ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------------o0o------------------
NGUYỄN THỊ LAN ANH
VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI
VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------------o0o------------------
NGUYỄN THỊ LAN ANH
VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI
VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS Đỗ Văn Lưu
THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỤC LỤC
Trang
Mục lục..................................................................................................
1
Mở đầu...................................................................................................
2
Chƣơng 1
ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN
MỤC TIÊU
1.1. Các khái niệm và định nghĩa..........................................................
4
1.2. Các tập tiếp tuyến cấp một và cấp hai..............................................
8
1.3. Điều kiện chính quy cấp hai và điều kiện tối ƣu cấp hai..................
15
Chƣơng 2
ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA
MỤC TIÊU
2.1. Kiến thức chuẩn bị...........................................................................
33
2.2. Điều kiện cần tối ƣu cho bài toán đa mục tiêu với ràng buộc tập...
37
2.3. Điều kiện cần tối ƣu Fritz John.......................................................
41
2.4. Điều kiện tối ƣu Kuhn-Tucker.......................................................
45
KẾT LUẬN.............................................................................................
50
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................
51
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU
Lý thuyết các điều kiện tối ƣu trong tối ƣu đơn mục tiêu và đa mục tiêu
trơn và không trơn phát triển rất mạnh mẽ và thu đƣợc nhiều kết quả đẹp đẽ
và phong phú. Lý thuyết các điều kiện tối ƣu cấp 2 là một bộ phận quan trọng
của lý thuyết các điều kiện tối ƣu.
Từ các điều kiện cần ta có đƣợc tập các điểm dừng mà trong đó bao
hàm các nghiệm của bài toán tối ƣu. Các điều kiện đủ tối ƣu cấp 2 cho phép ta
tìm ra nghiệm của bài toán đó. Thông thƣờng ngƣời ta đƣa vào các tập tiếp
tuyến cấp 2, các tập tuyến tính hoá cấp 2 và các điều kiện chính quy cấp 2 và
từ đó dẫn tới các điều kiện tối ƣu cấp 2 kiểu Fritz John và Kuhn-Tucker.
J. F. Bonnans, R. Cominetti và A. Shapiro [3] đã nghiên cứu các tập
tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên, các khái niệm chính quy
cấp 2 và chính quy cấp 2 ngoài. Từ đó, các tác giả đã thiết lập các điều kiện
cần tối ƣu cấp 2 với điều kiện chính quy Robinson, và các điều kiện đủ tối ƣu
cấp 2 cho bài toán tối ƣu đơn mục tiêu không trơn với ràng buộc nón. G. Bigi
và M.Castellani [4] đã nghiên cứu tập các phƣơng giảm cấp 2. Tập các
phƣơng chấp nhận đƣợc cấp 2 tập tiếp liên cấp 2 và các điều kiện chính quy
cấp 2 kiểu Abadie và Guignard. Từ đó, các tác giả dẫn các điều kiện cần tối
ƣu Fritz John cấp 2 trên cơ sở phát triển một định lý luân phiên kiểu Motzkin,
và các điều kiện cần tối ƣu Kuhn-Tucker cấp 2 với các điều kiện chính quy
cấp 2 kiểu Abadie và Guignard.
Luận văn tập trung trình bày các điều kiện chính quy cấp 2 và các điều
kiện tối ƣu cấp 2 dƣới ngôn ngữ tập tiếp tuyến cấp 2, tập tiếp liên cấp 2, tập
tuyến tính hoá cấp 2 và các đạo hàm theo phƣơng cấp 2.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận và danh mục các
tài liệu tham khảo.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chƣơng 1: Trình bày các nghiên cứu của J. F. Bonnans, R. Cominetti
và A. Shapiro [3] về các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2
trên, điều kiện chính quy cấp 2 và điều kiện chính quy cấp 2 ngoài. Với điều
kiện chính quy Robinson, các điều kiện cần tối ƣu cấp 2 cho bài toán tối ƣu
với ràng buộc nón không trơn đƣợc trình bày cùng với các điều kiện đủ tối ƣu
cấp 2.
