Tài liệu Tên chuyên đề CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM

- Tên chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM - Tác giả chuyên đề: NGUYỄN THỊ THANH HẢI - Chức vụ : Giáo viên Toán - Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Yên - Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 11, lớp 12 - Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 10 tiết I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ: 1. Quy tắc cộng: Một công việc A được chia ra k công việc A1 , A2 ,..., Ak để thực hiện, mỗi công việc độc lập nhau. Trong đó: + Công việc A1 có n1 cách thực hiện + Công việc A2 có n2 cách thực hiện ………………………………….. + Công việc Ak có nk cách thực hiện Khi đó số cách thực hiện công việc A là :  n1  n2  ...  nk  cách. 2. Quy tắc nhân: Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn A1 , A2 ,..., Ak , với mỗi cách thưck hiện ở giai đoạn này không trùng với bất kỳ cách thực hiện nà ở các giai đoạn còn lại. Trong đó: + Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện + Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện + Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện ………………………………….. + Giai đoạn Ak có nk cách thực hiện Khi đó số cách thực hiện công việc A là :  n1.n2 .n3 ...nk  cách. 3. Hoán vị: 3.1. Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử  n �1 . Mỗi cách sắp xếp có thức tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. 3.2. Định lý: (Số hoán vị của n phần tử) - Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn thì ta có Pn  n !  1.2.3...  n  1 .n *Chú ý: Quy ước 0!  1 4. Chỉnh hợp: 4.1. Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ gồm k phần tử  1 �k �n  sắp xếp có thức tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. 4.2. Định lý: (Số chỉnh hợp chập k của n phần tử) - Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ank thì ta có Ank  n.  n  1 .  n  2  ...  n  k  1 *Chú ý: n! k - Có thể viết Ank theo cách khác An   n  k  ! - Nếu k=n thì Ank = Pn - Hai chỉnh hợp khác nhau là hai bộ có ít nhất 1 phần tử khác nhau hoặc các phần tử giống nhau nhưng thứ tự sắp xếp khác nhau. 5. Tổ hợp: 5.1. Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử  1 �k �n  của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A. 5.2. Định lý: (Số tổ hợp chập k của n phần tử) - Nếu ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk thì ta có Cnk  n.  n  1 .  n  2  ...  n  k  1 n!  và quy ước Cn0  1 k! k ! n  k  ! *Chú ý: - Hai tổ hợp khác nhau là hai tập con có ít nhất 1 phần tử khác nhau . II. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG : 1. Bài toán 1: có sử dụng hoán vị của n phần tử . Chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: - Tất cả n phần tử đều có mặt. - Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần. - Có sự sắp xếp thứ tự giữa các phần tử. - Khi đó số cách sắp xếp n phần tử là số hoán vị của n phần tử đó. Và có Pn  n!  1.2.3.... n  1 .n 2. Bài toán 2: có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử . Chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước. - Có sự sắp xếp thứ tự giữa k phần tử đó. - Khi đó số cách chọn k phần tử có sắp xếp thứ tự từ n phần tử là số chỉnh hợp chập k của n phẩn tử đó. n! k Và có An   n  k  !  n  n  1 ...  n  k  1 3. Bài toán 3: có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử . Chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước. - Không có sự sắp xếp thứ tự giữa k phần tử đó. - Khi đó số cách chọn k phần tử không có sắp xếp thứ tự từ n phần tử là số tổ hợp chập k của n phẩn tử đó. k Và có Cn  n! k ! n  k  ! III. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM PHƯƠNG ÁN 1. Bài toán đếm có sự sắp xếp Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh A, B, C, D, E, F, G vào một chiếc ghế dài sao cho a- Bạn D ngồi vào chính giữa 7 bạn ? b- Hai bạn A và G ngồi ở 2 đầu ghế ? *Phân tích: a/Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho D chúng ta thấy rằng 6 bạn còn như 6 phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần . Mỗi cách sắp xếp có sự phân biệt thứ tự. Do đó ta sử dụng bài toán 1. b/Tương tư ta thấy: Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho A và G chúng ta thấy rằng 5 bạn còn như 5 phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần . Mỗi cách sắp xếp có sự phân biệt thứ tự. Do đó ta sử dụng bài toán 1. *Lời giải: a/Sắp xếp D ngồi vào chính giữa: có 1 cách. Mỗi cách sắp xếp A, B, C, E, F vào 6 chỗ còn lại là một hoán vị của 6 phần tử nên có 6 cách sắp xếp A, B, C, E, F . Vậy có 1 �6!=720 cách sắp xếp thoả mãn yên cầu bài toán. b/ sắp xếp 2 bạn A và G vào vị trí : có 2 cách. Sắp xếp các bạn còn lại : có 5! cách. vậy có 2! �5!=240 cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu bài toán . Ví dụ 2: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? *Lời giải : Chọn ra 3 tem thư từ 5 tem => có C53 cách chọn Chọn ra 3 bì thư từ 6 bì thư => có C63 cách chọn Mỗi cách dán 3 tem lên 3 bì thư vừa được chọn ra là một hoán vị của 3 nên có 3! cách dán. Vậy có C53 . C63 .3!=1200 cách làm. Ví dụ 3: Một thầy giáo có 12 quyển sách khác nhau, trong đó có 5 quyển văn học, 4 quyển âm nhạc và 3 quyển hội hoạ. Ông muốn lấy ra 6 quyển và đem tặng cho 6 học sinh khác nhau. Mỗi em chỉ được một quyển. a/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những quyển sách văn học và âm nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? b/ Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi loại còn ít nhất một quyển. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? *Lời giải : a/ Cách 1: Chọn 6 quyển sách bất kỳ từ 5 quyển sách văn học và 4 quyển âm nhạc là một tổ hợp chập 6 của 9 phần tử => có C96 cách chọn Với mỗi cách chọn như vậy sẽ có 6! cách tặng . Vậy số cách tặng là: C96 .6!=60480 cách tặng. Cách 2: Số cách tặng 6 quyển sách theo yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập 6 của 9 phần tử . Vậy số cách tặng là: A96 =60480 cách tặng. b/ Cách 1: Chọn 6 quyển sách bất kỳ từ 5 quyển sách văn học và 4 quyển âm nhạc là một tổ hợp chập 6 của 9 phần tử => có C96 cách chọn Với mỗi cách chọn như vậy sẽ có 6! cách tặng . Vậy số cách tặng là: C96 .6!=60480 cách tặng. Cách 2: Số cách tặng 6 quyển sách theo yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập 6 của 9 phần tử . Vậy số cách tặng là: A96 =60480 cách tặng. 2. Bài toán đếm không có sắp xếp Ví dụ 4: Đội thanh niên xung kích của trường X có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho: a/ 4 học sinh này thuộc cả 3 lớp trên. b/ 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? *Phân tích: Số học sinh được chọn từ 12 học sinh không sắp xếp thứ tự gì nên ta có thể sử dụng bài toán 2. *Lời giải: a/Vì 4 học sinh được chọn cần ở cả 3 lớp nên ta có các trường hợp chia như sau: Học sinh lớp A Học sinh lớp B Học sinh lớp C Số cách chọn tương ứng 2 1 1 1 2 1 1 1 2 C52 .C41 .C31  120 cách C51.C42 .C31  90 cách C51.C41 .C32  60 cách Vậy có tất cả là 120+90+60=270 cách. b/ Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là C124  495 