Môc lôc
1
Lêi cam ®oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
§é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn Wiener
v« h¹n chiÒu
11
1.1
BiÕn ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach . . . .
12
1.2
§é ®o vÐc t¬ vμ tÝch ph©n cña hμm nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi
®é ®o vÐc t¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.1
§é ®o vÐc t¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.2
TÝch ph©n Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.3
TÝch ph©n cña mét hμm nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi
mét ®é ®o vÐc t¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
16
§é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn cña hμm tÊt
®Þnh ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . .
18
1.4
§é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.5
TÝch ph©n ngÉu nhiªn Wiener ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn
1.6
Gauss ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Martingale nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach . . . . . .
25
3
2
TÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito v« h¹n chiÒu vμ c«ng thøc Ito
2.1
TÝch ph©n ngÉu nhiªn cña hμm ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ to¸n
tö ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss . . . . . . . . . . .
2.2
2.3
3
27
BiÕn ph©n b×nh ph−¬ng cña ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss
®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Qu¸ tr×nh Ito vμ c«ng thøc Ito . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
To¸n tö ngÉu nhiªn gi÷a c¸c kh«ng gian Banach
3.1
27
58
Kh¸i niÖm cña to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn, vÝ dô vμ c¸c tÝnh
chÊt tæng qu¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.2
C¸c ®iÒu kiÖn ®Ó mét to¸n tö ngÉu nhiªn lμ bÞ chÆn . . . . .
65
3.3
Nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu kh«ng cã hiÖu lùc cho to¸n tö ngÉu
nhiªn bÞ chÆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Th¸c triÓn cña to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn . . . . . . . . . .
75
VÒ c¸c nghiªn cøu tiÕp theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Tμi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.4
Phô lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4
Më ®Çu
Trong h¬n ba thÕ kû qua, víi c«ng lao ®ãng gãp cña nhiÒu thÕ hÖ c¸c nhμ
to¸n häc, gi¶i tÝch to¸n häc ®· trë thμnh mét lÜnh vùc to¸n häc lín víi nh÷ng
chuyªn ngμnh nh−: phÐp tÝnh vi tÝch ph©n, ph−¬ng tr×nh vi ph©n, ph−¬ng tr×nh
®¹o hμm riªng, lý thuyÕt c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh,. . . Nã cung cÊp cho nhiÒu
ngμnh khoa häc vμ kü thuËt mét c«ng cô hÕt søc ®¾c lùc ®Ó xö lý vμ tÝnh to¸n
c¸c m« h×nh tÊt ®Þnh.
Tuy nhiªn, chóng ta ®ang sèng trong mét thÕ giíi chÞu nhiÒu t¸c ®éng cña
nh©n tè ngÉu nhiªn. PhÇn lín c¸c hÖ ®éng lùc, c¸c qu¸ tr×nh trong tù nhiªn
lμ c¸c hÖ ®éng lùc ngÉu nhiªn vμ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn. Thμnh thö ®Ó ph¶n
¸nh thùc tÕ ®óng ®¾n h¬n, ngoμi viÖc nghiªn cøu c¸c m« h×nh tÊt ®Þnh, viÖc
nghiªn cøu c¸c m« h×nh ngÉu nhiªn lμ mét tÊt yÕu vμ cÇn thiÕt.
Trong vμi chôc n¨m gÇn ®©y, mét mÆt do nhu cÇu ph¸t triÓn néi t¹i cña
to¸n häc, mÆt kh¸c nh»m cung cÊp mét ng«n ng÷, mét c«ng cô cho phÐp m«
t¶, ph©n tÝch, dù b¸o vμ ®iÒu khiÓn c¸c m« h×nh ngÉu nhiªn, gi¶i tÝch ngÉu
nhiªn (gi¶i tÝch trong m«i tr−êng ngÉu nhiªn) ®· ra ®êi víi c¸c lý thuyÕt vÒ
®é ®o ngÉu nhiªn, tÝch ph©n ngÉu nhiªn, ph−¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn,
to¸n tö ngÉu nhiªn, ®iÓm bÊt ®éng ngÉu nhiªn, hÖ ®éng lùc ngÉu nhiªn. . ..
Trong c¸c h−íng nghiªn cøu cña gi¶i tÝch ngÉu nhiªn, viÖc nghiªn cøu gi¶i
tÝch ngÉu nhiªn v« h¹n chiÒu còng ®−îc nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m do sù ph¸t
triÓn néi t¹i cña gi¶i tÝch ngÉu nhiªn còng nh− do sù xuÊt hiÖn cña nhiÒu bμi
to¸n thùc tiÔn ®ßi hái c¸ch tiÕp cËn v« h¹n chiÒu. CÇn chó ý r»ng ®Ó nghiªn
cøu gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn kh«ng gian v« h¹n chiÒu, ng−êi ta cÇn ph¶i cã
nh÷ng ph−¬ng ph¸p míi vμ dông cô míi kh¸c so víi viÖc nghiªn cøu gi¶i tÝch
ngÉu nhiªn h÷u h¹n chiÒu. Bëi lÏ r»ng nh÷ng ph−¬ng ph¸p vμ dông cô c¬ b¶n
cña x¸c suÊt trªn kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu khi më réng sang kh«ng gian v«
h¹n chiÒu th× kh«ng cßn hiÖu lùc n÷a (xem [21, 22, 43] vμ c¸c th− môc ë ®ã).
5
VÒ mÆt lÞch sö, tÝch ph©n ngÉu nhiªn ®Çu tiªn trong lý thuyÕt x¸c suÊt lμ
tÝch ph©n cña mét hμm tÊt ®Þnh ®èi víi chuyÓn ®éng Brown do Wiener ®−a
ra [44] vμo n¨m 1923. TÝch ph©n nμy ®−îc gäi lμ tÝch ph©n Wiener. TÝch
ph©n Wiener cã thÓ nh×n nhËn nh− lμ tÝch ph©n cña mét hμm tÊt ®Þnh thùc
®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Wiener - mét ®é ®o ngÉu nhiªn gi¸ trÞ thùc sinh bëi
chuyÓn ®éng Brown. T− t−ëng vÒ ®é ®o ngÉu nhiªn gi¸ trÞ thùc lÇn ®Çu tiªn
xuÊt hiÖn trong c«ng tr×nh cña Bochner [6]. TÝch ph©n ngÉu nhiªn cña hμm
tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn gi¸ trÞ thùc ®−îc nghiªn cøu bëi Urbanik vμ
Woyczynski [42]. Sù më réng cho tr−êng hîp v« h¹n chiÒu ®−îc thùc hiÖn
bëi Hoffman-Jorgensen [16], Okazaki [25], Rosinski [27]. Mét h−íng më
réng kh¸c cña tÝch ph©n Wiener ®−îc §.H.Th¾ng ®Ò cËp trong [36, 41]: §ã lμ
xÐt tÝch ph©n cña c¸c hμm tÊt ®Þnh thùc ®èi víi c¸c ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn
Gauss vμ ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Wiener v« h¹n chiÒu.
