Tài liệu T￡ch ph￢n thức hữu tỉ nhanh nhất 2016

0.1 Tách phân thức hữu tỉ nhanh nhất Đây tất nhiên là ứng dụng của Laplace trong giải PTVP, bước làm cho các bạn ngại làm nhất chính là tách ghép cái phân thức hữu tỉ của s để biến đổi ngược lại thành t, lí do là lâu la và dễ nhầm! Tuy nhiên nếu ai có biết hoặc nghiên cứu về kỹ thuật CASIO giải Toán THPT rồi thì sẽ thấy bình thường, kỹ thuật tách phân thức bằng CASIO đã có từ lâu bắt nguồn từ việc tính tích phân hàm hữu tỉ ở lớp 12. Sau đây là toàn bộ phương pháp do tôi học được và nghiên cứu thêm, đi từ đơn giản đến phức tạp:       b d xk + − xk + 1 1 1  1 a c  1  = = .  − 1.  k k b d d b b d bc − ad (ax + b)(cx + d) k k k k − ac x + x + x + x + a c  c a a c  1 c a = − bc − ad cxk + d axk + b Cái này dễ nên tách tay cho nhanh! 2. (ax2 + bx + c) − x(ax + b) 1 1 = = x(ax2 + bx + c) cx(ax2 + bx + c) c  1 ax + b − x ax2 + bx + c  Cái này cũng nên tách tay. 3. f (x) a1 (x − x0 )n−1 + a2 (x − x0 )n−2 + · · · + an a1 an = = + ··· + (degf < n) n n (x − x0 ) (x − x0 ) x − x0 (x − x0 )n Sở dĩ chỉ xét degf < n vì giả sử degf = n + k thì ta cũng làm như cũ thôi, nhưng kết quả ngoài như trên còn cộng thêm với gk (x) (đa thức có bậc k , hiểu chứ?) Cái này thì tách tay không ổn, ta sẽ dùng CASIO để tách f (x) = a1 (x − x0 )n−1 + a2 (x − x0 )n−2 + · · · + an Dễ thấy dạng trên chính là khai triển Taylor của hàm đa thức f (x) tại x = x0 , áp dụng kỹ thuật khai triển đa thức bằng phương pháp xấp xỉ trên máy tính CASIO ta sẽ tách nó chỉ trong khoảng 10 giây nếu đã thực hành quen! 97er thì CASIO mới bắt đầu phát triển nên phần lớn chưa biết, chỉ đến lứa 98er thì mới thực sự "lên đỉnh"! Nói sơ qua: để khai triển 1 đa thức bất kì ra dạng chính tắc (tức dạng a1 xn +a2 xn−1 +· · ·+an+1 ), ta nhập đa thức vào máy sau đó gán vào biến của máy giá trị bằng 1000 (hoặc 100, thường dùng biến X ), ta sẽ được kết quả f (1000). Từ kết quả này sử dụng xấp xỉ sẽ truy ngược lại được  thu−− −−−→ các hệ số ai i = 1, n + 1 Như vậy ở đây ta muốn tách f (x) = a1 (x − x0 )n−1 + a2 (x − x0 )n−2 + · · · + an , đặt Y = x − x0 , ta được f (Y + x0 ) = a1 Y n−1 + a2 Y n−2 + · · · + an . Để xấp xỉ được, ta phải gán cho x 1 giá trị sao cho Y = 1000, vậy ta gán X = 1000 + x0 , sau đó xấp xỉ. Nói như thế này thì những người không biết đến kỹ thuật CASIO sẽ chẳng hiểu gì cả! Không 1 sao, nếu các bạn nóng lòng muốn biết quá thì hãy nhảy ngay đến VD2 để xem chi tiết, còn về lý thuyết có vậy thôi! 4. f (x) B1 B2 Bm = + + ··· + với degf < 2m, m 2 2 2 2 + bx + c) ax + bx + c (ax + bx + c) (ax + bx + c)m −−→ Bi = pi x + qi i = 1, m và