Tài liệu Tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dương

§¹i Häc Th¸i Nguyªn Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m ------------------------------ NguyÔn V¨n KhuyÕn TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn tr­êng ®Æc sè d­¬ng LuËn v¨n th¹c sÜ To¸n häc Th¸i Nguyªn - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn §¹i Häc Th¸i Nguyªn Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m ---------------------------- NguyÔn V¨n KhuyÕn TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn tr­êng ®Æc sè d­¬ng Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè M· sè: 60.46.05 LuËn v¨n th¹c sÜ To¸n häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: GS.TSKH. Hµ Huy Kho¸i Th¸i Nguyªn - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Môc lôc 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 KiÕn thøc c¬ së 5 1.1 Tr­êng ®Þnh gi¸, tr­êng phi Archimed. . . . . . . . . . . . . 5 1.2 TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt, ®a thøc x¸c ®Þnh duy nhÊt . . . . . 7 1.3 Lý thuyÕt Nevanlinna trªn tr­êng ®Æc sè d­¬ng. . . . . . . . 8 TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn tr­êng ®Æc sè d­¬ng 11 2.1 TËp kh«ng x¸c ®Þnh duy nhÊt vµ cøng affine trong tr­êng ®Æc sè d­¬ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 §Þnh lý c¬ b¶n vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. . . . . . . . . . . . 15 2.3 Nh÷ng vÝ dô vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. . . . . . . . . . . . . 21 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tµi liÖu tham kh¶o 32 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lêi nãi ®Çu VÊn ®Ò t×m c¸c tËp x¸c dÞnh duy nhÊt hµm trªn tr­êng ®Æc sè d­¬ng lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò míi cña lý thuyÕt sè. Cho ®Õn nay míi chØ cã rÊt Ýt c«ng tr×nh theo h­íng nghiªn cøu nµy. LuËn v¨n cã môc ®Ých giíi thiÖu nh÷ng kÕt qu¶ míi nhÊt nh»m t×m ra nh÷ng c¸ch tiÕp cËn s©u h¬n. Néi dung nghiªn cøu bao gåm: -Tr×nh bµy bµi to¸n ®Æt ra trªn tr­êng ®Æc sè d­¬ng, -X©y dùng mét sè tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn tr­êng ®Æc sè d­¬ng, -TÝnh to¸n mét sè vÝ dô cô thÓ. Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu nh©n tö ho¸ cña hµm ph©n h×nh ( trong mÆt ph¼ng phøc ), F. Gross [7], n¨m 1976, ®· ®­a ra kh¸i niÖm tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. Cung cÊp nh÷ng vÝ dô vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn phøc (kh¸c h»ng) ®· trë thµnh chñ ®Ò cña mét sè bµi b¸o gÇn ®©y. Lý thuyÕt Nevanlinna ®· trë thµnh c«ng cô chÝnh ®­îc sö dông ®Ó x©y dùng nh÷ng vÝ dô ®ã. Boutabaa, Escassut vµ Haddad [5] ®· nghiªn cøu tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cho c¸c hµm nguyªn phi Archimed (trong tr­êng ®Æc sè 0) vµ nÕu thu hÑp ®Ó nghiªn cøu c¸c ®a thøc, th× cã mét sù biÓu thÞ ®Ñp vÒ mÆt h×nh häc cho tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt h÷u h¹n. §Þnh lý A (Boutabaa, Escassut vµ Haddad [5]). Cho sè 0. Cho F tËp h÷u h¹n K lµ tr­êng cã ®Æc lµ hä nh÷ng ®a thøc kh¸c h»ng víi hÖ sè trªn S trong K lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cho F K. Khi ®ã, mét nÕu vµ chØ nÕu cøng affine. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn S lµ Cherry vµ Yang [6], n¨m 1999, ®· më réng ®Þnh lý nµy cho tr­êng hîp nh÷ng hµm nguyªn phi Archimed kh¸c h»ng mét biÕn trªn tr­êng ®Æc sè 0, ®Çy ®ñ t­¬ng øng víi mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed. Trong suèt luËn v¨n, K sÏ lu«n lµ mét tr­êng ®Çy ®ñ t­¬ng víi mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed. ''TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt'' lu«n cã nghÜa lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt kÓ c¶ béi cña hä A∗ (K) nh÷ng hµm nguyªn phi Archimed kh¸c h»ng trªn K . Ta cã thÓ coi c¸c ®a thøc trªn tr­êng bÊt kú lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt cña c¸c hµm nguyªn phi Archimed mét biÕn trªn K . Do ®ã, khi ph¸t biÓu bµi to¸n nµo cho hä c¸c hµm nguyªn phi Archimed, mÖnh ®Ò ®ã còng ®óng víi c¸c ®a thøc. Voloch ®· cho mét chøng minh thuÇn tuý ''®¹i sè - h×nh häc''cña ®Þnh lý (Boutabaa, Escassut vµ Haddad [5]) vµ lµm râ r»ng ®Þnh lý còng ®óng trong tr­êng ®Æc sè d­¬ng cho nh÷ng tËp cã lùc l­îng nguyªn tè víi n. NghÜa lµ, §Þnh lý B (§Þnh lý cña Voloch [3]). Cho K p ≥ 0 vµ ®Çy ®ñ A∗ (K) lµ hä nh÷ng cã ®Æc sè t­¬ng øng víi mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Achimed. Cho K . Cho S lµ mét tËp cã lùc l­îng h÷u h¹n n, gi¶ sö nguyªn tè víi p nÕu p > 0. Khi ®ã, S lµ tËp x¸c ®Þnh duy ∗ nhÊt cña hä A (K) nÕu vµ chØ nÕu S lµ cøng affine. hµm nguyªn phi Archimed kh¸c h»ng trªn VËy, ®iÒu g× sÏ x¶y ra khi ®Æc sè p chia hÕt lùc l­îng cña mét tËp ? Trong [6], Cherry vµ Yang ®· cho mét vÝ dô vÒ mét tËp 3 phÇn tö lµ cøng affine, nh­ng kh«ng lµ mét tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt trong tr­êng ®Æc sè 3. V× kh«ng cã tËp cøng affine cã lùc l­îng 2, nªn còng kh«ng cã tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cã lùc l­îng 2 trong tr­êng ®Æc sè 2 ( hoÆc trong tr­êng ®Æc sè bÊt k× ). Mét sè c©u hái tiÕp theo ®­îc ®Æt ra lµ: Cã hay kh«ng tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cã lùc l­îng p trong tr­êng ®Æc sè p ? Tån t¹i hay kh«ng tËp h÷u h¹n cøng affine cã lùc l­îng n mµ kh«ng lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt vµ khi n lµ mét béi, nh­ng kh«ng lµ luü thõa cña ®Æc sè ? Môc ®Ých chÝnh cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i c¸c kÕt qu¶ cña Boutabaa, Cherry vµ Escassut [3] mét c¸ch cã chän läc theo bè côc riªng nh»m cô thÓ ho¸ néi dung ë trªn vµ tr¶ lêi c¸c c©u hái võa nªu. Víi môc ®Ých nh­ vËy, 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn luËn v¨n ®­îc chia lµm hai ch­¬ng Ch­¬ng 1. KiÕn thøc c¬ së. Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n phôc vô cho viÖc chøng minh mét sè ®Þnh lý trong luËn v¨n ë ch­¬ng 2. Ch­¬ng 2. TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn tr­êng ®Æc sè d­¬ng. Tr­íc hÕt, chóng t«i tr×nh bµy vÒ tËp kh«ng x¸c ®Þnh duy nhÊt cøng affine trªn tr­êng ®Æc sè d­¬ng . TiÕp theo, chóng t«i tr×nh bµy ®Þnh lý c¬ b¶n vµ chøng minh cña nã vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cã lùc l­îng ≥ 4 trong tr­êng ®Æc sè bÊt k×, ®©y còng chÝnh lµ träng t©m cña luËn v¨n. Cuèi cïng chóng t«i ®­a ra c¸c vÝ dô vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cã lùc l­îng n, víi mäi n ≥ 4, trong tr­êng ®Æc sè bÊt k×. Víi tËp cã lùc l­îng nhá ta cßn cã thÓ sö dông c«ng cô ''®¹i sè - h×nh häc'' sÏ tr×nh bµy trong phÇn cuèi cña ch­¬ng. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi thÇy gi¸o GS.TSKH. Hµ Huy Kho¸i, c¸n bé ViÖn To¸n häc - ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ quèc gia, ng­êi ®· nhiÖt t×nh h­íng dÉn vµ chØ b¶o t«i nh÷ng kiÕn thøc, kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh hoµn thµnh luËn v¨n vµ nghiªn cøu khoa häc . T«i còng xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi nh÷ng ng­êi th©n yªu trong gia ®×nh, nh÷ng ng­êi b¹n th©n thiÕt ®· ®éng viªn, gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng 1 KiÕn thøc c¬ së 1.1 Tr­êng ®Þnh gi¸, tr­êng phi Archimed. §Þnh nghÜa 1.1.1. Cho p lµ mét sè nguyªn tè. Mét sè nguyªn p-adic cã thÓ ®­îc m« t¶ b»ng nhiÒu c¸ch. Mét phÐp biÓu diÔn nã lµ mét chuçi x = a0 + a1 p + a2 p2 + ..., ai ∈ Z(∗). Tæng riªng lµ xn = a0 +a1 p+a2 p2 +...+an pn sao cho xn −xn−1 = an pn . Mét sè nguyªn p− adic còng cã thÓ ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ mét d·y sè nguyªn x = {x0 , x1 , ...} tho¶ m·n xn ≡ xn−1 mod pn , n = 1, 2, ... (**) Tæng vµ tÝch cña nh÷ng sè nguyªn p− adic ®­îc ®Þnh nghÜa bëi phÐp nh©n ®a thøc nÕu (*) ®­îc sö dông. Víi phÐp biÓu diÔn (**), ta cã x + y = {xn + yn }, xy = {xn yn }. Víi phÐp céng vµ phÐp nh©n ®Þnh nghÜa nh­ trªn, ta cã vµnh c¸c sè nguyªn p-adic, kÝ hiÖu : θp . x = {xn } ®­îc gäi lµ mét ®¬n vÞ cña θp (còng gäi lµ ®¬n vÞ p- adic) nÕu x0 6≡ 0 mod p. §Æc biÖt, mét sè nguyªn a lµ ®¬n vÞ p- adic nÕu a 6≡ 0 mod p. §Þnh nghÜa 1.1.2. Sè nguyªn p- adic Tr­êng c¸c th­¬ng Qp cña θp ®­îc gäi lµ tr­êng sè p- adic. Mçi α ∈ Qp cã d¹ng pm u, víi m lµ mét sè nguyªn (cã thÓ ©m) vµ u lµ mét ®¬n vÞ cña 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn θp . VËy α cã ''khai triÓn Laurent": a−r a−1 + ... + + a0 + a1 p + ... pr p x Mét phÐp biÓu diÔn kh¸c lµ α = r , víi x lµ mét sè nguyªn p-adic vµ r ≥ 0. p C¸ch biÓu diÔn nµy thuËn lîi cho phÐp céng vµ phÐp nh©n trong Qp . §Þnh nghÜa 1.1.3. §Þnh gi¸ p- adic trªn Qp lµ mét hµm gi¸ trÞ nguyªn vp : Qp → Z ®­îc ®Þnh nghÜa bëi vp (pm u) = m. Tæng qu¸t: §Þnh nghÜa 1.1.4. trªn Mét ®Þnh gi¸ v trªn tr­êng K lµ mét hµm gi¸ trÞ thùc K \ {0} tho¶ m·n : (a) v(xy) = v(x) + v(y), ∀x, y ∈ K; (b) v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}, ∀x, y ∈ K; Quy ­íc, ®Æt Mét tr­êng v(0) = +∞(v(x) = +∞ ⇔ x = 0). K víi ®Þnh gi¸ v ®­îc gäi lµ tr­êng ®Þnh gi¸. NÕu ®èi c lµ mét sè thùc lín h¬n 1, th× ®Þnh gi¸ v c¶m sinh mét gi¸ trÞ tuyÖt trªn K , tøc lµ |x| = c−v(x) . Khi v = vp , h»ng sè c lu«n ®­îc cho lµ p vµ ta thu ®­îc gi¸ trÞ tuyÖt ®èi p-adic |x|p = p−vp (x) . V× vËy, gi¸ trÞ tuyÖt ®èi p-adic cña pn lµ p−n ( xÊp xØ b»ng 0 nÕu nh­ trong sè mò xÊp xØ b»ng ∞). Nãi c¸ch kh¸c, nÕu pe lµ luü thõa bËc bËc lín nhÊt cña ta ®Æt n p chia hÕt n, th× |n|p = p−e . Tæng qu¸t, 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trªn tr­êng §Þnh nghÜa 1.1.5. thùc trªn tr­êng K lµ mét hµm gi¸ trÞ K | · | : K → R+ = [0, +∞) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) |x| ≥ 0, dÊu ®¼ng thøc x¶y ra nÕu vµ chØ nÕu x = 0; (ii) |xy| = |x|.