Mô tả:
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
(phần 2)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2
Điểm kỳ dị:
Cho f(x) xác định trên [a, b] \ {x0}. Nếu
lim f ( x )
x x0
ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b]
Tích phân suy rộng loại 2 là
b
a f ( x )dx
với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b]
Định nghĩa.
Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi >0 đủ nhỏ,
kỳ dị tại b
b
b
a f ( x )dx lim a
0
b
Nếu f kỳ dị tại a
f ( x )dx
b
a f ( x )dx lim a f ( x )dx
0
Nếu giới hạn hữu hạn:
Ngược lại: phân kỳ.
b
a f ( x )dx hội tụ
Nếu f kỳ dị tại a và b
b
c
b
a f ( x )dx a f ( x )dx c f ( x )dx
Nếu f kỳ dị tại x0 (a, b)
b
x0
a f ( x )dx a
b
f ( x )dx f ( x )dx
x0
(vế trái hội tụ các tp vế phải đều hội tụ)
Công thức Newton-Leibnitz
Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi > 0 đủ nhỏ,
kỳ dị tại b, F(x) là nguyên hàm của f(x).
b
a f ( x )dx F (b) F (a)
Với
F (b) lim F ( x )
x b
Lưu ý: các pp đổi biến số và tp từng phần vẫn
dùng như tp xác định.
Ví dụ
dx
1
0
1 x
1 ln x
0
x
1
dx
2
1
arcsin x 0
kỳ dị tại x = 0
ln x.d ln x
0
2
2
1
ln x
2 0
Vậy tp trên phân kỳ.
Ví dụ
1 ln x
0
x
f kỳ dị tại x = 0
dx
1
0
0
x
12
2 x .ln x
1
0 4 x 4
0
x
dx
Ví dụ
1/ 4
dx
I
1/ 2 x 2 x 1
f kỳ dị tại x = 1/2.
2
t 2 x 1 2tdt 2dx
I
0
1/
0
1/ 2 dt
tdt
2
2
2
0
t 1
t 1
t
2
1/
2 1
t 1
1
dt ln t 1
t 1 t 1
0
1/ 2
2
2 1
ln
2 1
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM
Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b - ],
>0, kỳ dị tại b
Nếu
b
f ( x ) kg ( x ), x , a x b
a g ( x )dx
b
a
hội tụ thì
b
a f ( x )dx
f ( x )dx phân kỳ thì
b
hội tụ
a g ( x )dx
phân kỳ
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh 1
Đặt
f (x)
k lim
x b g ( x )
b
(giới hạn tại điểm kỳ dị)
b
• 0 k
a f ( x )dx , a g ( x )dx
b
b
•k=0
•k=
a g ( x )dx
b
a
hội tụ
Cùng hội tụ
hoặc phân kỳ
a f ( x )dx
b
hội tụ
g ( x )dx phân kỳ f (x)dx phân kỳ
a
Tích phân cơ bản
I
b
a
b
dx
dx
, J
a ( x a )
(b x )
Hội tụ khi và chỉ khi < 1
kỳ dị tại b
kỳ dị tại a
ln ln(b a)
b
dx
( )
1 1
1
a
(b x )
1
1
1
(b a )
Sự hội tụ tuyệt đối
(hàm có dấu tùy ý)
b
Cho f(x) khả tích trên [a, b - ], 0, nếu
hội tụ thì
b
a
f hội tụ. Khi đó ta nói
a f
b
a f
hội tụ tuyệt đối.
• Sự hội tụ tuyệt đối là sự hội tụ của tích phân |f|
• Hội tụ tuyệt đối hội tụ
Ví dụ
x
Khảo sát sự hội tụ: I
dx
0 sin x
1
f kỳ dị tại x = 0
x
0 f (X)
sin x
x
1
x
x
1
Chọn g ( x )
( x 0)1/ 2
1
1/2
( x 0)
1
Chọn g ( x )
( x 0)1/ 2
f (x)
x x x 0
1
g ( x ) sin x
I cùng bản chất với
nên hội tụ.
1
1
dx
g ( x )dx
0
0 ( x 0)1/2
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ:
I
/2
0
dx
sin x cos x
f(x) ≥0, kỳ dị tại /2 và 0, tách I thành 2 tp
I
/3
0
/2
dx
dx
sin x cos x /3 sin x cos x
I1
I2
Xét I1: f kỳ dị tại x = 0
1
f (x)
sin x cos x
1
, khi x 0
x
1
Chọn g ( x )
x
f (x)
x
x 0
1
g (x)
sin x cos x
I1 cùng bản chất với
3 g ( x )dx
0
nên hội tụ.
Xét I2: f kỳ dị tại x = /2
1
1
f (x)
,
x
sin x cos x
sin x sin
2
1
khi x
2
x
2
Chọn
g (x)
1
x
2
Chọn g ( x )
1
1
x
2
x
x
f (x)
2
2
1
g (x)
sin x cos x
I2 cùng bản chất với
2 g ( x )dx nên pkỳ
/3
I1 hội tụ, I2 phân kỳ I hội tụ
Ví dụ
I
Khảo sát sự hội tụ:
dx
0
x
Tổng quát I không phải là tích phân suy rộng loại 1.
I
1 dx
0 x
dx
1
x
I1 hội tụ
1
I2 hội tụ
1
I1 I2
I phân kỳ với mọi
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ
I
x
3/ 2
1
ex 1
0
x
dx
f kỳ dị tại x = 0, tách I thành 2 tích phân:
I
1
0
x 3/ 2 1
x
e 1
x
dx
I1
(do x = 0 quyết định)
1
x 3/ 2 1
x
e 1
x
dx
I2
(do x = + quyết định)
- Xem thêm -