đvdt) 3 2 2 2 * Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b]. 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay b f 2 ( x )dx (3) quanh trục Ox được tính bởi: V =  � a Ví dụ 10: a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x 2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox. Giải:  Phương trình 2x – x2 = 0 � x = 0 và x = 2 b f 2 ( x )dx  Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V =  � a 2 0 0 0 5 (2 x  x 2 ) 2 dx   � (4 x 2  4 x3  x 4 ) dx =  ( 4 x3  x 4  x ) 2 = Ta có V =  � 0 3 2 5 16 (đvtt) 15 3 b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x và y = x . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox. Giải:  Phương trình – x2 = x3 � x = 0 và x = –1  Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường 0 ( x 2 ) 2 dx = y = – x , x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox: V1 =  � 2 1 1 5  Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường 0 ( x 3 ) 2 dx = y = x , x = 0, x = -1 và trục Ox…: V2 =  � 3 1 Vậy thể tích V cần tính là: V = V1  V2 = 1 7 2 (đvtt) 35 15 Trường THPT Lai Vung 2  Các bài tập tự luyện: 1) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y = – x2 + 4x vaø truïc hoaønh. KQ: S = 32 ñvdt 3 2)Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (P): y = – x2 vaø y = – x – 2 . KQ: S = 9 ñvdt 2 3) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = 5x 4 – 3x2 – 8, truïc Ox treân [1; 3] KQs: S = 200 ñvdt 4) Tính theå tích caùc hình troøn xoay sinh bôûi caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây khi quay quanh truïc Ox: a) (P): y 2 = 8x vaø x = 2 KQ: 16  ñvtt 162 b) y = x2 vaø y = 3x KQ: ñvtt 5 V) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y2 = 2x +1 vaø y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) 3 2 1 x  3x  3x  1 Bài 2: 1.Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá y = , bieát F(1) = 2 3 x  2x  1 2.Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y= Bài 3: Cho haøm soá y = 2x 2  10 x  12 vaø truïc hoaønh Ox. x2 (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) 1 3 x – x2 (C). Tính theå tích vaät theå troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi (C) 3 vaø caùc ñöôøng y = 0, x =0, x = 3 quay quanh truïc Ox. (TNTHPT năm 2003 – 2004 )  /2 Bài 4: Tính tích phaân: I = ( x  sin 2 x). cos x.dx 0 (TNTHPT năm 2004 – 2005 ) Bài 5: a. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò caùc haøm soá : y = ex, y = 2 vaø ñöôøng thaúng x = 1.  /2 b. Tính tích phaân: I = sin 2 x dx cos 2 x (TNTHPT năm 2005– 2006) 4  0 e ln 2 x dx . Bài 6: Tính tích phân J =  x 1 (TNTHPT năm 2006– 2007) 1 x 2 (1  x 3 ) 4 dx Bài 7: Tính tích phân I  � (TNTHPT năm 2007– 2008) 1  Bài 8: Tính tích phân I = x(1  cos x)dx � (TNTHPT năm 2008– 2009) 0 16
- Xem thêm -