|y|, ∀x, y ∈ K; (iii) |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ K. Do (b), gi¸ trÞ tuyÖt ®èi c¶m sinh bëi mét ®Þnh gi¸ tho¶ m·n mét tÝnh chÊt m¹nh h¬n (iii) lµ (iv) |x + y| ≤ max{|x|, |y|}, ∀x, y ∈ K. Mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi tho¶ m·n (iv) ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed. Mét tr­êng víi gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed ®­îc gäi lµ tr­êng phi Archimed. Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®­îc gäi lµ tÇm th­êng , kÝ hiÖu: | · |0 , nÕu: ( 1 : x ∈ K \ {0} |x|0 = 0 : x = 0. Râ rµng ®ã lµ mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed trªn K vµ K hiÓn nhiªn lµ ®Çy ®ñ t­¬ng øng víi gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nµy. 1.2 TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt, ®a thøc x¸c ®Þnh duy nhÊt §Þnh nghÜa 1.2.1. Cho Cho f lµ mét ®a thøc kh¸c h»ng hoÆc lµ mét hµm nguyªn. S lµ mét tËp trong miÒn gi¸ trÞ cña f . Ta ®Þnh nghÜa [ E(f, S) = {(z, m) : f (z) = a víi sè béi m}, a∈S ta cßn hay dïng kÝ hiÖu: ES (f ) . T¹i ®©y z ch¹y trªn miÒn x¸c ®Þnh cña f vµ m lµ mét sè nguyªn d­¬ng bÊt kú. Hai hµm f vµ g ®­îc gäi lµ chia S 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (víi sè béi) nÕu E(f, S) = E(g, S). Mét tËp S ®­îc gäi lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt (kÓ c¶ béi) cña mét hä hµm F , nÕu víi ∀f, g ∈ F sao cho E(f, S) = E(g, S) th× ta cã f ≡ g . Th«ng th­êng xÐt hä c¸c hµm F : hµm nguyªn (chØnh h×nh), hµm ph©n h×nh, hµm h÷u tØ, ®a thøc. §Þnh nghÜa 1.2.2. Cho f , g lµ c¸c hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng. §a thøc P (z) ®­îc gäi lµ ®a thøc x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm ph©n h×nh nÕu tõ ®¼ng thøc PS (f ) = PS (g) th× f ≡ g . §a thøc hµm ph©n P (z) ®­îc gäi lµ ®a thøc x¸c ®Þnh duy nhÊt theo nghÜa réng c¸c h×nh nÕu tõ ®¼ng thøc PS (f ) = c.PS (g), c 6= 0 th× f ≡ g , víi f , g ph©n h×nh kh¸c h»ng. §Þnh nghÜa 1.2.3. Mét tËp ®­îc gäi lµ cøng affine nÕu phÐp biÕn ®æi affine duy nhÊt b¶o toµn tËp lµ biÕn ®æi ®ång nhÊt. 1.3 Lý thuyÕt Nevanlinna trªn tr­êng ®Æc sè d­¬ng. Tr­íc hÕt ta giíi thiÖu mét sè kÝ hiÖu kiÓu Nevanlinna vµ sau ®ã ph¸t biÓu ®Þnh lý Nevanlinna mµ ta sÏ ¸p dông trong viÖc chøng minh ®Þnh lý chÝnh cña ta ë ch­¬ng sau. ë ®©y, K sÏ lµ mét tr­êng ®ãng ®¹i sè ®Çy ®ñ t­¬ng øng víi mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed ®Æc sè p ≥ 0. Cho f lµ mét hµm ph©n h×nh (phi Archimed) trªn K . Víi mçi z0 ∈ K kÝ hiÖu wz0 (f ) bËc triÖt tiªu cña f t¹i z0 . §ã lµ, nÕu f (z0 ) = 0, th× wz0 (f ) kÝ hiÖu sè béi cña kh«ng ®iÓm t¹i z0 , nÕu f cã mét cùc ®iÓm, th× −wz0 (f ) kÝ hiÖu bËc cña cùc ®iÓm. §Þnh nghÜa wz+0 (f ) = max{0, wz0 (f )}. Víi mçi r > 0, ta ®Þnh nghÜa hµm ®Õm cña kh«ng ®iÓm bëi X r Z(r, f ) = wz+0 (f ) log + w0+ (f ) log r. |z0 | 0<|z0 | 0, ®Æt u(f ) lµ sè nguyªn lín nhÊt sao cho ë ®©y tån t¹i mét hµm ph©n h×nh g trªn K tho¶ m·n u(f ) f = gp NÕu . p = 0, quy ­íc ®Æt pu(f ) = 1. TiÕp theo, ta ®Þnh nghÜa hµm ®Õm c¾t côt bëi Z(r, f ) = X min{1, wz+0 (f ) mod pu(f )+1 } log 0<|z0 | 0, nã còng gÇn Trong tr­êng ®Æc sè 0, ta th­êng kh«ng tÝnh phÇn gièng nh­ vËy, nh­ng nã còng kh«ng tÝnh c¸c kh«ng ®iÓm mµ cã sè béi lµ mét béi cña pu(f )+1 . Ta