tam thức ax2 + bx + c vô nghiệm thực. (ax2 Vì Bi không phải hằng số nên không thể làm như f (x) được, nhưng trái lại ta sử dụng (x − x0 )n kỹ thuật chia đa thức có dư bằng CASIO khá hay! Ta thấy: (ax2 f (x) B2 Bm = B1 + 2 + ··· + m−1 2 + bx + c) ax + bx + c (ax + bx + c)m−1 Như vậy B1 chính là thương của phép chia f (x) cho (ax2 + bx + c)m−1 , việc chia bằng CASIO khá là đơn giản (cũng là phương pháp xấp xỉ, xem VD sẽ thấy!). ⇒ f (x) − B1 (ax2 + bx + c)m−1 B3 Bm = B2 + 2 + ··· + 2 m−2 2 (ax + bx + c) ax + bx + c (ax + bx + c)m−2 Như vậy B2 là thương của phép chia f (x) − B1 (ax2 + bx + c)m−1 cho (ax2 + bx + c)m−2 . . . Cứ như thế ta sẽ tìm ra các Bi Có 3 điều cần chú ý ở đây:  −−→ (a) Các Bi i = 1, m trong phép chia không phải luôn là bậc nhất, có thể là tam thức bậc 2 (phát hiện từ thực nghiệm!), khi đó ta sẽ thêm 1 khâu rất nhỏ nữa để khử nốt nó đưa về dạng chính xác, đơn giản thôi. . . (b) Khi chia phân thức mà hệ số bậc cao nhất của mẫu là 1 thì chỉ cần gán X = 1000 là có thương ngay, nhưng nếu hệ số ấy là một số khác, ta phải nhân thêm kết quả chia với số đó (như VD4). (c) Để đảm bảo chính xác khi dùng kỹ thuật chia, nên thử với cả X = 1000 và X = 100, vì giá trị lớn dễ gây sai số, việc xấp xỉ với X = 100 tương tự như X = 1000 thôi. Nếu cả 2 kết quả giống nhau thì yên tâm, lệch nhau thì nên tin kết quả của X = 100 Cách sử dụng phép chia trên tôi nghĩ ra trong lúc viết tài liệu này, trước đó 3 năm có 1 cách khác đã thống trị, đó là sử dụng nghiệm phức của tam thức ax2 + bx + c và tính giới hạn! Cách đấy lằng nhằng, dễ sai, do đó các bạn không cần phải quan tâm nó làm gì. 5. f (x) (x − x0 + bx + c)m    an B1 Bm a1 = + ··· + + + ··· + x − x0 x0 )n ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)m  (x − −−→ với Bi = pi x + qi i = 1, m và degf < n, tam thức ax2 + bx + c vô nghiệm thực. )n (ax2 Cái này khó nè! Tất nhiên phải cần CASIO mới nói, nhưng các bạn phải luyện tập nhiều hơn các trường hợp trên! 2 f (x) F (x) thì ta được , có dạng giống phân thức ở mục 3, m + bx + c) (x − x0 )n f (x) nhưng ở đó, F (x) là 1 đa thức, còn ở đây là phân thức . Về mặt khai triển Tay(ax2 + bx + c)m lor, ta cũng có thể viết F (x) dưới dạng a1 (x − x0 )n−1 + · · · + an−1 (x − x0 ) + an , nhưng vì nó không Nếu đặt F (x) = (ax2 phải đa thức, nên sẽ không phải dấu "=", mà là F (x) ≈ a1 (x − x0 )n−1 + · · · + an−1 (x − x0 ) + an , do đó kết quả sẽ sai! Đúng ra F (x) sẽ như sau: F (x) = a1 (x − x0 )n−1 + · · · + an + (x − x0 ⇒ an = F (x0 ) ⇒ an−1 = lim x→x0 )n  Bm B1 + ··· + 2 2 ax + bx + c (ax + bx + c)m  F (x) − an = F 0 (x0 ) x − x0 Liệu