Ch−¬ng 1 cña luËn ¸n cã tiªu ®Ò "§é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss vμ tÝch
ph©n ngÉu nhiªn Wiener v« h¹n chiÒu". Ch−¬ng nμy sÏ tr×nh bμy mét c¸ch
tãm l−îc nhÊt ®Ó lμm quen víi ®Þnh nghÜa, c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ ®é ®o vÐc t¬
ngÉu nhiªn, ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss ®èi xøng víi gi¸ trÞ trong kh«ng
gian Banach v« h¹n chiÒu vμ tÝch ph©n cña hμm tÊt ®Þnh thùc ®èi víi chóng,
trong ®ã tËp trung vμo c¸c tÝnh chÊt c¸c ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss ®èi
xøng. C¸c kÕt qu¶ nμy sÏ ®−îc sö dông ®Õn ë ch−¬ng 2.
Nhu cÇu cña to¸n häc còng nh− thùc tiÔn ®ßi hái ph¶i thùc hiÖn qu¸ tr×nh
lÊy tÝch ph©n kh«ng chØ cho c¸c hμm tÊt ®Þnh mμ c¶ cho c¸c hμm ngÉu nhiªn.
N¨m 1942 nhμ to¸n häc Ito [18] ®· x©y dùng qu¸ tr×nh tÝch ph©n cho mét hμm
ngÉu nhiªn phï hîp ®èi víi chuyÓn ®éng Brown. TÝch ph©n nμy ®−îc gäi lμ
tÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito. TÝch ph©n Ito vμ c«ng thøc Ito ®ãng mét vai trß ®Æc
biÖt quan träng trong gi¶i tÝch ngÉu nhiªn t−¬ng tù nh− tÝch ph©n Riemann vμ
c«ng thøc Newton-Leibniz trong gi¶i tÝch cæ ®iÓn. Gi¶i tÝch cæ ®iÓn nghiªn
cøu vi tÝch ph©n trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, gi¶i tÝch ngÉu nhiªn nghiªn
6
cøu phÐp tÝnh vi tÝch ph©n ngÉu nhiªn. Sù kh¸c nhau c¬ b¶n gi÷a gi¶i tÝch cæ
®iÓn vμ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn thùc chÊt n»m ë sù kh¸c nhau cña c«ng thøc ®¹o
hμm hμm sè hîp, trong m«i tr−êng ngÉu nhiªn c«ng thøc nμy mang tªn Ito.
Vi tÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito ngμy cμng ®ãng vai trß quan träng, m« t¶ ngμy
cμng ®óng vμ s¸t nhiÒu m« h×nh trong thùc tÕ vμ cã nhiÒu øng dông thiÕt thùc.
Mét trong nh÷ng øng dông ®¸ng chó ý cña nã gÇn ®©y cã thÓ kÓ ®Õn ®ã lμ nã
trë thμnh c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu to¸n tμi chÝnh (xem [15, 31]
vμ c¸c th− môc ë ®ã), vÝ dô nh− viÖc ®Þnh nghÜa vμ nghiªn cøu c¸c m« h×nh
Black-Scholes, Merton, Hull and White, ....
Cã nhiÒu h−íng nghiªn cøu më réng tÝch ph©n Ito. Mét sè t¸c gi¶ muèn
x©y dùng lo¹i tÝch ph©n ngÉu nhiªn mμ kh«ng cÇn gi¶ thiÕt phï hîp, nh− tÝch
ph©n Ogawa, tÝch ph©n Stratonovich, tÝch ph©n Skorokhod (xem [3, 24, 29]
vμ c¸c th− môc ë ®ã). Mét h−íng më réng kh¸c lμ x©y dùng tÝch ph©n cña
hμm ngÉu nhiªn ®èi víi c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn tæng qu¸t h¬n. Ch¼ng h¹n lý
thuyÕt vÒ tÝch ph©n ngÉu nhiªn cña c¸c hμm ngÉu nhiªn kh¶ ®o¸n ®èi víi mét
semimartingale ®· ®−îc nhiÒu t¸c gi¶ ë Mü vμ Ph¸p quan t©m (xem [5, 20]
vμ c¸c th− môc ë ®ã); lý thuyÕt vÒ tÝch ph©n ngÉu nhiªn ®èi víi c¸c qu¸ tr×nh
Brown ph©n thø ®−îc mét sè t¸c gi¶ quan t©m v× nh÷ng dông míi cña nã
trong to¸n tμi chÝnh (xem [31]).
Ch−¬ng 2 cã tiªu ®Ò "TÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito v« h¹n chiÒu vμ c«ng thøc
Ito". Ch−¬ng nμy dμnh cho viÖc x©y dùng tÝch ph©n Ito cña hμm ngÉu nhiªn
gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss, x©y dùng mét qu¸ tr×nh
ngÉu nhiªn v« h¹n chiÒu Xt, kiÓu Ito rÊt tæng qu¸t vμ thiÕt lËp c«ng thøc Ito
t−¬ng øng.
Gi¶ sö X, Y lμ c¸c kh«ng gian Banach. Cho tr−íc Z lμ ®é ®o ngÉu
nhiªn Gauss ®èi xøng X-gi¸ trÞ víi ®é ®o covariance Q (®−îc ®Þnh nghÜa bëi
§.H.Th¾ng trong [41]). Chóng t«i ®Þnh nghÜa qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn Xt Y -gi¸
7
trÞ cã d¹ng
Xt = X0 +
t
a(s, ω) ds+
0
0
t
b(s, ω)·dQs +
0
t
c(s, ω)·dZs,
(0 ≤ t ≤ T )
vμ gäi ®ã lμ qu¸ tr×nh Ito Y -gi¸ trÞ ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Z. §Ó ®Þnh
nghÜa ®−îc qu¸ tr×nh nμy chóng t«i ®· ph¶i x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n
ngÉu nhiªn cña mét hμm ngÉu nhiªn L(X, Y )-gi¸ trÞ ®èi víi ®é ®o Z. KÕt
qu¶ quan träng trong ch−¬ng nμy lμ viÖc chøng minh c«ng thøc Ito v« h¹n
chiÒu (§Þnh lý 2.3.2). §Ó chuÈn bÞ cho viÖc thiÕt lËp c«ng thøc nμy, luËn ¸n
®· sö dông c«ng cô tÝch tensor ®Ó lμm râ t¸c ®éng cña mét to¸n tö song tuyÕn
tÝnh lªn mét to¸n tö h¹ch vμ nghiªn cøu biÕn ph©n toμn ph−¬ng cña ®é ®o Z.
C«ng thøc biÕn ph©n toμn ph−¬ng nμy viÕt mét c¸ch h×nh thøc cã d¹ng
dZ = dQ.
dZ ⊗
Trong tr−êng hîp Z lμ ®é ®o Wiener X-gi¸ trÞ vμ c¸c kh«ng gian X, Y lμ h÷u
h¹n chiÒu ta thu ®−îc c«ng thøc Ito h÷u h¹n chiÒu (HÖ qu¶ 2.3.4). Chó ý r»ng
c«ng thøc nμy còng lμ míi v× cho tíi nay ng−êi ta míi xÐt tr−êng hîp c«ng
thøc Ito h÷u h¹n chiÒu víi qu¸ tr×nh Wiener nhiÒu chiÒu víi c¸c thμnh phÇn
®éc lËp (tøc lμ víi ®é ®o ngÉu nhiªn Wiener víi ®é ®o covariance Q d¹ng
dQ = R dt, trong ®ã R lμ ma trËn ®¬n vÞ).
Trong gi¶i tÝch cæ ®iÓn (kh«ng ngÉu nhiªn) ta ®· biÕt tÝch ph©n lμ mét lo¹i
to¸n tö tuyÕn tÝnh ®Æc biÖt vμ rÊt quan träng. Lý thuyÕt to¸n tö tuyÕn tÝnh
(tÊt ®Þnh) ®· ®−îc ph¸t triÓn thμnh mét lý thuyÕt ®å sé trong gi¶i tÝch hμm vμ
®· ®−îc ¸p dông rÊt hiÖu qu¶ ®Ó nghiªn cøu trong lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh vi
ph©n vμ ph−¬ng tr×nh ®¹o hμm riªng. T−¬ng tù nh− vËy, tÝch ph©n ngÉu nhiªn
lμ mét lo¹i to¸n tö ngÉu nhiªn ®Æc biÖt vμ rÊt quan träng. Mét to¸n tö ngÉu
nhiªn A tõ X vμo Y lμ mét phÐp t−¬ng øng mçi x ∈ X mét biÕn ngÉu nhiªn
Ax nhËn gi¸ trÞ trong Y . PhÐp t−¬ng øng nμy tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tuyÕn tÝnh
vμ liªn tôc theo mét nghÜa x¸c suÊt nμo ®ã. Nh− vËy kh¸i niÖm to¸n tö ngÉu
8
nhiªn lμ mét sù më réng "ngÉu nhiªn" (hay sù ngÉu nhiªn ho¸) mét c¸ch rÊt
tù nhiªn cña kh¸i niÖm to¸n tö tuyÕn tÝnh tÊt ®Þnh. To¸n tö ngÉu nhiªn gi÷a
c¸c kh«ng gian Hilbert ®−îc nghiªn cøu hÖ thèng ®Çu tiªn bëi Skorokhod
[30] vμ ®−îc ph¸t triÓn bëi §.H.Th¾ng [33, 34, 35, 37, 39]. Theo sù hiÓu biÕt
cña chóng t«i th× lý thuyÕt vÒ to¸n tö ngÉu nhiªn míi ®ang ë giai ®o¹n ®Çu
cña sù ph¸t triÓn vμ cßn nhiÒu vÊn ®Ò bá ngá. NÕu nh− lý thuyÕt to¸n tö tuyÕn
tÝnh (tÊt ®Þnh) ®· trë thμnh mét l©u ®μi ®å sé, hoμnh tr¸ng trong gi¶i tÝch, cã
rÊt nhiÒu øng dông trong to¸n häc còng nh− thùc tiÔn th× cã c¬ së ®Ó hy väng
vμ tin t−ëng r»ng trong t−¬ng lai lý thuyÕt to¸n tö ngÉu nhiªn còng sÏ cã mét
h×nh hμi, vÞ trÝ xøng ®¸ng vμ tÇm quan träng lín lao trong gi¶i tÝch ngÉu nhiªn.
Ch−¬ng 3 cã tiªu ®Ò "To¸n tö ngÉu nhiªn gi÷a c¸c kh«ng gian Banach".
Trong ch−¬ng nμy chóng t«i dμnh sù quan t©m cho líp c¸c to¸n tö ngÉu nhiªn
bÞ chÆn. §ã lμ mét líp con cña líp c¸c to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn nh−ng l¹i lμ
sù më réng rÊt gÇn gòi c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh tÊt ®Þnh. Chóng t«i ®· thiÕt lËp
c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó mét to¸n tö ngÉu nhiªn lμ bÞ chÆn. Mét trong nh÷ng kÕt qu¶
chÝnh kh¸ thó vÞ trong ch−¬ng nμy lμ chØ ra r»ng nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu (§Þnh
lý Banach-Steinhaus) cho hä c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh tÊt ®Þnh vÉn ®óng cho hä
c¸c to¸n tö ngÉu nhiªn (bÞ chÆn theo x¸c suÊt) nh−ng ®· kh«ng cßn ®óng cho
hä c¸c to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn (bÞ chÆn h.c.c.) (xem vÝ dô 3.3.3 cña luËn
¸n). NÕu nh×n tÝch ph©n Wiener nh− mét to¸n tö ngÉu nhiªn th× tÝch ph©n Ito,
tÝch ph©n Ogawa, tÝch ph©n Stratonovich vμ tÝch ph©n Skorokhod ®Òu cã thÓ
xem nh− lμ mét cè g¾ng ®Ó th¸c triÓn miÒn x¸c ®Þnh cña tÝch ph©n Wiener tõ
tËp c¸c hμm tÊt ®Þnh b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch lªn mét líp nμo ®ã c¸c hμm ngÉu
nhiªn cã quü ®¹o b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. Chóng t«i ®−a ra mét kiÓu th¸c triÓn
vμ chøng minh ®−îc r»ng mét to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn tõ X sang Y (vμ chØ
cã nã) míi cã thÓ th¸c triÓn miÒn x¸c ®Þnh cña nã lªn toμn bé c¸c biÕn ngÉu
nhiªn nhËn gi¸ trÞ trong X ®ång thêi b¶o toμn c¸c tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh vμ liªn
tôc cña nã (§Þnh lý 3.4.5). Mét hÖ qu¶ thó vÞ cña ®Þnh lý nμy lμ: kh«ng thÓ
9
th¸c triÓn miÒn x¸c ®Þnh cña tÝch ph©n Wiener tõ tËp c¸c hμm tÊt ®Þnh b×nh
ph−¬ng kh¶ tÝch lªn tÊt c¶ c¸c hμm ngÉu nhiªn cã quü ®¹o b×nh ph−¬ng kh¶
tÝch.
Líp c¸c to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn lμ mét líp ®Æc biÖt cña líp to¸n tö
ngÉu nhiªn, nã ®−îc nghiªn cøu trong Ch−¬ng 3 kh¸ hÖ thèng. Mét vÊn ®Ò
®−îc ®Æt ra mét c¸ch tù nhiªn lμ nghiªn cøu c¸c lo¹i to¸n tö ngÉu nhiªn tæng
qu¸t h¬n. Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu hoμn thμnh luËn ¸n, ngoμi nh÷ng kÕt
qu¶ ®· c«ng bè, chóng t«i còng t×m ra mét sè kÕt qu¶ thó vÞ kh¸c vÒ to¸n tö
ngÉu nhiªn tæng qu¸t (kh«ng nhÊt thiÕt bÞ chÆn). Nh−ng nh÷ng kÕt qu¶ ®ã
nãi chung kh¸ rêi r¹c, ch−a thμnh mét hÖ thèng hoμn chØnh vμ m¹ch l¹c nªn
chóng t«i chØ míi tr×nh bμy ë nh÷ng buæi seminar nhá. PhÇn phô lôc nhá cuèi
luËn ¸n cã tiªu ®Ò "VÒ c¸c nghiªn cøu tiÕp theo". Trong phÇn nμy, chóng t«i
nªu ra mét sè vÊn ®Ò mμ chóng t«i ch−a gi¶i quyÕt hoμn chØnh vμ kÌm theo
mét sè kÕt qu¶ ®· ®¹t ®−îc. Chóng t«i sÏ dμnh nh÷ng vÊn ®Ò ®ã cho nghiªn
cøu sau luËn ¸n.
C¸c kÕt qu¶ chñ yÕu cña luËn ¸n ®· ®−îc b¸o c¸o trong c¸c héi nghÞ:
1. Héi nghÞ Khoa häc cña tr−êng §«ng vÒ X¸c suÊt-Thèng kª, Vinh (2003),
2. Héi nghÞ nghiªn cøu Khoa häc Tr−êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn
(2004),
3. Héi nghÞ Toμn quèc vÒ X¸c suÊt Thèng kª t¹i Ba V× (2005).
Vμ ®· ®−îc c«ng bè trong c¸c t¹p chÝ
1. Proceedings of the International Conference Abstract and Applied Analysis World Scientific (2004),
2. Kyushu J.Math (2004),
3. Vietnam J. Math 38:2(2005).
10
Ch−¬ng 1
§é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss vμ tÝch
ph©n ngÉu nhiªn Wiener v« h¹n chiÒu
ViÖc nghiªn cøu tÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito cho hμm ngÉu nhiªn nhËn gi¸
trÞ to¸n tö ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng
gian Banach mμ chóng t«i ®Ò cËp ®Õn trong ch−¬ng 2 cã thÓ xem nh− lμ sù
më réng v« h¹n chiÒu cho tÝch ph©n Ito, do ®ã nã cÇn sù hç trî tõ rÊt nhiÒu
c¸c kÕt qu¶ kh¸ trõu t−îng trong kh«ng gian Banach. MÆt kh¸c ®©y còng lμ
viÖc më réng viÖc lÊy tÝch ph©n hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss
(tÝch ph©n Wiener v« h¹n chiÒu) ®−îc xÐt trong [41, §.H.Th¾ng] cho lÊy tÝch
ph©n cho c¸c hμm ngÉu nhiªn ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss. Nh− lμ mét sù
chuÈn bÞ, ch−¬ng nμy nh»m môc ®Ých tãm t¾t s¬ l−îc c¸c kiÕn thøc vμ c¸c kÕt
qu¶ liªn quan mμ chóng sÏ ®−îc sö dông sau nμy, nh− lμ: ®é ®o vÐc t¬, tÝch
ph©n ®èi víi ®é ®o vÐc t¬, ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn
cña hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss. §Æc biÖt chóng t«i
tr×nh bμy kü vÒ ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss vμ tÝch ph©n Wiener v« h¹n chiÒu
(tÝch ph©n cña hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss). C¸c kiÕn thøc
vÒ to¸n tö h¹ch, tÝch tensor cña 2 kh«ng gian Banach, h×nh häc trong kh«ng
gian Banach, ®é ®o vÐc t¬ Gauss trªn kh«ng gian Banach sÏ ®−îc giíi thiÖu
11
trong phÇn phô lôc sau luËn ¸n.
1.1
BiÕn ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach
C¸c kiÕn thøc trong phÇn nμy ng−êi ®äc cã thÓ t×m ®äc kü h¬n trong [43].
Gi¶ sö T lμ mét kh«ng gian kh¸c rçng bÊt kú. Hä c¸c tËp con Σ cña T ®−îc
gäi lμ mét tr−êng (hay ®¹i sè) c¸c tËp con cña T nÕu nã chøa tËp rçng, ®ãng
®èi víi phÐp lÊy hîp vμ giao h÷u h¹n vμ ®ãng ®èi víi phÐp lÊy phÇn bï. Σ
®−îc gäi lμ mét σ-tr−êng (hay σ-®¹i sè) c¸c tËp con cña T nÕu nã lμ mét
tr−êng vμ ®ãng ®èi víi phÐp lÊy hîp vμ giao ®Õm ®−îc vμ phÐp lÊy phÇn bï.
