THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ QUA CÁC (n d, ) −TẬP

  • Số trang: 58 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 19 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Anh Nhân THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ QUA CÁC ( n, d ) − TẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Anh Nhân THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ QUA CÁC ( n, d ) − TẬP Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CÁM ƠN Luận văn thạc sĩ này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS.Nguyễn Thái Sơn. Trong tiến trình viết luận văn, Thầy đã nhệt tình, tận tụy, sâu sát, chỉ dạy tôi biết cách đọc tài liệu, biết phương pháp viết luận văn và nghiên cứu khoa học. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, tôi xin chúc Thầy cùng gia đình sức khỏe dồi dào và thành công trong sự nghiệp giáo dục. Tôi xin trân trọng cảm ơn: + TS.Nguyễn Hà Thanh, trong suốt thời gian tôi học cao học và làm luận văn Thầy đã hết sức nhiệt tình dạy bảo, động viên, nhắc nhở tôi học tập và làm tốt luận văn. Tôi xin chân thành biết ơn Thầy, xin chúc Thầy cùng gia đình sức khỏe dồi dào, thành công trong sự nghiệp giáo dục và đạt được nhiều kết quả trong công trình nghiên cứu. + Quí Thầy cô Phòng Sau đại học và Khoa Toán - tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập trong hai năm qua. + Trường Cao Đẳng Cộng Đồng Cà Mau, đặc biệt là Thầy Hiệu trưởng ThS.Nguyễn Bình Đẳng cùng trưởng phòng Khảo thí và Kiểm định chất lượng Giáo dục ThS. Phạm Quang Huỳnh, trưởng phòng tổ chức hành chính Nguyễn Văn Chung. Mặc dù khối lượng công việc của trường là rất nhiều nhưng vẫn đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được đi học. + Cha mẹ, anh Lê Chí Cường, em Đặng Thị Bích Phượng trong thời gian qua luôn gắn bó, động viên, nhắc nhở tôi chăm chỉ học tập. + Bạn bè trong lớp Hình học và tôpô – K22, bạn Hoàng Thị Ngọc Lan, Trần Phong, Vũ Đình Tuấn. Đặc biệt là bạn Nguyễn Thành An đã chia sẽ với tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập và viết luận văn. Lê Anh Nhân 1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN H ( ∆, X ) : Không gian các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào trong X . ( H ∆∗ , X ) : Không gian các ánh xạ chỉnh hình từ ∆* vào trong X . Hol (V , X ) : Tập các ánh xạ chỉnh hình từ V vào trong X . Hol (U , X ) : Tập các ánh xạ chỉnh hình từ U vào trong X . ( HEP ) : Tính chất thác triển Hartogs. H (W1 ) : Tập tất cả các hàm chỉnh hình trong W1 ( n, d ) − EP : Tính chất ( n, d ) − thác triển hội tụ qua ( n, d ) − tập. O ( Ω ) : Tập các hàm chỉnh hình trên Ω . n − PEP : Tính chất n − thác triển hội tụ qua tập cực. n − PPEP : Tính chất n − thác triển hội tụ qua tập đa cực. K̂ Ω : Bao lồi chỉnh hình của K trên Ω . Kˆ ΩP : Bao đa điều hòa dưới của K trên Ω . P ( Ω ) : Tập các hàm đa điều hóa dưới trên Ω . ∆* − EP PSH ( X ) K : Tính chất ∆* − thác triển. : Hàm đa điều hòa dưới trên X . : Giả chuẩn trên K . ∆ ( a; r ) : Đa đĩa tâm a bán kính r . 2 MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN .............................................................................................................. 1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN ............................................... 2 MỤC LỤC .................................................................................................................... 3 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................................ 5 2. Mục đích nghiên cứu đề tài ........................................................................................... 6 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................................ 6 4. Cấu trúc luận văn........................................................................................................... 6 5. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................. 7 6. Ý nghĩa khoa học của luận văn ..................................................................................... 8 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 9 1.1. Không gian phức  n ................................................................................................... 9 1.2. Định nghĩa hàm chỉnh hình........................................................................................ 9 1.3. Định nghĩa miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình.............................................. 10 1.4. Hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới ............................................................ 11 1.5. Bao đa điều hòa dưới ................................................................................................ 14 1.6. Miền giả lồi ................................................................................................................ 14 1.7. Nguyên lý mô đun cực đại ........................................................................................ 15 1.8. Không gian hyperbolic Banach ............................................................................... 16 1.9. Điều kiện lồi – đĩa yếu và tính chất ......................................................................... 16 1.10. Tính chất thác triển Hartogs .................................................................................. 16 1.11. Định lý Shiffman ..................................................................................................... 16 1.12. Định lý đồng nhất thức ........................................................................................... 17 1.13. Định lý Picard tầm thường..................................................................................... 17 1.14. Định lý lớn Picard ................................................................................................... 17 1.15. Định lý Picard trên mặt Riemann ......................................................................... 17 CHƯƠNG 2: THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ TẬP ĐA CỰC ............................................................................................................ 18 2.1. Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng .......................................................... 18 2.2. Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập cực .............................................................. 22 2.3. Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập đa cực......................................................... 22 CHƯƠNG 3: THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ( n, d ) − TẬP ........... 36 3 3.1. Thác triển sự hội tụ kiểu – Noguchi qua ( n, d ) − tập .............................................. 36 3.2. Một số bài toán thác triển trên các tập kiểu Wermer ........................................... 44 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 54 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Thác triển ánh xạ chỉnh hình là một trong những bài toán trọng tâm của giải tích phức hữu hạn cũng như vô hạn chiều. Vấn đề này hiện nay được rất nhiều nhà toán học trên thế giới và Việt Nam quan tâm như: Shiffman, Kiernan, Kwack, Thomas, Kobayashi, Robert C. Gunning, Fujimoto, Vesentini và Franzoni, Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Thái Sơn, Lê Mậu Hải, Nguyễn Hà Thanh, Nguyễn Văn Đông... đã cho ra những kết quả nghiên cứu quan trọng. Điển hình như, năm 1995 Đỗ Đức Thái đã chứng minh được rằng nếu X là một không gian phức có tính chất 1− thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực thì X cũng có tính chất n − thác triển chỉnh hình thực sự qua các tập đa cực với mọi n ≥ 2 . Hiện nay, việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng: Dạng 1. Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình hay còn gọi là thác triển chỉnh hình Hartogs. Dạng 2. Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua các tập mỏng, tập cực, tập đa cực. Thác triển này còn gọi là thác triển chỉnh hình Riemann. Thác triển chỉnh hình Riemann phức tạp hơn rất nhiều so với thác triển chỉnh hình Hartogs. Sự hình thành của ngành giải tích phức hyperbolic, đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình qua đĩa thủng, tập mỏng, tập cực, tập đa cực... Từ định lý Kwack, Đỗ Đức Thái đã có những công trình nghiên cứu về tính chất ∆* − thác triển. Cũng từ đó, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Thị Tuyết Mai, Nguyễn Thái Sơn đã nghiên cứu thành công về định lý thác triển hội - tụ kiểu Noguchi qua ( n, d ) − tập. Cùng định hướng như đã nói trên, mới đây (2013) Tobias Harz, Nikolay Shcherbina, Giuseppe Tomassini đã có những kết quả về sự thác triển chỉnh hình trên các tập kiểu Wermer [11]... Câu hỏi đặt ra rằng: Nếu các ánh xạ chỉnh hình xác định trên tập con mở ( Ω − A) ⊆ n ( n ≥ 1) với A lần lượt được thay đổi bởi tập mỏng, tập cực, tập đa cực hay 5 các ( n, d ) − tập thì các ánh xạ chỉnh hình có thể thác triển trên toàn bộ Ω hay không? Muốn xây dựng được sự thác triển này cần có những công cụ gì? Và sự mở rộng của chúng nhằm mục đích gì? Trên cơ sở đó, tôi quyết định nghiên cứu và chọn đề tài “thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng và qua các ( n, d ) − tập” làm luận văn, nhằm giải quyết những vấn đề đặt ra nêu trên. 2. Mục đích nghiên cứu đề tài Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu: sự thác triển của các ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng, tập cực và tập đa cực. Từ đó nghiên cứu tính chất thác triển chỉnh hình qua ( n, d ) − tập và các bài toán thác triển trên các tập kiểu Wermer. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là tập mỏng, tập cực, tập đa cực, ( n, d ) − tập và các tập kiểu Wermer. Phạm vi nghiên cứu là hình học giải tích và hình học tôpô. 4. Cấu trúc luận văn • Mở đầu: Nêu một số vấn đề vắn tắt dẫn dắt đến nội dung luận văn; mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu. • Chương 1 - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian phức  n . 1.2. Định nghĩa hàm chỉnh hình. 1.3. Định nghĩa miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình. 1.4. Hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới. 1.5. Bao đa điều hòa dưới. 1.6. Miền giả lồi. 1.7. Nguyến lý mô đun cực đại. 1.8. Không gian Banach hyperbolic. 1.9. Điều kiện lồi – đĩa yếu và tính chất. 1.10. Tính chất thác triển Hartogs. 6 1.11. Định lý Shiffman. 1.12. Định lý đồng nhất thức. 1.13. Định lý Picard tầm thường. 1.14. Định lý lớn Picard. 1.15. Định lý Picard trên mặt Riemann. • Chương 2: THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ TẬP ĐA CỰC 2.1. Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng. 2.2. Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập cực. 2.3. Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập đa cực. 2.4. Một số ứng dụng. • Chương 3: THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ( n, d ) − TẬP 3.1. Thác triển sự hội tụ kiểu Noguchi qua các ( n, d ) − tập. 3.2. Một số bài toán thác triển trên các tập kiểu Wermer. • Kết luận: Tóm tắt một số kết quả đạt được và những vấn đề mở của đề tài. • Tài liệu tham khảo. 5. Phương pháp nghiên cứu • Bước 1. Căn cứ vào các tài liệu thu thập được. Bước đầu tiếp cận với nguồn tài liệu này bằng cách tìm hiểu các khái niệm, các định lý, các kết quả... có liên quan đến đề tài để làm công cụ phục vụ cho việc nghiên cứu. • Bước 2. Xử lý, chọn lọc các nội dung thích hợp và viết luận văn. • Bước 3. Tiếp tục thu thập, xử lý thông tin từ giảng viên hướng dẫn, tìm các nguồn tài liệu khác để bổ sung hoàn chỉnh đề tài. • Bước 4. Căn cứ vào kết quả nghiên cứu: định hướng, mở rộng đề tài dưới sự hướng dẫn của giảng viên. • Bước 5. Tổng hợp, kiểm ta, thống nhất hoàn thành luận văn. 7 6. Ý nghĩa khoa học của luận văn + Nội dung luận văn cho thấy sự thác triển của các ánh xạ chỉnh hình trong các bài toán hình học tôpô quan trọng như thế nào? + Hệ thống lại các phương pháp thác triển đã sử dụng với nhiều cách thác triển khác nhau trên các tập mỏng, tập cực, tập đa cực và ( n, d ) − tập. + Ứng dụng bài toán thác triển trên tập kiểu Wermer. 8 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến nội dung đề tài, còn những chứng minh chi tiết và ví dụ minh họa tham khảo tại [1], [2],...,[31]. 1.1. Không gian phức  n Xét không gian Euclide  2n , các điểm của nó là các bộ có thứ tự 2n số thực ( x1 , x2 ,..., x2 n ) . Ta đưa vào trong đó cấu trúc phức bằng cách đặt z= xv + ixn + v , với v v = 1,..., n . Ký hiệu xn + v = yv nên z= xv + iyv , với v = 1,..., n . Không gian mà điểm là v những bộ n số phức (hữu = hạn) z (= z1 ,..., zn ) { zv } được gọi là không gian phức n chiều, ký hiệu là  n . Đặc biệt khi n = 1 , ta có 1 =  là mặt phẳng số phức. Với n bất kỳ, không gian  n là tích n mặt phẳng phức: n =  ×  × ... ×   n lần 1.2. Định nghĩa hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.2. (chỉnh hình theo nghĩa giải tích phức). Một hàm giá trị phức f xác định trên một tập con mở Ω ⊆  n là chỉnh hình trên Ω nếu mỗi điểm a ∈ Ω có một lân cận mở U sao cho hàm f có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa = f (z) ∞ ∑ i1 ,...,in = 0 ci1 ...in ( z1 − a1 ) 1 ... ( zn − an ) n , ∀z ∈ U i i hội tụ, với bán kính hội tụ dương. Tập tất cả các hàm chỉnh hình trên Ω được ký hiệu là O ( Ω ) Nhận xét. Cho Ω là một tập mở trong  n với n ≥ 2 . • Một hàm f : Ω →  được gọi là chỉnh hình theo từng biến nếu nó chỉnh hình với mỗi biến khi cố định các biến còn lại. • Một hàm f : Ω →  được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình theo từng biến trên Ω . 9 • Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận U của z0 nằm trong Ω sao cho hàm f |U là chỉnh hình trên U . • Ánh xạ f : Ω →  m , Ω mở trong  n được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu f j : Ω →  là chỉnh hình trên Ω với mọi j = 1,..., m , ở đây f = ( f1 ,..., f m ) . • Song ánh f : U → V với U ,V là tập mở trong  n được gọi là song chỉnh hình (đồng phôi chỉnh hình) nếu f chỉnh hình trên U và ánh xạ ngược của nó f −1 chỉnh hình trên V . 1.3. Định nghĩa miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình Định nghĩa 1.3.1. Cho Ω ⊂  n gọi là miền chỉnh hình hay miền tồn tại của hàm f chỉnh hình trên Ω nếu không thể mở rộng chỉnh hình f tới một miền lớn hơn Ω . Nói một cách chính xác, khai triển f thành chuỗi lũy thừa tại mọi z 0 ∈ Ω không thể hội tụ trong một đa đĩa P ( z 0 , r ) , r > ρ ( z 0 , ∂Ω ) . Định nghĩa 1.3.2. Miền G chứa miền Ω trong  n gọi là miền mở rộng chỉnh hình của Ω nếu mọi hàm chỉnh hình trên Ω có thể mở rộng tới một hàm chỉnh hình trên G . Nhận xét • Giả sử Ω mở trong  n ( n > 1) và K là tập compact trong Ω với Ω \ K là liên thông thì Ω là miền mở rộng chỉnh hình của Ω \ K . • Nếu G là mở rộng chỉnh hình của Ω thì f ( Ω ) =f ( G ) với mọi hàm f chỉnh hình trên G . • Nếu Ω là bị chặn, G là mở rộng chỉnh hình của Ω thì G bị chặn. Định lý 1.3.3. (Định lý đồng nhất thức). Nếu f và g là các hàm chỉnh hình trên tập con mở liên thông Ω ⊆  n và f ( z ) = g ( z ) với ∀z nằm trong tập con mở khác rỗng U ⊆ Ω thì f ( z ) = g ( z ) với ∀z ∈ Ω 10 Định lý 1.3.4. Nếu f là chỉnh hình trên một tập con mở liên thông Ω ⊆  n và không đồng nhất bằng 0 thì tập V= { z ∈ Ω : f ( z =) 0} có độ đo Lebesgue bằng 0 và có số chiều là 2n . Định nghĩa 1.3.5 • Cho  Ω= K Ω là một miền trong {z ∈ Ω : f ( z ) ≤ f K n , K ⊂Ω là tập compact. Đặt }  Ω được gọi là bao lồi chỉnh , f ∈ O ( Ω ) . Khi đó K hình của K trong Ω .  Ω là compact với mọi tập compact • Miền Ω gọi là miền lồi chỉnh hình nếu K K trong Ω . 1.4. Hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới Định nghĩa 1.4.1. Hàm hai biến thực ϕ ( x, y ) trên miền Ω ⊂  2 gọi là điều hòa nếu nó có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục và thỏa mãn điều kiện ∆ϕ= ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + = 0 , với ∆ϕ là toán tử Laplace. ∂2 x ∂2 y Định nghĩa 1.4.2. Hàm ϕ : Ω → [ −∞, +∞ ) được gọi là nửa liên tục nếu lim sup ϕ ( z ) ≤ ϕ ( z0 ) , ∀z ∈ Ω z → z0 Một cách tương đương ϕ −1 ([ −∞, a ) ) là mở với mọi −∞ < a < +∞ . Định nghĩa 1.4.3. Ánh xạ ϕ là nửa liên tục trên nếu { z ∈ Ω : ϕ ( z ) < r} là tập con mở của Ω ⊆  với mỗi số thực r hoặc nếu    0 < z − a <ε  ϕ= ( a ) ≥ lim sup ϕ ( z ) lim  sup ϕ ( z )  , a ∈ Ω . ε →0 z →a Định nghĩa 1.4.4. Một hàm giá trị thực trong một tập con mở Ω ⊆  n là hàm đa điều hòa nếu nó liên tục trong Ω và hạn chế của nó trên một đường thẳng phức bất kỳ qua bất kỳ điểm nào của Ω là một hàm điều hòa trên đường đó trong Ω . Nhận xét 11 • Nếu f là hàm chỉnh hình trên một tập con mở Ω ⊆  n thì hạn chế của f trên một đường thẳng phức bất kỳ qua bất kỳ điểm nào của Ω là một hàm chỉnh hình trên đường đó. • Phần thực của f là một hàm đa điều hòa trên Ω . Định nghĩa 1.4.5. Ánh xạ ϕ : Ω → [ −∞; +∞ ) xác định trên tập con mở Ω ⊂  là hàm điều hòa dưới nếu thỏa mãn hai điều kiện: i) ϕ là nửa liên tục trên xác định trên Ω . ii) Mỗi điểm a ∈ Ω có một lân cận mở Ua ⊆ Ω sao cho ϕ (a) ≤ 1 2π 2π θ ∫ ϕ ( a + re ) dθ i 0 với ∆ ( a; r ) ⊆ Ua . Định nghĩa 1.4.6. Ánh xạ ϕ : Ω → [ −∞, +∞ ) xác định trong một tập con mở Ω ⊆  n là hàm đa điều hòa dưới nếu: i) ϕ nửa liên tục trên xác định trên Ω . ii) Hạn chế của ϕ trên một đường thẳng phức bất kỳ qua bất kỳ điểm nào của Ω là một hàm điều hòa dưới trên đường đó trong Ω . Ký hiệu P ( Ω ) là tập các hàm đa điều hòa dưới trong Ω . Ví dụ: Nếu f ∈ O ( Ω ) thì f và log f là hàm đa điều hòa dưới. Nhận xét • Bất kỳ hàm đa điều hòa nào cũng là hàm đa điều hòa đưới. • Nếu cả ϕ và −ϕ là hàm đa điều hòa dưới thì chúng là hàm đa điều hòa thực sự. • Nếu ϕ1 , ϕ2 là các hàm đa điều hòa dưới trên Ω và c1 , c2 là các số thực dương thì ánh xạ ϕ được xác định bởi = ϕ ( z ) c1ϕ1 ( z ) + c2ϕ2 ( z ) , ∀z ∈ Ω là hàm đa điều hòa dưới trên Ω . 12 Định lý 1.4.7. Nếu ϕ là đa điều hòa dưới và không đồng nhất bằng −∞ trong một tập con mở liên thông Ω ⊆  n thì ϕ có thể lấy được tích phân Lebesgue địa phương trong Ω . Khi đó, { z ∈ Ω : ϕ ( z ) = −∞} là tập con của Ω có độ đo Lebesgue bằng 0 . Định lý 1.4.8. Ánh xạ ϕ : Ω → [ −∞, +∞ ) không đồng nhất bằng −∞ trong bất kỳ thành phần liên thông của một tập con mở Ω ⊆  n là hàm đa điều hòa dưới trong Ω nếu và chỉ nếu: i) ϕ có thể lấy được tích phân Lebesgue địa phương trong Ω và với mỗi a ∈ Ω thì ϕ (= a ) lim ∆ ( a; ε ) −1 ε →0 ∫ ϕ ( z ) dϕ ( z ) ∆ ( a ,ε ) ở đây dϕ ( z ) là độ đo thông thường trong  n và ∆ ( a; ε ) = ∫ dϕ ( z ) ∆ ( a ;ε ) ii) Với mỗi hàm ϕ không âm thuộc lớp ∞ có giá compact trong Ω và mỗi véctơ a ∈  n thì ∫ ϕ ( z ) .Lϕ ( z; a ) dϕ ( z ) ≥ 0 . Ω Định nghĩa 1.4.9. (Hàm đa điều hòa dưới trên một không gian phức). Trước tiên chúng ta tìm hiểu hai khái niệm sau đây: Khái niệm Không gian vành: X là một không gian tôpô với một bó các vành trên X là không gian vành hay còn gọi là không gian mô hình. Ví dụ: Mọi không gian mô hình (Y , OY ) trong miền D của  n là một không gian  − vành. Khái niệm không gian phức: Một không gian phức là một không gian vành Hausdorff có thể được phức hóa bởi tập các không điểm của hữu hạn hàm chỉnh hình trên một điểm nào đó của không gian các số phức. Ví dụ: Cho ( X , OX ) là một không gian  − vành sao cho X là không gian Hausdorff. { X , OX } là không gian phức nếu tại mọi điểm của X có một lân cận mở của V sao cho không gian con  − vành (V , OV ) của ( X , OX ) đẳng cấu với một không gian phức nêu trên. 13 Định nghĩa. Một hàm đa điều hòa dưới trên không gian phức X là một hàm ϕ : G → [ −∞, ∞ ) thỏa mãn với mỗi x ∈ X , tồn tại một lân cận mở U của x và một ánh xạ song chỉnh hình h : U → V với V là một không gian con phức đóng của miền G ⊂  m và một hàm đa điều hòa dưới ϕ : G → [ −∞, ∞ ) sao cho ϕ |U = ϕ  h . G ( −∞, +∞ ) ∪ ϕ U V ⊂G 1.5. Bao đa điều hòa dưới Định nghĩa 1.5.1. Giả sử Ω là miền trong  n , K là tập compact trong Ω . Tập  ΩP= K { } z ∈ Ω : ϕ ( z ) ≤ sup ϕ , ∀ϕ ∈ P ( Ω ) gọi là bao đa điều hòa dưới của K trong Ω . K Định lý 1.5.2. Nếu Ω là miền lồi trong  n , các mệnh đề sau là tương đương. i) −logδ ( z, ∂Ω ) là đa điều hòa dưới. ii) Tồn tại hàm đa điều hòa dưới ϕ liên tục vét cạn Ω , có nghĩa là = Ωc {ϕ ( z ) < c} là compact tương đối trong Ω với mọi c ∈  .  Ω là compact nếu K compact trong Ω . iii) K P 1.6. Miền giả lồi Định nghĩa 1.6.1. Miền Ω ⊂  n gọi là miền giả lồi nếu thỏa mãn một trong ba mệnh đề tương đương của định lý 1.5.2. Hệ quả 1.6.2. Đối với miền Ω ⊆  n ba mệnh đề sau đây là tương đương. i) Ω là miền chỉnh hình. ii) Ω là miền lồi chỉnh hình. iii) Ω là miền giả lồi. Nhận xét • Cho Ω ⊂  n là một miền và ϕ : Ω →  là một C 2 − hàm. Dạng Levi của ϕ tại z ∈ Ω là dạng Hermitian 14 L (ϕ= )( z )( a ) ∂ 2ϕ ( z= ) ai a j , a ∑ i , j =1 ∂zi ∂ z j n ( a1 ,..., an ) ∈ n • Hàm ϕ gọi là đa điều hòa dưới thực sự trong Ω nếu L (ϕ )( z )( a ) > 0, ∀z ∈ Ω, a ∈  n \ {0} . • Miền biên Ω ⊂  n gọi giả lồi thực sự nếu nó có dạng Ω= {z ∈  ; g ( z ) < 0} n và dg ≠ 0 trên ∂Ω , ở đây g là một C 2 − hàm trên một lân cận của Ω và g là đa điều hòa dưới thực sự trong một lân cận mở của ∂Ω . • Miền bị chặn Ω ⊂  n gọi là siêu lồi nếu nó liên thông và tồn tại một hàm đa điều hòa dưới g : Ω → ( −∞, 0 ) sao cho { z ∈ Ω : g ( z ) < c} là tập compact tương đối của Ω với mỗi c ∈ ( −∞, 0 ) . • Miền bị chặn Q ⊂  n được gọi là siêu lồi thực sự nếu tồn tại một miền biên Ω và một hàm g ∈ C ( Ω, ( −∞,1) ∩ PSH ( Ω ) ) sao cho Q= g { z ∈ Ω, g ( z ) < 0} là vét kiệt Ω và tất cả các số thực z ∈ [ 0,1] , tập mở { z ∈ Ω, g ( z ) < 0} là liên thông. • Dễ dàng thấy được đều kéo theo sau đây đối với bất kỳ miền biên nào trong  n : Giả lồi thực sự ⇒ siêu lồi thực sự ⇒ siêu lồi ⇒ giả lồi. Chiều ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát. 1.7. Nguyên lý mô đun cực đại Định lý 1.7.1. (Hàm một biến phức). Giả sử f là hàm chỉnh hình bị chặn trên miền Ω và liên tục trên Ω . Khi đó, hoặc f = const hoặc f ( z ) đạt cực đại trên biên ∂Ω của Ω . Định lý 1.7.2. (Hàm nhiều biến phức). Nếu f chỉnh hình trên miền Ω ⊂  n sao cho f đạt cực đại tại a ∈ Ω thì f = const trên Ω . 15 1.8. Không gian hyperbolic Banach Giả sử X là một không gian giải tích phức. Ta gọi khoảng cách Kobayashi d X trên X là giả khoảng cách lớn nhất trong số các khoảng cách δ X trên X sao cho mọi ánh xạ chỉnh hình từ X vào đĩa đơn vị D là khoảng cách giảm. Nếu d X trở thành khoảng cách thì ta nói X là một không gian hyperbolic. Nhận xét • Một không gian hyperbolic Banach là không gian hyperbolic đầy đủ theo nghĩa Cauchy. • Một mặt Riemann được gọi là mặt Riemann hyperbolic theo nghĩa này, nếu mọi phủ phổ dụng của nó là song chỉnh hình đến đĩa đơn vị. • Một đa tạp phức compact là hyperbolic nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ  vào X đều là hàm hằng. 1.9. Điều kiện lồi – đĩa yếu và tính chất Điều kiện lồi – đĩa yếu 1.9.1. Một không gian giải tích Banach X được gọi là thỏa mãn điều kiện lồi đĩa yếu nếu mọi dãy { f n } ⊂ H ( ∆, X ) hội tụ trong H ( ∆, X ) thì khi đó dãy { f n |∆ } ⊂ H ( ∆* , X ) hội tụ trong H ( ∆* , X ) , với ∆ và ∆* lần lượt là đĩa đơn ∗ vị và đĩa đơn vị thủng trong  . Tính chất 1.9.2. Nếu X là không gian giải tích Banach thỏa mãn điều kiện lồi đĩa yếu thì nó có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. 1.10. Tính chất thác triển Hartogs Cho X là một không gian phức. Ta nói rằng X có tính chất thác triển Hartogs (vắn tắt X có ( HEP ) ) nếu mỗi ánh xạ chỉnh hình từ một miền Riemann Ω trên đa tạp  , với Ω  là bao chỉnh hình Stien vào trong X có thể được thác triển chỉnh hình lên Ω của Ω . 1.11. Định lý Shiffman Giả sử X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, A là một tập con không đa cực của V và ánh xạ f : U × V → X thỏa mãn hai điều kiện sau 16 i) f z ∈ Hol (V , X ) , ∀z ∈ U . ii) f w ∈ Hol (U , X ) , ∀w ∈ A . Khi đó f chỉnh hình trên U × V . 1.12. Định lý đồng nhất thức Nếu f và g là các hàm chỉnh hình trong tập con mở liên thông Ω ⊆  n và nếu f ( z ) = g ( z ) với ∀z nằm trong tập con mở khác rỗng U ⊆ Ω . Khi đó f ( z ) = g ( z ) với ∀z ∈ Ω 1.13. Định lý Picard tầm thường Một hàm nguyên khác hằng f :  →  bỏ đi nhiều nhất một giá trị phức a ∈  . 1.14. Định lý lớn Picard Nếu U ⊂  là một miền, với z0 ∈ U và f : U \ { z0 } →  là một hàm chỉnh hình mà thực chất kỳ dị tại z0 thì khi đó f bỏ đi nhiều nhất một giá trị phức a ∈  . 1.15. Định lý Picard trên mặt Riemann Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng ∆= 0 { z : 0 < z < 1} Riemann W . Khi đó hoặc f thác triển đến một ánh xạ từ đĩa= ∆ vào trong một mặt { z : z < 1} vào trong * W ∪ { p} sao cho f thác triển đến một W hoặc W chứa trong một mặt Riemann W= ánh xạ từ đĩa ∆ vào trong W * . 17 CHƯƠNG 2: THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ TẬP ĐA CỰC Từ định lý lớn Picard, MYUNG HE KWACK đã tổng quát hóa thành định lý “Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng Ω* vào trong một không gian hyperbolic phức H . Nếu không gian hyperbolic phức H là compact thì f có thể thác triển lên thành một ánh xạ chỉnh hình từ toàn bộ đĩa vào trong H ”. Nếu ta thay đổi điểm thủng nêu trên bởi một tập khác, ví dụ như tập mỏng hay tập đa cực thì các ánh xạ chỉnh hình f có thể thác triển lên toàn bộ đĩa hay không? Nếu thác triển được thì f phải thỏa mãn những tính chất gì? Để trả lời cho câu hỏi này trước tiên chúng ta nghiên cứu sự thác triển của các ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng. 2.1. Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng Định nghĩa 2.1.1. Tập mỏng M trong tập mở Ω ⊆  n là một tập con M ⊆ Ω mà mỗi điểm a ∈ Ω có một lân cận mở liên thông Ua của a và một hàm f a là chỉnh hình, không đồng nhất triệt tiêu trong Ua sao cho M ∩ Ua ⊆ { z ∈ Ua : f a ( z ) = 0} . Nhận xét • Một tập mỏng thì không đâu trù mật. • Một tập mỏng có độ đo Lebesgue bằng 0 . • Bao đóng của một tập mỏng cũng là một tập mỏng. • Một tập còn gọi là mỏng nếu tại mọi điểm thuộc nó đều mỏng. Định lý 2.1.2. (định lý thác triển Riemann các điểm kỳ dị bỏ được). Cho M là một tập mỏng trong một tập con mở Ω ⊆  n . Nếu f là hàm chỉnh hình bị chặn đều trong Ω − M thì có duy nhất một hàm chỉnh hình f trên Ω sao cho f ( z ) = f ( z ) , với z ∈Ω − M . 18
- Xem thêm -