còng xÐt hµm ®Õm cho c¸c cùc ®iÓm. NghÜa lµ, 1 1 1 N (r, f ) = Z(r, ) vµ N (r, ) = Z(r, ). f f f Sau cïng ta ®Þnh nghÜa t­¬ng tù nh­ hµm ®Æc tr­ng Nevanlinna bëi T (r, f ) = max{Z(r, f ), N (r, f )}. Lý thuyÕt c¸c ®a gi¸c ®Þnh gi¸ (hoÆc ®a gi¸c Newton) dÔ dµng suy ra mét c¸ch t­¬ng tù §Þnh lý C¬ b¶n Thø nhÊt cña Nevanlinna: §Þnh lý 1.3.1 ( §Þnh lý C¬ b¶n Thø nhÊt). NÕu kh¸c h»ng trªn K vµ f lµ mét hµm ph©n h×nh a ∈ K , th× T (r, f ) = T (r, 1/f ) = T (r, f − a) + O(1). P lµ mét ®a thøc bËc d vµ f K , th× T (P (f ), r) = dT (f, r) + O(1). HÖ qu¶ 1.3.2. NÕu lµ mét hµm ph©n h×nh trªn T­¬ng tù nh­ cña §Þnh lý C¬ b¶n Thø hai mµ ta sÏ cÇn lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt cña ®Þnh lý ®­îc chøng minh trong [4]. 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ( §Þnh lý C¬ b¶n Thø hai [4]). Cho α1 , ..., αn lµ n ®iÓm ph©n biÖt trong K vµ cho f lµ mét hµm ph©n h×nh trªn K . Khi ®ã §Þnh lý 1.3.3 n X n−1 Z(r, f − αi ) + N (r, f ) − log r + O(1). T (r, f ) ≤ pu(f ) i=1 Ta sÏ chØ thùc sù cÇn ®Þnh lý trong tr­êng hîp f 0 6≡ 0, trong ®ã u(f ) = 0. HÖ qña d­íi ®©y tõ ®Þnh lý 1.3.3 sÏ còng rÊt cã Ých. HÖ qu¶ 1.3.4. Cho α1 , ..., αn f lµ mét hµm gi¶i tÝch trªn lµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt trong n X K sao cho f 0 6≡ 0 vµ cho K . Khi ®ã [Z(r, f − αj ) − Z(r, f − αj )] ≤ T (r, f ) − log r + O(1). j=1 Chøng minh. Tõ ®Þnh lý 1.3.1, n X Z(r, f − αj ) = nT (r, f ) + O(1), j=1 vµ tõ ®Þnh lý 1.3.3, n X Z(r, f − αj ) − log r + O(1) ≥ (n − 1)T (r, f ) − log r + O(1). j=1 V× vËy, n X [Z(r, f −αj )−Z(r, f −αj )] ≤ nT (r, f )+(1−n)T (r, f )−log r +O(1). j=1 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng 2 TËp x¸c ®Þnh duy nhÊt c¸c hµm nguyªn trªn tr­êng ®Æc sè d­¬ng 2.1 TËp kh«ng x¸c ®Þnh duy nhÊt vµ cøng affine trong tr­êng ®Æc sè d­¬ng. C¬ së cho mäi viÖc ta lµm trong phÇn cßn l¹i lµ mÖnh ®Ò d­íi ®©y. MÖnh ®Ò 2.1.1. Cho K lµ mét tr­êng ®ãng ®¹i sè, ®Çy ®ñ t­¬ng øng víi mét ®Þnh gi¸ phi Archimed. Cho S lµ mét tËp h÷u h¹n trong K vµ cho Q (x − s) lµ ®a thøc bËc nhá nhÊt víi hÖ sè trong K , tËp nghiÖm s∈S ∗ cña nã lµ S . Khi ®ã, hai hµm f vµ g trong A (K) chia S kÓ c¶ béi nÕu vµ P (x) = chØ nÕu tån t¹i h»ng sè c ∈ K, c 6= 0 sao cho P (f ) = cP (g). P (f ) = cP (g) th× P (f ) = 0 nÕu vµ chØ nÕu P (g) = 0 vµ c¶ hai hµm triÖt tiªu víi cïng sè béi. Do ®ã, f vµ g , râ rµng chia S (kÓ c¶ béi ). §¶o l¹i, f vµ g chia S kÓ c¶ béi th× P (f )/P (g) lµ mét hµm gi¶i tÝch phi Achimed trªn K kh«ng cã kh«ng ®iÓm, do ®ã lµ h»ng sè. §iÒu nµy Chøng minh. NÕu dÔ dµng suy ra tõ lý thuyÕt c¸c ®a gi¸c ®Þnh gi¸ (hoÆc ®a gi¸c Newton). Nã còng suy tõ ®Þnh 1.3.3. *Chó ý. NÕu mét tËp kh«ng lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cho hä c¸c ®a thøc kh¸c h»ng th× nã còng kh«ng lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cho hä c¸c hµm nguyªn phi Archimed kh¸c h»ng, nh­ vËy trong phÇn nµy chØ cÇn xÐt víi c¸c ®a thøc. 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn K lµ mét tr­êng ®ãng ®¹i sè ®Æc sè p > 0. Cho n lµ mét sè nguyªn sao cho q = pn ≥ 3. §Æt VÝ dô 2.1.2. Cho P (X) = X q + (X − 1)q−1 . §Æt f (z) = z q−1 vµ g(z) = (z − 1)q−1 . Khi ®ã P (f (z)) = P (g(z)). H¬n n÷a, P cã q kh«ng ®iÓm ph©n biÖt vµ tËp S nh÷ng kh«ng ®iÓm cña P cho mét vÝ dô vÒ tËp cøng affine víi q ®iÓm mµ kh«ng lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cho c¸c ®a thøc kh¸c h»ng víi hÖ sè trªn K . Chøng minh. Tr­íc hÕt ta chøng tá P (f (z)) = P (g(z)). Tõ ®Þnh nghÜa P (X), dÔ dµng chøng tá P (f (z))(z q − z) = P (g(z))(z q − z), suy ra P (f (z)) = P (g(z)). ThËt vËy, P (f (z))(z q − z) = [z q(q−1) + (z q−1 − 1)q−1 ](z q − z) 2 = z q − z q(q−1)+1 + z(z q−1 − 1)q 2 2 = z q − z q(q−1)+1 + z q(q−1)+1 − z = z q − z. T­¬ng tù, 2 2 P (g(z))(z q −z) = P (g(z))((z−1)q −(z−1)) = (z−1)q −(z−1) = z q −z. Nh­ vËy, P (f (z)) = P (g(z)) nh­ ®· kh¼ng ®Þnh. Chó ý X q+1 − 1 P (X) = X −1 vµ do ®ã nh÷ng kh«ng ®iÓm cña P chÝnh lµ c¸c c¨n bËc (q + 1) cña ®¬n vÞ, trõ ra 1. PhÇn cßn l¹i ta chøng tá r»ng S lµ cøng affine. Chó ý X s = −1. s∈S 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Gi¶ sö S bÊt biÕn bëi mét phÐp biÕn ®æi affine σ(z) = az + b. Khi ®ã ta còng cã thÓ cã −1 = X σ(s) = qb + a X s = −a. s∈S s∈S Chó ý qb = 0, do ta xÐt trong tr­êng ®Æc sè p. Do ®ã a = 1. Cßn l¹i ta chøng tá b = 0 vµ nhí r»ng ®Õn lóc ®ã ta kh«ng ph¶i sö dông gi¶ thiÕt q ≥ 3. Cho mçi s ∈ S , ta biÕt s + b còng thuéc S vµ nh­ vËy (s + b)q+1 = 1. VËy, 1 = (s + b)q+1 = (s + b)(sq + bq ) = sq+1 + sq b + sbq + bq+1 . DÜ nhiªn sq+1 = 1, nªn b(sq + sbq−1 + bq ) = 0 vµ nÕu b 6= 0, ta kÕt luËn r»ng bq + sbq−1 + sq = 0. P Céng ph­¬ng tr×nh nµy víi mäi s ∈ S vµ sö dông s∈S s = −1, ta cã X X X 0 = qbq + bq−1 s+ sq = −bq−1 + ( s)q = −bq−1 + (−1)q . (1) s∈S V× vËy, bq−1 s∈S s∈S = (−1)q = −1. Do ®ã, ta cã thÓ rót gän ph­¬ng tr×nh (1) thµnh b = sq − s. (2) Ta xÐt hai tr­êng hîp: Tr­êng hîp p ≥ 3. Céng ph­¬ng tr×nh (2) víi mäi s ∈ S trõ ra -1 ®Ó kÕt luËn r»ng (q − 1)b = X s6=−1 vµ nh­ vËy X sq − s6=−1 s6=−1 X s = 0 − 0 = 0, s6=−1 n p = 2. ViÕt S = {ζ, ζ 2 , ..., ζ 2 }. Ph­¬ng tr×nh (2) trë thµnh n b = ζ2 n s)q − b = 0. Tr­êng hîp ζ2 j = ζ2 1, ..., 2n−1 , ta cã chó ý X s=( n +1−j do n ζ2 +1−j +1 + ζ j víi mäi j, = 1. Céng c¸c ph­¬ng tr×nh nµy víi j = n 2n−1 b = 2 X ζ j = 1. j=1 §iÒu nµy kÐo theo n = b = 1, nh­ng do gi¶ thiÕt n ≥ 2, ta kÕt luËn b = 0. 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Nh­ ®· nãi trong phÇn giíi thiÖu, vÝ dô võa nªu lµ ®iÓn h×nh cho tËp 3 phÇn tö trong tr­êng ®Æc sè 3. Tøc lµ, kh«ng tån t¹i tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt cã lùc l­îng 3. Tr­íc hÕt ta cho chøng minh h×nh häc cña Voloch vµ sau ®ã ta cho chøng minh ''phøc t¹p'' mµ cã ­u thÕ h¬n víi c¸c vÝ dô cô thÓ. §Þnh lý 2.1.3. Cho K lµ tr­êng ®Æc sè 3. Khi ®ã kh«ng cã tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt 3 phÇn tö cho hä nh÷ng ®a thøc kh¸c h»ng víi hÖ sè trong Chøng minh cña Voloch. §Æt K. S = {s1 , s2 , s3 } vµ ®Æt P (x) = (x − s1 )(x − s2 )(x − s3 ). Khi ®ã P (x) − P (y) x−y ®Þnh nghÜa mét ®­êng cong bËc 2 trªn P2 . V× P (x) − P (y) chØ cã mét ®iÓm G(x, y) = ®¬n ë v« tËn trong tr­êng ®Æc sè 3, nªn ®iÒu ®ã ®óng víi d¹ng toµn ph­¬ng ®­îc ®Þnh nghÜa bëi G. Do ®ã, G ®­îc biÓu hiÖn b»ng tham sè bëi nh÷ng ®a thøc bËc 2. Do ®ã t×m ®­îc hai ®a thøc bËc 2 kh¸c nhau f vµ g sao cho P (f ) = P (g), mµ tÊt nhiªn f vµ g chia S . Chøng minh phøc t¹p. L¹i lµ, ®Æt S = {s1 , s2 , s3 } vµ ®Æt P (x) = (x − s1 )(x − s2 )(x − s3 ) = x3 + a2 x2 + a1 x + a0 . Ta xÐt 2 tr­êng hîp. a2 = 0. Trong tr­êng hîp nµy a1 6= 0, hoÆc nÕu kh«ng, P kh«ng cã nghiÖm ph©n biÖt (trong tr­êng ®Æc sè 3). Chän phÇn tö b ∈ K sao cho b2 + a1 = 0. Khi ®ã Tr­êng hîp P (z + b) = z 3 + b3 + a1 (z + b) + a0 = P (z) + b(b2 + a1 ) = P (z). Do ®ã, S kh«ng lµ mét tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. a2 6= 0. Trong tr­êng hîp nµy, ta thay x bëi x + a1 /a2 khö sè h¹ng tuyÕn tÝnh cña P . BiÕn ®æi S bëi mét phÐp biÕn ®æi affine kh«ng Tr­êng hîp thay ®æi dï nã cã lµ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt hay kh«ng, v× vËy kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng a1 = 0. Trong tr­êng hîp nµy, ®Æt f (z) = a2 (z 2 − 1), vµ g(z) = a2 (z 2 + z). 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Khi ®ã P (f (z)) = a32 (z 6 + z 4 + z 2 ) + a0 = P (g(z)), vµ S kh«ng lµ mét tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. *Chó ý. Ph­¬ng ph¸p nµy sÏ lµ tèt ®Ó x©y dùng c¸c vÝ dô t­¬ng tù vÝ dô 2.1.2 cho béi cña p mµ kh«ng thuÇn tuý lµ luü thõa cña p, hoÆc chøng tá kh«ng tån t¹i nh÷ng vÝ dô nh­ vËy. 2.2 §Þnh lý c¬ b¶n vÒ tËp x¸c ®Þnh duy nhÊt. Xuyªn suèt phÇn nµy, K sÏ lµ mét tr­êng ®ãng ®¹i sè ®Çy ®ñ t­¬ng øng víi mét gi¸ trÞ tuyÖt ®èi phi Archimed vµ A∗ (K) sÏ lµ tËp c¸c hµm nguyªn phi Archimed kh¸c h»ng trªn K . §Þnh lý c¬ b¶n cña ta ®­îc cho sau ®©y: §Þnh lý 2.2.1. Cho K cã ®Æc sè p ≥ 0. §Æt P (x) = xn − axm + 1, víi n > m. Gi¶ thiÕt r»ng a 6= 0 trong K sao cho mm (n − m)n−m an 6= nn vµ d mm (n − m)n−m an 6= nn (1 − ζ)p víi mäi sè nguyªn d 6= 0 vµ mäi ζ ∈ K (n−m) , sao cho ζ n−m = (−1)n−m . Gi¶ thiÕt thªm r»ng m vµ n tháa m·n hoÆc c¸c ®iÒu kiÖn (A1) ®Õn (A3) hoÆc c¸c ®iÒu kiÖn (B1) ®Õn (B2) d­íi ®©y. (A1) n > m > 1, (A2) |(n, m)|p = 1, (A3) n|n|p (B1) n − 2 ≥ m ≥ 5, kh«ng chia hÕt m, 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (B2) (n, m) = 1. Khi ®ã, tËp S c¸c kh«ng ®iÓm cña x¸c ®Þnh duy nhÊt cho *Chó ý. Cho P trong K n phÇn tö vµ lµ mét tËp cã A∗ (K). d ®ñ lín, d (1 − ζ)p = 1 − ζ, vµ nh­ vËy ®iÒu kiÖn d mm (n − m)n−m an 6= nn (1 − ζ)p ®óng víi mäi (n−m) d ≥ 0, a cÇn ®­îc chän sao cho nã kh«ng tháa m·n mét sè h÷u h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè. Do ®ã, trªn mét tr­êng v« h¹n vµ ®Æc biÖt trªn tr­êng ®ãng ®¹i sè, lu«n cã thÓ t×m ®­îc mét sè a nh­ vËy. Tr­íc khi chøng minh ®Þnh lý 2.2.1, ta cÇn ph¸t biÓu vµ chøng minh mét sè bæ ®Ò sau. n, m, a vµ P nh­ trong ®Þnh lý 2.2.1. hoÆc P − c kh«ng cã nghiÖm béi. Bæ ®Ò 2.2.2. Cho P − c−1 Cho c 6= 1. Khi ®ã, P − c−1 vµ P − c cã mét nghiÖm béi vµ ®i ®Õn mét sù m©u thuÉn. V× c 6= 1, kh«ng tån t¹i nghiÖm chung cña 2 ®a thøc . V× c¶ m vµ n ®Òu kh«ng chia hÕt cho p, ta cã thÓ lÊy ®¹o hµm cña mçi ®a thøc Chøng minh. Ta gi¶ sö c¶ vµ kÕt luËn r»ng (v× hai ®a thøc cã nghiÖm kÐp), mm (n − m)n−m an = nn (1 − c)n−m = nn (1 − c−1 )n−m , vµ h¬n n÷a, n, m vµ n − m lµ nguyªn tè cïng nhau víi p. Do ®ã, (1 − c−1 )n−m = (1 − c)n−m , vµ nh­ vËy cn−m = (−1)n−m . Tuy nhiªn, gi¶ thiÕt mm (n − m)n−m an 6= nn (1 − ζ)n−m ζ ∈ K sao cho ζ n−m = (−1)n−m lo¹i trõ kh¶ n¨ng c¸c ®a thøc d¹ng P − ζ cã c¸c kh«ng ®iÓm béi, víi gi¶ thiÕt ζ 6= 1. Nh­ vËy, ta kÕt luËn