có chăng kết quả: an−2 = F 00 (x0 );. . . ; an−k = F (k) (x0 )? Khi tôi đăng bản đầu tiên của phương pháp này trên Facebook, thì đúng là có kết quả ấy, và tôi nhận thấy cũng có 1 tài liệu khác đưa ra rằng an−k = F (k) (x0 ), nhưng thực nghiệm sau đó đã cho thấy việc tìm an−k bằng cách này là hoàn toàn sai, nó chỉ đúng với an và an−1 mà thôi. Cái sai này hơi khó phát hiện, nhưng cũng không khó giải thích vì nó thuộc về bản chất đạo hàm, cụ thể như sau: an−2 F (x) − an−1 (x − x0 ) − an = lim = lim x→x0 x→x0 (x − x0 )2 Nhiều tác giả đã lầm tưởng lim x→x0 F (x) − an − an−1 F 0 (x0 ) − an−1 x − x0 = lim x→x0 x − x0 x − x0 F 0 (x0 ) − an−1 F 0 (x) − an−1 = F 00 (x0 ) thay vì F 00 (x0 ) = mới x − x0 x − x0 là đúng. Vậy ta có thể tìm an và an−1 rất dễ dàng bằng cách tính F (x0 ) và F 0 (x0 ), hơn nữa việc tính F 0 (x0 ) có thể giao cho máy bằng chức năng tính đạo hàm tại điểm (nhấn SHIFT và phím tích phân là thấy). Các hệ số còn lại ta đành phải tính lim theo cách thủ công thôi:  an−2 = lim x→x0 an an−1 f (x) − − n 2 m n (x − x0 ) (ax + bx + c) (x − x0 ) (x − x0 )n−1  (x − x0 )n−2 .........  a1 = lim x→x0 f (x) an a2 − − ··· − (x − x0 )n (ax2 + bx + c)m (x − x0 )n (x − x0 )2  (x − x0 ) Để tính lim trên CASIO các bạn nhập biểu thức rồi gán vào biến X = x0 + 10−8 (hoặc 10−5 ) để biểu thị rằng X "rất gần" với x0 , kết quả thu được sẽ được máy làm tròn (chẳng hạn đúng ra là 2, 0000000012 thì nó hiển thị là 2), nếu nó không làm tròn thì ta làm thay nó, đó chính là giới hạn cần tính. 3 Ở dòng máy VINACAL đã có chức năng tính lim nên tiện lợi hơn rất nhiều, không cần phải suy nghĩ gì! Còn đối với CASIO, tính giới hạn như trên thỉnh thoảng bị sai, lí do vì "sai số" trong thiết kế và cũng vì giá trị X nhập vào chỉ là gần đúng! Về việc xử lí cái này thì. . . tôi không nói thêm nữa, sẽ khiến các bạn thấy rối rắm hơn và nghĩ rằng dùng CASIO thêm mất thời gian, trừ phi ai đã từngquan tâm đến kỹ thuật CASIO khi luyện thi ĐH thì biết thôi! Bây giờ chúng ta −−→ sẽ tìm các Bi i = 1, m Để tìm Bi , ta sử dụng kỹ thuật chia có dư như mục 4, đặt G(x) = f (x) , ta được: (x − x0 )n   a1 an G(x) 2 + ··· + − (ax + bx + c) (ax2 + bx + c)m−1 x − x0 (x − x0 )n B2 Bm = B1 + 2 + ··· + ax + bx + c (ax2 + bx + c)m−1 ⇒ B1 là thương trong phép chia có dư: G(x) − (ax2 + bx + c) 2 (ax + bx + c)m−1  a1 an + ··· + x − x0 (x − x0 )n  Tương tự:   G(x) a1 an 2 2 − (ax + bx + c) + ··· + − B1 (ax2 + bx + c) (ax2 + bx + c)m−2 x − x0 (x − x0 )n Bm B3 + ··· + = B2 + 2 ax + bx + c (ax2 + bx + c)m−2 Từ đó ta lại tìm được B2 , và quá trình cứ thế diễn ra. Lưu ý: phép tính nhìn dài