Trong tr−êng hîp nμy cÆp (T, Σ) ®−îc gäi lμ kh«ng gian ®o ®−îc.
Cho (T, Σ) vμ (X, B) lμ c¸c kh«ng gian ®o ®−îc. Mét ¸nh x¹ ξ : T → X ®−îc
gäi lμ (Σ, B)-®o ®−îc hay ®¬n gi¶n lμ ®o ®−îc nÕu nghÞch ¶nh ξ −1(B) ∈ Σ
víi mçi B ∈ B. NÕu X lμ kh«ng gian t«p« th× σ-tr−êng nhá nhÊt chøa tÊt
c¶ c¸c tËp më cña X ®−îc gäi lμ σ-tr−êng Borel vμ ®−îc ký hiÖu lμ B(X).
C¸c tËp B ∈ B(X) ®−îc gäi lμ c¸c tËp Borel. NÕu ¸nh x¹ ξ : T → X lμ
(Σ, B(X))-®o ®−îc th× ta cßn gäi lμ ξ lμ ®o ®−îc Borel hay ®¬n gi¶n lμ ®o
®−îc.
Cho (T, Σ) lμ mét kh«ng gian ®o ®−îc, X lμ mét kh«ng gian metric. Mét
hμm ξ : T → X ®−îc gäi lμ ®¬n gi¶n (t−¬ng øng bËc thang) nÕu ξ(T ) lμ h÷u
h¹n (t−¬ng øng ®Õm ®−îc) vμ ξ −1(x) ∈ Σ víi mäi x ∈ X. Râ rμng hμm ®¬n
gi¶n vμ hμm bËc thang th× ®o ®−îc. ξ : T → X ®−îc gäi lμ ®o ®−îc m¹nh nÕu
nã lμ giíi h¹n ®iÓm cña mét d·y hμm ®¬n gi¶n vμ ξ ®−îc gäi lμ ®o ®−îc yÕu
nÕu víi mäi x∗ ∈ X th× x∗ (ξ) : T → R lμ hμm ®o ®−îc m¹nh. MÖnh ®Ò sau
®©y cho ta mèi liªn hÖ gi÷a ®o ®−îc, ®o ®−îc m¹nh, ®o ®−îc yÕu.
MÖnh ®Ò 1.1.1. Víi ¸nh x¹ ξ : T → X, nh÷ng ph¸t biÓu sau t−¬ng ®−¬ng
12
1. ξ ®o ®−îc m¹nh.
2. ξ ®o ®−îc vμ miÒn gi¸ trÞ cña nã kh¶ ly.
3. ξ lμ giíi h¹n ®Òu cña mét d·y hμm bËc thang.
4. ξ lμ giíi h¹n ®iÓm cña mét d·y hμm ®¬n gi¶n.
Gi¶ sö (Ω, F) lμ mét kh«ng gian ®o ®−îc. Mét hμm céng tÝnh ®Õm ®−îc
μ : F → [0, +∞) ®−îc gäi lμ ®é ®o (kh«ng ©m) trªn F (nhiÒu lóc ta nãi μ
lμ ®é ®o trªn (Ω, F), hay ®¬n gi¶n lμ ®é ®o trªn Ω). μ ®−îc gäi lμ ®é ®o x¸c
suÊt nÕu μ(Ω) = 1, ®−îc gäi lμ ®é ®o h÷u h¹n nÕu μ(Ω) < ∞ vμ ®−îc gäi
lμ ®é ®o σ-h÷u h¹n nÕu Ω cã ph©n ho¹ch Ω = ∪∞
n=1 An , An ∈ F, tho¶ m·n
μ(An ) < ∞ víi mäi n ∈ N.
NÕu μ lμ ®é ®o trªn (Ω, F) th× bé ba (Ω, F, μ) ®−îc gäi lμ mét kh«ng gian ®o.
NÕu μ lμ ®é ®o x¸c suÊt th× bé ba (Ω, F, μ) ®−îc gäi lμ mét kh«ng gian x¸c
suÊt. §é ®o x¸c suÊt trªn kh«ng gian x¸c suÊt ta th−êng ký hiÖu lμ P. Tõ nay
trë ®i nÕu kh«ng cã g× thay ®æi ta sÏ lu«n ngÇm ®Þnh kh«ng gian x¸c suÊt c¬
së lμ (Ω, F, P).
Gi¶ sö X lμ mét kh«ng gian Banach. Mét ¸nh x¹ ξ : Ω → X ®−îc gäi lμ
biÕn ngÉu nhiªn X-gi¸ trÞ (hay vÐc t¬ ngÉu nhiªn) nÕu ξ lμ ®o ®−îc m¹nh
(σ-tr−êng trªn X lμ B(X)).
Gi¶ sö (ξn), ξ lμ c¸c biÕn ngÉu nhiªn X-gi¸ trÞ. ξn ®−îc gäi lμ héi tô theo x¸c
P
suÊt tíi ξ vμ ký hiÖu lμ ξn → ξ nÕu
lim P ξn − ξ > = 0 víi mäi > 0.
n→∞
h.c.c.
ξn ®−îc gäi lμ héi tô hÇu ch¾c ch¾n (h.c.c.) tíi ξ vμ ký hiÖu lμ ξn → ξ hay
ξn → ξ (h.c.c) nÕu tån t¹i mét tËp A ∈ F sao cho P(A) = 1 vμ víi mäi ω ∈ Ω
th× ξn (ω) → ξ(ω).
13
Hai biÕn ngÉu nhiªn ξ vμ η ®−îc gäi lμ b»ng nhau h.c.c. vμ ký hiÖu lμ ξ = η
h.c.c. nÕu P{ξ = η} = 1. Quan hÖ b»ng nhau h.c.c. trong kh«ng gian c¸c
biÕn ngÉu nhiªn X-gi¸ trÞ lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng, tËp c¸c líp t−¬ng
X
X
®−¬ng ®−îc ký hiÖu lμ LX
0 (Ω, F, P) hay ®¬n gi¶n lμ L0 (Ω). L0 (Ω) lμ mét
kh«ng gian Frechet víi chuÈn Frechet cña ξ ∈ LX
0 (Ω) ®−îc x¸c ®Þnh lμ
ξ(ω)
ξ0 =
dP(ω)
Ω 1 + ξ(ω)
vμ LX
0 (Ω) lμ mét kh«ng gian vÐc t¬ t« p« víi mét c¬ së ®Þa ph−¬ng lμ hä c¸c
tËp cã d¹ng
V,δ = {ξ ∈ LX
0 (Ω) : P{ξ > } < δ},
, δ > 0.
