Tài liệu Thứ tự sắp được của dãy các đại lượng trung bình tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ ĐỨC HIỆP THỨ TỰ SẮP ĐƯỢC CỦA DÃY CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ ĐỨC HIỆP THỨ TỰ SẮP ĐƯỢC CỦA DÃY CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 2 Chương 1. Một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình cơ bản 4 1.1 Các giá trị trung bình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Một số dạng bất đẳng thức cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 2. Sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát 16 2.1 Sắp thứ tự các trung bình của bộ số với trọng . . . . . . . . . . . 16 2.2 Sắp thứ tự các tổng của bộ số theo bậc của chúng . . . . . . . . . 21 Chương 3. Các dạng toán liên quan 24 3.1 Sắp thứ tự một số đại lượng sinh bởi lớp hàm đơn điệu . . . . . . 24 3.2 Điều chỉnh các bộ số theo thứ tự gần đều . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Một số mở rộng của định lý Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 Một số bài toán trong các đề thi Olympic quốc gia và quốc tế . . 55 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 1 Bảng ký hiệu N∗ I(a, b) AG APMO IMO MO tập các số tự nhiên dương tập các số thực trong khoảng (a, b) bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Olympic toán học châu Á Thái Bình Dương Olympic toán học quốc tế do Ủy ban Olympic toán học quốc tế tổ chức Olympic toán học quốc tế 2 Mở đầu Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn . . . . Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó. Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng. Trong bất đẳng thức, thứ tự sắp xếp giữa các đại lượng trung bình của bộ số thực dương đóng một vai trò quan trọng trong việc so sánh giá trị giữa các đại lượng trung bình đó. Ngoài thứ tự sắp xếp của một số đại lượng trung bình thông thường như trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa. . . người ta còn quan tâm đến sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát. Mục đích của luận văn nhằm khảo sát các tính chất của dãy các đại lượng trung bình tổng quát và một số dạng toán liên quan. Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong 3 chương. Chương 1 "Một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình cơ bản": giới thiệu một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình cơ bản và một số dạng bất đẳng thức cổ điển. 3 Chương 2 "Sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát": trình bày bài toán sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát không có trọng và có trọng. Chương 3 "Các dạng toán liên quan": xét một số dạng toán liên quan là các bất đẳng thức và các bài toán cực trị từ các đề thi học sinh giỏi và thi Olympic. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô của khoa Toán-Tin và các thầy cô trong trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT Nguyễn Bình, Đông Triều, Quảng Ninh và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học. Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K9C và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017 Tác giả luận văn Đỗ Đức Hiệp 4 Chương 1. Một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình cơ bản Chương này giới thiệu một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình cơ bản và một số dạng bất đẳng thức cổ điển. Nội dung của chương được viết trên cơ sở các tài liệu [1]–[4]. 1.1 Các giá trị trung bình cơ bản 1.1.1 Trung bình thông thường Giả sử n ∈ N∗ . Xét tập dãy các số dương (a) := a1 , a2 , . . . , ai , . . . , an ; (b) := b1 , b2 , . . . , bi , . . . , bn . Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy (a) tỷ lệ với dãy (b) nếu tồn tại hai số λ và µ không đồng thời bằng 0 sao cho λai = µbi (i = 1, 2, . . . , n). Chú ý rằng dãy không (0), tức là dãy gồm toàn số không, tỷ lệ với mọi dãy (b). Nhận xét rằng tính tỷ lệ, như đã định nghĩa, là một quan hệ đối xứng giữa các dãy nhưng không phải là một quan hệ bắc cầu; nó sẽ là quan hệ bắc cầu nếu khi khảo sát ta bỏ đi dãy không. Nếu hai dãy (a) và (b) tỷ lệ và cả hai khác dãy không thì bi = 0 nếu ai = 0, còn đối với những giá trị khác của chỉ số i, tỷ số ai /bi không phụ thuộc vào i. 5 Định nghĩa 1.1.2 Xét các số thực r = 0. Khi đó tổng Mr (a) xác định theo công thức n 1 Mr (a) := n ar i 1/r . (1.1) i=1 được gọi là trung bình bậc r. Các đại lượng Mr (a) này sẽ được khảo sát chi tiết trong Chương 2. Đặt A = A(a) = M1 (a) (1.2) H = H(a) = M−1 (a) (1.3) và G = G(a) = √ n a1 a2 . . . an . (1.4) Ta thấy, A(a) là một trung bình cộng thông thường, H(a) là một trung bình điều hòa và G(a) là trung bình nhân. 1.1.2 Trung bình có trọng Ta xét hệ các giá trị trung bình tổng quát hơn. Đó là các dạng trung bình có trọng. Giả sử pi > 0 (i = 1, . . . , n) (1.5) và đặt n Mr = Mr (a) = Mr (a, p) = i=1 n pi ar i 1/r , (1.6) pi i=1 Mr = 0 (r < 0 và một số số a = 0), (1.7) n G = G(a) = G(a, p) = ap1 ap2 1 2 . . . apn n 1/ pi i=1 . (1.8) 6 n Vì trung bình là hàm thuần nhất bậc không đối với p, nên ta có thể giả sử pi = 1. Khi đó ta sẽ viết q thay cho p, chẳng hạn i=1 n qi ar i Mr (a) = Mr (a, p) = n 1/r qi = 1 i=1 (1.9) i=1 và n G(a) = G(a, p) = aq1 aq2 1 2 . . . aqn n qi = 1 . (1.10) i=1 Định nghĩa 1.1.3 Xét các số thực r khác 0. Khi đó tổng Mr (a, p) xác định theo công thức (1.9) được gọi là trung bình bậc r theo trọng (q). Nhận xét rằng, ứng với r = −1, r = 1 và r = 2 ta lần lượt nhận được các trung bình điều hòa, trung bình cộng và trung bình bình phương. Ta thấy trung bình có trọng trở thành trung bình thông thường khi pi = 1 với mọi i. Thông thường, ta không chỉ rõ trọng trong các công thức, nhưng sẽ luôn hiểu rằng những giá trị trung bình được đem ra so sánh với nhau phải cùng được thành lập tự một hệ trọng. Trung bình thông thường là những trường hợp riêng của trung bình có trọng. Mặt khác, trung bình có trọng với các trọng thông ước là trường hợp riêng của trung bình thông thường (đối với hệ số a khác). Thật vậy, do tính thuần nhất, ta có thể giả sử trọng là nguyên, còn trung bình có trọng nguyên thu được từ trung bình thông thường bằng cách thay mỗi số bằng một hệ các số giống nhau tương ứng. Trung bình với các trọng không thông ước có thể coi như trường hợp giới hạn của trung bình thông thường. Ta