và có vẻ phức tạp, khó nhớ, nhưng dễ hiểu, chỉ cần luyện tập một vài bài là thạo! Nếu không nhập được hết (lỗi tràn màn hình), thì ngắt ra, nhưng đừng ngắt nhiều lần quá, sai số gộp lại sẽ càng lớn. Cũng như mục 4, trước kia có cách sử dụng nghiệm phức của tam thức ax2 + bx + c rồi tính giới hạn, nhưng dễ sai. Đó là tất cả lý thuyết! Nhìn tổng quát thì hơi ngại nhưng đọc các VD sẽ thấy nó rất dễ hiểu, vì đều là kiến thức sơ cấp! Điều thứ 2 là ta cần linh hoạt khi sử dụng CASIO, vì về lý thuyết các cách trên hoàn toàn giải quyết được bài toán, nhưng thực tế có thể có những đường tắt nhanh hơn (xem VD!). Điều cuối cùng phải lưu tâm: tính toán cho cẩn thận! VD1. Khai triển đa thức f (x) = (x2 + 3x + 2)(2x + 1)2 − (x − 1)(x2 − x + 3) VD này mang tính làm quen với việc khai triển đa thức bằng phương pháp xấp xỉ trên CASIO cho người chưa biết thôi! Đầu tiên nhập biểu thức vào máy: (X 2 + 3X + 2)(2X + 1)2 − (X − 1)(X 2 − X + 3) (gọi tắt là 4 f (X)). Bấm [CALC], gán X = 1000, bấm [=], ta được kết quả: K1 = 4, 015023007.1012 Vì 1012 = 10004 = X 4 nên ta xấp xỉ: K1 ≈ 4.1012 = 4X 4 , quay lại biểu thức đã nhập bổ sung thành f (X) − 4X 4 , bấm [=] thu được K2 = 1, 502300701.1010 Vì 1010 = 10.10003 = 10X 3 nên ta dịch dấu phẩy cho thành 109 rồi mới xấp xỉ: K2 = 15, 02300701.109 ≈ 15.109 = 15X 3 , quay lại biểu thức bổ sung tiếp thành f (X) − 4X 4 − 15X 3 , bấm [=] thu được K3 = 23007005 Các bạn chưa quen cứ làm tiếp như trên: K3 ≈ 23.10002 = 23X 2 , nhưng tôi ngại gõ thêm nên làm đến cuối luôn: K3 = 23.10002 + 7.1000 + 5 = 23X 2 + 7X + 5 Việc thử lại là quan trọng, các bạn nhập toàn bộ f (X) − 4X 4 − 15X 3 − 23X 2 − 7X − 5 rồi gán X = π hoặc X = e (2 số siêu việt cho sẵn trong máy, lí do tại sao phải là siêu việt thì. . . không cần hiểu đâu!), nếu kết quả bằng 0 là khai triển đúng. Vậy f (X) − 4X 4 − 15X 3 = 23X 2 + 7X + 5, đó chính là kết quả: f (x) = 4x4 + 15x3 + 23x2 + 7x + 5 Nếu đã thành thục, tất cả các bước trên chỉ bấm trong 10 giây mà thôi! Vậy nếu không dùng X = 1000 mà dùng X = 100 thì sao? Như đã nói, tương tự thôi! Nhập biểu thức đề cho, gán X = 100, được kết quả: K1 = 415230705. Vì X = 100 nên ta sẽ phân tích theo 100: K1 ≈ 4.108 = 4.1004 = 4X 4 Sửa biểu thức, kết quả tiếp theo K2 = 15230705, vì K1 đã 1004 rồi nên K2 ta chỉ được phân tích đến 1003 thôi: K2 ≈ 15.106 = 15.1003 = 15X 3 Giống như kết quả với X = 1000 chứ? Các bạn tự làm tiếp nhé! Ta rút ra 1 nhận xét là: với X = 1000 thì các hệ số phân tách rõ ràng hơn (tổng quát X là số tròn chục, số số 0 càng nhiều thì càng dễ phân tách hệ số đa thức). Tuy nhiên giá trị càng