P
Ta cã ξn → ξ khi vμ chØ khi ξn − ξ0 → 0.
X
Ký hiÖu LX
p (Ω, F, P) (hay Lp (Ω)) (p ≥ 1) lμ tËp tÊt c¶ c¸c biÕn ngÉu nhiªn
(Ω)
sao
cho
ξ(ω)p dP(ω) < ∞, lóc ®ã LX
ξ ∈ LX
0
p (Ω) lμ kh«ng gian
Banach víi chuÈn lμ
ξp =
1.2
ξ(ω) dP(ω)
p
1/p
,
ξ ∈ LX
p (Ω).
§é ®o vÐc t¬ vμ tÝch ph©n cña hμm nhËn gi¸ trÞ to¸n tö
®èi víi ®é ®o vÐc t¬
C¸c kiÕn thøc trong phÇn nμy ng−êi ®äc cã thÓ t×m ®äc kü h¬n trong
[9, 10].
1.2.1
§é ®o vÐc t¬
Gi¶ sö Σ lμ mét tr−êng c¸c tËp con cña tËp T .
14
§Þnh nghÜa 1.2.1. Mét hμm F tõ Σ vμo mét kh«ng gian Banach X ®−îc gäi
lμ ®é ®o vÐc t¬ céng tÝnh h÷u h¹n hay ®¬n gi¶n lμ ®é ®o vÐc t¬ nÕu nã tho¶
m·n
F (E1 ∪ E2 ) = F (E1) + F (E2 )
víi mäi E1 , E2 lμ c¸c tËp rêi nhau trong Σ.
H¬n n÷a nÕu
F (∪∞
n=1 En )
=
∞
F (En ) trong chuÈn cña X
n=1
víi mäi Ei lμ c¸c tËp rêi nhau trong Σ tho¶ m·n ∪∞
n=1 En ∈ Σ th× F ®−îc gäi
lμ ®é ®o vÐc t¬ céng tÝnh ®Õm ®−îc.
§Þnh nghÜa 1.2.2. Gi¶ sö F : Σ → X lμ mét ®é ®o vÐc t¬. BiÕn ph©n cña F
lμ mét hμm kh«ng ©m |F | x¸c ®Þnh trªn Σ sao cho víi mçi E ∈ Σ th×
|F |(E) = sup
n
F (Ei ),
i=1
trong ®ã {Ei}ni=1 ∈ Σ lμ mét ph©n ho¹ch cña E vμ supremum lÊy trªn tÊt c¶
c¸c ph©n ho¹ch h÷u h¹n cã thÓ cña E.
NÕu |F |(T ) < ∞ th× F ®−îc gäi lμ ®é ®o víi biÕn ph©n giíi néi
MÖnh ®Ò 1.2.3. Mét ®é ®o vÐc t¬ víi biÕn ph©n giíi néi lμ céng tÝnh ®Õm
®−îc khi vμ chØ khi biÕn ph©n cña nã lμ céng tÝnh ®Õm ®−îc
§Þnh lý 1.2.4 (Pettis).
Gi¶ sö Σ lμ mét σ-tr−êng, F : Σ → X lμ mét ®é ®o vÐc t¬ céng tÝnh ®Õm
®−îc vμ μ lμ ®é ®o kh«ng ©m h÷u h¹n trªn Σ. Lóc ®ã F lμ μ-liªn tôc, tøc lμ
lim F (E) = 0
μ(E)→0
khi vμ chØ khi gi¸ trÞ cña F trªn nh÷ng tËp cã ®é ®o μ b»ng 0 th× b»ng 0.
15
1.2.2
TÝch ph©n Bochner
Cho (T, Σ, μ) lμ mét kh«ng gian ®o h÷u h¹n.
NÕu f : T → X lμ mét hμm ®¬n gi¶n cã d¹ng
f=
n
xi1Ei ,
i=1
trong ®ã Ei lμ c¸c tËp rêi nhau trong Σ, xi ∈ X, th× víi E ∈ Σ ta ®Þnh nghÜa
f dμ =
E
n
xi μ(Ei ∩ E).
i=1
§Þnh nghÜa 1.2.5. Mét hμm μ-®o ®−îc f : T → X ®−îc gäi lμ kh¶ tÝch
Bochner nÕu tån t¹i mét d·y hμm ®¬n gi¶n (fn ) sao cho
lim fn − f dμ = 0.
n
T
Trong tr−êng hîp nμy, víi mäi E ∈ Σ sÏ tån t¹i giíi h¹n limn
(1.1)
E
fn dμ, giíi
h¹n nμy kh«ng phô thuéc vμo c¸ch chän d·y ®¬n gi¶n (fn ) (tho¶ m·n ®iÒu
kiÖn (1.1)) vμ ta ®Æt
f dμ = lim
E
n
fn dμ.
E
§Þnh lý sau ®©y cho ta mét ®Æc tr−ng cña hμm kh¶ tÝch Bochner.
§Þnh lý 1.2.6. Mét hμm f : Σ → X lμ kh¶ tÝch Bochner nÕu vμ chØ nÕu
f dμ < ∞.
1.2.3
TÝch ph©n cña mét hμm nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi mét ®é ®o vÐc
t¬
Gi¶ sö (T, Σ) lμ mét kh«ng gian ®o, F : Σ → X lμ mét ®é ®o vÐc t¬ céng
tÝnh ®Õm ®−îc víi biÕn ph©n |F | h÷u h¹n, do ®ã theo MÖnh ®Ò 1.2.3 ta nhËn
16
®−îc kh«ng gian ®o h÷u h¹n (T, Σ, |F |).
