Tài liệu Tích phân lebesgue trên tập số thực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ ĐƯƠNG TÍCH PHÂN LEBESGUE TRÊN TẬP SỐ THỰC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ ĐƯƠNG TÍCH PHÂN LEBESGUE TRÊN TẬP SỐ THỰC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội – Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tận tình dạy dỗ em trong bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện thuận lợi cho em thực hiện bản khóa luận này. Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Hoàng Ngọc Tuấn người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu này. Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên bản khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ góp ý, phê bình của các thầy cô và các bạn sinh viên để bản khóa luận này hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Đương LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của T.S Hoàng Ngọc Tuấn. Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Tích phân Lebesgue trên tập số thực” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Đương Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 1 1 Xây dựng tích phân Lebesgue trên đường thẳng thực 1 1.1 Hàm bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Hàm khả tích Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Giá trị tuyệt đối của một hàm khả tích . . . . . . . . . . 10 1.4 Chuỗi các hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Chuẩn trong L1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Sự hội tụ của tích phân Lebesgue 18 2.1 Hội tụ hầu khắp nơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Các định lý cơ bản về sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Hàm khả tích địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Tích phân Lebesgue và tích phân Riemann . . . . . . . . 28 i LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn. Trong đó, giải tích là một lĩnh vực đóng vai trò quan trọng và có ứng dụng trong thực tiễn. Để nắm vững hơn các kiến thức của giải tích nói riêng và toán học nói chung, em đã chọn đề tài tích phân Lebesgue: “Tích phân Lebesgue trên tập số thực” . 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về giải tích và đặc biệt là tích phân Lebesgue. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tích phân Lebesgue trên tâp số thực. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương 5. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm 2 chương: • Chương 1: “Xây dựng tích phân Lebesgue trên đường thẳng thực” . • Chương 2: “Sự hội tụ của tích phân Lebesgue”. Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS. Hoàng Ngọc Tuấn đã tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu. Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này. Hà Nội, ngày 20/04/2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Đương 2 Chương 1 Xây dựng tích phân Lebesgue trên đường thẳng thực 1.1 Hàm bậc thang Mỗi hàm bậc thang trên đường thẳng thực là tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các hàm đặc trưng của khoảng nửa mở [a, b) ⊆ R. Do đó, với mọi hàm bậc thang f , có các khoảng [a1 , b1 ), . . . , [an , bn ) và các số λ1 , . . . , λn ∈ R sao cho f = λ1 f1 + . . . + λn fn , (1.1) trong đó fk =   1 nếu x ∈ [ak , bk )  0 nếu trái lại. là hàm đặc trưng của [ak , bk ). Rõ ràng, biểu diễn của một hàm bậc thang trong (1.1) là không duy nhất. Mặt khác, nếu ta giả thiết [ak , bk ) là khoảng rời rạc và số các khoảng được dùng là ít nhất thì biểu diễn là 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương duy nhất. Biểu diễn đó có thể được tìm ra theo con đường sau: Cho f là một hàm bậc thang và a0 , a1 , a2 , . . . , an là tất cả các điểm gián đoạn của f . Nói cách khác, a0 , a1 , . . . , an là các điểm ở đó đồ thị của hàm f có một bước nhảy. Ta có thể giả thiết những điểm được xếp thứ tự nghĩa là, a0 < a1 < a2 < . . . < an . Kí hiệu gk (k = 1, 2 . . . , n) là các hàm đặc trưng của các khoảng [ak−1 , ak ). Khi đó f = α1 g1 + . . . + αn gn , trong đó αk = f (αk−1 ), k = 1, 2, . . . , n. Biểu diễn đó thỏa mãn điều kiện cần tìm. Nó được gọi là biểu diễn cơ sở của hàm bậc thang f Tập tất cả các hàm bậc thang trong R là một không gian vectơ. Giá trị tuyệt đối của một hàm bậc thang là một hàm bậc thang. Nếu f = α1 f1 + . . . + αn fn là biểu diễn cơ sở của hàm bậc thang f , thì |f | = |α1 |f1 + |α2 |f2 + . . . + |αn |fn . Với mọi hàm thực f và g ta có 1 1 min{f, g} = (f + g − |f − g|) và max{f, g} = (f + g + |f − g|). 2 2 Do đó, nếu g và f là hai hàm bậc thang thì min{f, g} và max{f, g} cũng là hàm bậc thang . Định nghĩa 1.1. (Tích phân của hàm bậc thang) Tích phân R f của một hàm bậc thang f (x) = λ1 f1 (x) + . . . + λn fn (x), trong đó fk là hàm đặc trưng của [ak , bk ), k = 1, n, được xác định bởi Z f = λ1 (b1 − a1 ) + . . . + λn (bn − an ). 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Rõ ràng, giá trị R Nguyễn Thị Đương f là bằng tích phân Riemann của f . Từ các tính chất của tích phân Riemann thấy rằng định nghĩa tích phân không phụ thuộc vào biểu diễn riêng. Định lý 1.1. Với mọi hàm bậc thang f và g ta có R R R (a) (f + g) = f + g; R R (b) λf = λ f, (λ ∈ R); R R (c) f ≤ g suy ra f ≤ g; R R (d) | f | ≤ |f |. Chứng minh. Tính chất (a) và (b) có được ngay từ Định nghĩa 1.2. Để R chứng minh (c) đầu tiên chứng tỏ rằng f ≥ 0 suy ra f ≥ 0. Thật vậy, R nếu f = 0 thì f = 0 theo (b). Nếu f ≥ 0 và f không triệt tiêu trên R thì tất cả các hệ số trong biểu diễn cơ sở của f đều dương và do đó R R f > 0. Bây giờ, nếu f ≤ g thì g − f ≥ 0 và do đó (g − f ) ≥ 0, suy ra R R R R ta có f ≤ g, theo (a), (b). Vì f ≤ |f | và −f ≤ |f |, ta có f ≤ |f | R R R R và −f ≤ |f | theo (c), điều này suy ra | f | ≤ |f | theo (b). Định nghĩa 1.2. (Giá của một hàm) Giá của một hàm khác 0, kí hiệu suppf , là tập tất cả các điểm x ∈ R mà f (x) 6= 0 Bổ đề 1.1. Cho f là một hàm bậc thang trong đó giá được chứa trong hợp của các khoảng mở [a1 , b1 ), . . . , [an , bn ). Nếu |f | < M, với hằng số M nào đó thì Z |f | ≤ M n X (bk − ak ). k=1 Bổ đề 1.2. Cho [a1 , b1 ), [a2 , b2 ), . . . là một phân hoạch của một khoảng 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương [a, b) nghĩa là, [a1 , b1 ), [a2 , b2 ), . . . là rời nhau và ∞ [ [an , bn ) = [a, b). (1.2) n=1 Khi đó ∞ X (bn − an ) = b − a. (1.3) n=1 Chứng minh. Nếu c ∈ (a, b] thì [a1 , b1 ) ∩ [a, c), [a2 , b2 ) ∩ [a, c), . . . là một phân hoạch của khoảng [a, c). Kí hiệu S là tập tất cả các điểm c ∈ (a, b] sao cho X (bc,n − an ) = c − a, (1.4) an s, mâu thuẫn với định nghĩa của s. Định lý tiếp theo mô tả một tính chất quan trọng của tích phân của 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương hàm bậc thang. Định lý 1.2. Cho (fn ) là dãy không tăng của các hàm bậc thang không R âm sao cho lim fn (x) = 0 với mọi x ∈ R. Khi đó, lim fn = 0. n→∞ n→∞ R Chứng minh. Vì dãy ( fn ) là không tăng và bị chặn dưới (bởi 0), nó hội tụ. Cho Z lim n→∞ fn = ε. (1.6) Giả sử ε > 0. Cho [a, b) là nửa khoảng chứa giá của f1 (và do đó giá của mọi fn , n = 1, 2, . . .). Cho α = ε 2(b−a) . Với n = 1, 2, . . . ta xác định An = {x ∈ [a, b) : fn (x) < α} và B1 = A1 , Bn = An \An−1 với n ≥ 2. Bn là các tập rời nhau vì An−1 ⊆ An và ∞ S Bn = [a, b) (vì n=1 ∞ S An = [a, b)). n=1 Vì fn là hàm bậc thang, Bn là hợp hữu hạn của các tập rời nhau Bn = [an,1 , bn,1 ) ∪ . . . ∪ [an,k , bn,k ). Các khoảng [a1,1 , b1,1 ), . . . , [a1,k1 , b1,k1 ), . . . [an,1 , bn,1 ), . . . , [an,kn , bn,kn ), . . . thỏa mãn phép lấy tổng của Bổ đề 1.2. Vì vậy kn ∞ X X (bn,k − an,k ) = b − a. n=1 k=1 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương Cho n0 ∈ N sao cho kn ∞ X X (bn,k − an,k ) < δ, (1.7) n=n0 +1 k=1 trong đó δ = ε 2 max |f1 | . Đặt B = B1 ∪ B2 . . . ∪ Bn0 và xác định hai hàm bổ trợ g và h: g(x) =   fn0 (x) với x ∈ B,  0 nếu trái lại, và h(x) =   0 với x ∈ B,  f (x) n0 nếu trái lại. Vì B ⊂ An0 , ta có fn0 (x) < α với x ∈ B. Do đó, g(x) < α với mọi x ∈ B, sao cho Z ε g < α(b − a) = , 2 (1.8) theo Bổ đề 1.1. Làm tương tự như vậy với h, ta nhận được Z h < δ max |fn0 | ≤ δ max |f1 | = ε 2 (1.9) bởi vì (1.7). Vì fn0 = g + h, ta có Z Z fn0 = Z g+ h < ε, theo (1.8), (1.9). Vì dãy (fn ) là không tăng, ta có Z lim n→∞ Z fn ≤ fn0 < ε, mâu thuẫn với (1.6). Bởi vậy ε = 0, định lý được chứng minh. Hệ quả 1.1. Cho (fn ) là dãy các hàm bậc thang không giảm. Nếu 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương lim fn (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R thì lim n→∞ R n→∞ fn ≥ 0. Chứng minh. Các hàm bậc thang max{0, −fn }, n = 1, 2, . . . , tạo thành một dãy không tăng hội tụ tới 0 với mọi x ∈ R. Do đó, ta có Z max{0, −fn } = 0. lim n→∞ Vì fn = max{0, fn } − max{0, −fn } với mọi n ∈ N, ta có Z Z fn = Z max{0, fn } − max{0, −fn }. Bây giờ, cho n → ∞, rõ ràng ta được điều phải chứng minh. 1.2 Hàm khả tích Lebesgue Định nghĩa 1.3. (Hàm khả tích Lebesgue) Một hàm thực f xác định trên R được gọi là khả tích Lebesgue nếu tồn tại một dãy các hàm bậc thang (fn ) sao cho hai điều kiện sau thỏa mãn: ∞ R P (a) |fn | < ∞; n=1 (b) f (x) = ∞ P fn (x) với mọi x ∈ R sao cho n=1 ∞ P |fn (x)| < ∞. n=1 Khi đó, tích phân của f được định nghĩa bởi Z f= ∞ Z X fn . (1.10) n=1 Nếu một hàm f và một dãy các (fn ) thỏa mãn (a) và (b), thì ta viết f' ∞ X fn hoặc f ' f1 + f2 + . . . . n=1 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương Bổ đề 1.3. Nếu f ' f1 + f2 + . . . và f ≥ 0 thì R f1 + R f2 + . . . ≥ 0. Chứng minh. Cho ε > 0 và cho n0 ∈ N sao cho Z ∞ X |fn | < ε, (1.11) n=n0 +1 (n0 tồn tại theo (a) trong Định nghĩa 1.3). Định nghĩa gn = f1 + . . . + fn0 + |fn0 +1 + . . . + |fn0 +n |, với n = 1, 2, . . . Vì (gn ) là dãy các hàm bậc thang không giảm sao cho R lim gn (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R, ta có lim gn ≥ 0 theo Hệ quả 1.1. Do n→∞ n→∞ đó, Z 0≤ f1 + . . . + Z ≤ Z ∞ X Z fn0 + Z f1 + . . . + fn0 + |fn | n=n0 +1 Z ∞ X Z fn +  Z ∞ X |fn | + |fn | n=n0 +1 = ≤ ∞ Z X n=1 ∞ Z X ∞ X Z fn + 2 n=n0 +1 Z |fn | n=n0 +1 fn + 2ε, n=1 bổ đề được chứng minh vì ε là bất kỳ. Hệ quả 1.2. Nếu f ' ∞ P fn và f ' n=1 ∞ P gn , thì n=1 ∞ R P fn = n=1 ∞ R P gn . n=1 Chứng minh. Vì 0 ' f1 − g1 + f2 − g2 + . . .. Theo Bổ đề 1.3, ta có Z Z f1 − Z g1 + Z f2 − 8 g2 + . . . ≥ 0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học và do đó Nguyễn Thị Đương ∞ Z X ∞ Z X fn − n=1 gn ≥ 0, n=1 bởi vì cả hai chuỗi hội tụ tuyệt đối. Tương tự, ta thu được ∞ Z X gn − n=1 ∞ Z X fn ≥ 0 n=1 và vì thế tổng của cả hai chuỗi bằng nhau. Hệ quả 1.2 chỉ ra rằng các hàm bậc thang là khả tích và khi đó tích phân trong Định nghĩa 1.2 và Định nghĩa 1.3 là bằng nhau. Thật vậy, nếu f là một hàm bậc thang thì f ' f + 0 + 0 + . . .. Chứng tỏ rằng mọi hàm khả tích Riemann là hàm khả tích Lebesgue và hai tích phân bằng nhau. Không gian các hàm khả tích Lebesgue trên R được kí hiệu bởi L1 (R). Trong các phần còn lại các hàm khả tích Lebesgue được gọi đơn giản là hàm khả tích. Định lý 1.3. L1 (R) là một không gian vectơ và R là một hàm tuyến tính R R trong L1 (R). Hơn nữa, nếu f, g ∈ L1 (R) và f ≤ g thì f ≤ g. Chứng minh. Nếu f ' ∞ P n=1 fn , g ' ∞ P gn và λ ∈ R thì n=1 f + g ' f1 + g1 + f2 + g2 + . . . và λf = λf1 + λf2 + . . . , 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương và do đó f + g ∈ L1 (R) vàλf ∈ L1 (R). Hơn nữa, Z Z (f + g) = Z f+ Z g và Z λf = λ f. R Nếu f ≤ g thì g − f ≥ 0 và do đó (g − f ) ≥ 0 theo Bổ đề 1.3. Điều R R này suy ra g − f ≥ 0, định lý được chứng minh. 1.3 Giá trị tuyệt đối của một hàm khả tích Định lý 1.4. Nếu f ∈ L1 (R) và f ' f1 + f2 + . . . , thì |f | ∈ L1 (R) và ta có Z  Z ∞ Z X    f  ≤ |f | ≤ |fn |.   n=1 Chứng minh. Cho f ' f1 + f2 + . . . . Đặt ( Z= x∈R: ∞ X ) |fn (x)| < ∞ n=1 và sn = f1 + f2 + . . . + fn với , n = 1, 2, . . . . Khi đó f (x) = lim sn (x) với mọi x ∈ Z. Do đó cũng có n→∞ |f (x)| = lim |sn (x)|, n→∞ hoặc tương đương, |f (x)| = |s1 (x)| + (|s2 (x)| − |s1 (x)|) + (|s3 (x)| − |s2 (x)|) + . . . 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương với mọi x ∈ Z. Nếu ta cho g1 = |s1 | và gn = |sn | − |sn−1 | với n ≥ 2 thì |f (x)| = ∞ X gn (x) n=1 với mọi x ∈ Z. Hơn nữa, vì |gn | = ||sn | − |sn−1 || ≤ |sn − sn−1 | = |fn |, ta có Z ∞ Z X Z |gn | ≤ |fn | và do đó (1.12) |gn | < ∞. n=1 Có vẻ như |f | ' g1 + g2 + . . ., nhưng có thể tồn tại các điểm không thuộc ∞ ∞ P P Z mà chuỗi |gn (x)| hội tụ và ta không thể đảm bảo rằng gn (x) = n=1 n=1 |f (x)| tại điểm đó. Ta có thể tránh các điểm này bằng cách cộng và trừ ∞ P các hằng số của chuỗi fn ; n=1 |f | ' g1 + f1 − f1 + g2 + f2 − f2 + . . . . (1.13) Điều này không làm thay đổi sự hội tụ tại các điểm của Z, nhưng làm chuỗi phân kì tại mọi điểm. Vì Z Z |g1 | + Z |f1 | + Z |f1 | + Z |g2 | + 11 Z |f2 | + |f2 | + . . . < ∞, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương khai triển (1.13) là đúng và do đó |f | là khả tích. Hơn nữa, Z Z |f | = Z Z Z Z Z f 1 + g2 + f 2 − f 2 + . . . Z Z Z Z = g1 + g2 + . . . ≤ |g1 | + |g2 | + . . . Z Z ≤ |f1 | + |f2 | + . . . . g1 + f1 − Cuối cùng, vì f ≤ |f | và −f ≤ |f | ta có R  R và do đó,  f  ≤ |f |. R f≤ R R R |f | và − f ≤ |f |, Hệ quả 1.3. Nếu f, g ∈ L1 (R) thì min{f, g}, max{f, g} ∈ L1 (R). Chứng minh. Vì 1 min{f, g} = (f + g + |f − g|) và 2 1 max{f, g} = (f + g + |f − g|) 2 khẳng định suy ra bởi các Định lý 1.3 và 1.4. 1.4 Chuỗi các hàm khả tích Định nghĩa 1.4. Cho f là hàm thực và cho (fn ) là dãy hàm khả tích. Nếu (a) ∞ R P |fn | < ∞, n=1 (b) f (x) = ∞ P fn (x) với mọi x ∈ R sao cho n=1 thì ta viết f ' f1 + f2 + . . . hoặc f ' ∞ P ∞ P |fn (x)| < ∞, n=1 fn . n=1 Bổ đề 1.4. Nếu f ∈ L1 (R) thì với mọi ε > 0 tồn tại dãy các hàm bậc ∞ R R P thang (fn ) sao cho f ' f1 + f2 + . . . và |fn | ≤ |f | + ε. n=1 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương Chứng minh. Cho f ' g1 + g2 + . . . là một khai triển tùy ý của f trong chuỗi của hàm bậc thang. Khi đó tồn tại n0 ∈ N sao cho Z ∞ X ε |gn | < . 2 n=n0 +1 Xác định và fn = gn0 +n−1 với n ≥ 2. f1 = g1 + . . . + gn0 R Khi đó rõ ràng f ' f1 + f2 + . . . vì |f1 | − R |f | ≤ R f − f1 ' f2 + f3 + . . ., ta được Z Z |f1 | − |f | ≤ ∞ Z X |fn | n=2 và do đó Z |f1 | − ∞ Z X Z |fn | ≤ |f |. n=2 Vì vậy, ∞ Z X Z |fn | = |f1 | + n=1 Z |f1 | − = Z ≤ ∞ Z X n=2 ∞ Z X |fn | |fn | + 2 n=2 ∞ Z X |f | + 2 n=2 ∞ X Z |f | + 2 = n=n0 +1 Z < |f | + ε. 13 ∞ Z X n=2 |fn | Z |gn | |fn | |f1 − f | và