lớn, sai số tính toán của máy càng lớn và càng về các hệ số bậc thấp càng dễ sai, đó chính là ưu nhược điểm của các cách gán 100 và 1000. Sang VD3 các bạn sẽ thấy việc sử dụng X = 100 là có lợi hơn, và nói chung ta nên dùng cả 2, so sánh kết quả với nhau để đảm bảo kết quả đúng. VD2. Tách phân thức f (x) = x5 + 2x4 + 2x + 1 (x − 1)4 Bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 bậc nên kết quả sẽ có 1 nhị thức bậc nhất đứng riêng: f (x) = ax + b + a1 a2 a3 a4 + + + 2 3 x − 1 (x − 1) (x − 1) (x − 1)4 Nhưng dù nó là gì thì ta cũng kệ cmn vì chỉ cần khai triển Taylor cái tử theo (x − 1) là xong hết! 5 Nhập tử vào máy: T = X 5 + 2X 4 + 2X + 1, bấm [CALC], gán X sao cho X − 1 = 1000, vậy gán X = 1001, bấm [=] ta được kết quả K1 = 1, 007018022.1015 Việc khai triển các bạn làm quen ở VD1 rồi nên ở đây đi nhanh thôi: K1 ≈ 10005 = (X − 1)5 Sửa biểu thức: T − (X − 1)5 ⇒ K2 = 7, 018022015.1012 ≈ 7.10004 = 7(X − 1)4 Sửa tiếp: T − (X − 1)5 − 7(X − 1)4 ⇒ K3 = 1, 8022015.1010 = 18, 022015.109 ≈ 18.10003 = 18(X − 1)3 Tiếp tục: T − (X − 1)5 − 7(X − 1)4 − 18(X − 1)3 ⇒ K4 = 22015000 = 22.10002 + 15.1000 = 22(X − 1)2 + 15(X − 1) Thử lại, nhập toàn bộ T − (X − 1)5 − 7(X − 1)4 − 18(X − 1)3 − 22(X − 1)2 − 15(X − 1) rồi cho X = π xem kết quả có bằng 0 không. Kết quả là 6, vậy đáp án cuối cùng là: (x − 1)5 + 7(x − 1)4 + 18(x − 1)3 + 22(x − 1)2 + 15(x − 1) + 6 (x − 1)4 18 22 15 6 =x+6+ + + + 2 3 x − 1 (x − 1) (x − 1) (x − 1)4 f (x) = VD3. Tách phân thức f (x) = x7 − x6 + x4 + x − 1 (x2 + x + 1)3 Ta giả sử phân tích tử thức thành: T (x) = B1 (x2 + x + 1)3 + B2 (x2 + x + 1)2 + B3 (x2 + x + 1) + B4 B2 B3 B4 T (x) = B1 + 2 + 2 + 2 nghĩa là B1 là thương trong 3 2 + x + 1) x + x + 1 (x + x + 1) (x + x + 1)3 phép chia có dư của T (x) cho (x2 + x + 1)3 Khi đó: (x2 Các bạn hãy nhớ khi sử dụng kỹ thuật chia có dư bằng CASIO, nên làm 2 lần cho mỗi bước chia với X = 1000 và X = 100 X7 − X6 + X4 + X − 1 . Bấm [CALC] cho X = 1000 (X 2 + X + 1)3 được kết quả 996, 006. Ta chỉ lấy phần nguyên chính là thương (phần thập phân gây ra bởi dư), và ta Để tìm thương trên, trước hết ta nhập phép chia: được: 996 = 1000 − 4 = X − 4 = B1 Với X = 100 ta cũng thu được phần nguyên 96 = X − 4 T (x) − (x − 4)(x2 + x + 1)3 B3 B4 = B2 + 2 + 2 ⇒ B2 là thương của phép chia 2 2 (x + x + 1) x +x+1 (x + x + 1)2 T (x) − (x − 4)(x2 + x + 1)3 cho (x2 + x + 1)2 ⇒ Quay lại biểu thức sửa thành: X 7 − X 6 + X 4 + X − 1 − (X − 4)(X 2 + X + 1)3 . Bấm [=] thu được (X 2 + X + 1)2 6 kết quả 6005, 99201. Lấy phần nguyên: 6005 = 6000 + 5 = 6X + 5 = B2 (cũng đúng với X = 100). X 7 − X 6 + X 4 + X − 1 − (X − 4)(X 2 + X + 1)3 − (6X + 5)(X 2 + X + 1)2 . X2 + X + 1 Thương phép chia mới này chính là B3 , bấm [=] nhận được 993002, 988. Lấy phần nguyên: 993002 = Tiếp tục sửa biểu thức: X 2 − 7X + 2 (xấp xỉ như 2 VD trước). Tuy nhiên lần này với X = 100 thì ta lại được 9300, 029502 nghĩa là 9300 = X 2 − 7X không giống như trên, do đó ta ưu tiên lấy B3 = x2 − 7x vì X nhỏ thì sai số thấp hơn. Không sao, nỗi phân vân sẽ được thử lại và sáng tỏ vào khâu cuối! Cuối cùng ta rút gọn: X 7 − X 6 + X 4 + X − 1 − (X − 4)(X 2 + X + 1)3 − (6X + 5)(X 2 + X + 1)2 − (X 2 − 7X)(X 2 + X + 1) (với X = 100), ta được 298 = 300 − 2 = 3X − 2 Thử lại biểu thức trên với X = π , thấy kết quả trùng với 3π − 2, vậy ta đã làm đúng! Kết luận: x7 − x6 + x4 + x − 1 (x2 + x + 1)3 (x − 4)(x2 + x + 1)3 + (6x + 5)(x2 + x + 1)2 + (x2 − 7x)(x2 + x + 1) + 3x − 2 = (x2 + x + 1)3 2 x − 7x 3x − 2 6x + 5 + 2 + 2 =x−4+ 2 2 x + x + 1 (x + x + 1) (x + x + 1)3 Thế này cũng gọi là tách rồi, nhưng nên tách nốt x2 − 7x thành 2 phân thức nhỏ nữa (trên (x2 + x + 1)2 tử chỉ có tối đa là bậc nhất), thì triệt để hơn: x2 − 7x (x2 + x + 1) − 8x − 1 1 8x + 1 = = 2 − 2 2 2 2 2 (x + x + 1) (x + x + 1) x + x + 1 (x + x + 1)2 Cuối cùng thì: x7 − x6 + x4 + x − 1 6x + 6 8x + 1 3x − 2 =x−4+ 2 − 2 + 2 2 3 2 (x + x + 1) x + x + 1 (x + x + 1) (x + x + 1)3 VD4. x(4) + 2x00 + x = e2t , x(0) = x0 (0) = x00 (0) = x(3) (0) = 0 Sau khi lấy Laplace 2 vế với giả sử L{x(t)}(s) = F (s) và thay các giá trị ban đầu, ta được: F (s) = Ta sẽ tách thành: F (s) = 1 (s − 2)(s2 + 1)2 a B1 B2 + + s − 2 s2 + 1 (s2 + 1)2 1 1 , bấm [CALC] cho X = 2 ta được a = 2 + 1) 25 1 s2 + 1 B2 ⇒ − = B1 + 2 , do đó B1 là thương trong phép chia có dư: (s − 2)(s2 + 1) 25(s − 2) s +1 Nhập (X 2 1 s2 + 1 − (s − 2)(s2 + 1) 25(s − 2) 7  Nhập 1 X2 + 1 − (X − 2)(X 2 + 1) 25(X − 2)  × 25, bấm [CALC] cho X = 1000 ta được −1002, 00501. Lấy phần nguyên: −1002 = −1000 − 2 = −X − 2 ⇒ B1 = − Sở dĩ phải nhân 25 vì khi quy đồng s+2 25 1 s2 + 1 − lên ta sẽ được hệ số đầu tiên dưới (s − 2)(s2 + 1) 25(s − 2) mẫu là 25 Để tìm B2 , ta có: s2 + 1 B2 1 − − B1 = 2 , do đó ta sửa biểu thức thành: 2 (s − 2)(s + 1) 25(s − 2) s +1  1 X2 + 1 X +2 − + 2 (X − 2)(X + 1) 25(X − 2) 25 Bấm [=] thu được −200, 4 = − Vậy: F (s) =  (X 2 + 1) 1002 X +2 =− = B2 5 5 1 s+2 s+2 − − 2 25(s − 2) 25(s + 1) 5(s2 + 1)2 ⇒ x(t) =  L−1 {F (s)}(t)          1 1 −1 s 2 −1 1 1 −1 s 2 −1 1 1 −1 − L − L − L − L = L 25 s − 2  25 s2 + 1 25 s2 + 1 5 (s2 + 1)2 5 (s2 + 1)2   2t e t 7 t 1 = − + sin t + − cos t 25 10 25 5 25 VD5. y (4) − 2y (3) − 8y 00 − 30y 0 − 25y = et , y(0) = 1, y 0 (0) = 2, y 00 (0) = 3, y 000 (0) = 4 Câu này trong đề thi cuối kì KSTN K60! Sau khi lấy Laplace 2 vế với giả sử L{y(t)}(s) = F (s) và thay các giá trị ban đầu, ta được: (s4 − 2s3 − 8s2 − 30s − 25)F (s) = 1 + s3 − 9s − 48 s−1 Nếu chia xuống luôn thì ta sẽ tách 2 phân thức riêng biệt, nhưng sẽ ra các thành phần giống nhau và cuối cùng phải gộp lại, do đó ta quy đồng bên phải lên trước: 1 + (s − 1)(s3 − 9s − 48) s4 − s3 − 9s2 − 39s + 49 1 + s3 − 9s − 48 = = s−1 s−1 s−1 (Bỏ ra 10 giây quy đồng bằng CASIO chắc không tốn thời gian nhỉ!). Tiếp theo phân tích s4 − 2s3 − 8s2 − 30s − 25 thành nhân tử: nhập đa thức này vào máy và [SHIFT] [CALC] (Solve) để tìm nghiệm của nó, được 2 nghiệm là −1 và 5, do đó s4 − 2s3 − 8s2 − 30s − 25 = (s + 1)(s − 5)f (s) Sửa lại: X 4 − 2X 3 − 8X 2 − 30X − 25 , cho X = 1000 ta được 1002005 = X 2 + 2X + 5 = f (s) (X + 1)(X − 5) Ok! Bây giờ ta chia xuống: F (s) = Sau khi tách ta sẽ được: F (s) = s4 − s3 − 9s2 − 39s + 49 (s − 1)(s + 1)(s − 5)(s2 + 2s + 5) a1 a2 a3 B + + + 2 s − 1 s + 1 s − 5 s + 2s + 5 8 Để tìm a1 , ta nhập F (s) vào máy, nhưng bỏ (s − 1) dưới mẫu đi, nghĩa là nhập: X 4 − X 3 − 9X 2 − 39X + 49 (X 2 + 2X + 5)(X + 1)(X − 5) (Nên nhập tam thức bậc 2 đằng trước để lúc sửa cho dễ). Bấm [CALC] cho X = 1, ta được a1 = − 1 64 Để tìm a2 , tương tự, ta lại bỏ (s + 1) dưới mẫu đi, tức là sửa biểu thức thành: X 4 − X 3 − 9X 2 − 39X + 49 (X 2 + 2X + 5)(X − 1)(X − 5) Cho X = −1 thu được a2 = Tìm a3 , ta lại vứt (s − 5) đi: 27 16 X 4 − X 3 − 9X 2 − 39X + 49 43 , cho X = 5 thu được a3 = 2 (X + 2X + 5)(X − 1)(X + 1) 320 Để tìm B , ta có: B s4 − s3 − 9s2 − 39s + 49 1 27 43 = + − − 2 2 s + 2s + 5 (s − 1)(s + 1)(s − 5)(s + 2s + 5) 64(s − 1) 16(s + 1) 320(s − 5) Do đó ta sửa biểu thức lần cuối thành:   X 4 − X 3 − 9X 2 − 39X + 49 1 27 43 + − − (X 2 + 2X + 5) (X 2 + 2X + 5)(X 2 − 1)(X − 5) 64(X − 1) 16(X + 1) 320(X − 5) (Nếu biểu thức này tràn màn hình thì các bạn bẻ đôi ra tính 2 lần). 12673 , dù biết B = px + q 160 là nhị thức bậc nhất nhưng dùng xấp xỉ với số xấu như vậy không hề an toàn, do đó ta thay 2 giá trị Cho X = 1000 được số rất xấu: −804, 83125, tính lại với X = 100, ta được − nhỏ và giải hệ bậc nhất 2 ẩn p, q : + Thay X = 0 ta được 227 = p.0 + q = q 160 + Thay X = 2 ta được − 31 227 129 = 2p + ⇒p=− 160 160 160 Kết luận: 27 1 43 129s − 227 − + − 16(s + 1) 64(s − 1) 320(s − 5) 160(s2 + 2s + 5) 43 129s − 227 107s − 109 = + − 2 64(s − 1) 320(s − 5) 160(s2 + 2s + 5) F (s) = ⇒ y(t) = L−1 {F (s)}         107 −1 s 109 −1 1 43 −1 1 129 −1 s+1 = L − L + L − L 2 64 64 s2 − 1 320 s−5 160 (s + 1)2 + 4 s − 1 89 2 107 109 43 5t 129 −t 89 + L−1 = cosh t − sinh t + e − e cos 2t + e−t sin 2t 80 (s + 1)2 + 4 64 64 320 160 80 9 VD6. Tính L−1 s2 − s + 3  (s − 2)3 (s2 − 4s + 13)2 + s+1 (s − 1)(s2 − 4s + 29)  (t) Việc tách thành như thế nào thì ai cũng biết: F1 = a1 a2 a3 B1 B2 s2 − s + 3 = + + + 2 + 2 3 2 2 2 3 (s − 2) (s − 4s + 13) s − 2 (s − 2) (s − 2) s − 4s + 13 (s − 4s + 13)2 F2 = s+1 a C = + (s − 1)(s2 − 4s + 29) s − 1 s2 − 4s + 29 X2 − X + 3 5 , cho X = 2 được a3 = 2 2 (X − 4X + 13) 81     0  s2 − s + 3 d X2 − X + 3  , bấm [=] được a2 = 1 Vì a2 = , do đó ta nhập: 2 2 2 2 (s − 4s + 13) s=2 dx (X − 4X + 13) x=2 27 Tìm a3 : nhập Để tìm a1 , ta tính giới hạn:   s2 − s + 3 1 5 lim − − (s − 2) s→2 (s − 2)3 (s2 − 4s + 13)2 27(s − 2)2 81(s − 2)3 hay  lim s→2 1 5 s2 − s + 3 − − 2 2 2 (s − 2) (s − 4s + 13) 27(s − 2) 81(s − 2)2  Nhập biểu thức trên (với X thay cho s), cho X = 2 + 10−8 ta được 0, cho tiếp X = 2 + 10−5 ta được −0, 001372, rõ ràng giới hạn này khác 0 nhưng không thể xác định được số chính xác, phải làm sao đây? Không sao! Ta nhận thấy nếu quy đồng biểu thức cần tính lim lên, thì hệ số bậc cao nhất ở dưới mẫu sẽ là 81.27 = 2187, vì kết quả là phân số khó xác định, do đó để triệt mẫu, ta sẽ bổ sung thêm như sau sau khi nhập biểu thức cần tính lim ở trên:   X2 − X + 3 1 5 − − × 81 × 27 (X − 2)2 (X 2 − 4X + 13)2 27(X − 2) 81(X − 2)2 Cho X = 2 + 10−5 , thu được −3, 000564, làm tròn kết quả thành −3, từ đó, giới hạn cần tính là: −3 1 a1 = =− 81.27 729  s2 − s + 3  Để tìm B2 = p2 x + q2 , ta có: B2 (s0 ) = trong đó s0 là nghiệm của s2 − 4s + 13 = 0, do (s − 2)3 s=s0 đó s0 = 2 ± 3i X2 − X + 3 , cho lần lượt X = 2 − 3i và (X − 2)3 1 4 1 4 X = 2 + 3i thu được 2 kết quả tương ứng: − + i → A, − − i → B 3 27 3 27 Bấm [MODE] [2] chuyển sang MODE số phức, nhập Do đó p2 = B−A 4 19 = − ⇒ q2 = A − Ans(2 − 3i) = − (2 + 3i) − (2 − 3i) 81 81 Tìm B1 : ta tính biểu thức sau với s = 1000:  s2 − s + 3 1 1 5 4s + 19 + − − + 3 2 2 2 3 2 (s − 2) (s − 4s + 13) 729(s − 2) 27(s − 2) 81(s − 2) 81(s − 4s + 13)2 10  (s2 − 4s + 13) Thu được 971 s − 29 = = B1 , vậy: 729 729 F1 = − 5 s − 29 1 4s + 19 1 + + + − 729(s − 2) 27(s − 2)2 81(s − 2)3 729(s2 − 4s + 13) 81(s2 − 4s + 13)2 X +1 1 , được a = − 4X + 29 13   s+1 1 Do đó C = − (s2 − 4s + 29), nhập biểu thức này, cho X = 1000 ta (s − 1)(s2 − 4s + 29) 13(s − 1) s − 16 984 =− = C , vậy: được − 13 13 Tiếp tục: tìm a, ta gán X = 1 vào X2 F2 = 1 s − 16 − 2 13(s − 1) 13(s − 4s + 29) Việc tính L−1 {F1 + F2 }(t) các bạn làm tiếp nhé! Bản quyền thuộc về VNCTeam, tác giả Lâm Minh. Sao chép xin vui lòng ghi rõ nguồn! Xin cảm ơn! 11