NÕu f : T → L(X, Y ) lμ mét hμm ®¬n gi¶n cã d¹ng
f=
n
hi 1Ei ,
(1.2)
i=1
trong ®ã Ei lμ c¸c tËp rêi nhau trong Σ, hi ∈ L(X, Y ), th× víi E ∈ Σ ta ®Þnh
nghÜa
f dF =
E
n
hi(F (Ei ∩ E)).
i=1
Chó ý r»ng trong c«ng thøc trªn th× hi(F (Ei ∩ E)) lμ gi¸ trÞ cña hμm
hi ∈ L(X, Y ) t¹i ®iÓm F (Ei ∩ E) ∈ X.
§Þnh nghÜa 1.2.7. Mét hμm |F |-®o ®−îc f : T → L(X, Y ) ®−îc gäi lμ
F -kh¶ tÝch nÕu tån t¹i mét d·y hμm ®¬n gi¶n L(X, Y )-gi¸ trÞ (fn ) sao cho
(1.3)
lim fn − f d|F | = 0.
n
T
Ta chøng minh ®−îc r»ng víi d·y (fn ) nh− trong §Þnh nghÜa 1.2.7 vμ víi
mäi E ∈ Σ th× sÏ tån t¹i giíi h¹n limn E fn dF vμ giíi h¹n nμy kh«ng phô
thuéc vμo c¸ch chän d·y ®¬n gi¶n (fn) (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1.3)). Lóc ®ã ta
®Æt giíi h¹n nμy lμ E f dF .
§Þnh lý 1.2.8. Gi¶ sö F : Σ → X lμ mét ®é ®o vÐc t¬ vμ f : T → L(X, Y )
lμ mét hμm |F |-®o ®−îc. Lóc ®ã ta cã 3 mÖnh ®Ò sau ®©y t−¬ng ®−¬ng.
1. f lμ F kh¶ tÝch.
2. f lμ |F | kh¶ tÝch (theo nghÜa Bochner).
3. |f | lμ |F | kh¶ tÝch.
17
1.3
§é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn cña
hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn
§Þnh nghÜa 1.3.1.
• Mét hμm F : Σ → LX
0 (Ω, F, P) ®−îc gäi lμ mét ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi
xøng X-gi¸ trÞ nÕu
1. Víi mçi d·y (An) c¸c tËp rêi nhau trong Σ th× c¸c biÕn ngÉu nhiªn
F (A1), F (A2), . . ., F (An) lμ ®éc lËp vμ ®èi xøng;
2. Víi mçi d·y (An) c¸c tËp rêi nhau trong Σ th×
F
∞
An =
n=1
∞
F (An ) h.c.c.
n=1
• §é ®o kh«ng ©m μ trªn Σ ®−îc gäi lμ ®é ®o ®iÒu khiÓn cña F nÕu tho¶
m·n μ(A) = 0 dÉn ®Õn F (A) = 0 vμ ®−îc ký hiÖu lμ F
μ. Tõ ®©y
chóng ta chØ xÐt ®Õn ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn ®èi xøng cã ®é ®o ®iÒu
khiÓn.
• Mét hä {Fs , s ∈ S} c¸c ®é ®o ngÉu nhiªn ®−îc gäi lμ σ-céng tÝnh ®Òu
nÕu mçi d·y (An) c¸c tËp rêi nhau cña Σ th×
p − lim
n
∞
Fs (Am) = 0 ®Òu theo s ∈ S.
m=n
ViÖc ®Þnh nghÜa tÝch ph©n cña mét hμm tÊt ®Þnh thùc ®èi víi ®é ®o vÐc t¬
ngÉu nhiªn ®èi xøng ®−îc thùc hiÖn theo tr×nh tù nh− sau.
n
αi1Ai , víi (Ai)
•NÕu f lμ mét hμm thùc ®¬n gi¶n trªn T cã d¹ng f =
i=1
lμ c¸c tËp rêi nhau trong Σ, lóc ®ã ta ®Þnh nghÜa tÝch ph©n cña f ®èi víi F lμ
n
f dF =
αi F (Ai ∩ A).
A
i=1
18
•Mét hμm thùc f x¸c ®Þnh trªn T ®−îc gäi lμ kh¶ tÝch ®èi víi F nÕu tån
t¹i d·y hμm ®¬n gi¶n (fn) sao cho
1. fn → f (μ-h.c.c)
2. Víi mçi A ∈ Σ th× d·y { fn dF } héi tô theo x¸c suÊt.
A
•NÕu f lμ F -kh¶ tÝch th× ta ®Æt
f dF = p − lim fn dF
n
A
A
f dF :=
f dF
T
§Ó chøng minh tÝnh ®óng ®¾n cña ®Þnh nghÜa trªn ta cÇn ph¶i chøng minh
r»ng tÝch ph©n f dF kh«ng phô thuéc vμo c¸ch chän d·y xÊp xØ (fn ). §Ó
chøng minh ®iÒu nμy ta sö dông ®Þnh lý quan träng sau.
§Þnh lý 1.3.2 (NgÉu nhiªn ho¸ cña ®Þnh lý Vitaly-Hahn-Saks).
Cho (Fn) lμ mét d·y ®é ®o ngÉu nhiªn X-gi¸ trÞ vμ chóng cã cïng mét ®é ®o
®iÒu khiÓn μ. Ngoμi ra víi mçi A ∈ Σ th× tån t¹i p − lim Fn (A). Khi ®ã ta
cã c¸c kh¼ng ®Þnh sau.
1. (Fn ) lμ μ-liªn tôc ®Òu.
2. Hμm F : Σ → LX
0 (Ω) x¸c ®Þnh bëi
F (A) = p − lim Fn (A)
n
lμ ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi xøng X-gi¸ trÞ víi ®é ®o ®iÒu khiÓn μ.
NhËn xÐt. Hoμn toμn t−¬ng tù ta còng ®Þnh nghÜa ®−îc tÝch ph©n cña mét hμm
®o ®−îc X-gi¸ trÞ ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi xøng thùc.
C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n lo¹i nμy ng−êi ®äc cã thÓ t×m xem trong [41].
19
1.4
§é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss
Mét ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi xøng X-gi¸ trÞ Z ®−îc gäi lμ Gauss nÕu víi mçi
A ∈ Σ th× Z(A) lμ biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n bè Gauss ®èi xøng.
∞
n
Chó ý r»ng nÕu d·y (Ai) ∈ Σ rêi nhau vμ A =
Ai th×
Z(Ai) héi tô
i=1
i=1
h.c.c. tíi Z(A) khi n → ∞, nh−ng (Z(Ai)), Z(A) lμ c¸c biÕn ngÉu nhiªn
n
Gauss ®éc lËp nªn
Z(Ai) còng héi tô tíi Z(A) trong L2X (Ω) khi n → ∞.
i=1
§Þnh nghÜa 1.4.1. Gi¶ sö Z lμ ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi xøng Gauss X-gi¸ trÞ.
Hμm tËp Q x¸c ®Þnh trªn Σ ®−îc gäi lμ ®é ®o ®Æc tr−ng (®é ®o covariance)
cña Z nÕu Q(A) lμ to¸n tö covariance cña Z(A).
Tr−íc khi ®−a ra c¸c tÝnh chÊt ®Æc tr−ng cña ®é ®o Q, ta sÏ lμm quen víi
c¸c kh¸i niÖm vμ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña mét lo¹i tÝch v« h−íng cña 2 biÕn ngÉu
nhiªn thuéc LX
2 (Ω), to¸n tö h¹ch vμ to¸n tö covariance.
Trong Ch−¬ng 1 ta ®· nªu ®Þnh nghÜa cña kh«ng gian h¹ch N (X, Y ), b©y
giê ta quan t©m ®Õn kh«ng gian h¹ch N (X , X). Ta nh¾c l¹i r»ng to¸n tö
T ∈ L(X , X) ®−îc gäi lμ to¸n tö h¹ch nÕu tån t¹i 2 d·y {xn } ∈ X vμ
{yn } ∈ X sao cho
∞
xn yn < ∞ vμ
Ta =
n=1
∞
a, xn
yn
∀a ∈ X .
(1.4)
n=1
NÕu T lμ to¸n tö h¹ch th× ta ®Þnh nghÜa chuÈn h¹ch cña T nh− sau:
T nuc := inf
∞
xn yn.
n=1
Trong ®ã infimum ®−îc lÊy trªn tÊt c¶ c¸c d·y (xn ) ∈ X , (yn ) ∈ X tho¶
m·n ®iÒu kiÖn (1.4).
TËp c¸c to¸n tö h¹ch thuéc L(X , X) víi chuÈn h¹ch lËp thμnh mét kh«ng
20
gian Banach vμ ta kÝ hiÖu lμ N (X , X).
T ∈ L(X , X) ®−îc gäi lμ kh«ng ©m nÕu T a, a ≥ 0 víi mäi a ∈ X vμ tËp
c¸c to¸n tö thuéc L(X , X) kh«ng ©m ®−îc kÝ hiÖu lμ L+(X , X). TËp hîp
c¸c to¸n tö h¹ch N (X , X) kh«ng ©m ®−îc kÝ hiÖu lμ N + (X , X).
Víi ξ, η ∈ LX
2 (Ω) ta ®Þnh nghÜa tÝch v« h−íng [ξ, η] ∈ L(X , X) nh− sau:
[ξ, η](a) =
ξ(ω) η(ω), a dP(ω) ∀a ∈ X .
(1.5)
Ω
trong ®ã tÝch ph©n (1.5) lμ tÝch ph©n Bochner.
§Þnh lý 1.4.2. Cho ξ, η lμ 2 biÕn ngÉu nhiªn thuéc LX
2 (Ω). Ta cã c¸c kh¼ng
®Þnh sau:
1. [ξ, η] lμ to¸n tö h¹ch trong kh«ng gian h¹ch N (X , X) vμ
[ξ, η]nuc ≤ ξL2 ηL2 .
(1.6)
2. [ξ, η] = [η, ξ]∗ ,
[ξ, η1 + η2 ] = [ξ, η1] + [ξ, η2],
[ξ1 + ξ2, η] = [ξ1, η] + [ξ2 , η],
[t ξ, η] = t[ξ, η]
∀t ∈ R,
3. [ξ, ξ] ∈ L+(X , X) vμ [ξ, ξ]nuc ξ2L2 .
4. NÕu X lμ kh«ng gian Banach lo¹i 2 th× tån t¹i mét h»ng sè C chØ phô
thuéc vμo kh«ng gian X sao cho
ξ2L2 C[ξ, ξ]nuc,
víi ξ lμ biÕn ngÉu nhiªn Gauss.
5. NÕu limn ξn = ξ vμ limn ηn = η trong L2X (Ω) th×
lim[ξn , ηn ] = [ξ, η] trong N (X , X).
n
21
Ta gäi [ξ, ξ] lμ to¸n tö covariance cña biÕn ngÉu nhiªn X-gi¸ trÞ ξ ∈ L2X (Ω).
Do ®ã nÕu Q lμ ®é ®o covariance cña ®é ®o ngÉu nhiªn Gaussian ®èi xøng
X-gi¸ trÞ, Z, th×
Q(A) = [Z(A), Z(A)].
Tõ §Þnh lý 1.4.2 ta cã ngay ®Þnh lý sau.
§Þnh lý 1.4.3. NÕu X lμ kh«ng gian Banach lo¹i 2 th× tån t¹i mét h»ng sè C
chØ phô thuéc vμo kh«ng gian X sao cho víi mçi ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss ®èi
xøng X-gi¸ trÞ Z ta cã
EZ(A)2 CQ(A) C|Q|(A)
trong ®ã Q lμ ®é ®o covariance vμ |Q| lμ biÕn ph©n cña ®é ®o vÐc t¬ Q.
§Æt G(X) lμ tËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö covariance cña biÕn ngÉu nhiªn ®èi
xøng Gauss X-gi¸ trÞ. Theo ®Þnh lý 1.4.2 th× G(X) ⊆ N +(X , X). H¬n n÷a
ta cã ®¼ng thøc G(X) = N +(X , X) ®óng khi vμ chØ khi X lμ kh«ng gian
lo¹i 2.
§Þnh lý 1.4.4. §é ®o ®Æc tr−ng Q cña ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi xøng Gauss Z cã
c¸c tÝnh chÊt sau ®©y:
1. [Z(A), Z(B)] = Q(AB) víi mäi A, B ∈ Σ,
2. Q lμ σ-céng tÝnh trong chuÈn h¹ch ,
3. Q lμ kh«ng ©m theo nghÜa : víi mäi d·y (Ak )nk=1 ∈ Σ vμ (ak )nk=1 ∈ X
th× ta cã
n
n
Q(AiAj )ai, aj ≥ 0.
i=1 j=1
22
- Xem thêm -