Tài liệu Thác triển của ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt thực có số chiều khác nhau

-„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG -„I HÅC S× PH„M H€ THÀ LžNH THC TRIšN CÕA NH X„ CHŸNH HœNH GIÚA CC SI–U MT THÜC C SÈ CHI—U KHC NHAU LUšN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - N«m 2015 -„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG -„I HÅC S× PH„M H€ THÀ LžNH THC TRIšN CÕA NH X„ CHŸNH HœNH GIÚA CC SI–U MT THÜC C SÈ CHI—U KHC NHAU Chuy¶n ng nh: TON GIƒI TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUšN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. Nguy¹n Thà Tuy¸t Mai Th¡i Nguy¶n - N«m 2015 Líi cam oan Em xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c. Em công xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2015 Ng÷íi vi¸t luªn v«n H X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa chuy¶n mæn Thà L¾nh X¡c nhªn cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. Nguy¹n Thà Tuy¸t Mai i Möc löc Líi cam oan Möc löc i ii Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 -a t¤p phùc [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 7 Si¶u m°t thüc trong Cn [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 H m i·u háa d÷îi, a i·u háa d÷îi [1] . . . . . . . . . . 8 1.3.1 H m i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 H m a i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Mi·n gi£ lçi, gi£ lçi ch°t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Mi·n gi£ lçi [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Mi·n gi£ lçi ch°t [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Tªp gi£i t½ch phùc [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 Tªp gi£i t½ch phùc . . . . . . . . . . . . . . . . 11 .. ii 1.5.2 Sè èi chi·u cõa tªp gi£i t½ch . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3 Tªp gi£i t½ch b§t kh£ quy . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 nh x¤ ri¶ng [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.1 1.6.2 1.7 1.8 nh x¤ ri¶ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ƒnh cõa tªp gi£i t½ch . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 H m x¡c ành ch½nh tc [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -a t¤p ¤i sè x¤ £nh phùc [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8.1 Khæng gian x¤ £nh phùc . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8.2 Tªp ¤i sè, a t¤p ¤i sè x¤ £nh phùc . . . . . . . 23 1.9 Sè chi·u generic [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Th¡c triºn cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c si¶u m°t thüc câ sè chi·u kh¡c nhau 26 2.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n [16] . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 -a t¤p Segre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Cüc tuy¸n cõa mët tªp . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Quÿ t½ch r³ nh¡nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.4 -÷íng cong CR, quÿ ¤o CR . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Th¡c triºn cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c si¶u m°t thüc câ sè chi·u kh¡c nhau [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 2.2.2 Th¡c triºn theo Q Th¡c triºn theo Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 iii 2.2.3 Th¡c triºn t÷ìng ùng. . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.4 K¸t luªn Mët sè ành lþ th¡c triºn cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c si¶u m°t thüc câ sè chi·u kh¡c nhau . . . 41 48 T i li»u tham kh£o 49 iv Mð ¦u Th¡c triºn ch¿nh h¼nh l mët trong nhúng b i to¡n trung t¥m cõa Gi£i t½ch phùc húu h¤n công nh÷ væ h¤n chi·u. Tr¶n th¸ giîi câ nhi·u nh to¡n håc quan t¥m tîi v§n · n y nh÷ Shiffman, Nguyen Thanh Van, Ahmed Zeriahi, . . . v ¢ ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qu£ nghi¶n cùu quan trång. Cho ¸n nay vi»c th¡c triºn ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh ÷ñc triºn khai theo hai h÷îng: H÷îng thù nh§t: Th¡c triºn ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh l¶n bao ch¿nh h¼nh, hay cán gåi l th¡c triºn ch¿nh h¼nh kiºu Hartogs. H÷îng thù 2: Th¡c triºn ¡nh x¤ qua c¡c tªp mäng (tùc l c¡c tªp câ ë o Lebesgue b¬ng 0). Th¡c triºn kiºu n y ÷ñc gåi l th¡c triºn ch¿nh h¼nh kiºu Riemann. Mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu cõa th¡c triºn ch¿nh h¼nh kiºu Riemann l th¡c triºn cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c si¶u m°t. Th¡c triºn ch¿nh h¼nh cõa mët m¦m cõa ¡nh x¤ giúa c¡c si¶u m°t thüc ¢ thu hót ÷ñc nhi·u sü chó þ cõa c¡c nh to¡n håc nh÷ Pinchuk, R.Shafikov, A. Vitushkin... Poincar² [13] l ng÷íi khði x÷îng v§n · n y trong tr÷íng hñp si¶u m°t nguçn v si¶u m°t ½ch câ còng sè chi·u. Tr÷íng hñp si¶u m°t nguçn v d÷íng si¶u m°t ½ch kh¡c sè chi·u th¼ 1 nh÷ khâ hìn. Pinchuk [12] l ng÷íi ÷a ra k¸t qu£ ¦u ti¶n cho tr÷íng hñp n y v ¢ chùng minh r¬ng "Mët m¦m cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh tø si¶u th¡c triºn m°t gi£i t½ch thüc gi£ lçi ch°t M Cn ¸n h¼nh c¦u S2N 1 ch¿nh h¼nh dåc theo ÷íng tr¶n M". G¦n ¥y, Diederich v Sukhov [7] ¢ chùng minh r¬ng "Mët m¦m cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh tø si¶u m°t gi£i t½ch n 2N 1 th¡c triºn ch¿nh h¼nh dåc thüc gi£ lçi y¸u M C ¸n h¼nh c¦u S theo ÷íng tr¶n M". Rasul Shafikov v Kaushal Verma [16] ¢ têng qu¡t hai k¸t qu£ tr¶n v ÷a ra ành lþ "Cho M l si¶u m°t cüc tiºu gi£i t½ch thüc li¶n thæng trong Cn, M0 l si¶u m°t ¤i sè thüc gi£ lçi ch°t compact trong CN , 1 < n 6 N: Gi£ sû f l mët m¦m cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh t¤i p 2 M . Khi â v f(M) M0 f th¡c triºn nh÷ mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh tø 0 theo b§t ký ÷íng cong CR tr¶n Hìn núa, trong tr÷íng hñp dimM = dimM0, ành lþ tr¶n têng qu¡t c¡c k¸t qu£ cõa S. Pinchuk trong [19], trong â si¶u m°t M ÷ñc gi£ sû l húu h¤n, i·u ki»n n y m¤nh hìn i·u ki»n M cüc tiºu. M ¸n M M". Möc ½ch cõa luªn v«n l nghi¶n cùu v· th¡c triºn ch¿nh h¼nh cõa mët m¦m cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh tø si¶u m°t gi£i t½ch thüc l¶n c¡c si¶u m°t ¤i sè thüc câ sè chi·u lîn hìn. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì sð v· a t¤p phùc, tªp gi£i t½ch phùc v c¡c t½nh ch§t ìn gi£n cõa tªp gi£i t½ch phùc, khæng gian x¤ £nh phùc, a t¤p ¤i sè x¤ £nh phùc. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y l¤i mët c¡ch chi ti¸t rã r ng v· th¡c triºn cõa ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c si¶u m°t thüc °c bi»t si¶u m°t ½ch l si¶u m°t ¤i sè câ sè chi·u lîn hìn. 2 -º ho n th nh ÷ñc luªn v«n, em luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa TS. Nguy¹n Thà Tuy¸t Mai (-¤i håc S÷ Ph¤m Th¡i Nguy¶n). Em xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n cæ v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa em èi vîi nhúng i·u cæ ¢ d nh cho em. Em xin ch¥n th nh c£m ìn ban l¢nh ¤o pháng sau -¤i håc, quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K21B (2013- 2015) Tr÷íng -¤i håc S÷ Ph¤m - -¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho em ho n th nh khâa håc. Em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. M°c dò ¢ cè gng r§t nhi·u nh÷ng trong luªn v«n n y khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. Em r§t mong câ ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ v c¡c b¤n. 3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 -a t¤p phùc [2] Cho M l khæng gian tæpæ Hausdorff. -ành ngh¾a 1.1.1. C°p (V; ') ÷ñc gåi l mët b£n ç àa ph÷ìng cõa M, trong â V l mët tªp mð trong M v ' : V ! C n l mët ¡nh x¤, n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n : i) ii) '(V ) l tªp mð trong C n , ' : V ! '(V ) l mët çng phæi. -ành ngh¾a 1.1.2. Hå A = f(Vi; 'i)gi2I cõa M ÷ñc gåi l mët tªp b£n ç gi£i t½ch (atlas) cõa M n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n i) fVigi2I l mët phõ mð cõa M, ii) Vîi måi Vi; Vj m Vi \ Vj 6= ?, ¡nh x¤ 'j 'i 1 : 'i(Vi \ Vj) ! 'j(Vi \ Vj) l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. X²t hå c¡c atlas tr¶n M. Hai atlas gåi l hñp cõa t÷ìng ÷ìng n¸u