Chƣơng 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu của G. Bigi và
M.Castellani [4] về điều kiện cần tối ƣu cấp 2 cho cực tiểu yếu địa phƣơng
của bài toán tối ƣu đa mục tiêu có ràng buộc trên cơ sở phát triển một định lý
luân phiên Motzkin không thuần nhất. Các nghiên cứu về tập tiếp liên cấp 2,
tập tuyến tính hoá cấp 2, các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và
Guignard đƣợc trình bày cùng với các điều kiện cần cấp 2 Fritz John và
Kuhn-Tucker.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS
Đỗ Văn Lƣu, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trƣờng Đại học
sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy
khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp Cao học Toán K15 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2009
Nguyễn Thị Lan Anh
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chƣơng 1
ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN
TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU
Chƣơng 1 trình bày các nghiên cứu của J.F.Bonnans, R.Cominetti và
A.Shapiro [3] về các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên,
điều kiện chính quy cấp 2 ngoài và điều kiện chính quy cấp 2 cùng với các điều
kiện cần và đủ tối ƣu cấp 2 cho bài toán tối ƣu với ràng buộc nón.
1.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA
1.1.1. Bài toán
Ta xét bài toán tối ƣu có dạng
min f(x),
(P)
x X
G(x) K,
trong đó X là không gian hữu hạn chiều, Y là không gian Banach,
K là một tập con lồi đóng của Y , hàm mục tiêu f : X R và ánh xạ
ràng buộc G : X Y đƣợc giả thiết là khả vi liên tục hai lần. Kí hiệu
: G1 ( K ) là tập chấp nhận của bài toán ( P) .
Một số bài toán tối ƣu có thể phát biểu dƣới dạng bài toán ( P) . Khi
Y
p
và K 0 R p q . Tập chấp nhận đƣợc của ( P) đƣợc xác định bởi
một số hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, và ( P) trở thành
bài toán quy hoạch phi tuyến.
Ví dụ khác, ta xét không gian Y C () gồm các hàm liên tục : ¡
xác định trên không gian metric compăc trang bị chuẩn sup.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
: sup ( ) .
Lấy K : C ( ) là nón của các hàm nhận giá trị không âm, tức là
C ( ): C( ): ( ) 0, .
Trong trƣờng hợp này, ràng buộc G( x ) K
tƣơng ứng với
g( x, ) 0 với mọi , trong đó g( x,.) : G( x )(.) . Nếu tập là vô
hạn, ta nhận đƣợc một số vô hạn các ràng buộc, và (P) trở thành bài toán
quy hoạch bán vô hạn.
Một cách tiếp cận khác để nghiên cứu điều kiện tối ƣu là xét các bài
toán tối ƣu có dạng
min g( F( x )),
(1.1)
xX
trong đó g : Y R là hàm lồi chính thƣờng nửa liên tục dƣới và
F : X Y . Bài toán này tƣơng đƣơng với bài toán tối ƣu sau (xem [7]):
min c,
(1.2)
( x ,c )X R
( F( x ),c ) epi( g ),
trong đó epi( g ) : ( y,c ) Y R : g( y ) c là trên đồ thị của g và do đó
nó đƣợc xét nhƣ một trƣờng hợp riêng của bài toán (P). Điều ngƣợc lại
cũng đúng, có nghĩa là bài toán (P) có thể biểu diễn dƣới dạng (1.1) bằng
cách lấy
g( r, y ) r I K ( y ) và F( x ) ( f ( x ),G( x )) ,
trong đó I K ( y ) 0 , nếu y K và bằng nếu y K (xem [7]). Cho nên
hai cách tiếp cận là tƣơng đƣơng.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.1.2. Các khái niệm và định nghĩa
Giả sử h :Y R là hàm giá trị thực mở rộng.