r»ng c = 1, ®iÒu nµy phñ ®Þnh gi¶ thiÕt cña ta. víi mäi 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Bæ ®Ò 2.2.3. Cho n > m > 1 lµ c¸c sè nguyªn tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn h lµ mét hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng trªn K . Khi ®ã, tån t¹i mét phÇn tö α ∈ K sao cho (A1)-(A3) cña ®Þnh lý 2.2.1 vµ cho wα+ (hn − 1) > wα (hm − 1). n = ps d víi d = n|n|p ≥ 2 kh«ng chia hÕt p. Do ®iÒu kiÖn (A3), d kh«ng chia hÕt m. Theo ®ã, ë ®©y tån t¹i Ýt nhÊt mét c¨n bËc n cña ®¬n vÞ ζ mµ kh«ng lµ c¨n bËc m cña ®¬n vÞ. NÕu ë ®©y tån t¹i mét α sao cho h(α) = ζ , th× ngay lËp tøc ta thÊy r»ng gi¸ trÞ α nµy tháa m·n Chøng minh. §Æt wα+ (hn − 1) > wα (hm − 1), nh­ ®iÒu cÇn chøng minh. Ta cã thÓ gi¶ sö h bá ®i ζ . MÆt kh¸c, do h lµ hµm ph©n h×nh trªn K , nã cã thÓ bá ®i nhiÒu nhÊt mét gi¸ trÞ trong K ∪ {∞} (vÝ dô nh­ ®Þnh lý 1.3.3). V× vËy, nÕu h bá ®i ζ nã nhËn mäi gi¸ trÞ kh¸c. s > 0. V× |(n, m)|p = 1, ta cã (m, p) = 1 vµ do ®ã xm − 1 cã m kh«ng ®iÓm ph©n biÖt. MÆt kh¸c, 1 lµ mét kh«ng ®iÓm bËc ps cña xn − 1. Cho α lµ mét ®iÓm sao cho h(α) = 1. Khi ®ã Tr­êng hîp wα+ (hn − 1) = ps wα (hm − 1), nh­ ®iÒu ta cÇn cã. Tr­êng hîp s = 0. Trong tr­êng hîp nµy nhãm c¸c c¨n bËc n cña ®¬n vÞ cã n(n ≥ 3) phÇn tö ph©n biÖt. Nhãm con thùc sù c¸c phÇn tö mµ võa lµ c¨n bËc n vµ c¨n bËc m cña ®¬n vÞ cã cÊp chia hÕt n vµ do ®ã, thªm vµo ζ , cã Ýt nhÊt mét c¨n η kh¸c sao cho η n = 1, nh­ng η m 6= 1. §Æt α lµ mét sè sao cho h(α) = η hoµn thµnh chøng minh cña mÖnh ®Ò. MÖnh ®Ò sau cña ta chøng tá r»ng ta chØ cÇn xÐt c¸c hµm f vµ g sao cho f 0 vµ g 0 kh«ng ®ång nhÊt 0. K, p, a, P, n vµ m nh­ trong ®Þnh lý 2.2.1. Cho f vµ g ∗ trong A (K) sao cho P (f ) = cP (g). Khi ®ã, tån t¹i c¸c hµm fs vµ gs trong A∗ (K) vµ c¸c phÇn tö as 6= 0 vµ cs 6= 0 trong K sao cho nÕu Bæ ®Ò 2.2.4. Cho Ps (x) = xn − as xm + 1, 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn th× Ps (fs ) = cs P (gs ). as tháa m·n cïng c¸c ®iÒu kiÖn nh­ a ®· ph¸t biÓu trong ®Þnh 0 0 lý 2.2.1 vµ fs 6≡ 0 vµ gs 6≡ 0. H¬n n÷a, Chøng minh. B»ng c¸ch ®¹o hµm hai vÕ P (f ) = cP (g), ta thÊy P 0 (f )f 0 = cP 0 (g)g 0 . Do mçi ®iÒu kiÖn (A2) hoÆc (B2), ta cã |(n, m)|p = 1, v× vËy P 0 kh«ng ®ång f 0 vµ g 0 ®ång nhÊt 0 hoÆc c¶ hai kh«ng ®ång nhÊt 0. NÕu c¶ hai kh«ng ®ång nhÊt 0, lÊy lu«n 2 hµm f vµ g t¸ch riªng mçi c¸i nhÊt 0. Nh­ vËy, hoÆc lµm hai tr­êng hîp vµ ta chøng minh xong. NÕu kh«ng, ta cã thÓ t×m thÊy hµm f1 vµ g1 trong p vµ g1 A∗ (K) sao cho f1p = f = g . Khi ®ã xÐt P1 (x) = xn − a1 x + 1, p t¹i ®ã a1 ®­îc chän sao cho a1 = a. Khi ®ã [P1 (f1 )]p = P (f ) = cP (g) = [c1 P1 (g1 )]p , p trong ®ã c1 = c. Thay f bëi f1 , g bëi g1 vµ P bëi P1 ta tiÕp tôc b»ng phÐp quy n¹p cho tíi khi c¶ hai ®¹o hµm kh«ng triÖt tiªu. TiÕp tôc qu¸ tr×nh quy n¹p nµy sau mét sè h÷u h¹n b­íc sÏ dÉn tíi c¸c hµm fs vµ gs c¸c ®¹o hµm cña chóng kh«ng triÖt tiªu ®ång thêi. PhÇn cßn l¹i ta kiÓm tra r»ng mm (n − m)n−m ans 6= nn vµ d mm (n − m)n−m ans 6= nn (1 − ζ)p (n−m) cho mäi d d­¬ng. Nh­ng, nÕu cã ®¼ng thøc ë ®©y, th× ta cã thÓ t¨ng c¶ hai s tíi luü thõa ps ( cè ®Þnh c¸c sè h¹ng nguyªn) vµ phñ ®Þnh gi¶ thiÕt a = aps cña ta ë trªn. 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn