Tài liệu Tích phân hàm nhị phân thức

www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: [email protected] TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC I. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức  Có dạng x m (a  bx n ) p dx với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p  0  Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau. m 1 m 1 Cụ thể xét bộ ba số p; ; p n n TH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n p m 1 s TH 2: Nếu  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx n n r Đặc biệt r - Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bx n s r - Nếu p   Z và p  2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  2 TPTP một lần, khi p  3 s TPTP hai lần, … a  bx n m 1 s TH 3: Nếu  p  Z , p  , r , s  Z  thì ta đặt  tr n r xn Bài tập giải mẫu: TH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n 4 Bài 1: Tính tích phân sau I   1 dx  x 1 x  Giải: 4 1 4 1   Ta có I     x 1  x 2  dx x 1 x 1 1   dx  1  Nhận xét: m  1, n  1 , p  1  Z  q  2 2 Cách 1: Đặt x  t2 x t dx  2tdt www.mathvn.com 1 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  x  4 t  2 Đổi cận   x  1 t  1 Email: [email protected] 2 2 2 2 t dt 1  4 1 Khi đó I  2 2 dt  2   2     2  ln t  ln 1  t   2 ln t 1 t t 1 t  1 3 1 t 1  t  1  1 Cách 2:  x   t  1 2 Đặt 1  x  t   dx  2  t  1 dt  x  4 t  3 Đổi cận   x  1 t  2 3 3  t  1 dt 3 dt 1 4  1 I  2  2  2  dt  2 ln t  1  ln t  2ln     2   2 t  1 t t 1 t  3 2  t  1 t 2  2 2 Khi đó TH 2: Nếu p m 1 s  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx n n r Đặc biệt r  Z ta chỉ được đặt t  a  bx n s r - Nếu p   Z và p  2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  2 TPTP một lần, khi p  3 s TPTP hai lần, … - Nếu p  1 Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau I   x 3 1  x 2 dx 0 Giải: 1 1 Phân tích I   x 3 1  x 2 dx   x 2 1  x 2 .xdx 0 0 1 m 1 Nhận xét: m  3, n  2, p    2 2 n Cách 1:  x2  1  t 2 Đặt t  1  x 2    xdx  tdt x  1 t  0 Đổi cận    x  0 t  1 0 1 2  Khi đó I    t 1  t 1 2  dt   t 1  t  dt   t 0 1 1 2 2 0 2 t 4  1  2 1 dt   t 3  t 5   5  0 15 3 Cách 2: www.mathvn.com 2 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 x2  1  t  2 Đặt t  1  x   dt  xdx    2 x  1 t  0   Đổi cận    x  0 t  1 Email: [email protected] 1 0 1 1 1 1 1 3 3 3  1 2 1 2 1  2 12 2 2 2  2 2 Khi đó I    t 1  t  dt   t 1  t  dt    t  t dt   t  t   21 20 2 0 23 3  15  0 Cách 4: Đặt x  cos t  dx   sin tdt  2  2 0 0 Khi đó I   sin 2 t cos 3 tdt   sin 2 t 1  sin 2 t  cos tdt Cách 4.1. Đặt sin t  u  cos tdt  du Khi đó 1 1  u 3 u5  1 2 I   u 2 (1  u 2 )du    u 2  u 4  du      5  0 15  3 0 0 Cách 4.2.  2 2  2  2  I   sin t 1  sin t d  sin t    0 0    sin 3 t sin 5 t  2 sin t  sin t d  sin t      2 . 5  15  3 0 2 4  Cách 4.3.     12 1 2 1  cos 4t 12 12 I   sin 2 2t costdt   cos tdt   cos tdt    cos 4t cos tdt 40 40 2 80 80 Cách 5: 1 1 1 1 I    x2 1  x 2 d 1  x 2   1  x2  1 1  x 2 d 1  x 2 20 20  1 1   1  x2 20   1 3 2 1 d 1  x   1  x2 20 dt Cách 3: Đặt t  x 2   xdx 2    2   7 Bài 3: Tính tích phân I   0  1 2    d 1  x  2 x 3 dx 3 x2  1 Giải :  x2  t 3  1  Cách 1: Đặt t  x  1   3 2  xdx  t dt  2 3 www.mathvn.com 2 3 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 t  2  x  7 Đổi cận    x  0 t  1 7 Khi đó I   0 www.MATHVN.com Email: [email protected] 3 2 2 2 3  t  1 .t dt 3 3  t 5 t 2  2 93 4      t  t  dt      t 21 2  5 2  1 10 x2  1 2 1 x 2 .xdx 3 Cách 2: x2  t  1  Đặt t  x 2  1   dt  xdx   2 t  8  x  7 Đổi cận   t  1  x  0 2 1 5 2 8 8 1  t  1 dt 1  3  3  13 3 3 3  8 Khi đó I      t  t  dt   t  t  1 21 2 1 25 2 1  3 t 2 x3 x Cách 3: Phân tích x 3  x  x 2  1  x   x  x 2  1 3  3 2 3 2 x 1 x 1 Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần u  x 2 du  2 xdx   2 3 Đặt  3 2 x 1 d  x  1   2 v  x  1 dv  dx      3 2 3 2  4 2 x 1 x 1  4 Bài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân I  x 7 dx x2  9 Giải: Phân tích 4 I x 7 4 dx x2  9   x x 1 2 1 2  9  dx 7 Nhận xét: m  1, n  2, p   1 m 1   0 2 n  x2  t 2  9 Đặt t  x 2  9    xdx  tdt t  5  x  4 Đổi cận   t  4  x  7 4 Khi đó I  x 7 xdx 2 x2  9 5 5 tdt dt 1 t 3 5 1 7   ln  ln 2  2 6 t  3 4 6 4 t ( t  9) t  9 4 4  Cách 2: www.mathvn.com 4 www.MATHVN.com Email: [email protected] Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 x2  t  9  2 Đặt t  x  9   dt  xdx   2 25 1 dt Khi đó I   ... đến đây liệu ta có thể làm được không, có thể đó bằng cách đặt 1 2 16 2 t  9 t 1 u 2  t … bạn đọc giải tiếp nhé u  t2   2udu  dt 1 6 Bài 5: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1  x3  dx 0 Giải: 1 I   x 1  x 5 3 6  1 6 dx   x 3 1  x 3  x 2 dx 0 0 Nhận xét: m  5, n  3, p  6  Z  m 1  0 n Cách 1:  dt 2   x dx Đặt t  1  x   3  x3  1  t  3 x  1 t  0 Đổi cận    x  0 t  1 0 1 1 1 6 1 6 1 6 7 1  t 7 t8  1 Khi đó I    t 1  t dt   t 1  t dt    t  t dt      31 30 30 3  7 8  168 Cách 2: 1 6 1 6 1 6 1 7 I   x5 1  x3  dx   x 2 1  1  x 3   1  x3  dx   x 2 1  x 3  dx   x 2 1  x 3  dx 0 0 0 0 6 7 1 1 1  x    1  x3  d 1  x 3    1  x3  d 1  x3    . 30 3 7 0 1 1 3 7  1 1  x  . 0 3 8 1 3 8  1 0  1 168 2 2 Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau I   x  x  1 dx 0 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần du  2  x  1 dx u   x  12  Đặt   x2 dv  xdx v     2 2 2 2  x 4 x 3  2 34 2 x 2 2 Khi đó I   x  1   x  x  1 dx  6    x 3  x   dx  6      2 0 0 3 0 3  4 0 www.mathvn.com 5 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Cách 2: x  t  1 Đặt t  x  1   dx  dt  x  2 t  3 Đổi cận    x  0 t  1 Khi đó 3 3  t 4 t 3  3 34 2 I    t  1 t dt    t 3  t 2  dt       4 3 1 3 1 1 Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích 2 Ta có x  x  1  x  x 2  2 x  1  x 3  2 x 2  x Email: [email protected] 2  x 4 2 x 3 x 2  2 34 Khi đó I    x3  2 x 2  x  dx       3 2 0 3  4 0 Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 2 3 2 Ta có x  x  1   x  1  1  x  1   x  1   x  1 2 2 2 3 2 2 3 2 Khi đó I    x  1 dx    x  1 dx    x  1 d  x  1    x  1 d  x  1  0 TH 3: Nếu 0 0  x  1 4 0 4   x  1 3 3  34 3 a  bx n m 1 s  p  Z , p  , r , s  Z  thì ta đặt  tr n r xn 2 Bài 7: Tính tích phân sau I   1 dx x 4 1  x2 Giải: Nhận xét: m  2; n  2; p  x2  1 2 1 m 1   p  2  Z nên đặt t 2 n x2 1  2 x  2  t 1 1  x2  Đặt  t2   2 tdt x  xdx   2   t 2  1  5  x  2 t  Đổi cận   2 x  1 t  2  Ta có 2 I 1 dx x4 1  x2 2  1 www.mathvn.com dx x6 1 1 x2 5 2   2 t 2  1 t 3 . 2 tdt t 2  1  t3     t  1 dt    t  3  5 2 2 2 2 5 2 7 5 8 2 24 6 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 1 Bài 8: Tính tích phân sau: I   Email: [email protected] 1 3 3 x  x  x4 1 3 dx . HD: 1 1 1 1  1 3 1 Ta có I    2  1 . 3 dx   x 3  1  x 2  3 dx  x 1 x 1 3 3 1 m 1 Nhận xét: m  3, n  2, p    1 Z 3 n 1 dt dx Đặt t  2  1    3 ….  I  6 bạn đọc tự giải 2 x x 3 Bài 9: Tính tích phân sau I  dx  (1  x 2 )3 3 2 Giải : Ta có m  0; n  2; p  3 m 1   p  1  Z 2 n  1 2  t 2  1  x x 1 2 Đặt t  x2  xdx  tdt (t 2  1) 2  2 x  3  2 3  t  Đổi cận  3 3  x  t  3  2  3 Khi đó I   3 2 3 dt 1 1     2  2 3  2 2 1 t 2 2 2 3 (1  x ) 1  x 2 3 (t  1) . .t 2 .t 2 3 t 2 2 x4. . 3 2 3 3 (t  1) x x 3 xdx 3 tdt Bài tập tự giải: 2 Bài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân I   1 dx x x3  1 HD: Đặt t  x3  1  dt  3x2 2 x3  1 dx  dx x x3  1  4 Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân I  x 7 www.mathvn.com dt t 1 2 dx x2  1  1 7 ln 6 4 7 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 2 Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân I   dx x x2  1 2 Email: [email protected]  12  3 Cách 1: Đặt t  x 2  1  dt  x dx  dx xdx  x2  1 x x2  1 x2 x2  1 1 dx   Cách 2: Đặt t  , t   0;    dt cos t  2 x x2  1 1 1  π C1: Đặt x  với t   0;  hoặc x  cos t sin t  2  dt   dt và t  tanu ,   u  , 2  du . 2 2 t 1 t 1 2 C2: Đặt x 2  1  t C3: Đặt x 2  1  t 1 C4: Đặt x  t C5: Phân tích 1    x 2  1  x 2  1 Bài 4: Tính tích phân I   1 x3 x2  1 dx  0 C1: Đặt x  tan t C2: Phân tích x 3  x  x 2  1  x u  x 2  C3: Đặt  x dx dv  2 x  1  C4: Đặt x  t C5: Phân tích x 3 dx  x 2 xdx   x 2  1  1 d  x 2  1 7 Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân I   0 x3 3 1 x 2 2 dx  x4 Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân I   x5  1 0 141 20 dx 3 Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân I   x 3 x 2  1 dx  1 14 3 5 9 Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân I   x. 3 1  x dx   1 1 468 7 2 2 1 3 Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân I   x x 2  1dx  0 3 Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân I   0 www.mathvn.com x 3  1.x5 dx  848 105 8 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 1 Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân I   x3 . x 2  3dx  0 1 Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân I   x5 1  x 2 dx  0 Email: [email protected] 6 3 8 5 8 105 1 x 1 dx  ln 2 2 2 0 1 x Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân I   1 2 3 32 2 9 0 Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007) Tính tích phân  Bài 14: Tính tích phân I   x 2 2  x 3 dx  3 I dx  x x 2 2 1  1  1  3   3 12 2 3 Bài 16: Tính tích phân I   3 dx x2 x 2  1  2 3  3 2 2 b. Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức  p Mở rộng I   u m  x   a  bu n  x   d u  x   với với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p  0  Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau p m 1 s Nếu  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bu n  x   hoặc t  a  bu n  x  n r r Đặc biệt : Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bu n  x  s Ta xét các thí dụ sau đây ln 5 Thí dụ 1. (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau I   ln 2 e2 x ex  1 dx Lời giải. ln 5 Ta có I   e2 x x ln 5 dx    e x 1  e x   1 2 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với e 1 ln 2 1 m 1 m  n  1, p     2  Z và u  x   e x 2 n x e  t 2  1 x 2 Đặt e  1  t   x e dx  2tdt  x  ln 5 t  2 Đổi cận    x  ln 2 t  1 2 t 2  1 tdt 2 2 20 2 2 Khi đó I  2   2  t 2  1 dt  t 3  2t  1 3 t 3 1 1 1 ln 2  www.mathvn.com    9 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Cách khác: Đặt e x  1  t e Thí dụ 2. (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau I   1 Email: [email protected] 1  3ln x .ln x dx x Lời giải. e e 1 1  3ln x .ln x dx   ln x 1  3ln x  3 d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với x 1 1 1 m 1 m  n  1, p    2  Z và u  x   ln x 2 n  t2 1 ln x   3 Đặt 1  3ln x  t 2    dx  2 tdt  x 3  x  e t  2 Đổi cận   x  1 t  1 2 2 2 t2 1 2 2 2  t 5 t 3  2 116 Khi đó I   t dt   (t 4 t 2 )dt      31 3 91 9  5 3  1 135 Ta có I   Cách khác: t  1  3ln x e ln x. 3 2  ln 2 x dx x 1 Thí dụ 3. (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I   Lời giải. e e 1 ln x. 3 2  ln 2 x dx   ln x 1  ln 2 x  3 d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với x 1 1 1 m 1 m  1, n  2, p    1  Z và u  x   ln x 3 n Ta có I   3 2 ln x t dt  dx 2 x  x  e t  3 3 Đổi cận   x  1 t  3 2 Đặt t 3  2  ln 2 x  3 3 3 3 3 3 3 3 t4 2 Khi đó I   t.t dt   t dt  . 232 2 32 2 4 3 3 3 2  3 3 3 3  23 2 8   Cách khác: Đặt 2  ln 2 x  t e Thí dụ 4. (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau I   1 ln x x  2  ln x  2 dx Lời giải. www.mathvn.com 10 www.MATHVN.com Email: [email protected] Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 e 2 ln x 2 Ta có I   dx   ln x  2  ln x  d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với 2 1 x  2  ln x  1 m 1  2  Z , p  2  Z và u  x   ln x n ln x  t  2  Đặt t  2  ln x   dx  x  dt m  1, n  1,  3 Khi đó I   t  2 t 2 2 3 1 2 dt     2 t 2t 2 3 3 1   dt   ln t    ln  t2 2 3   ln 3 Thí dụ 5. (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau I   0 e x dx e x 3  1 Lời giải. ln 3 Ta có I  ln 3 e x dx  e 0 x  1 3   e x  1  1 3 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với 0 1 m 1   1  Z và u  x   e x 2 n 2 x Đặt t  e  1  2tdt  e x dx  dx  2tdt 2 tdt 12 Khi đó I  2  3  2.  2 1 t t 2 2 m  0, n  1, p   2 Thí dụ 6. Tính tích phân sau I   1 dx x  x3 5 Lời giải. 2 2 dx Ta có I   5   x 3 1  x 2 3 1 x  x 1  x2  Đặt t  x 2  1   dt  2 x  2  t Đổi cận   x  1 t 2 Ta có I   1  5 2  x x 1 5 Khi đó I   2 dt t  t  1 www.mathvn.com 2 dx đây là tích phân nhị thức với m  3, n  2, p  1  Z  xdx 2 2 1  t 1 1 3  dx   1 x x 4 x 2  1 dx 5 1  1 1 1 1 1 t 5 3 1 5      ln  dt     2   ln 2  ln 2 2 2   t  1 t 1 t  2  t 1 t 1  8 2 2   11 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Thí dụ 7. Tìm nguyên hàm: I   Email: [email protected] x 2 dx 39 1  x  Lời giải. Ta có I   x 2 dx 1  x  39   x 2 1  x  39 dx đây là tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  39  Z  m 1  3 Z n Đặt t  1  x  x  1  t  dx   dt Khi đó 2 1  t  dt 1 1 1 1 1 2 1 1 1 I      39 dt  2  38 dt   37 dt     C với t  1  x 39 38 37 38 t 37 t 36 t 36 t t t t  2 sin 2 x.cos x dx 1  cos x 0 Thí dụ 8. (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   Lời giải. Phân tích  2   2 2 sin 2 x.cos x sin x.cos 2 x 1 I dx  2  dx  2  cos 2 x 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tích phân nhị thức 1  cos x 1  cos x 0 0 0 với m  2, n  1, p  1  Z và u  x   cos x dt   sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1   t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 1 Khi đó I  2  2  t  1 t 2 2  t2 1  dt  2   t  2   dt  2   2t  ln t t 2 1  2 2   2 ln 2  1 1 2 Thí dụ 9. (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx 0 Lời giải.  2 2  2 2 Ta có I   sin x cos x 1  cos x  dx    cos x 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tích phân nhị thức với 0 0 m  1, n  1, p  2  Z và u  x   cos x sin xdx   dt Đặt t  1  cos x   cos x  t  1 www.mathvn.com 12 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 Email: [email protected] 1 2  t 4 t 3  2 17 Khi đó I     t  1 t 2 dt    t 3  t 2  dt       4 3  1 12 2 1 Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính như trong lý thuyết  2 Thí dụ 10. (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   0 sin 2 x  sin x 1  3cos x dx Lời giải.  2 Ta có I   0 sin x  2 cos x  1 1  3cos x  2  2 1  2  1 dx    2 cos x 1  3cos x  d  cos x    1  3cos x  2 d  cos x  0 0     I1 I2 Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức u  x   cos x với I1 ta có m  n  1  m 1  2  Z và với I 2 n m 1  1 Z . n Vậy chung qui lại ta có thể  t2 1 cos x   3 Đặt 1  3cos x  t 2   2dt  sin x dx    1  3cos x 3 ta có m  0, n  1    t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 2  4t 2 2  2  2 34  4 Khi đó I      dt   t 3  t   9 9 9  1 27  27 1  2 sin 3 x dx 1  cos x 0 Thí dụ 11. (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   Lời giải.  2  2 3  2 sin 3 x 3sin x  4sin x 1 dx   dx     4cos 2 x  1 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tổng của 1  cos x 1  cos x 0 0 0 Ta có I   hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  1  Z  m 1  3  Z và u  x   cos x nên ta n cos x  t  1 đặt t  1  cos x    dt  sin xdx www.mathvn.com 13 www.MATHVN.com Email: [email protected] Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 2 1 2 4  t  1  1 2 3   Khi đó I    dt    4t   8  dt   2t 2  3ln t  8t   3ln 2  2 1 t t  2 1 Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau e3 Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I  ln 2 x x ln x  1 1 ln 2 Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau I  e  Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I =  x. 1 dx  e 1 ln x dx  1  ln x e Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau I  2x x 0 e dx  x 76 15 2 2 3 42 2 3 3  2 ln x dx  10 2  11 3 1  2 ln x ln x 1 Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau I   dx  (ln 2  1) 2 2 1 x  ln x  1 1 e e Bài 7: Tính tích phân sau I   1 log 32 x 2 dx  x 1  3ln x 4 27 ln 3 2 ln 8 Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau I   ln 8 e x  1.e 2 x dx  ln 3 e ln 5 Bài 9: Tính tích phân sau I   ln 2 x  1 e ex  1  e x  1.e x .e x dx ln 3 x dx  2 sin 4 x 3 dx  2  6 ln 2 4 0 1  cos x Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I    2 3 Bài 11: Tính tích phân sau I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx  0 15 4  2 sin x cos 3 x dx 2 1  cos x 0 Bài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau I    6 sin 3 x  sin 3 3 x 1 1 dx    ln 2 1  cos 3 x 6 3 0 Bài 13: Tính tích phân I   www.mathvn.com 14 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 3 Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau I  dx  xx 0 3  ln Email: [email protected] 6 2 3 Bài 15: Tìm nguyên hàm I   x dx 1 1 3 1 3 1 1 1     C 10 6 7 8 6 ( x  1) 7 ( x  1) 8 ( x  1) 9 ( x  1)9 ( x  1) Góp ý theo địa chỉ Email: [email protected] hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa www.mathvn.com 15