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có 1 học sinh là 270 cách chọn . Nên số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp phải là : 495-270=225 cách chọn . Ví dụ 5: (ĐH khối B-2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hổi khó, 10 câu hỏi trung bìnhvà 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? *Lời giải : Ta có trường hợp như sau: số câu hỏi dễ số câu hỏi TB 2 1 2 2 3 1 số câu hỏi khó 2 1 1 Số cách lập đề dạng này 1 C152 .C10 .C52  10500 cách C152 .C102 .C51  23625 cách C153 .C101 .C51  22750 cách Áp dụng quy tắc cộng có tất cả 10500+23625+22750=56875 đề được lập. Ví dụ 6: (ĐH khối B-2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ? *Lời giải : Số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất là C31C124 . Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất ta có số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai là C21C84 . Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai ta có số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba là C11C44 . Vậy có tất cả các cách phân công thanh niên tình nguyện về ba tỉnh sẽ là: C31C124 �C21C84 �C11C44 =207900 cách. Ví dụ 7 : Một lớp có 30 học sinh gồm 18 nam và 12 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự lớp gồm 5 người: a/ Mọi người đều vui vẻ tham gia. b/ Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau. c/ Cậu An và cô Hà không thể làm việc chung với nhau. *Lời giải : a/ Vì mọi người đều vui vẻ tham gia nên ta tuỳ ý chọn 5 trong số 30 người vào ban cán sự lớp. Mỗi cách chọn đó là một tổ hợp chập 5 của 30 phần tử . 5 Vậy có tất cả C30  30!  142506 cách chọn . 5!25! b/ Cách 1: -Nếu cả Tâm và Bình cùng có mặt trong ban cán sự thì ta chỉ việc chọn 3 3 người trong 28 người vào ban cán sự => có C28 cách chọn -Nếu cả Tâm và Bình cùng không có mặt trong ban cán sự thì ta chọn 5 5 người trong 28 người vào ban cán sự => có C28 cách chọn Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau là: 3 5 C28 + C28 =101556 cách chọn. Cách 2: -Chọn 5 người tuỳ ý trong 30 người =>có C305 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có Tâm mà không có Bình =>có C284 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có Bình mà không có Tâm =>có C284 cách chọn . Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau là: C305 -( C284 + C284 )=101556 cách chọn. c/ Cách 1: 5 -Chọn 5 người trong đó không có An mà không có Hà =>có C28 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có An mà không có Hà =>có C284 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có Hà mà không có An =>có C284 cách chọn . Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu An và Hà không thể làm việc chung với nhau là: 5 C28 + C284 + C284 =139230 cách chọn. Cách 2: -Chọn 5 người tuỳ ý trong 30 người =>có C305 cách chọn . 3 -Chọn 5 người trong đó có cả An và Hà =>có C28 cách chọn . Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu An và Hà không thể làm việc chung với nhau là: 3 C305  C28 =139230 cách chọn. Ví dụ 8: Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra đúng 5 người sao cho: a/ có đúng 2 nam. b/ có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ. *Lời giải : a/ Chọn bất kỳ 2 nam trong 10 nam => có C102 cách chọn Chọn bất kỳ 3 nữ trong 10 nữ => có C103 cách chọn Vậy số cách chọn 5 người có đúng 2 nam là: C102 . C103 =5400 cách chọn . b/ Cách 1: - Chọn 5 người trong đó có 2 nam và 3 nữ => có C102 . C103 cách chọn - Chọn 5 người trong đó có 3 nam và 2 nữ => có C103 . C102 cách chọn - Chọn 5 người trong đó có 4 nam và 1 nữ => có C104 . C101 cách chọn Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là: C102 . C103 + C103 . C102 + C104 . C101 =12900 cách chọn. Cách 2: 5 -Chọn 5 người tuỳ ý trong 20 người =>có C20 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có 1 nam và 4 nữ => có C101 . C104 cách chọn -Chọn 5 người trong đó có 0 nam và 5 nữ => có C105 cách chọn -Chọn 5 người trong đó có 5 nam và 0 nữ => có C105 cách chọn Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là: 5 C20 -( C101 . C104 + C105 + C105 )=12900 cách chọn. DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỰ NHIÊN +Số tự nhiên n  ab trong đó a, b   0,1, 2,...,9 , a 0 +Số ab  10a  b , abc  100a  10b  c +Số ab �ba 1. Tính số các số tự nhiên liên quan đến so sánh các số, các chữ số: Ví dụ 9: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và số đó a) Lớn hơn 400? b) Không nhỏ hơn 666? c) Nhỏ hơn 345? *Lời giải: a/ Gọi số cần tìm là x  abc Vì x>400 nên a �4 , suy ra a có 6 cách chọn và bc có A82 cách chọn . Vậy có tất cả 6 �A82 =336 số . b/ Gọi số cần tìm là x  abc Từ x �666 suy ra a �6 , ta có các trường hợp sau: *TH1: Với a � 7;8;9 khi đó b,c chọn tuỳ ý. Ta có : a có 3 cách chọn 2 bc có A8 cách chọn Suy ra có 3 �A82 =168 số. *TH2: Với a=6 khi đó b>6 và c chọn tuỳ ý. Ta có: a có 1 cách chọn b có 3 cách chọn c có 7 cách chọn Suy ra có 1.3.7=21 số. Vậy có tất cả 168+21=189 số thoả mãn yêu cầu bài toán . c/ Vì x<345 nên a � 1;2;3 ta có các TH sau: *TH1: Với a � 1;2 khi đó b,c chọn tuỳ ý. Ta có : a có 2 cách chọn 2 bc có A8 cách chọn Suy ra có 3 �A82 =112 số. *TH2: Với a=3 khi đó b � 1;2;4 . Xảy ra 2 khả năng: KN1: Nếu b � 1;2 thì c chọn tuỳ ý. Do đó: a có 1 cách chọn b có 2 cách chọn c có 7 cách chọn Suy ra có 1.2.7=14 số. KN2: Nếu b=4 thì c<5 nên c � 1;2 . Do đó có 2 số cần tìm . Vậy có tất cả 112+14+2=128 số thoả mãn yêu cầu bài toán . Ví dụ 10: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau từng đôi một sao cho trong năm chữ số đó chữ số hàng trăm là lớn nhất? *Lời giải : Gọi số cần tìm là x  abcde *Gọi P là tập gồm 5 chữ số khác 0. Số cách chọn P là C95 Với mỗi cách chọn P như trên thì: c có 1 cách chọn abde có 4! cách chọn Do đó với mỗi tập P như trên ta được 4! số x cần tìm. Vậy số x được lập trong trường hợp này là : C95 .4! (số). *Gọi Q là tập chứa chữ số 0 và 4 chữ số khác 0. Số cách chọn Q là C94 Với mỗi cách chọn Qnhư trên thì: c có 1 cách chọn a có 3 cách chọn bde có 3 cách chọn Do đó với mỗi tập Q như trên ta được 3.3! số x cần tìm. Vậy số x được lập trong trường hợp này là : C94 .3.3! (số). Vạy có tất cả là: C95 .4!+ C94 .3.3! =5292 (số) 2. Tính số các số tự nhiên liên quan đến tính chia hết: *Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên: +dấu hiệu chia hết cho 2 là có chữ số tận cùng là số chẵn:0,2,4,6,8 +dấu hiệu chia hết cho 3 là tồng các chữ số là một số chie hết cho 3 +dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4 +dấu hiệu chia hết cho 5 là có chữ số tận cùng là 0, 5 +dấu hiệu chia hết cho 6 là số chia hết cho cả 2 và 3 +dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số là một số chia hết cho 9 +dấu hiệu chia hết cho 10 là có chữ số tận cùng là 0 +dấu hiệu chia hết cho 11 là tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tồng các chữ số ở vị trí chẵn bằng 0 +dấu hiệu chia hết cho 25 là có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 Ví dụ 11: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau thoả mãn a) số đó là số chẵn? b) số đó chia hết cho 5? *Lời giải : Gọi số cần tìm là x  abcde, a �0 . a/ Vì x là số chẵn nên e � 0;2;4;6;8 . +TH1: Với e=0: Khi đó a có 9 cách chọn , bcd có A83 cách chọn . Suy ra có 9. A83 =3024 số. +TH2: Với e �0 . Khi đó e có 4 cách chọn , a có 8 cách chọn , bcd có A83 cách chọn . Suy ra có 4.8. A83 =10752 số. Vậy có tất cả 3024+10752=13776 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán . b/ Vì x chia hết cho 5 nên e � 0;5 . +TH1: Với e=0: Khi đó a có 9 cách chọn, bcd có A83 cách chọn . Suy ra có 9. A83 =3024 số. +TH2: Với e=5: Khi đó a có 8 cách chọn, bcd có A83 cách chọn . Suy ra có 8. A83 =2688 số. Vậy có tất cả 3024+2688=5712 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán . Ví dụ 12: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có thoả mãn a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5. b/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3. c/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9. *Lời giải : a/ theo dấu hiệu chia hết thì số cần tìm chia hết 5 nên nó có hàng đơn vị là 0 hoặc 5. + nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì cách sắp xếp các chữ số từ 1 đến 5 vào 3 vị trí còn lại có : A53 số dạng này. + nếu chữ số hàng đơn vị là 5 thì có 4 cách sắp xếp chữ số hàng nghìn. Và có A42 cách sắp xếp vào vi trí hàng trăm và hàng chục. Nên ta có : 4. A42 số dạng này. Vậy có tất cả : A53 +4. A42 =96 số. b/ Giả sử số cần tìm có dạng x  abc, a �0, a �b �c, Vì xM3 nên  a  b  c  M3 . Xét các trường hợp sau: *  a, b, c  �  0,1, 2  ,  0, 4,5  ,  0, 2, 4  ,  0,1,5   . Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể tạo thành (3!-2!) số. Vậy có 4. (3!-2!)=16 số trong TH này *  a, b, c  �  1, 2,3 ,  2,3, 4  ,  3, 4,5  ,  1,3,5   Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể tạo thành 3! số. Vậy có 4. 3!=24 số trong TH này Vậy có tất cả 16+24=40 số c/ Vì số cần tìm x chia hết cho 9 nên  a  b  c  M9 Xét các TH sau: *  a, b, c    0, 4,9  � có 3! -2! =4 số được tạo thành. *  a, b, c    2,3, 4  � có 3! =6 số được tạo thành. *  a, b, c    1,3,5  � có 3!=6 số được tạo thành. Vậy có tất cả 4+6+6=16 số cần tìm. Ví dụ 13: Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có thoả mãn a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 11. b/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 25. c/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 4. *Lời giải : Gọi số cần tìm là x  abcd , a, b, c, d � 1,2,...,5 , a �b �c �d a/ Vì xM11 nên ta có các TH sau: � a, c � 1, 4 � có 2!cách � b, d � 2,3 � có 2!cách � TH1: � Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số � a, c � 2, 4 � có 2!cách � b, d � 1,5 � có 2!cách � TH2: � Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số � a, c � 3, 4 � có 2!cách � b, d � 2,5 � có 2!cách � TH2: � Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số Vậy có tất cả là 8+8+8=24 số cần tìm. b/Vì xM25 nên n có dạng ab25 suy ra a có 3 cách chọn b có 2 cách chọn Vậy có tất cả 3.2=6 số cần tìm. c/ Vì xM4 nên n có dạng ab12, ab 24, ab32, ab52 Ở mỗi dạng ta có có thể sắp xếp ab để tạo được A32 =6 số. Do đó ta có tất cả là 4.6=24 số cần tìm. Ví dụ 14 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số chia hết cho 9?. *Lời giải : Số tự nhiên chia hết cho 9 là số có tổng tấc cả các chữ số chia hết cho 9 -Các số có 6 chữ số chia hết cho 9 viết theo thứ tự tăng dần là dãy số : 10008,100017,100026,….,999999 Đây là một cấp số cộng có công sai d=9. -Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 se là dãy con của dãy số trên . Nó là cấp số cộng u1  100017, u2  100035,...., un  999999 với công sai d=18 Do đó 100017+(n-1)18=999999 =>n=50000 Vậy có tất cả 50000 số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9. Ví dụ 15: Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho hai chữ số không năm liền nhau? *Lời giải: Có 7! số có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho. Bây giờ ta đi tìm số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau. Ta coi hai chữ số nằm liền nhau như một khối thống nhất. Khối thống nhất này cùng với 5 chữ số còn lại sẽ cho ta 6! số. Mỗi lần hoán vị 2 chữ số chẵn trong khối ta sẽ có 2! Số mới. Nên có 6!.2! số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau. Vậy có tất cả 7!-6!.2!=3600 số cần tìm. 3.Tính số các số tự nhiên ràng buộc sự có mặt cuả các chữ số: Ví dụ 16: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó a) Nhất thiết phải có mặt chữ số 3? b) Nhất thiết phải có mặt chữ số 2 và 4? *Lời giải : Gọi số có 5 chữ số là abcde , số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí. a/ Xếp chữ số 3 vào 1 trong 5 vị trí : có 5 cách xếp. Lấy 4 chữ số trong 5 chữ số xếp vào 4 vị trí còn lại: có A54 cách . Vậy có tất cả là 5. A54 =600 số thoả mãn yêu cầu bài toán . b/ Xếp chữ số 2 và 4 vào 2 trong 5 vị trí : có A52 cách xếp. Lấy 3 chữ số trong 4 chữ số xếp vào 3 vị trí còn lại: có A43 cách . Vậy có tất cả là A52 . A43 =480 số thoả mãn yêu cầu bài toán . Ví dụ 17: Cho tập A=  0,1,2,3,4,5,6,7 a/ Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà mỗi số luôn có mặt hai chữ số 1 và 7? b/ Trong các số tìm được ở câu a/ có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 7 đứng kề nhau, chữ số 1 đứng bên trái chữ số 7? *Lời giải : Một số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A có dạng abcde A; a b c ( với a, b, c, d , e ι��� d e .) a/ Ta có:  Có A52 cách chọn chữ số 1 và chữ số 7 vào 5 vị trí .  Có 5 cách chọn a (trừ các chữ số 0, 1,7)  Có A52 cách chọn 2 trong 5 chữ số còn lại vào 2 vị trí còn lại. Do đó số các số tự nhiên cần tìm là : A52 �5 �A52 =2000 (số) b/Nhận thấy rằng : “ Số cách chọn hai chữ số 1 và 7 đứng cạnh nhau mà chữ số 1 luôn đứng bên trái chữ số 7 trong dãy có 5 vị trí là 4 cách chọn”. Do đó ta xét 2 TH: *TH1: Chữ số 1 đứng ở hàng vạn (vị trí a) thì chữ số 7 sẽ đứng ở hàng nghìn (vị trí b)  Mỗi bộ số dành cho ba vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 3 của các phần tử của A\  1,7 là 6 phần tử . � có A63 cách chọn . Vậy trong TH này ta được 1. A63 (số). *TH2: Chữ số 1 đứng ở vị trí khác vị trí a, tức là có thể ở 3 vị trí (b,c,d) � có 3 cách chọn . Tiếp theo:  a được chọn từ tập A\  0,1,7 � có 5 cách chọn .  Mỗi bộ số dành cho hai vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập của các phần tử của A\  1,7,a là 5 phần tử . � có A52 cách chọn . Vậy trong TH này ta được 3.5. A52 (số). Khi đó ta có tất cả là: 1. A63 +3.5. A52 =420 (số) Ví dụ 18: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một, sao cho trong 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ. *Lời giải: Cách 1: Gọi x  a1a2 a3a4 a5 là số cần tìm. Xét các TH sau: +Nếu a1 là số chẵn, a1 � 2, 4, 6 thì với mỗi cách chọn a1 ta thấy Có C32 cách chọn 2 chữ số chẵn còn lại. Có C42 cách chọn 2 chữ số lẻ. Có 4! hoán vị các chữ số đã chọn. � có 3.4!. C32 . C42 =1296 số dạng này +Nếu a1 là số lẻ, a1 � 1,3,5, 7 thì với mỗi cách chọn a1 ta thấy Có C43 cách chọn 3 chữ số chẵn . Có C31 cách chọn 1 chữ số lẻ còn lại. Có 4! hoán vị các chữ số đã chọn. � có 4.4!. C43 . C31 =1152 số dạng này Vậy có tất cả 1296+1152=2448 số cần tìm.