Mời quý thầy cô mua trọn bộ trắc nghiệm 12
BẢN MỚI NHẤT 2017
Liên hệ HUỲNH ĐỨC KHÁNH 0975.120.189
https://www.facebook.com/duckhanh0205
Baøi 03
TÍCH PHAÂN
1. Định nghĩa
Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Giả sử
F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì hiệu số
F (b )− F (a )
được gọi là tích phân của f ( x ) từ a đến b và kí hiệu là
b
∫
b
f ( x ) dx = F ( x ) a = F (b )− F (a ) .
a
2. Tính chất
a
Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là
∫
f ( x ) dx = 0 .
a
b
a
∫
Đổi cận thì đổi dấu, tức là
f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx .
a
b
Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là
b
∫
b
kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k là hằng số).
a
a
Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân, tức là
b
∫
b
b
f ( x ) ± g ( x ) dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx .
∫
∫
a
a
a
b
c
b
Tách đôi tích phân, tức là ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
a
a
c
b
Chú ý: Tích phân
∫
f ( x ) dx chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không
a
b
phụ thuộc vào biến số x , tức là
∫
a
b
f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt .
a
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
Câu 1. Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và các số thực a < b < c . Mệnh đề nào sau
đây sai?
A.
c
b
c
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . B.
∫
b
∫
a
C.
a
b
a
b
a
c
b
b
a
c
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . D.
∫
a
c
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx .
a
b
b
∫ c . f ( x ) dx = c ∫
a
f ( x ) dx .
a
Câu 1. Chọn C.
Câu 2. Cho f ( x ), g ( x ) là hai hàm số liên tục trên ℝ và các số thực a, b, c . Mệnh đề
nào sau đây sai?
A.
b
b
f ( x ) dx = ∫ f ( y ) dy.
∫
a
B.
a
b
b
a
∫
a
C.
b
a
f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx .
∫
∫
a
f ( x ) dx = 0.
∫
a
b
D.
b
a
∫
b
a
f ( x ). g ( x ) dx = f ( x ) dx . g ( x ) dx .
∫
∫
a
Câu 2. Chọn D.
Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
1
∫ dx = 1 .
−1
B.
b
∫
b
b
f 1 ( x ). f 2 ( x ) dx = ∫ f 1 ( x ) dx .∫ f 2 ( x ) dx .
a
a
a
C. Nếu f ( x ) liên tục và không âm trên đoạn [ a; b ] thì
b
∫
f ( x ) dx ≥ 0 .
a
D.
b
∫ k.dx = k (a − b ), ∀k ∈ ℝ .
a
Câu 3. Ta có
1
∫ dx = x
−1
1
= 2. Do đó A sai.
−1
Theo tính chất tích phân thì B sai (vì không có tính chất này).
Xét đáp án C. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên đoạn [ a; b ] .
Suy ra F / ( x ) = f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] .
b
● F / ( x ) = 0, ∀x ∈ [ a; b ] , suy ra F ( x ) là hàm hằng nên
∫
b
f ( x ) dx = F ( x ) a = 0.
a
● F / ( x ) > 0, ∀x ∈ [a; b ] , suy ra F ( x ) đồng biến trên đoạn [ a; b ] nên F (b ) > F (a ) .
b
Do đó
∫
a
f ( x ) dx = F ( x ) a = F (b ) − F (a ) > 0 . Do đó C đúng. Chọn C.
b
b
b
∫ k.dx = k.∫ dx = k.x
Ta có
a
a
b
= k (b − a ) D sai.
→
a
Câu 4. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
5
∫
2
f ( x ) dx = 10 . Tính I = ∫ 2 − 4 f ( x ) dx .
2
A. I = 32.
5
B. I = 34.
C. I = 36.
2
2
5
5
D. I = 40.
2
5
Câu 4. Ta có I = ∫ 2 − 4 f ( x ) dx = 2 ∫ dx − 4 ∫ f ( x ) dx
2
= 2x
5
5
+ 4 ∫ f ( x ) dx = 2.(2 − 5) + 4.10 = 34 . Chọn B.