Giả sử h(.) là hữu hạn tại điểm y Y ta kí hiệu h' ( y,d ) là đạo hàm
theo phƣơng của nó tại điểm y theo phƣơng d Y
h' ( y;d ) : lim
t 0
h( y td ) h( y )
.
t
Nhắc lại [5] rằng nếu h(.) lồi, giá trị hữu hạn tại y, chính thƣờng trên
Y, y dom h thì h' ( y;d ) tồn tại và hữu hạn.
Ta cũng sử dụng đạo hàm theo phƣơng dƣới sau:
h ( y;d ) liminf
t 0
d ' d
h( y td') h( y )
.
t
Chú ý rằng trên đồ thị của h ( y,.) đóng và h ( y,.) là hàm nửa liên
tục dƣới. Nếu h(.) là lồi, nhận giá trị hữu hạn và liên tục tại y và do đó là
liên tục Lipschitz trong một lân cận của y , thì h ( y,.) h' ( y,.) . Nói
chung, nếu h là lồi, có thể gián đoạn, thì bao đóng của trên đồ thị của
h' ( y,.) trùng với trên đồ thị của h ( y,.) .
Khi h' ( y,d ) tồn tại và là hữu hạn, ta kí hiệu h'' ( y ;d , ) và
h'' ( y ;d , ) là đạo hàm parabolic cấp hai trên và dƣới [3], tƣơng ứng của
h tức là
1
h( y td t 2 ) - h( y ) - th' ( y,d )
2
h'' ( y ;d , ) : liminf
t 0
1 2
t
2
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
h( y td t 2 ) h( y ) th' ( y,d )
2
h'' ( y ;d , ) : lim sup
t 0
1 2
t
2
Ta nói rằng h(.) là khả vi theo phƣơng cấp hai tại y theo phƣơng d,
nếu h'' ( y ;d , ) = h+'' ( y ;d , ) và hữu hạn với mọi Y . Trong trƣờng
hợp này, giá trị chung đó đƣợc ký hiệu h ( y ;d , ) . Khi h( y ) và
''
h ( y,d ) hữu hạn, đạo hàm parabolic cấp hai dƣới đƣợc định nghĩa nhƣ sau
1
h( y td t 2' ) h( y ) th ( y,d )
2
h ( y ;d , ) : liminf
1 2
t 0 , '
t
2
Chú
ý
rằng
nếu
h(.)
là
liên
tục
Lipschitz
gần
y,
thì
h ( y ;d , ) h'' ( y ;d , ) . Nói riêng, điều này đúng, nếu h(.) lồi, hữu
hạn, và liên tục, và do đó là liên tục Lipschitz tại y.
Kí hiệu Y * là không gian đối ngẫu của Y và y* , y giá trị y* ( y ) của
hàm tuyến tính y* Y * tại y Y . Với ánh xạ tuyến tính liên tục
A: X Y
ta kí hiệu
A* : Y * X *
là ánh xạ liên hợp, tức là,
A* y* ,x y* ,Ax , với mọi x X ,y* Y * . Với tập T Y kí hiệu (.,T ) là
hàm tựa của T, tức là
( y* ,T ) : sup y* , y
.
yT
Ký hiệu dist .,T là hàm khoảng cách
dist y,T : inf y z .
zT
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Df ( x ),D2 f ( x ) tƣơng ứng là đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai
của hàm
f ( x ) ; BY : y Y : y 1 là hình cầu đơn vị trong Y ;
y : ty : t R là không gian tuyến tính sinh bởi vec tơ y (một chiều nếu
y 0).
1.2. CÁC TẬP TIẾP TUYẾN CẤP MỘT VÀ CẤP HAI
Giả sử K là tập con đóng của không gian Banach Y . Nón tiếp tuyến
cấp 1 của K tại điểm y K đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
TK ( y ) : h Y : dist(y + th, K) = o(t), t 0.
(1.3)
Nhắc lại [2] các khái niệm giới hạn trên và dƣới của hàm đa trị : X 2Y
(từ không gian định chuẩn X vào họ các tập con của Y) theo nghĩa
Painlevé - Kuratowski:
lim sup x y Y : x n x 0 sao cho yn x n , yn y,
x x0
liminf x y Y : x n x 0 , yn x n , yn y.
x x0
Theo định nghĩa của giới hạn tập hợp dƣới, ta có thể viết
Ky
.
t
TK y liminf
t 0
(1.4)
Ta biết rằng khi K là lồi thì cũng có
TK ( y ) lim sup
t 0
Ky
.
t
( 1.5)
Chú ý rằng nếu K là nón lồi và y K , thì TK ( y ) cl K y , trong
đó y ký hiệu không gian tuyến tính sinh bởi vec tơ y và cl ký hiệu bao
đóng theo tôpô chuẩn của Y .
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Tƣơng tự (1.4) và (1.5), ta xét biến phân cấp hai của tập K tại điểm
y K theo phƣơng d
TK2 ( y,d ) : liminf
t 0
OK2 ( y,d ) : lim sup
t 0
K - y - td
,
1 2
t
2
(1.6)
K y td
.
1 2
t
2
(1.7)
Ta gọi TK2 ( y,d ),OK2 ( y,d ) tƣơng ứng là các tập tiếp tuyến cấp hai
trong và ngoài. Các tập tiếp tuyến này có thể viết dƣới dạng sau:
1
TK2 ( y,d ) Y: dist (y+td+ t 2 , ) = o(t 2 ),t 0 ,
2
1
OK2 ( y,d ) : tn 0 : dist (y+tn d+ tn2 ,K) = o(tn2 ) .
2
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng TK2 ( y,d ) OK2 ( y,d ) , và các tập tiếp
tuyến cấp hai này khác rỗng chỉ nếu
d TK ( y ) . Cả hai tập
TK2 ( y,d ),OK2 ( y,d ) đóng. Nếu K lồi, thì tập TK2 ( y,d ) lồi; Tập tiếp tuyến
cấp hai ngoài OK2 ( y,d ) có thể không lồi.
Ví dụ dƣới đây chứng minh rằng không giống nhƣ các nón tiếp tuyến
cấp một, các tập tiếp tuyến cấp hai trong và ngoài có thể khác nhau.
Ví dụ 1.1
Ta xây dựng một hàm tuyến tính từng khúc lồi y ( x ),x R , dao
động giữa hai parabol y x2 và y 2x2 . Ta xây dựng ( x ) thoả mãn:
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
( x ) ( x ),
( 0 ) 0,
và với dãy đơn điệu giảm đến không xk nào đó, hàm ( x ) là tuyến tính
trên mỗi đoạn
xk 1 ,xk ,( xk ) xk2
và đƣờng thẳng đi qua các điểm
( xk ,( xk )) và xk 1 , xk 1 là tiếp xúc với đƣờng cong y 2x2 .
Nhƣ vậy với điểm xk 0 , xét đƣờng thẳng đi qua điểm ( xk ,xk2 ) và
tiếp xúc với đƣờng cong y 2x2 . Đƣờng thẳng này giao với đƣờng cong
y x2 tại điểm xk 1 rõ ràng xk xk 1 0 , và có
xk 0 .
Đặt K : ( x, y ) R 2 : y ( x ) . Khi đó với phƣơng d : ( 1,0 ) ta có
TK2 ( 0,d ) x, y : y 4 ,
OK2 ( 0,d ) ( x, y ) : y 2 .
Với mỗi R , '' ( 0;1, )=2
và +'' ( 0;1, )=4 và do đó (.) là
không khả vi theo phƣơng cấp hai tại điểm 0 .
Ta nói rằng tập K là khả vi theo phƣơng cấp hai tại y K theo
phƣơng d , nếu
TK2 ( y,d ) OK2 ( y,d ) .
Mệnh đề 1.1
Giả sử tập K được xác định như sau
K y Y : h( y ) 0 ,
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
trong đó h :Y R là hàm lồi chính thường. Giả sử h( y ) 0 ,
h y,d 0 , và giả sử rằng tồn tại y sao cho h( y ) 0 (điều kiện Slater).
Khi đó,
OK2 ( y,d ) : h ( y;d , ) 0 .
(1.8)
Nếu giả thiết thêm h(.) là liên tục tại y, thì
TK2 ( y,d ) : h+'' ( y;d , ) 0 .
(1.9)
Chứng minh
Ta chỉ chứng minh (1.8) đúng, còn chứng minh (1.9) là tƣơng tự.
Xét OK2 ( y,d ) và chọn dãy tn 0 ,n sao cho
1
y tn d tn2 n K , và do đó,
2
1
h( y tn d tn2n ) 0 .
2
Khi đó,
1
h( y tn d tn2n )
2
h ( y ;d , ) liminf
0.
n
1 2
tn
2
Ngƣợc lại, giả sử h ( y ;d , )<0 . Khi đó, với tn 0 và n
nào đó, ta có
1
1
h( y tn d tn2n ) tn2 h ( y ;d , ) + o(tn2 ) .
2
2
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Do đó, h( y tn d tn2n ) 0 với n đủ lớn.
2
Vì vậy,
1
y tn d tn2n K .
2
Từ đó suy ra OK2 ( y,d ) .
Bây giờ giả sử h ( y;d , )=0 , và do đó tồn tại tn 0 và n
sao cho
1
h( y tn d tn2n ) o( tn2 ) .
2
Lấy 0,' Y . Đặt ' : ' ( y y ) . Do tính lồi của h , với
1 2
t ' 0 đủ nhỏ ta có 1 t' 0 và
2
1 2
1 2
1 2
h( y t' d t' ' ) ( 1 t' ) ( t ' ,' ) t ' h y ,
2
2
2
(1.10)
trong đó
1
2
( t' ,' ) : h( y t' ( 1 t' ) 1 d
2
1 '2
1 2
t ( 1 t' ) 1 .)
2
2
Đặt:
1 '2 '
2tn
't ( 1 1 t' 2 )1 t , tức là t'
(
1
tn )n n .
,
và
n
n
n
2
2 n
( 1 1 2 tn2 )
Khi đó,
1
2
( tn' ,n' ) h( y tn d tn2n ) ( tn2 ) .
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Bởi vì tn' 0 ,n' ( y y ) và h( y ) 0 , từ (1.10) ta suy ra
với mọi 0 ,
h ( y;d , ) h( y ) 0 .
Vì vậy, OK2 ( y,d ) . Vì OK2 ( y,d ) đóng, cho 0 ta nhận đƣợc
OK2 ( y,d ) . Do đó (1.8) đƣợc chứng minh.
Nếu h(.) là lồi và liên tục tại y , thì các đạo hàm cấp hai
h ( y,d ,.),h'' ( y,d ,.) là nhƣ nhau. Khi đó, từ mệnh đề trên, với điều kiện
Slater, ta suy ra K là khả vi theo phƣơng cấp hai tại điểm y theo phƣơng
d khi và chỉ khi các tập mức : h'' ( y ;d , ) 0 và : h'' ( y ;d , ) 0
trùng nhau. Đặc biệt, K là khả vi theo phƣơng cấp hai nếu h(.) là khả vi
theo hƣớng cấp hai.
Mệnh đề 1.2
Với mọi y K ,d TK ( y ) , ta có
TK2 ( y,d ) TTK ( y )( d ) TK2 ( y,d ) TT
K(y)
( d ),
OK2 ( y,d ) TTK ( y )( d ) OK2 ( y,d ) TTK ( y )( d ) .
(1.11)
(1.12)
Nhắc lại [5] rằng tập A X lồi khác đƣợc gọi là lùi xa theo
phƣơng d 0 , nếu A d A 0 . Tập các vectơ d X thoả mãn
A d A 0
và vectơ d = 0 đƣợc gọi là nón lùi xa của A.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Từ mệnh đề trên ta suy ra TTK ( y ) ( d ) là nón lùi xa của TK2 ( y,d ) và
OK2 y,d khi mà các tập hợp này khác rỗng.
Hơn nữa,
nếu
0 OK2 ( y,d ) , thì
OK2 ( y,d ) TTK ( y )( d )
và khi
0 TK2 ( y,d ) thì ba tập này trùng nhau:
TK2 ( y,d ) OK2 ( y,d ) TTK ( y )( d ) .
Chú ý rằng
TTK ( y ) ( d ) cl TK ( y ) d ,
trong đó d TK y ; TTK ( y )( d ) là rỗng, nếu d TK y .
Theo công thức (1.14) và (1.15) dƣới đây cho ta một quy tắc để tính
các xấp xỉ tiếp tuyến cấp hai của tập chấp nhận đƣợc : G1( K ) của
( P ) dƣới ngôn ngữ xấp xỉ tiếp tuyến cấp hai của K . Công thức này đúng
với điều kiện chính quy Robinson:
0 int G(x0 ) DG( x0 )X K .
(1.13)
Mệnh đề 1.3 ([3])
Lấy x0 : G 1( K ) và giả sử điều kiện chính quy Robinson
(1.13) đúng. Khi đó, với mọi h X ,
2
T2 ( x0 ,h ) DG( x0 )1 TK2 ( G( x0 ),DG( 0x )h ) D
G( 0x )( h,h ),
(1.14)
O2 ( x0 ,h ) DG( x0 )1 OK2 ( G( x0 ),DG( 0x )h ) D2 G( 0x )( h,h ).
(1.15)
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.3. ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI
Phần này trình bày các điều kiện tối ƣu cấp hai cần và đủ cho bài
toán ( P ) . Với bài toán ( P ) , ta định nghĩa hàm Lagrange nhƣ sau:
L( x, ) : f ( x ) ,G( x ) , Y * .
Hàm Lagrangian suy rộng đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
L* ( x, , ) : f ( x ) ,G( x ) , ( , ) R Y * .
Giả sử x0 là nghiệm tối ƣu địa phƣơng của bài toán ( P ) . Khi đó, các
điều kiện tối ƣu kiểu cấp một Fritz John có dạng: tồn tại
( , ) R Y * ,( , ) (0,0 ) sao cho
Dx L* ( x0 , , ) 0, 0, N K ( G( x0 )).
(1.16)
Ở đây N K ( y ) : y* Y * : y* ,z y 0 , với mọi z K là nón pháp
tuyến của K tại y . Kí hiệu * ( x0 ) là tập hợp các nhân tử Lagrang suy
rộng ( , ) ( 0,0 ) thỏa mãn điều kiện (1.16). Chú ý rằng với không gian
Banach Y tập hợp * ( x0 ) có thể rỗng. Điều kiện tối ƣu Fritz John ở trên
là điều kiện cần cho nghiệm tối ƣu địa phƣơng, tức là * ( x0 ) . Ta chú
ý hai trƣờng hợp quan trọng. Cụ thể là khi Y là không gian hữu hạn chiều,
hoặc khi K có phần trong khác rỗng.
Nếu nhân tử trong (1.16) khác không thì ta có thể lấy 1 , và vì
vậy điều kiện cần cấp 1 trở thành
Dx L( x0 , ) 0, N K ( G( x0 )) .
(1.17)
Với điều kiện chính quy Robinson (1.13), tập hợp ( x0 ) các nhân tử
Lagrange thỏa mãn (1.17) là khác rỗng và bị chặn (xem [8]).
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Khi tập K là một nón lồi và y K , nón pháp tuyến N K ( y ) có dạng:
N K ( y ) y* K : y* , y 0 ,
trong đó
K : y* Y * : y* , y 0,y K
là nón cực của nón K (đối ngẫu âm). Trong trƣờng hợp đó, điều kiện
N K ( G( x0 )) trở thành
K và ,G( x0 ) 0 .
Nhắc lại rằng: nón
C( x0 ): h X : DG( x0 )h TK ( G( x0 )),Df ( x0 )h 0
(1.18)
đƣợc gọi là nón tới hạn (critical cone) của bài toán ( P ) tại điểm x0 . Nón
này biểu diễn các phƣơng tuyến tính hóa cấp một của ( P ) . Chú ý rằng khi
tập ( x0 ) các nhân tử Lagrange khác rỗng thì Df ( x0 )h 0 với mọi h X
thỏa mãn DG( x0 )h TK ( G( x0 )) . Trong trƣờng hợp đó bất đẳng thức
Df ( x0 )h 0 , trong định nghĩa của nón tới hạn có thể thay bởi đẳng thức
Df ( x0 )h 0 . Điều đó là tƣơng đƣơng với ,DG( x0 )h 0 với mọi
( x0 ) .
Bây giờ ta có thể phát biểu điều kiện cần tối ƣu cấp hai dựa trên sự
phân tích đƣờng cong chấp nhận đƣợc parabol có dạng
1
x(t) = x0 th t 2 + o(t 2 ) ,
2
(1.19)
trong đó t 0 . Điều kiện cần này kết hợp với điều kiện đủ trong định lý
1.2 dẫn tới khái niệm chính quy cấp hai.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Định lý 1.1
Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán ( P ) . Giả sử
rằng điều kiện chính quy Robinson (1.13) đúng. Khi đó, với mọi h C( x0 )
và tập lồi bất kỳ T ( h ) OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h ) ,
Sup Dxx2 L( x0 , )( h,h ) ( , T (h)) 0 .
( x0 )
(1.20)
Chứng minh
Chú ý rằng nếu T (h)= thì (., T (h)) = và (1.20) đúng một
cách tầm thƣờng.
Ta giả sử T (h) và do đó tập OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h ) khác rỗng.
Ta khẳng định rằng giá trị tối ƣu của bài toán:
Min Df ( x0 )+D2 f ( x0 )( h,h ) ,
(1.21)
X
DG( x 0 )+D2G( x0 )( h,h ) OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h )
là không âm.
Thật vậy, nếu là điểm chấp nhận đƣợc của bài toán này, sử dụng
mệnh đề 1.3 ta nhận đƣợc 02 ( x0 ,h ) , trong đó: : G1( K ) . Vì thế ta
1
có thể tìm đƣợc dãy tk 0 sao cho xk : x0 tk h tk2 + o(t 2 ) .
2
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Dãy xk là chấp nhận đƣợc của bài toán ( P ) và hội tụ đến cực tiểu địa
phƣơng x0 . Do đó, f ( xk ) f ( x0 ) với mọi k đủ lớn. Sử dụng khai triển
Taylor cấp hai ta có
1
f ( x0 ) f ( xk ) f ( x0 ) tk Df ( x0 )h t k2 Df ( x0 )+D 2 f ( x0 )( h,h ) ( t k2 ) .
2
Bởi vì Df ( x0 )h 0 , với bất kỳ h C( x0 ) , ta nhận đƣợc
Df ( x0 )+D2 f ( x0 )( h,h ) 0 .
Nhƣ vậy, giá trị tối ƣu của bài toán (1.21) không âm. Bây giờ ta xét
tập T(h) := cl {T (h) TK ( G( x0 )) . Tập này là bao đóng tôpô của tổng
hai tập lồi và vì thế là lồi. Hơn nữa, từ bao hàm thức (1.12) và sự kiện:
các tập tiếp tuyến ngoài cấp hai đóng, ta suy ra
T( h ) OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h ) .
Rõ ràng nếu ta thay đổi các tập tiếp tuyến cấp hai ngoài trong (1.21)
bằng tập con T( h ) của nó thì giá trị tối ƣu của bài toán tối ƣu sẽ lớn hơn
hay bằng giá trị tối ƣu của (1.21). Do đó, giá trị tối ƣu của bài toán:
Min Df ( x0 )+D2 f ( x0 )( h,h ) ,
(1.22)
X
DG( x0 )+D2G( x0 )( h,h ) T( h )
là không âm.
Bài toán tối ƣu (1.22) lồi và đối ngẫu (tham số) của nó là:
Max Dxx2 L( x0 , )( h,h ) ( ,T( h ))
(x0 )
(1.23)
Thật vậy, hàm Lagrange của (1.22) là
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -