Mô tả:
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tích phân suy rộng loại 1
(cận vô hạn)
Cho f(x) khả tích trên [a, b], b a
a
f ( x )dx lim
b
a f ( x )dx
b
gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +)
Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân
hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ.
Giới hạn trên còn được gọi là giá trị của tpsr.
Nhận dạng tpsr loại 1
Nếu f(x) liên tục trên [a, +) hoặc chỉ có hữu
hạn các điểm gián đoạn loại 1 trên [a, +) thì
a
VD:
f ( x )dx là tích phân suy rộng loại 1
sin x
0
0
x
dx
x
dx
sin x
dx
2
x x 1
x 1
dx
2
x 2x 3
2
0
là tpsr loại 1
không là tpsr loại 1
ĐỊNH NGHĨA
b
b
f ( x )dx alim a f ( x )dx
a
f ( x )dx f ( x )dx a
f ( x )dx
Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi
các tp vế phải hội tụ.
(chỉ cần 1 tp vế phải phân kỳ là tp vế trái phân
kỳ, không cần biết tp còn lại)
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị nếu tính phân hội tụ
I
0
dx
2
1 x
b
dx
b
(b)
arctan x 0 arctan b
2
1 x
0
dx
0 1 x2
2
b
I
0
b
cos xdx
(b) cos xdx sin b
0
Không có gh khi b →+
Phân kỳ
I
ln x
e
x
(b)
b ln x
e
b
x
ln b
1
tdt
Phân kỳ
1 2
ln b 1
2
Tính chất của tích phân suy rộng
1. f khả tích trên [a, b], b a. Khi đó > a
a
f ( x )dx và
f ( x )dx
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)
Tính chất của tích phân suy rộng
2. f khả tích trên [a, b], b a. Khi đó ≠ 0
a
f ( x )dx và
a
f ( x )dx
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)
Tính chất của tích phân suy rộng
3. f, g khả tích trên [a, b], b a.
*
a
f ( x )dx và
a
*
a
a
f g dx
a
f g dx
hội tụ
hội tụ
f ( x )dx hội tụ và
g ( x )dx
a
g ( x )dx phân kỳ
phân kỳ
Công thức Newton-Leibnitz
f khả tích trên [a, b], b a, F là nguyên hàm
của f trên [a, +), khi đó
a
f ( x )dx
F (x) a
F ( ) F (a)
trong đó F ( ) lim F ( x )
x
Lưu ý: các phương pháp tính tích phân xác
định vẫn sử dụng được cho tp suy rộng.
Ví dụ
1
1
x
x 1
dx 2
dx
2
1 x
x x 1
x ( x x 1)
1
1
1 2x 1 1
2
1 x
2 x2 x 1 2
1 3
x
2 4
ln x 1 ln x 2 x 1 1 2 arctan2 ( x 1/ 2)
2
2 3
3 1
ln x 1 ln x 2 x 1 1 2 arctan 2 ( x 1/ 2)
2
2 3
3 1
x
1
( x 1 / 2)
ln
arctan 2
2
3
3 1
x x 1
1
ln 1 1 arctan 3
0 .arctan()
3
3
3
1
ln 3
6 3 2
Ví dụ
I
3
dx
x 1 x
2
2
3
1
1
dt
tan t 1 tan 2 t cos 2 t
2 dt
sin t
3
2
1
tan t
ln
ln
2
3
3
Ví dụ
0
x
x.e dx
x
xe
0
xe
x
x
e dx
0
e
x
0
1
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM
Cho f(x) không âm và khả tích trên [a, b], b a.
Khi đó
b
(b) f ( x )dx là hàm tăng theo biến b.
a
(b) hội tụ khi và chỉ khi (b) bị chận trên.
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM
Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b], b a
Nếu
a
a
f ( x ) kg ( x ), x a
g ( x )dx hội tụ thì
a
f ( x )dx phân kỳ thì
f ( x )dx hội tụ
a
g ( x )dx phân kỳ
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b], b a
Đặt
f (x)
k lim
x g ( x )
Cùng hội tụ
• 0 k
f ( x )dx ,
g ( x )dx hoặc phân kỳ
a
a
•k=0
•k=
a
a
g ( x )dx hội tụ
a
f ( x )dx hội tụ
g ( x )dx phân kỳ f (x)dx phân kỳ
a
Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1
f(x) kg(x) f(b) kg(b)
a
g ( x )dx
hội tụ
g (b) bị chận trên
f (b) bị chận trên
a
f ( x )dx
hội tụ
Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1
f(x) kg(x) f(b) kg(b)
a
f ( x )dx phân kỳ f (b) không bị chận trên
g (b )
a
không bị chận trên
g ( x )dx
phân kỳ
Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 2.
f (x)
lim
K 0,
x g ( x )
f (x)
K
K , x
g (x)
2
K
3K
g (x) f (x)
g ( x ), x
2
2
Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1
- Xem thêm -