Tài liệu Tích phân của hàm với giá trị trong không gian banach có thứ tự

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Khắc Quỳnh Anh TÍCH PHÂN CỦA HÀM VỚI GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Khắc Quỳnh Anh TÍCH PHÂN CỦA HÀM VỚI GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 3 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất cả thầy cô cũng như các cán bộ của trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi học tập, từ đó có kiến thức, kỹ năng cho bản thân và hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, những người đã truyền đạt cho tôi kiến thức, đặc biệt là kiến thức chuyên ngành Toán giải tích. Những kiến thức này là hành trang lớn nhất và quý báu nhất để tôi có thể tiếp tục hành trình của cuộc đời. Đặc biệt, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy Trần Đình Thanh, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, định hướng, giải đáp thắc mắc, bổ trợ kiến thức, … giúp tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy Nguyễn Bích Huy, thầy đã trực tiếp giảng dạy, hỗ trợ kiến thức chuyên ngành Độ đo và Tích phân, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến. Đây là những kiến thức nền tảng, liên quan trực tiếp đến luận văn của tôi. Gia đình và bạn bè cũng là những nhân tố không thể thiếu giúp tôi hoàn tất công việc. Gia đình tạo cho tôi không gian học tập thật tốt. Bạn bè giúp đỡ, động viên những lúc tôi gặp khó khăn. Xin cảm ơn những người thân yêu! Cuối cùng, tôi xin gởi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc, thành công đến tất cả thầy cô, gia đình và bạn bè. 4 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................3 MỤC LỤC ...................................................................................................................4 MỞ ĐẦU .....................................................................................................................6 CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH ....................................................................................................................8 1.1 Kiến thức mở đầu ..............................................................................................8 1.1.1 σ − đại số, độ đo dương .............................................................................8 1.1.2 Định lý Pettis ..............................................................................................8 1.1.3 Nửa chuẩn ..................................................................................................9 1.1.4 Hàm thực chất bị chặn................................................................................9 1.1.5 Bổ đề Fatou ................................................................................................9 1.1.6 Topo yếu σ ( E , E * ) ..................................................................................10 1.1.7 Nón và thứ tự sinh bởi nón.......................................................................11 1.2 Hàm đo được có giá trị vectơ ..........................................................................12 Bổ đề 1.2.1 ........................................................................................................13 Mệnh đề 1.2.2 ....................................................................................................15 1.3 Tích phân hàm có giá trị vectơ ........................................................................16 1.3.1 Tích phân của hàm vectơ .........................................................................16 1.3.2 Nón và thứ tự sinh bởi nón.......................................................................18 Bổ đề 1.3.1 ........................................................................................................19 Mệnh đề 1.3.2 ....................................................................................................19 Hệ quả 1.3.3 ......................................................................................................21 Mệnh đề 1.3.4 (Định lý hội tụ yếu đơn điệu) ...................................................23 1.4 Tích phân Henstock – Lebesgue (HL – tích phân) .........................................25 1.4.1 K − phân hoạch ........................................................................................25 1.4.2 HL – khả tích ............................................................................................26 1.4.3 Tích phân Henstock – Kurzweil...............................................................27 1.4.4 Ví dụ về hàm HL – khả tích .....................................................................27 1.4.5 Tính chất...................................................................................................29 Bổ đề 1.4.1 ........................................................................................................31 Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Saks – Henstock) ...............................................................32 Mệnh đề 1.4.3 ....................................................................................................32 Mệnh đề 1.4.4 ....................................................................................................32 1.5 Tích phân của đạo hàm các hàm có giá trị vectơ ............................................33 1.5.1 Hàm có biến phân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối ...............................33 Bổ đề 1.5.1 ........................................................................................................35 Định lý 1.5.2 ......................................................................................................35 Hệ quả 1 ............................................................................................................42 Hệ quả 2 ............................................................................................................42 Hệ quả 3 ............................................................................................................43 Hệ quả 4 ............................................................................................................43 1.5.2 Nguyên hàm .............................................................................................45 5 Định lý 1.5.3 ......................................................................................................46 Định lý 1.5.4 ......................................................................................................46 Hệ quả ...............................................................................................................51 CHƯƠNG 2: HL – TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ ................................................................................52 2.1 Các tính chất thứ tự của HL – tích phân .........................................................52 Bổ đề 2.1.1 ........................................................................................................52 Bổ đề 2.1.2 ........................................................................................................56 Mệnh đề 2.1.3 ....................................................................................................59 Mệnh đề 2.1.4 ....................................................................................................60 Mệnh đề 2.1.5 ....................................................................................................61 2.2 Các định lý qua giới hạn .................................................................................62 Định lý 2.2.1 (Định lý hội tụ bị trội cho các hàm HL – khả tích) .....................62 Định lý 2.2.2 (Định lý hội tụ đơn điệu cho các hàm HL – khả tích) ................66 2.3 Không gian định chuẩn có thứ tự các hàm HL – khả tích ..............................67 Bổ đề 2.3.1 ........................................................................................................68 Định lý 2.3.2 ......................................................................................................70 KẾT LUẬN ...............................................................................................................73 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................74 6 MỞ ĐẦU “Tích phân của hàm có giá trị trong không gian Banach có thứ tự” là một đề tài được thực hiện dựa trên ý tưởng mở rộng tự nhiên tích phân của các hàm nhận giá trị trong  lên tích phân của các hàm nhận giá trị trong không gian Banach. Việc trang bị thứ tự cho không gian Banach đã góp phần làm xuất hiện thêm nhiều tính chất giống với tính chất của hàm nhận giá trị trong  , làm bật lên cái hay, tính chặt chẽ của lý thuyết mới được xây dựng với hệ thống các khái niệm, định lý, mệnh đề, hệ quả cho thấy rõ ý tưởng này. Đề tài gồm hai chương. Chương đầu trình bày về hai loại tích phân được xây dựng theo hai cách khác nhau, những tính chất của từng loại và mối liên hệ giữa hai loại tích phân này. Tích phân Bochner có cách xây dựng khá giống với tích phân Lebesgue cho hàm nhận giá trị trong  , cũng bắt đầu bằng định nghĩa hàm bậc thang, hàm đo được và tích phân của chúng. Tích phân Henstock – Lebesgue lại được xây dựng khá giống với tích phân Riemann, thông qua các khái niệm phân hoạch, nhưng vẫn có những nét riêng của nó, bởi đối tượng là các hàm nhận giá trị trong không gian Banach. Trong cả hai loại tích phân này, chúng ta bắt gặp nhiều kết quả gợi nhớ những tính chất đã biết của tích phân các hàm nhận giá trị trong  . Ở chương hai, chúng ta đi vào các định lý lớn với tên gọi khá quen thuộc như định lý hội tụ bị trội, định lý hội tụ đơn điệu nhưng cho các hàm nhận giá trị trong không gian Banach khi không gian này đã được trang bị thứ tự. Bên cạnh đó, chương này còn giới thiệu về không gian định chuẩn có thứ tự các hàm HL – khả tích với định nghĩa chuẩn Alexiewicz, nón và thứ tự sinh bởi nón. Đề tài được tiến hành trên cơ sở chấp nhận một số kiến thức, lý thuyết về tích phân Bochner và tích phân Henstock – Kurweil. Do đó có nhiều bổ đề chỉ được phát biểu, không chứng minh bởi phần chứng minh sử dụng khá nhiều kiến thức vừa đề cập, đòi hỏi phải trình bày lại lý thuyết, làm nặng nề luận văn và không nhằm đúng vào mục tiêu của đề tài. Tuy nhiên, không thể bỏ qua các bổ đề này vì chúng rất cần cho chứng minh các tính chất trong luận văn. 7 Đề tài chủ yếu dựa trên tài liệu tham khảo [1] và [2], còn lý thuyết về tích phân Bochner và tích phân Henstock – Kurweil có thể tham khảo trong tài liệu tham khảo [3]. Bên cạnh đó, chúng ta sẽ thấy việc vận dụng các kiến thức của Giải tích thực, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, … cũng như phương pháp chứng minh của các lĩnh vực này trong luận văn. 8 CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH 1.1 Kiến thức mở đầu 1.1.1 σ − đại số, độ đo dương Định nghĩa 1.1.1.1 Cho Ω là tập hợp ≠ φ ,  ⊂  ( Ω ) được gọi là σ − đại số trên Ω nếu: i. Ω ∈  , nếu A ∈  thì Ac ∈  . ii. , n 1, 2,... ⇒ ∪ An ∈  . An ∈ = ∞ n =1 Khi đó, mỗi phần tử của  được gọi là tập đo được. Định nghĩa 1.1.1.2 Ta gọi một độ đo dương trên  là một hàm µ :  → [ 0; +∞ ] thỏa: i. µ (φ ) = 0 ii. Nếu { An }n =1 ⊂  thỏa An ∩ Am = φ với n ≠ m thì µ  ∪ An  = ∑ µ ( An ) .  n =1  n =1 ∞ ∞ ∞ Khi đó, ta gọi ( Ω,  , µ ) là không gian độ đo. 1.1.2 Định lý Pettis 1.1.2.1 Định nghĩa Cho ( Ω,  , µ ) là không gian độ đo, ( E , . ) là không gian Banach và f : Ω → E là ánh xạ. a) f được gọi là µ − đo được yếu nếu với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục g : E →  (tức g ∈ E * ) thì g  f :Ω →  s  g ( f ( s )) là  − đo được. 9 b) f được gọi là có hữu hạn giá trị nếu f là hàm hằng, khác θ trên hữu hạn các ( ) tập  − đo được, rời nhau Ai với µ ( Ai ) < +∞ và f ( s )= θ , ∀s ∈ Ω \ ∪ Ai . i c) f được gọi là µ − đo được mạnh (hay µ − đo được) nếu tồn tại một dãy các hàm có hữu hạn giá trị, hội tụ mạnh theo từng điểm µ − h.k.n trên Ω tới f . d) f được gọi là có giá trị khả ly nếu f ( Ω ) (miền giá trị) là tập khả ly. e) f được gọi là có giá trị khả ly µ − h.k.n nếu tồn tại tập µ − không Z sao cho f ( Ω \ Z ) khả ly. 1.1.2.2 Định lý Pettis f là µ − đo được mạnh khi và chỉ khi f là µ − đo được yếu và có giá trị khả ly µ − h.k.n. 1.1.3 Nửa chuẩn Cho E là không gian vectơ, một ánh xạ p : E →  được gọi là nửa chuẩn nếu: i. p ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ E . ii. p ( λ x= ) λ ⋅ p ( x ) , ∀x ∈ E , ∀λ ∈  . iii. p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ) , ∀x, y ∈ E . 1.1.4 Hàm thực chất bị chặn Hàm u : Ω → E được gọi là thực chất bị chặn nếu ∃k ∈  : u ( t ) ≤ k h.k.n trên Ω . { } Khi đó, ta định nghĩa essup u ( t ) : t ∈= Ω inf {k ∈  : k thỏa điều kiện trên } . 1.1.5 Bổ đề Fatou Cho ( Ω,  , µ ) là không gian độ đo. Kí hiệu = L+ { f : Ω → [ 0, +∞ ] là hàm  − đo được } Bổ đề: Cho { f n } là một dãy trong L+ . Khi đó ∫ liminf f n ≤ liminf ∫ f n n →∞ n →∞ 10 1.1.6 Topo yếu σ ( E , E * ) Cho ( E, . ) là không gian Banach trên trường  , 1 ≤ p < ∞ , dãy { xn }n ⊂ E , xn  x , x ∈ E Khi đó {x } bị chặn và x ≤ liminf xn . p p n n p n →∞ Chứng minh: Do xn  x nên {x } n bị chặn, do đó n {x } p n n bị chặn. Bây giờ, ta chứng minh x ≤ liminf xn . Thật vậy: p p n →∞ • Bất đẳng thức đúng với x = θ . • Xét trường hợp x ≠ θ : ∀f ∈ E * \ {θ } , xn  x do f ( xn ) →  f ( x ) trong  , nên p f ( xn ) → f ( x )  trong  , do đó lim f ( xn ) = f ( x )  p n →∞ Ta có: f ( xn ) ≤ f ⋅ xn , ∀n ∈ * , ∀f ∈ E * \ {θ } p ⇒ f ( xn ) ≤ f  ⋅ xn , ∀n ∈ * , ∀f ∈ E * \ {θ } p p p ⇒ liminf f ( xn ) ≤ f  ⋅ liminf xn , ∀f ∈ E * \ {θ } p p n →∞ n →∞ p ⇒ f ( x) ≤ f  ⋅ liminf xn , ∀f ∈ E * \ {θ } p p n →∞  f ( x) ⇒  f  p  p xn , ∀f ∈ E * \ {θ }  ≤ liminf n →∞   f ( x) ⇒ sup  f ∈E \{θ }   f * p  xn  ≤ liminf n →∞  p Ta có: f ( x ) ≤ f ⋅ x , ∀f ∈ E * \ {θ } ⇒ f ( x) f ≤ x , ∀f ∈ E * \ {θ } suy ra 11  f ( x) ⇒  f  p  p *  ≤ x , ∀f ∈ E \ {θ }  Do x ≠ θ nên theo một hệ quả của định lý Hahn – Banach, tồn tại g ∈ E * sao cho g = 1 và g ( x ) = x g ( x) ⇒ x= = g Như vậy x p g ( x) g  g ( x) ⇒ x =   g  p  f ( x) = sup  f ∈E \{θ }   f * Khi đó x ≤ liminf xn p       p p p n →∞ 1.1.7 Nón và thứ tự sinh bởi nón Cho ( E , . ) là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón E+ . Khi đó: i) Nếu xn ≤ yn , ∀n ∈ * và xn  x , yn  y thì x ≤ y . ii) Nếu { xn } là dãy tăng và xn  x thì xn ≤ x , ∀n ∈ * Chứng minh: i) Trước hết, ta chứng minh ( yn − xn )  y − x ∀f ∈ E * , ta có f ( yn − xn= ) f ( yn ) − f ( xn ) (do f là ánh xạ tuyến tính) mà lim f ( yn ) = f ( y ) , lim f ( xn ) = f ( x ) (do xn  x , yn  y , f ∈ E * ) n →∞ n →∞ ⇒ lim f ( yn − xn ) = f ( y ) − f ( x ) = f ( y − x ) (do f là ánh xạ tuyến tính) n →∞ Điều này đúng với mọi f ∈ E * nên ( yn − xn )  ( y − x ) Chứng minh x ≤ y : Do xn ≤ yn , ∀n ∈ * nên yn − xn ∈ E+ , ∀n ∈ * mà E+ là tập đóng yếu (do E+ là tập lồi, đóng mạnh), ( yn − xn )  ( y − x ) suy ra y − x ∈ E+ . Do đó x ≤ y .  12 ii) Do { xn }n =1 là dãy tăng nên với mọi n ∈ * , cố định lại, ta có xn ≤ xn + m , ∀m ∈ * , ∞ m →∞ m →∞ mà xn + m  x , xn  xn nên theo i) xn ≤ x . Điều này đúng với mọi n ∈ * .  1.2 Hàm đo được có giá trị vectơ Các khái niệm Cho Ω = (Ω, , µ ) là không gian độ đo, tức: • Ω ≠φ •  là một σ − đại số trên Ω (gồm các tập con đo được của Ω ) • µ :  → [ 0, +∞ ] là độ đo dương ( µ (φ ) = 0 , có tính chất cộng tính đếm được) a) Tập Z ∈  được gọi là µ − không nếu µ ( Z ) = 0 (tập có độ đo không) b) Tính chất P thỏa hầu khắp nơi (h.k.n) trên Ω (hay thỏa với hầu như mọi t ∈ Ω ) nếu tồn tại tập µ − không Z sao cho P thỏa ∀t ∈ Ω \ Z  c) Độ đo µ được gọi là độ đo đủ nếu ∀Z ∈  : µ ( Z ) = 0 thì: ∀F ⊂ Z ⇒ F ∈  , µ ( F ) = 0 (mọi tập con của tập µ − không là tập µ − không). Chú ý: Nếu µ là độ đo, Z ∈  thỏa µ ( Z ) = 0, F ⊂ Z , F ∈ thì µ ( F ) = 0 . (phải có điều kiện F ∈ ). d) Độ đo µ được gọi là độ đo σ − hữu hạn nếu tồn tại họ { An }n=1 ⊂  thỏa ∞ ∞ Ω = ∪ An và µ ( An ) < +∞, ∀n ∈ * . n =1 (Tập Ω có thể biểu diễn dưới dạng hợp đếm được của các tập có độ đo hữu hạn) Định nghĩa 13 Cho Ω = (Ω, , µ ) là không gian độ đo và E = ( E ,  .  ) là không gian Banach. Hàm u : Ω → E được gọi là µ − đo được nếu u là giới hạn theo từng điểm h.k.n của một n 1 khi t ∈ Ai dãy các hàm bậc thang có dạng t  ∑ χ A (t ) ⋅ ui trong đó χ A (t ) =  i =1 0 khi t ∉ Ai i i (hàm đặc trưng của Ai ), Ai ∈ , µ ( Ai ) < +∞, ui ∈ E , ∀i = 1; n . hay: Hàm u : Ω → E được gọi là µ − đo được nếu tồn tại tập µ − không Z ∈  và dãy hàm { f n }n =1 với ∞ fn : Ω → E kn t  ∑ χ A (t ) ⋅ uin i =1 n i trong đó kn ∈ * , Ain ∈ , µ ( Ain ) < +∞, uin ∈ E ,= ∀i 1; kn , ∀n ∈ * thỏa: lim f= u (t ), ∀t ∈ Ω \ Z hay lim f n (t ) − u (t )= 0, ∀t ∈ Ω \ Z . n (t ) n →∞ n →∞ Nhận xét Nếu hàm u : Ω → E là hàm bậc thang có dạng = u (t ) n ∑χ i =1 Ai (t ) ⋅ ui trong đó n ∈ * , Ai ∈  , µ ( Ai ) < +∞, ui ∈ E , ∀i = 1, n thì u là µ − đo được. Chứng minh: Thật vậy, chọn dãy hàm { f k }k =1 ∞ xác định bởi f k = u , ∀k ∈ * . Khi đó hàm u thỏa định nghĩa về hàm µ − đo được nên u là µ − đo được. Bổ đề 1.2.1  Cho dãy hàm un : Ω → E là µ − đo được, ∀n ∈ * thỏa un ( t ) hội tụ yếu tới u ( t ) (kí hiệu là un ( t )  u ( t ) ) h.k.n trên Ω . Khi đó, u là µ − đo được. Chứng minh: i. Chứng minh u là µ − đo được yếu: 14 Do un ( t )  u ( t ) h.k.n trên Ω nên tồn tại tập µ − không Z sao cho un ( t )  u ( t ) , ∀t ∈ Ω \ Z . Như vậy hàm u xác định trên Ω \ Z và nhận giá trị trong E . Lấy tùy ý ánh xạ tuyến tính, liên tục f : E →  . Ta chứng minh f  u là hàm  − đo được. ∀n ∈ * , un : Ω → E là µ − đo được nên theo định lý Pettis (xem ở phụ lục), un : Ω → E là µ − đo được yếu, mà f ∈ E * ( E * là không gian các ánh xạ tuyến tính, liên tục xác định trên E và nhận giá trị trong  ), suy ra f  un : Ω →  là hàm  − đo được. Với mọi t ∈Ω \ Z , do un ( t )  u ( t ) trong E và f ∈ E* nên lim f ( un ( t ) ) = f ( u ( t ) ) trong  . n →∞ Như vậy lim ( f  un )( t ) = ( f  u )( t ) , ∀t ∈ Ω \ Z (1.1) n →∞ Hàm f  un : Ω →  là  − đo được, ∀n ∈ * Suy ra f  un : Ω \ Z →  là  − đo được , ∀n ∈ * (1.2) (do Z ∈  nên Ω \ Z ∈  ) Từ (1.1), (1.2) ta được f  u : Ω \ Z →  là  − đo được. Điều này đúng với mọi f ∈ E * . Do đó u là µ − đo được yếu. ii. Chứng minh u có giá trị khả ly h.k.n: Với mọi n ∈ * , cố định lại. Do un : Ω → E là µ − đo được nên có giá trị khả ly h.k.n, suy ra tồn tại tập µ − không 0 < µ ( A ) < ∞ sao cho un ( Ω \ Z n ) khả ly. ∞ Đặt M = ∪ Z n ∪ Z thì M là tập µ − không (do Z n , Z là các tập µ − không, n =1 ∀n ∈ * ). ∞ Đặt D = co  ∪ un ( Ω \ M )  thì D khả ly. Thật vậy: Do un ( Ω \ Z n ) khả ly,  n =1  (Ω \ M ) ⊂ (Ω \ Zn ) , ∞ ∀n ∈ * nên un ( Ω \ M ) khả ly, ∀n ∈ * . Do đó ∪ un ( Ω \ M ) khả ly, suy ra D khả ly. n =1 15 Ngoài ra, D là tập đóng yếu (do D là tập lồi, đóng mạnh trong không gian Banach E ). Do un ( t )  u ( t ) , ∀t ∈ Ω \ Z và ( Ω \ M ) ⊂ ( Ω \ Z ) nên un ( t )  u ( t ) , ∀t ∈ Ω \ M ∞ Mà {un ( t ) : t ∈ Ω \ M , n ∈ *} ⊂ ∪ un ( Ω \ M ) ⊂ D , D đóng yếu n =1 Suy ra u ( t ) ∈ D , ∀t ∈ Ω \ M hay u ( Ω \ M ) ⊂ D . Do D khả ly nên u ( Ω \ M ) khả ly. Vậy u có giá trị khả ly h.k.n. Từ i) và ii) suy ra u là µ − đo được.  Định nghĩa Cho E và V là các không gian Banach. Hàm g : V → E được gọi là demi continuous nếu: với mọi dãy { xn }n ⊂ V thỏa xn → x trong V suy ra g ( xn )  g ( x ) trong E . Mệnh đề 1.2.2 Cho E và V là các không gian Banach, hàm u : Ω → V là µ − đo được và hàm g : V → E là demi - continuous. Khi đó, g  u : Ω → E là µ − đo được. Chứng minh: Do u : Ω → V là µ − đo được nên tồn tại một dãy các hàm bậc thang {un }n có dạng un ( t ) = ∑ χ A ( t ) uin với kn ∈ * , Ain ∈  , µ ( Ain ) < +∞, uin ∈ V , ∀i = 1; kn sao cho kn i =1 n i lim un ( t ) = u ( t ) (hội tụ theo . trong V ) h.k.n trên Ω . n →∞ Mà g : V → E là demi – continuous nên g ( un ( t ) )  g ( u ( t ) ) h.k.n trên Ω . Như vậy g  un ( t )  g  u ( t ) h.k.n trên Ω . (1.3) Với mọi n ∈ * , cố định lại, từ dạng của hàm un và g là ánh xạ nên g  un là hàm bậc thang có dạng g  un ( t ) = ∑ χ B ( t ) vin trong đó mn ∈ * , Bin ∈  , µ ( Bin ) < +∞ mn i =1 n i 16 ( Bin bằng hợp của hữu hạn phần tử trong họ {A } n j kn j =1 ), vin ∈ E , ∀i =1; mn , do đó g  un là µ − đo được. Như vậy, g  un là µ − đo được, ∀n ∈ * . (1.4) Từ (1.3), (1.4) và bổ đề 1.2.1 ta được g  u là µ − đo được.  1.3 Tích phân hàm có giá trị vectơ 1.3.1 Tích phân của hàm vectơ a) Tích phân của hàm bậc thang: Cho hàm bậc thang u:Ω → E n t  ∑ χ A ( t ) ⋅ ui i i =1 trong đó n ∈ * , Ai ∈  , µ ( Ai ) < +∞, ui ∈ E , ∀i = 1, n Khi đó, tích phân của u trên Ω được xác định bởi: )dµ (s) ∫ u ( s= Ω n ∑ µ ( A )⋅u i i =1 i b) Tích phân của hàm µ − khả tích: Cho hàm u : Ω → E là µ − khả tích. Khi đó u là µ − đo được nên tồn tại dãy un ( t ) = u ( t ) h.k.n trên Ω . {un }n=1 các hàm bậc thang sao cho lim n →∞ ∞ Khi đó, ta định nghĩa: ∫ u ( s ) d µ ( s ) = lim ∫ u ( s ) d µ ( s ) Ω n →∞ n Ω c) Tính chất của tích phân: i. Hàm µ − đo được u : Ω → E là µ − khả tích khi và chỉ khi hàm u : Ω →  định bởi t  u ( t ) là µ − khả tích (khả tích theo Lebesgue). ii. ∫ u (s) dµ (s) ≤ ∫ u (s) dµ (s) Ω Ω 17 ∫ u ( s ) d µ ( s ) = ∫ χ ( s ) u ( s ) d µ ( s ) , ∀A ∈  iii. A Ω A iv. Cho ( E , . ) là không gian Banach, ( Ω,  , µ ) là không gian độ đo. Hàm u : Ω → E là µ − khả tích và hàm f ∈ E * . Khi đó:   f  ∫ u ( t ) d µ ( t )  = ∫ ( f  u )( t ) d µ ( t ) Ω  Ω Chứng minh: Bước 1: Ta chứng minh cho trường hợp u là hàm bậc thang có dạng u (t ) = n ∑χ i =1 Ai (t ) ⋅ ui , ∀t ∈ Ω trong đó n ∈ * , Ai ∈  , µ ( Ai ) < +∞, ui ∈ E , ∀i = 1, n Ta có: ) d µ (t ) ∫ u ( t= Ω n ∑ µ ( A )⋅u i =1 i i    n  n ⇒ f  ∫ u ( t ) d µ (= t )  f  ∑ µ ( Ai ) ⋅= ui  ∑ µ ( Ai ) ⋅ f ( ui ) (do f là ánh xạ tuyến =  i 1=  i1 Ω  tính)  n  n Mặt khác ( f  u )( = t ) f  ∑ χ A (t ) ⋅= ui  ∑ χ A (t ) ⋅ f ( ui ) , ∀t ∈ Ω (do f là ánh xạ =  i 1=  i1 i i tuyến tính) ⇒ ∫ ( f  u )( t ) d µ ( t = ) Ω n ∑ µ ( A ) ⋅ f ( u =) i =1 i i   f  ∫ u (t ) d µ (t )  Ω  Bước 2: Ta chứng minh cho trường hợp u là hàm µ − khả tích tổng quát. Do u là µ − khả tích nên tồn tại dãy các hàm bậc thang {un }n có dạng ở bước 1 sao cho lim un ( t ) = u ( t ) h.k.n trên Ω và lim ∫ un ( t ) d µ ( t ) = ∫ u ( t ) d µ ( t ) n →∞ n →∞ Ω Ω 18     ⇒ f  ∫ u (t ) d µ (t )  = lim f  ∫ un ( t ) d µ ( t )  (do f liên tục) Ω  n→∞  Ω  = lim ∫ ( f  un )( t ) d µ ( t ) (do bước 1) n →∞ Mặt khác Ω lim un ( t ) = u ( t ) n →∞ h.k.n trên Ω lim ( f  un )( t ) = ( f  u )( t ) h.k.n trên Ω , ngoài ra n →∞ và { f  u n }n f liên tục nên là dãy các hàm bậc thang có dạng ở bước 1, suy ra   = = f  un )( t ) d µ ( t ) f  ∫ u ( t ) d µ ( t )  ( ∫Ω ( f  u )( t ) d µ ( t ) lim ∫ n →∞ Ω Ω  Ta được điều phải chứng minh.  1.3.2 Nón và thứ tự sinh bởi nón a) Cho ( E , . ) là không gian định chuẩn. Tập E+ ⊂ E được gọi là nón nếu: i. E+ là tập con đóng. ii. E+ + E+ ⊂ E+ và cE+ ⊂ E+ , ∀c ≥ 0 . iii. E+ ∩ ( − E+ ) ={θ } b) Nếu E+ là nón thì thứ tự trong E sinh bởi E+ được xác định bởi ∀x, y ∈ E , x ≤ y ⇔ y − x ∈ E+ Như vậy, E+ = { x ∈ E : θ ≤ x} . Không gian E được trang bị thứ tự sinh bởi nón được gọi là không gian định chuẩn có thứ tự. c) Đoạn có thứ tự n ∑ u (ξ ) ⋅ I i =1 i i − K ∫ u ( s ) ds ≤ ε là một tập con đóng của Ii E , ∀y, z ∈ E . Một dãy hoặc một tập con của E được gọi là bị chặn theo thứ tự nếu nó được chứa trong một đoạn có thứ tự [ y; z ] nào đó của E . d) Nón E+ được gọi là nón chuẩn nếu ∃λ > 0 : ∀x, y ∈ E , θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ λ ⋅ y 19 Nón E+ được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên theo thứ tự của E+ thì hội tụ. Nón E+ được gọi là hoàn toàn chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn theo chuẩn của E+ thì hội tụ. Bổ đề 1.3.1 Cho ( E , . ) là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón E+ . i. Nếu E+ là nón hoàn toàn chính quy thì E+ là nón chính quy. ii. Nếu E+ là nón chính quy thì E+ là nón chuẩn. Mệnh đề 1.3.2 Cho ( E , . ) là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón E+ và ( Ω,  , µ ) là không gian độ đo. Hàm u : Ω → E là µ − khả tích thỏa u ( t ) ≥ θ (hay u ( t ) ∈ E+ ) h.k.n trên Ω , các tập A, B ∈  thỏa A ⊂ B . Khi đó: θ ≤ ∫ u (t ) d µ (t ) ≤ ∫ u (t ) d µ (t ) A B Chứng minh: Bước 1: Chứng minh ∫ u (t ) d µ (t ) ≥ θ A hay ∫ u (t ) d µ (t ) ∈ E + A i) Nếu µ ( A ) = 0 thì ∫ u ( t ) d µ ( t )= θ ∈ E+ . A ii) Nếu 0 < µ ( A ) < +∞ : 1 Giả sử vectơ x0 = ⋅ ∫ u ( t ) d µ ( t ) ∉ E+ µ ( A) A Khi đó do E+ là tập đóng và lồi nên tồn tại f ∈ E * và c ∈  thỏa: f ( x ) ≥ c , ∀x ∈ E+ và f ( x0 ) < c Thật vậy: Xét E+ và { x0 } , ta có: • E+ và { x0 } là 2 tập lồi, khác φ . (1.5) 20 • E+ đóng và { x0 } là tập compact. • E+ ∩ { x0 } = φ Do đó, theo định lý tách tập lồi, ∃f ∈ E * : sup f ( x ) < inf f ( x ) x∈E+ x∈{ x0 } ⇒ f ( x0 ) < inf f ( x ) x∈E+ ⇒ ∃c ∈  : f ( x0 ) < c < inf f ( x ) (tính trù mật của  ) x∈E+ ⇒ f ( x0 ) < c và c < f ( x ) , ∀x ∈ E+ .   Ta có f  ∫ u ( t ) d µ ( t ) = f ( µ ( A ) ⋅ x0 )= µ ( A ) ⋅ f ( x0 ) A  (do f là ánh xạ tuyến tính, µ ( A ) ∈  )   Do đó f  ∫ u ( t ) d µ ( t )  < µ ( A ) ⋅ c (do (1.5) và µ ( A ) > 0 ) A  (1.6) Do u ( t ) ∈ E+ h.k.n trên Ω nên theo (1.5), = f  u ( t ) f ( u ( t ) ) ≥ c h.k.n trên Ω , mà A ⊂ Ω , µ ( A ) ≠ 0 nên ( f  u )( t ) ≥ c h.k.n trên A , kết hợp với giả thiết f ∈ E * ta được:   f  ∫ u ( t ) d µ ( t )  =∫ f  u ( t ) d µ ( t ) ≥ ∫ c ⋅ d µ ( t ) =c ⋅ µ ( A ) , A A  A điều này mâu thuẫn (1.6). Vậy x0 ∈ E+ . Do đó ∫ u ( t ) d µ ( t= ) µ ( A) ⋅ x0 ∈ E+ (do E+ là nón, µ ( A) > 0 ) A iii) Nếu µ ( A ) = +∞ thì tồn tại { An }n ⊂  thỏa µ ( An ) < +∞ , ∀n ∈ * và: ∫ u (t ) d µ (t ) − ∫ u (t ) d µ (t ) A An < 1 , ∀n ∈ * n hay lim ∫ u ( t ) d µ ( t ) = ∫ u ( t ) d µ ( t ) n →∞ An A