2
Câu 5. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
3
∫
3
f ( x ) dx = 2016 và
1
∫
f ( x ) dx = 2017.
4
4
Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx .
1
A. I = 4023.
B. I = 1.
C. I = −1.
4
3
1
1
D. I = 0.
4
3
Câu 5. Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
3
3
1
4
= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 2016 − 2017 = −1 . Chọn C.
Câu 6. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
2
∫
4
f ( x ) dx = 1 và
1
f ( t ) d t = −3 .
∫
1
4
Tính tích phân I = ∫ f (u ) du.
2
A. I = −2 .
Câu 6. Ta có
B. I = −4 .
2
∫
C. I = 4.
2
f (u ) du = ∫ f ( x ) dx = 1 và
1
1
4
D. I = 2.
4
∫
4
f (u ) du = ∫ f (t ) dt = −3 .
1
1
1
4
2
4
Suy ra I = ∫ f (u ) du = ∫ f (u ) du + ∫ f (u ) du = −∫ f (u ) du + ∫ f (u ) du = −1 − 3 = −4.
2
2
1
1
1
Chọn B.
Câu 7. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
6
∫
6
f ( x ) dx = 4 và
0
∫
f ( x ) d t = −3 .
2
2
Tính tích phân I = ∫ f (v ) − 3 dv.
0
A. I = 1.
B. I = 2.
C. I = 4.
2
2
0
0
Câu 7. Ta có I = ∫ f (v ) − 3 dv = ∫ f (v ) dv − 3v
2
Mà
∫
2
6
0
D. I = 3.
2
= ∫ f (v ) dv − 6.
0
6
6
f (v ) dv = ∫ f (v ) dv + ∫ f (v ) dv − ∫ f (v ) dv = ∫ f (v ) dv − ∫ f (v ) dv
0
6
6
2
0
2
2
0
2
6
= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 4 − (−3) = 7.
0
2
Vậy I = 7 − 6 = 1 . Chọn A.
Câu 8. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
10
∫
0
6
f ( x ) dx = 7 và
∫
2
f ( x ) dx = 3.
2
10
Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
0
A. I = 10.
6
B. I = 4.
C. I = 7.
D. I = −4.
2
10
2
6
10
6
0
6
0
2
6
2
Câu 8. Ta có I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
10
6
0
2
= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 7 − 3 = 4. Chọn B.
Câu 9. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
d
∫
d
f ( x ) dx = 10,
a
∫
c
f ( x ) dx = 8 và
b
∫
f ( x ) dx = 7 .
a
c
Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx .
b
A. I = −5 .
B. I = 7.
c
C. I = 5.
D. I = −7 .
d
a
c
b
d
a
Câu 9. Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
b
d
d
c
b
a
a
= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 8 −10 + 7 = 5. Chọn C.
Câu 10. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
3
∫
4
f ( x ) dx = −2,
∫
1
4
f ( x ) dx = 3 và
1
∫ g ( x ) dx = 7 .
1
Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
4
∫
4
B.
f ( x ) + g ( x ) dx = 10.
∫
1
C.
3
∫
4
D.
f ( x ) dx = −5.
∫ 4 f ( x )− 2 g ( x ) dx = −2.
4
1
4
4
1
Câu 10. Ta có
1
∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫
4
Ta có
∫
f ( x ) dx = 1.
3
1
4
f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 3 + 7 = 10 . Do đó A đúng.
1
4
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
3
3
3
1
4
= −∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −(−2) + 3 = 5 . Do đó B sai, C đúng. Chọn B.
1
1
4
Ta có
∫
4
4
4 f ( x ) − 2 g ( x ) dx = 4 f ( x ) dx − 2 g ( x ) dx = 4.3 − 2.7 = −2 . Do đó D đúng.