sẽ thường xuyên sử dụng các công thức hiển nhiên sau: Mr (a) = A(ar ) 1/r G(a) = eA(log a) , 1 M−r (a) = , Mr (1/a) (1.11) (1.12) (1.13) 7 1/r r Mrs (a) = Ms (a ) . (1.14) Trong (1.12) ta giả sử a > 0, giả thiết này còn dùng trong các công thức khác nếu chỉ số âm. Thêm nữa A(a + b) = A(a) + A(b), (1.15) G(a, b) = G(a).G(b), (1.16) Mr (b) = kMr (a) nếu (b) = k(a) (1.17) (tức là nếu bi = kai trong đó k không phụ thuộc i). G(b) = kG(a) nếu (b) = k(a), Mr (a) ≤ Mr (b) nếu aν ≤ bν với mọi ν. 1.2 (1.18) (1.19) Một số dạng bất đẳng thức cổ điển 1.2.1 Định lý về trung bình cộng và trung bình nhân Định lý 1.2.1 Ta luôn có G(a) ≤ A(a). Chứng minh. Bất đẳng thức phải chứng minh có thể viết dưới một trong hai dạng sau: p1 a1 + · · · + pn an p1 + · · · + p n ap1 . . . apn ≤ n 1 hay p1 +···+pn (1.20) n aq1 1 . . . aqn n ≤ qi ai (1.21) i=1 n qi = 1). Ta có (ở đây, i=1 a1 + a2 a1 a2 = 2 2 a1 − a2 − 2 2 a1 + a2 ≤ 2 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 . Và do đó a1 a2 a3 a4 ≤ a1 + a2 2 2 a3 + a4 2 2 ≤ a1 + a2 + a3 + a4 2 4 . 8 Dấu bất đẳng thức thật sự xảy ra ở một trong các trường hợp a1 , a2 , a3 , a4 không đồng thời bằng nhau. Lặp lại suy luận này m lần, ta thấy a1 + · · · + a2m 2m a1 . . . a2m ≤ . (1.22) 2m Dấu đẳng thức xảy ra khi tất cả các số ai bằng nhau. Đây là bất đẳng thức (1.20) với trọng đơn vị và n = 2m . Bây giờ ta giả sử n là một số bất kỳ nhỏ hơn 2m . Đặt b1 = a1 , . . . , bn = an a1 + · · · + an bn+1 = . . . = b2m = =A n và áp dụng (1.22) cho dãy (b), ta có 2m −n a1 a2 . . . an .A b1 + · · · + b2m < 2m 2m nA + (2m − n)A = 2m 2m m = A2 hay a1 . . . an < An trừ trường hợp tất cả các phần tử của (b) và vì thế tất cả các phần tử của (a) bằng nhau. Đây chính là bất đẳng thức (1.20) với trọng lượng đơn vị. Đặt qi = q i + q i (i = 1, 2, . . . , n) trong đó qi > 0, qi > 0 và qi hữu tỷ. Lúc này n r = n qi , r = i=1 qi i=1 hữu tỷ và r + r = 1. Ta đã chứng minh (1.20) với dấu "<" cho p hữu tỷ và dấu "≤" cho mọi p. Do đó n n i=1 n aq < i qi ai n n i=1 qi n i=1 i=1 i=1 n aq ≤ i , qi qi ai i=1 i=1 n i=1 qi , qi và n n aqi i i=1 n q ai i = i=1 q ai i i=1 < 1 r r n qi ai i=1 1 r r n qi ai i=1 9 n ≤ n qi ai + i=1 n qi a1 = i=1 qi ai . i=1 Từ điều vừa chứng minh ở trên, suy ra A(a) = M1 (a) > M1/2 (a) = M2 (a1/2 ) ≥ G 2 (a1/2 ) = G(a). 1 1.2.2 Bất đẳng thức H¨lder o Định lý 1.2.2 Giả sử (a), (b), . . ., (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số. Khi đó G(a) + G(b) + · · · + G(l) < G(a + b + · · · + l), (1.23) trừ các trường hợp hoặc là (1) mỗi cặp bất kỳ trong dãy (a), (b), . . ., (l) tỷ lệ, hoặc; (2) tồn tại số i sao cho ai = bi . . . = li = 0. n qi = 1 thì Định lý khẳng định rằng nếu i=1 q q q q a11 aq2 . . . aqn + bq1 bq2 . . . bqn + · · · + l11 l22 . . . lnn n n 2 1 2 < (a1 + b1 + · · · + l1 )q1 (a2 + b2 + · · · + l2 )q2 · · · (an + bn + · · · + ln )qn trừ các trường hợp hai cột bất kỳ trong bảng a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bn , ..., ..., ..., ..., l1 l2 ... ln tỷ lệ hay khi một hàng gồm toàn số không. Điều kiện cần và đủ để tất cả các cột tỷ lệ (tức là mọi cặp cột của bảng tỷ lệ) là hệ các đẳng thức: aµ bi − ai bµ = 0, aµ ci − ai cµ = 0, . . . với mọi µ và i. Đây cũng là điều kiện cần và đủ để tất cả các hàng tỷ lệ. Để ý tới điều kiện này, ta đổi chỗ các hàng và các cột trong bảng và viết α, β, . . . , λ thay cho q1 , q2 , . . . , qn . Khi đó Định lý 1.2.2 tương đương với định lý sau. 10 Định lý 1.2.3 Nếu α, β, . . . , λ dương và α + β + . . . + λ = 1 thì n n aα bβ i i λ · · · li n α < β ai i=1 bi i=1 n λ ··· li i=1 (1.24) i=1 trừ các trường hợp hoặc (1) tất cả các dãy (a), (b), . . ., (l) tỷ lệ, hoặc; (2) có dù chỉ một trong các dãy đó là dãy không. Có thể diễn tả điều kiện có đẳng thức như sau: một trong các dãy tỷ lệ với mọi dãy còn lại (trong đó dãy không được coi là tỷ lệ với tất cả các dãy khác). Ta trình bày chứng minh Định lý 1.2.2 bằng hai cách sau đây. Chứng minh. Cách 1. Từ bất đẳng thức Cauchy n 2 ai bi n n a2 i ≤ b2 i i=1 i=1 i=1 (trừ trường hợp dãy (a) và (b) tỷ lệ), ta có n 4 ai bi ci di n a2 b2 i i ≤ i=1 i=1 n i=1 b4 i i=1 2 c2 d2 i i i=1 n n a4 i ≤ n 2 n c4 i i=1 d4 . i i=1 Ngoài ra nếu các dãy (a), (b), (c), (d) không đồng thời tỷ lệ thì ít nhất có một trường hợp có dấu bất đẳng thức thực sự. Lặp lại lập luận này, ta nhận được n n 2m ai bi . . . li < i=1 n m a2 i i=1 n m b2 i i=1 m 2 li ... (1.25) i=1 đối với 2m dãy (a), (b), . . . nếu chúng không đồng thời tỷ lệ. Bất đẳng thức này tương đương với (1.24) nếu trong (1.24) ta thay mỗi số mũ bằng 2m . Bây giờ giả sử M là một số tự nhiên bất kỳ, bé hơn 2m và (g) là dãy thứ M . Nếu dãy (ab . . . g) khác dãy không, ta đặt m m A2 = aM , . . . , G2 = g M (M dãy) 11 m m m H 2 = K 2 = . . . = L2 = ab . . . g (2m − M dãy). Khi đó AB . . . L = ab . . . l và áp dụng (1.25) cho A, B, . . . , L, ta nhận được n n 2m ai bi . . . gi n aM i < i=1 ... i=1 hay n n M gi ai bi . . . gi i=1 n M gi ... i=1 i=1 i=1 n bM i aM i < ai bi . . . gi i=1 n M 2m −M (1.26) i=1 nếu không phải tất cả các dãy (A), (B), . . ., (L) và do đó không phải tất cả các dãy (a), (b), . . ., (l) tỷ lệ. Bất đẳng thức này tương đương (1.24) nếu trong đó các số mũ bằng 1/M . Ta đã giả sử (ab . . . g) khác dãy không; trong trường hợp ngược lại, (1.26) là hiển nhiên vì không có dãy nào trong các dãy (a), (b), . . ., (l) là dãy không. Nếu bây giờ α, β, . . . hữu tỷ, ta có thể chọn chúng sao cho α= α β , β= ,... M M n trong đó α , β , . . . là số nguyên và α = M . Áp dụng (1.26) cho M dãy tạo i=1 bởi α số a giống nhau, β số b giống nhau . . . ta có (1.24) với số mũ α, β, . . . Cuối cùng, nếu α, β, . . . không phải tất cả là hữu tỷ thì ta thay chúng bằng các xấp xỉ hữu tỷ có tổng bằng đơn vị, ta thành lập (1.24) với các số mũ hữu tỷ này và chuyển qua giới hạn. Khi chuyển qua giới hạn, dấu "<" biến thành dấu "≤". Để kết thúc chứng minh, ta đặt α = α1 + α2 , β = β1 + β2 , . . . trong đó tất n α1 = σ 1 , cả các số là dương và những số mang chỉ số 1 là hữu tỷ. Nếu lúc này n i=1 i=1 α2 = σ2 , do đó σ1 + σ2 = 1 và pσ1 = aα1 bβ1 , pσ2 = aα2 bβ2 , . . . thì ta có 1 2 i i n n aα bβ i i λ . . . li i=1 n pσ 1 p σ 2 i1 i2 = ≤ pi1 i=1 σ1 i=1 n pi2 σ2 i=1 Vì α1 , β1 hữu tỷ nên n n pi1 = i=1 α1 σ1 λ1 σ1 n ai ai . . . li < i=1 i=1 α1 σ1 n ... li i=1 λ1 σ1 . 12 n pi2 ta cũng được bất đẳng thức tương tự, chỉ có điều với dấu là "≤". đối với i=1 Kết hợp các kết quả này lại, ta được (1.24). Cách 2. Ta có thể rút ra Định lý 1.2.3 từ Định lý 1.2.1. Thật vậy vì không có dãy nào là dãy không, nên n i=1 n ( n n ai i=1 λ aα bβ . . . li i i )α ( = n bi )β i=1 ...( li )λ α ai n ai n α +β n i=1 i=1 bi n ai i=1 n li i=1 ai λ li bi i=1 ≤ ... n i=1 i=1 β bi + ··· + λ li n bi i=1 li i=1 = α + β + · · · + λ = 1. Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi: bi ai = n = ... = n ai bi i=1 i=1 li (i = 1, 2, . . . , n) n li i=1 tức là khi các dãy (a), (b), . . ., (l) tỷ lệ. Chú ý rằng chứng minh không phụ thuộc vào việc α, β, . . . có hữu tỷ hay không vì trong chứng minh này không có một bước chuyển qua giới hạn nào, trừ những bước đã gặp trong chứng minh Định lý 1.2.1. 1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski Định lý sau đây là sự mở rộng Định lý 1.2.2. Định lý 1.2.4 Giả sử r hữu hạn và khác 1. Khi đó Mr (a) + Mr (b) + · · · + Mr (l) > Mr (a + b + · · · + l)r > 1) (1.27) Mr (a) + Mr (b) + · · · + Mr (l) < Mr (a + b + · · · + l)r < 1) (1.28) trừ trường hợp (a), (b), . . . , (l) tỷ lệ hay r ≤ 0 và ai = bi = . . . = li = 0 với một i nào đó. Nếu r = 1 thì đẳng thức nghiệm đúng với mọi a, b, . . .. Định lý 1.2.2 là trường hợp riêng của Định lý 1.2.4 khi r = 0. 13 Chứng minh. Lấy trung bình với trọng q và đặt ai + bi + · · · + li = si , Mr (s) = S. Khi đó n r n qi sr i S = n qi ai sr−1 i = i=1 n + i=1 n qi bi sr−1 i i=1 i=1 n 1/r 1/r 1/r (qi ai )(qi si )r−1 + · · · + = qi li sr−1 i + ··· + i=1 1/r (qi li )(qi si )r−1 . i=1 Trước tiên, giả sử rằng r > 1. Áp dụng bất đẳng thức n n ar i ai bi < i=1 1/r i=1 n br i 1/r r > 1, i=1 1 1 + =1 r r (1.29) cho mỗi tổng ở vế phải, ta được n r qi ar i S ≤ 1/r i=1 n qi sr i 1/r n + ··· = S r−1 qi ar i 1/r + ··· . (1.30) i=1 i=1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tất cả (qar ), (qbr ), . . . tỷ lệ với (qsr ) tức là khi (a), (b), . . . tỷ lệ. Vì S dương (trừ trường hợp tầm thường khi tất cả các dãy là dãy không) nên từ (1.30) suy ra (1.27) Hơn nữa giả sử 0 < r < 1. Nếu không phải tất cả các dãy (a), (b), . . . là dãy không thì si > 0 với i nào đó. Nếu si = 0 với một giá trị riêng biệt nào đó của i thì ai = bi = . . . = li = 0 và ta có thể loại giá trị i ấy. Vậy có thể xem tất cả si > 0 , với giả thiết này thì từ bất đẳng thức n n ar i ai bi > i=1 i=1 1/r n br i i=1 1/r r < 1, 1 1 + =1 r r (1.31) cho ta (1.30) với dấu bất đẳng thức ngược lại và chứng minh có thể kết thúc như trên. Cuối cùng, giả sử r < 0. Nếu một si nào đó bằng 0 thì tất cả trung bình bằng không. Vì vậy, ta có thể giả sử si > 0 với mọi i. Nếu một ai nào đó bằng không thì Mr (a) = 0 và ta có thể bỏ chữ a. Do đó, ta có quyền giả sử mọi 14 ai , bi , . . . dương và khi đó kết luận của định lý của được suy ra từ bất đẳng thức (1.31). Khi tất cả qi bằng nhau, ta có định lý sau đây: Định lý 1.2.5 Nếu r hữu hạn và khác 0, khác 1 thì n r (ai + · · · + li ) i=1 n (ai + · · · + li )r n 1/r ar i < i=1 n 1/r ar i > i=1 n 1/r r li + ··· + i=1 n 1/r r li + ··· + i=1 1/r (r > 1) (1.32) (r < 1) (1.33) 1/r i=1 trừ trường hợp (a), (b), . . . , (l) tỷ lệ hay r < 0 và ai , bi , . . . , li bằng không với một i nào đó. Bất đẳng thức (1.32) thường được gọi là bất đẳng thức Minkowski. Định lý 1.2.4 có vẻ như tổng quát hơn Định lý 1.2.5, nhưng thực ra, nó có thể suy ra 1/r 1/r từ Định lý 1.2.5 nếu thay ai , bi , . . . bằng pi ai , pi bi , . . . Định lý 1.2.4 có thể được phát biểu ở dạng rất đối xứng và đẹp như sau: Định lý 1.2.6 Giả sử M(µ) là trung bình lấy theo chỉ số µ với trọng lượng pµ và M(i) là trung bình lấy theo chỉ số i với trọng lượng qi và giả sử 0 < r < s < ∞. Khi đó M(i) M(µ) (aµi ) < M(µ) M(i) (aµi ), s r r s trừ trường hợp aµi = bµ ci . Kết quả vẫn đúng với tất cả r, s mà r < s, trừ trường hợp có đẳng thức. Chứng minh. Ta chứng minh định lý này với 0 < r < s < ∞. Nếu r ≤ 0 hoặc một trong các số r và s vô hạn thì đẳng thức xuất hiện trong nhiều trường hợp bổ sung. Giả sử s/r = k > 1 và pµ ar = Aµi . Khi đó bất đẳng thức phải tìm có dạng µi n m pµ ar µi qi m 1/s < qi i=1 qi a s µi µ=1 m n n pµ µ=1 i=1 hay s/r k Aµi µ=1 m 1/k i=1 n qi Ak µi < µ=1 r/s i=1 1/k . 1/r 15 n Bất đẳng thức này thuần nhất theo q, do đó ta có thể giả sử qi = 1 và khi i=1 đó nó được đưa về (1.27). 16 Chương 2. Sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát Chương này trình bày một số mở rộng các dạng trung bình sinh bởi các đa thức đối xứng. Mục 2.1 giới thiệu về sắp thứ tự các trung bình của bộ số với trọng. Mục 2.2 trình bày sắp thứ tự các tổng của bộ số theo bậc của chúng. Kiến thức của chương được tổng hợp từ các tài liệu [2] và [3]. 2.1 Sắp thứ tự các trung bình của bộ số với trọng Như đã biết bất đẳng thức giữa giá trị trung bình cộng và trung bình nhân chỉ là sự sắp được của hai phần tử trong một dãy biểu thức sắp được thứ tự. Các biểu thức này chính là những hàm đối xứng sơ cấp. Trong mục này ta xét một số mở rộng các dạng trung bình sinh bởi các đa thức đối xứng. Các mở rộng này dựa trên các tính chất của hàm số như tính đơn điệu (tựa đơn điệu) để so sánh, tính lồi, lõm (tựa lồi, lõm) để sắp thứ tự theo các đặc trưng cho trước. Ta xét bộ n số dương tùy ý (đã được đề cập ở Chương 1) (x) := (x1 , x2 , . . . , xn ), bộ hệ số dương (trọng đơn vị) n (α) := (α1 , α2 , . . . , αn ), αi = 1 i=1 và Mh (x, α)-trung bình bậc h theo trọng (α) xác định theo công thức n αi xh i Mh (x, α) = i=1 1 h . 17 Định lý 2.1.1 Với mỗi bộ n số dương (x) và trọng (α), ta đều có n xαi , i lim Mh (x, α) = h→0 (2.1) i=1 tức là, giới hạn là một trung bình nhân suy rộng. Chứng minh. Trước hết, ta tính giới hạn n ln i=1 lim ln (Mh (x, α)) = lim h→0 αi xh i . h h→0 Theo quy tắc L’Hospital, ta tính được n αi xh ln xi i lim ln (Mh (x, α)) = lim i=1 n h→0 h→0 i=1 αi xh i n = n xαi . i αi ln xi = ln i=1 i=1 Từ đây, dễ dàng suy ra (2.1). Định lý 2.1.2 Với mỗi bộ n số dương (x) trọng (α), ta đều có lim Mh (x, α) = max{xi ; i = 1, 2, . . . , n}. h→+∞ (2.2) Chứng minh. Thật vậy, nếu đặt xs = max{xi ; i = 1, 2, . . . , n}, thì với mọi h > 0, ta có 1 h αs xs Mh (x, α) xs . Từ đây, chuyển qua giới hạn ta thu được (2.2). Hoàn toàn tương tự, bằng cách chuyển qua giới hạn khi h → −∞, ta có định lý sau đây.