∫
∫
1
1
Câu 11. Cho hàm số f ( x ) thỏa
1
2
∫
3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx = 1 và
1
2
∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = −3 .
1
2
Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx .
1
A. I = 1.
5
C. I = − .
7
B. I = 2.
Câu 11. Ta có
2
∫
1
2
2
3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx = 1← 3 f ( x ) dx + 2 g ( x ) dx = 1.
→ ∫
∫
1
1
2
2
1
1
→
∫ 2 f ( x )− g ( x ) dx = −3 ← 2 ∫
2
f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = −3.
1
1
D. I = .
2
2
Đặt
∫
2
f ( x ) dx = u và
1
∫
1
u = − 5
3u + 2v = 1
7
⇔
.
g ( x ) dx = v , ta có hệ phương trình
2u − v = −3
11
v =
7
2
5
Vậy I = ∫ f ( x ) dx = u = − . Chọn C.
7
1
Câu 12. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục
2
trên đoạn [1;2 ] và thỏa mãn f (1) = 1, f (2) = 2. Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx .
1
A. I = 1.
B. I = −1.
7
D. I = ⋅
2
C. I = 3.
2
2
Câu 12. Ta có I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f (2) − f (1) = 1. Chọn A.
1
1
Câu 13. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn f (0) = 1. Kí hiệu
x
I = ∫ f ' (t ) dt . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
0
A. I = f ( x ) + 1.
B. I = f ( x ).
x
C. I = f ( x + 1).
D. I = f ( x ) −1.
x
Câu 13. Ta có I = ∫ f ' (t ) dt = f (t ) = f ( x ) − f (0) = f ( x ) −1. Chọn D.
0
0
Câu 14. Cho hàm số f ( x ) = ln x + x 2 + 1 . Tính tích phân
1
∫
f ′ ( x ) dx .
0
A.
1
∫
B.
f ′ ( x ) dx = ln 2.
0
C.
∫
f ′ ( x ) dx = ln 1 + 2 .
0
1
∫
1
D.
f ′ ( x ) dx = 1 + ln 2.
0
1
∫
f ′ ( x ) dx = 2 ln 2.
0
Câu 14. Ta có
1
f ′ ( x ) dx = f ( x )
∫
0
0
1
= ln x + x 2 + 1
1
(
)
= ln 1 + 12 + 1 − ln 0 + 02 + 1 = ln 1 + 2 . Chọn B.
0
Câu 15. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn
4
f (1) = 12 ,
∫
f ' ( x ) dx = 17. Tính giá trị của f (4 ).
1
A. f ( 4 ) = 29.
Câu 15. Ta có
B. f (4 ) = 5.
4
∫
C. f (4 ) = 9.
D. f ( 4 ) = 19.
4
f ' ( x ) dx = f ( x ) = f ( 4 ) − f (1).
1
1
4
Theo giả thiết
∫
f ' ( x ) dx = 17 ⇔ f (4 ) − f (1) = 17 f (4 ) = 17 + f (1) = 17 + 12 = 29.
→
1
Chọn A.
Câu 16. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;ln 3] và thỏa mãn
ln 3
f (1) = e 2 ,
∫
f ' ( x ) dx = 9 − e 2 . Tính giá trị của f ( ln 3).
1
A. f ( ln 3) = 9 − 2e 2 .
B. f ( ln 3) = 9.
C. f ( ln 3) = −9.
Câu 16. Ta có
D. f (ln 3) = 2e 2 − 9.
ln 3
∫
f ' ( x ) dx = f ( x )
ln 3
= f ( ln 3) − f (1).
1
1
ln 3
Theo giả thiết
∫
f ' ( x ) dx = 9 − e 2 ⇔ f (ln 3) − f (1) = 9 − e 2
1
f (ln 3) = 9 − e 2 + f (1) = 9 − e 2 + e 2 = 9. Chọn B.
→
Câu 17. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;3] và thỏa mãn f (1) = 1 ,
3
f (3) = m. Tìm tham số thực m để
∫
f ′ ( x ) dx = 5.
1
A. m = 6.
Câu 17. Ta có
B. m = 5.
3
∫
Theo giả thiết
∫
D. m = −4.
f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f (3) − f (1).
1
1
3
C. m = 4.
3
f ′ ( x ) dx = 5 ⇔ f (3) − f (1) = 5 ⇔ m −1 = 5 ⇔ m = 6. Chọn A.
1
x
π
Câu 18. Cho hàm số g ( x ) = ∫ t cos ( x − t ) dt. Tính g ' .
2
0
π
π
π
A. g ' = −1.
B. g ' = 1.
C. g ' = 0.
2
2
2
u = t
du = dt
.
Câu 18. Đặt
→
dv = cos ( x − t ) dt
v = − sin ( x − t )
π
D. g ' = 2.
2
x
x
x
x
0
0
Khi đó g ( x ) = −t sin ( x − t ) + ∫ sin ( x − t ) dt = −t sin ( x − t ) + cos ( x − t ) = 1 − cos x.
0
0
π
π
Suy ra g ' ( x ) = sin x g ' = sin = 1. Chọn B.
→
2
2
x2
Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số F ( x ) = ∫ cos t dt với x > 0.
0
A. F ' ( x ) = x cos x .
B. F ' ( x ) = 2 x cos x .
C. F ' ( x ) = cos x .
D. F ' ( x ) = cos x −1.
2
t = 0 → y = 0
Câu 19. Đặt y = t ⇒ y 2 = t 2 ydy = dt. Đổi cận:
→
.
t = x 2 → y = x
x
u = 2 y
du = 2dy
→
.
Khi đó F ( x ) = ∫ cos y.2 ydy . Đặt
dv = cos ydy
v = sin y
0
Suy ra F ( x ) = 2 y sin y
x
0
x
− 2 ∫ sin ydy = 2 y sin y
0
x
+ 2 cos y
0
x
= 2 x sin x + 2 cos x − 2
0
F ' ( x ) = 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x = 2 x cos x . Chọn B.
→
x
Câu 20. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số F ( x ) = ∫ (t 2 + t ) dt trên đoạn [−1;1] .
1
1
A. m = .
6
B. m = 2.
5
C. m = − .
6
x
x
t3 t 2
x3 x2 5
Câu 20. Ta có F ( x ) = ∫ (t 2 + t ) dt = + =
+ − .
3 2
3
2 6
1
1
Xét hàm số F ( x ) =
x3 x2 5
+ − trên đoạn [−1;1] .
3
2 6
5
D. m = .
6
x = 0 ∈ [−1;1]
Đạo hàm F ' ( x ) = x 2 + x F ' ( x ) = 0 ⇔
→
.
x = −1 ∈ [−1;1]
F (−1) = − 2
3
5
5
Ta có F (0) = −
min F ( x ) = F (0) = − . Chọn C.
→
[−1;1]
6
6
F (1) = 0
x
Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số F ( x ) = ∫ 1 + t 2 dt .
1
x
A. F / ( x ) =
1+ x 2
1
C. F / ( x ) =
1+ x 2
.
B. F / ( x ) = 1 + x 2 .
.
D. F / ( x ) = ( x 2 + 1) 1 + x 2 .
Câu 21. Gọi H (t ) là một nguyên hàm của
x
1 + t 2 , suy ra H ' (t ) = 1 + t 2 .
x
Khi đó F ( x ) = ∫ 1 + t 2 dt = H (t ) = H ( x ) − H (1)
1
1
F ' ( x ) = H ( x ) − H (1) = H ' ( x ) = 1 + x 2 . Chọn B.
→
/
x
Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số F ( x ) = ∫ sin t 2 dt với x > 0 .
1
A. F ' ( x ) = sin x .
B. F ' ( x ) =
sin x
C. F ' ( x ) =
.
2 x
2 sin x
x
D. F ' ( x ) = sin x .
.
Câu 22. Gọi H (t ) là một nguyên hàm của sin t 2 , suy ra H ' (t ) = sin t 2 .
x
Khi đó F ( x ) = ∫ sin t 2 dt = H (t )
1
F ' ( x ) = H
→
Chú ý: H
( x )
/
( )
x
x − H (1) = H
≠ H/
/
=H
1
( x )− H (1)
( )
x =
/
H/
( x)
2 x
=
sin x
2 x
. Chọn B.
( x ).
Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) , biết f ( x ) thỏa mãn
x
∫ te
f (t )
dt = e f ( x ) .
0
A. f ' ( x ) = x .
B. f ' ( x ) = x 2 + 1.
1
C. f ' ( x ) = .
x
D. f ' ( x ) = 1.
Câu 23. Gọi F (t ) là một nguyên hàm của te f (t ) , suy ra F ' (t ) = te f (t ) .
x
Khi đó
∫ te
f (t )
x
dt = F (t ) = F ( x ) − F (0)← e f ( x ) = F ( x ) − F (0) .
→
0
0
Đạo hàm hai vế, ta được f ' ( x ).e f ( x ) = F ' ( x )← f ' ( x ).e f (x ) = xe f ( x ) f ' ( x ) = x .
→
→
Chọn A.
Câu 24. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
f (x )
∫
t 2 dt = x cos (π x ). Tính f (4 ).
0
A. f (4 ) = 2 3.
Câu 24. Ta có
B. f ( 4 ) = −1.
f (x )
∫
0
t 2 dt =
t3
3
f (x )
0
1
C. f ( 4 ) = .
2
3
1
= f ( x ) = x cos (π x ).
3
D. f ( 4 ) = 3 12.
Cho x = 4 , ta được
3
1
f (4 ) = 4 cos 4 π f ( 4 ) = 3 12. Chọn D.
→
3
Câu 25. Cho hàm số y = f ( x ) có 1 ≤ f ' ( x ) ≤ 4 với mọi x ∈ [ 2;5] . Hỏi khẳng định nào
dưới đây là khẳng định đúng?
A. 3 ≤ f (5) − f (2) ≤ 12.
B. −12 ≤ f (5) − f (2) ≤ 3.
C. 1 ≤ f (5) − f (2) ≤ 4.
D. −4 ≤ f (5) − f (2) ≤ −1.
5
Câu 25. Đầu tiên ta phải nhận dạng được f (5) − f (2) = ∫ f ' ( x ) dx .
2
5
5
5
Do 1 ≤ f ' ( x ) ≤ 4, ∀x ∈ [ 2;5] ∫ 1dx ≤ ∫ f ' ( x ) dx ≤ ∫ 4dx .
→
2
2
2
3
12
Vậy 3 ≤ f (5) − f (2) ≤ 12. Chọn A.
Vấn đề 2. TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Câu 26. Tìm số thực a > 1 để tích phân
a
∫
1
1
A. a = .
e
Câu 26. Ta có
B. a = e .
a
∫
1
x +1
dx có giá trị bằng e.
x
C. a =
e
.
2
D. a = e 2 .
a
a
x +1
1
dx = ∫ 1 + dx = ( x + ln x ) = a + ln a −1 = e.
x
x
1
1
Thử các đáp án đã cho, có a = e thỏa mãn. Thật vậy e + ln e − 1 = e . Chọn B.
a
Cách CASIO. Thiết lập hiệu
∫
1
x +1
dx − e .
x
1
e
Thử từng đáp án, ví dụ với đáp án A ta nhập vào máy
∫
1
x +1
dx − e và nhấn dấu =.
x
Màn hình xuất hiện số khác 0 nên không thỏa mãn. Tương tự thử với đáp án B.
5
dx
Câu 27. Tính tích phân I = ∫
.
2 x −1
1
A. I = ln 3.
Câu 27. Ta có
∫
5
1
B. I = ln 2.
dx
1
= ln 2 x −1
2 x −1 2
Câu 28. Nếu kết quả của
2
5
1
C. I = ln 9.
D. I = ln 6.
1
1
= (ln 9 − ln1) = ln 9 = ln 3. Chọn A.
2
2
dx
a
được viết ở dạng ln với a, b là các số nguyên
x +3
b
∫
1
dương và ước chung lớn nhất của a, b bằng 1 . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. 3a − b < 12 .
Câu 28. Ta có
2
∫
1
B. a + 2b = 13 .
dx
= ln x + 3
x +3
2
1
C. a − b > 2 .
D. a 2 + b 2 = 41 .
5
= ln 5 − ln 4 = ln .
4
a = 5
Suy ra
a − b = 1 < 2. Do đó C sai. Chọn C.
→
b = 4
Câu 29. Tính tích phân I =
2016
∫
7 x dx .
0
7 2016 −1
A. I =
⋅
ln 7
B. I = 7 2016 − ln 7.
C. I =
7 2017
− 7.
2017
D. I = 2016.7 2015.
Câu 29. Ta có I =
2016
2016
∫
7 x dx =
0
7x
ln 7 0
=
7 2016
1
−
. Chọn A.
ln 7 ln 7
π
2
Câu 30. Kết quả của tích phân I = ∫ cos xdx được viết ở dạng I = a + b 3 , với a và
π
3
b là các số hữu tỉ. Tính P = a − 4b.
9
A. P = a − 4b = ⋅
2
1
C. P = a − 4b = − ⋅
2
π
2
Câu 30. Ta có I = ∫ cos xdx = sin x
π
3
B. P = a − 4b = 3.
1
D. P = a − 4b = ⋅
2
π
2
π
3
= 1−
1
3
= 1 + − . 3
2
2
a = 1
→
P = a − 4b = 3. Chọn B.
→
b = − 1
2
Câu 31. Cho hàm số f ( x ) = A sin (π x ) + B ( A, B thuộc ℝ ) thỏa mãn
2
∫
f ( x ) dx = 4
0
và f ' (1) = 2 . Tính giá trị biểu thức P = π A + B.
A. P = 4.
B. P = 0.
2
∫
f ( x ) dx = ∫
0
Câu 31. Ta có
2
0
C. P = −2.
D. P = −4.
2
A sin (π x ) + B dx = − A cos (π x ) + Bx = 2 B .
π
0
Suy ra 2 B = 4 ⇔ B = 2 .
2
Lại có f ' ( x ) = Aπ cos (π x ) f ' (1) = 2 ⇔ Aπ cos π = 2 ⇔ A = − .
→
π
2
Vậy A = − ; B = 2 P = π A + B = 0. Chọn B.
→
π
Câu 32. Biết rằng tích phân
m
∫ cos 2 xdx = 0
với m là tham số. Khẳng định nào sau
0
đây là đúng?
A. m = k 2π ( k ∈ ℤ ).
C. m = k
B. m = k π (k ∈ ℤ).
D. m = (2 k + 1) π (k ∈ ℤ).
π
(k ∈ ℤ).
2
m
Câu 32. Ta có 0 = ∫ cos 2 xdx =
0
1
sin 2 x
2
m
0
1
= sin 2m
2
kπ
sin 2m = 0 ⇔ 2m = k π ⇔ m =
→
(k ∈ ℤ). Chọn C.
2
x
1
Câu 33. Biết rằng tích phân ∫ sin 2 t − dt = 0 với x là tham số. Khẳng định nào
2
0
sau đây là đúng?
A. x = k 2π ( k ∈ ℤ).
B. x = k π (k ∈ ℤ).
C. x = k
π
D. x = (2 k + 1) π (k ∈ ℤ).
(k ∈ ℤ).
2
x
x
x
1 − cos 2t 1
1
1
Câu 33. Ta có ∫ sin 2 t − dt = ∫
− dt = − ∫ cos 2tdt
2
2
2
2
0
0
0
x
1
1
= − sin 2t = − sin 2 x .
4
4
0
x
Theo giả thiết
∫ sin
0
2
1
π
t − dt = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ 2 x = k π ⇔ x = k (k ∈ ℤ). Chọn C.
2
2
1
2 2017 x khi x ≥ 0
Câu 34. Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx , biết rằng f ( x ) = −2017 x
.
2
khi x < 0
−1
2 2018 − 2
log 2 e.
2017
2 2018 −1
C. I =
ln 2.
2017
2 2018 −1
log 2 e.
2017
2 2017 −1
D. I =
.
2017 ln 2
A. I =
B. I =
1
0
−1
1
−1
Câu 34. Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
0
1
= ∫ 2−2017 x dx + ∫
−1
0
2−2017 x
2 2017 x dx = −
2017 ln 2
0
0
+
−1
2 2017 x
2017 ln 2
1
=
0
22018 − 2
log 2 e. Chọn A.
2017
2
Câu 35. Tính tích phân I = ∫ min (1, x 2 )dx .
0
A. I =
3
.
4
B. I = 4 .
C. I =
3
D. I = − .
4
4
.
3
x ∈ [ 0;1] min (1, x 2 ) = x 2
→
.
Câu 35. Ta có
x ∈ [1;2 ] min (1, x 2 ) = 1
→
1
2
1
2
Do đó I = ∫ min (1, x 2 )dx + ∫ min (1, x 2 )dx = ∫ x 2 dx + ∫ 1.dx =
0
1
0
1
x3
3
1
2
+x
0
1
1
4
= +1 = .
3
3
Chọn C.
Vấn đề 3. ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Giả sử v (t ) là vận tốc của vật M tại thời điểm t và s (t ) là quãng đường vật đi được
sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ giữa s (t )
và v (t ) như sau:
● Đạo hàm của quãng đường là vận tốc: s ′ (t ) = v (t ).
● Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường s (t ) = ∫ v (t ) dt.
từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t ∈ [ a; b ] là
→
b
∫ v (t ) dt = s (b )− s (a ) .
a
Nếu gọi a (t ) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v (t ) và a (t ) như sau:
● Đạo hàm của vận tốc là gia tốc: v ′ (t ) = a (t ) .
● Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc: v (t ) = ∫ a (t ) dt .
Câu 36. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì
người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
v (t ) = −5t + 10 (m/s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu
đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 0,2m.
B. 2m.
C. 10m.
D. 20m.
Câu 36. Lúc dừng hẳn thì v (t ) = 0 5t + 10 = 0 ⇔ t = 2.
→−
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được quãng đường là
2
2
5
s = ∫ (−5t + 10) dt = − t 2 + 10t = 10m. Chọn C.
0
2
0
Câu 37. Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72km/h, phía trước là đoạn đường chỉ
cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = 30 − 2t ( m/s), trong đó t là khoảng thời
gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến
lúc đạt tốc độ 72km/h, ô tô đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét?
A. 100m.
B. 125m.
C. 150m.
D. 175m.
Câu 37. Ta có 72km/h = 20m/s .
Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ta có phương trình
30 − 2t = 20 ⇔ t = 5.
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi ô tô đạt tốc độ 72km/h , ô tô đi được quãng đường là
5
s = ∫ (30 − 2t ) dt = 125m. Chọn B.
0
Câu 38. Một vật đang chuyển động với vận tốc 6m/s thì tăng tốc với gia tốc
3
a (t ) =
m/s 2 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng
t +1
tốc. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 14 m/s .
B. 13 m/s .
C. 11m/s .
D. 12 m/s .
3
dt = 3 ln t + 1 + C .
t +1
Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t = 0 thì v = 6m/s nên ta có 3 ln1 + C = 6 ⇔ C = 6.
Suy ra v (t ) = 3 ln t + 1 + 6 (m/s).
Câu 38. Ta có v (t ) = ∫
Tại thời điểm t = 10 s v (10) = 3 ln11 + 6 ≈ 13m/s. Chọn B.
→
Câu 39. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc
a (t ) = 3t + t 2 (m/s 2 ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu
tăng tốc. Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt
đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét?
4000
4300
1900
2200
A.
B.
C.
D.
m.
m.
m.
m.
3
3
3
3
3t 2 t 3
Câu 39. Ta có v (t ) = ∫ (3t + t 2 ) dt =
+ +C.
2
3
Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t = 0 thì v = 10m/s nên suy ra C = 10.
3t 2 t 3
Suy ra v (t ) =
+ + 10 (m/s).
2
3
Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng
10
3t 2 t 3
t3 t 4
10 4300
tốc bằng s = ∫
+ + 10 dt = + + 10t =
m . Chọn B.
2
2 12
0
3
3
0
Câu 40. Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 30m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm
20
đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a (t ) = −
m/s 2 , trong đó t là
2
(1 + 2t )
khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi quãng đường ô tô đi
được trong khoảng thời gian 2 giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh là bao nhiêu mét?
A. 46m.
B. 47m.
−20
Câu 40. Ta có v (t ) = ∫
C. 48m.
10
dt =
+C.
2
1 + 2t
(1 + 2t )
D. 49m.
Tại thời điểm lúc bắt đầu đạp phanh t = 0 thì v = 30m/s nên suy ra C = 20.
10
Suy ra v (t ) =
+ 20 (m/s).
1 + 2t
Vậy quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian 2 giây kể từ lúc bắt đầu đạp
2
2
2
10
phanh bằng s = ∫ v (t ) dt = ∫
+ 20 dt = (5 ln (1 + 2t ) + 20t ) ≈ 48m. Chọn C.
1 + 2t
0
0
0
Câu 41. Một ô tô đang chạy thẳng đều với vận tốc v 0 (m/s) thì người đạp phanh, từ
thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = −5t + v 0 (m/s), trong
đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp
phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển được 40m thì vận tốc ban đầu v 0 bằng bao
nhiêu?
A. v 0 = 40m/s.
B. v 0 = 80m/s.
C. v 0 = 20m/s.
Câu 41. Lúc dừng hẳn thì v (t ) = 0 5t + v 0 = 0 ⇔ t =
→−
v0
5
5
Theo giả thiết, ta có 40m=∫ (−5t + v0 ) dt = − t 2 + v 0 t
2
0
40m =
→
v0
5
D. v 0 = 25m/s.
v0
.
5
=−
0
2
2
v0 v 0
v2
+ = 0
10 5 10
2
0
v
v 0 = 20m/s . Chọn C.
→
10
Câu 42. Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 m so
với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng,
khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật
v (t ) = 10t − t 2 (m/s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu
chuyển động. Hỏi lúc vừa tiếp đất, vận tốc v của khí cầu bằng bao nhiêu?
A. v = 5m/s.
B. v = 7m/s.
C. v = 9m/s.
D. v = 3m/s.
Câu 42. Do v (t ) = 10t − t 0 < t < 10.
→
2
Giả sử chiếc khí cầu chạm đất kể từ lúc bắt đầu chuyển động là t1 giây (0 < t1 < 10) .
t1
t3
Theo đề bài ta có phương trình 162 = ∫ (10t − t 2 ) dt = 5t 2 −
3
0
⇔−
t1
0
= 5t12 −
t13
3
3
1
t
0
- Xem thêm -
.PDF 
17 
100 
124 
