Tập lồi yếu và tối ưu hóa trên tập lồi yếu

  • Số trang: 69 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 17 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -----------------o0o------------------ NGUYỄN THỊ LINH CHI TẬP LỒI YẾU VÀ TỐI ƯU HOÁ TRÊN TẬP LỒI YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Mục lục………………………………………………………………. 1 Mở đầu................................................................................................... 2 Chương 1 CÁC TẬP LỒI YẾU VÀ LỒI MẠNH 1.1. Các định nghĩa trực tiếp và đối ngẫu................................................ 4 1.2. Tính chất của đoạn lồi mạnh............................................................. 8 1.3. Tính chất của tập lồi yếu................................................................... 37 1.4. Tính liên thông địa phƣơng của tập lồi yếu theo nghĩa Vial........... 45 Chương 2 CÁC HÀM LỒI YẾU, MẠNH VÀ TỐI ƢU HOÁ TRÊN TẬP LỒI YẾU 2.1. Các hàm lồi yếu, lồi mạnh............................................................... 53 2.2. Cực tiểu hàm lồi mạnh trên tập lồi yếu............................................ 61 KẾT LUẬN............................................................................................. 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................... 68 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Giải tích lồi đóng một vai trò quan trọng trong toán học ứng dụng đặc biệt là lí thuyết tối ƣu hoá. Nhiều lớp hàm lồi suy rộng đƣợc nghiên cứu để giải quyết nhiều vấn đề đƣợc đặt ra trong lí thuyết các bài toán cực trị. N.V. Ephimov và S.B. Schetkin ( 1959 ) đã đƣa ra khái niệm tập  - lồi mà sau này trong [1] G.E. Ivanov gọi là tập lồi yếu với hằng số R > 0. J.P. Vial (1982 ) đã đƣa ra khái niệm tập lồi yếu mà trong [1] gọi là tập lồi yếu theo nghĩa Vial. Lớp các tập lồi mạnh đƣợc B.T. Poliak ( 1983 ) đƣa vào nghiên cứu trong [4] và E.S. Polovinkin – M.V. Balasov nghiên cứu trong [3]. Các nghiên cứu về các tập và hàm lồi yếu và mạnh cùng với nhiều ứng dụng đƣợc trình bày một cách hệ thống trong cuốn sách chuyên khảo của G.E. Ivanov [1]. Luận văn trình bày các nghiên cứu về các tập lồi yếu theo nghĩa Vial và Ephimov – Schetkin, các tập lồi mạnh, đoạn lồi mạnh, các hàm lồi yếu và lồi mạnh cùng với một số áp dụng về tính chất nghiệm của bài toán cực tiểu một hàm lồi mạnh trên một tập lồi yếu. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chƣơng 1 trình bày các tính chất của tập lồi mạnh, đoạn lồi mạnh, các tập lồi yếu theo nghĩa Vial và Ephimov – Schetkin và mối quan hệ giữa chúng. Kết quả chỉ ra rằng trong không gian Hilbert, một tập đóng lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R > 0 bất kì thì lồi. Còn một tập lồi yếu theo nghĩa Ephimov – Schetkin với hằng số R > 0 bất kì thì không nhất thiết lồi mà chỉ đóng. Một tập đóng lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R > 0 thì liên thông. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 2 trình bày một số kết quả về hàm lồi yếu , lồi mạnh và tính chất điểm cực tiểu của bài toán cực tiểu hàm lồi mạnh trên tập lồi yếu theo nghĩa Vial. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lƣu, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp Cao học Toán K16 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010 Nguyễn Thị Linh Chi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 CÁC TẬP LỒI YẾU VÀ LỒI MẠNH Chƣơng 1 trình bày các tính chất của tập lồi mạnh, đoạn lồi mạnh, các tập lồi yếu theo nghĩa Vial và Ephimov – Schetkin và mối quan hệ giữa chúng. Chú ý rằng một tập đóng lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R> 0 bất kì thì lồi, còn một tập lồi yếu theo nghĩa Ephimov – Schetkin với hằng số R > 0 bất kì thì không nhất thiết lồi mà chỉ đóng. 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA TRỰC TIẾP VÀ ĐỐI NGẪU Định nghĩa1.1.1 Tập hợp A trong không gian tuyến tính được gọi là tập lồi nếu với hai điểm bất kỳ x0 , x1  A ,  x0 ; x1    x1  1    x0 :   0;1  A . Định nghĩa này sẽ đƣợc gọi là định nghĩa trực tiếp của tập lồi. Giả sử E là không gian vectơ tôpô và E * là không gian đối ngẫu tôpô của E. Kí hiệu p, x là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục p  E* tại x  E hay tích vô hƣớng của p và x trong trƣờng hợp nếu E là không gian Euclide Định lý1.1.1 ( [1] ) Tập A trong không gian lồi địa phương E là lồi và đóng khi và chỉ khi tồn tại họ các nửa không gian S   x  E : p , x  c  sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 http://www.lrc-tnu.edu.vn A   S ,  A1 ở đây p  E* , c R , chỉ số α chạy trên tập tuỳ ý A1 . Nếu tập A có dạng là tƣơng giao của các nửa không gian thì ta nói A thoả mãn định nghĩa đối ngẫu của tập lồi. Định lý 1.1.1 khẳng định rằng với các tập hợp đóng trong không gian lồi địa phƣơng thì định nghĩa trực tiếp và đối ngẫu của tập lồi là tƣơng đƣơng. Sau đây ta sẽ khảo sát các định nghĩa trực tiếp và đối ngẫu của các tập lồi mạnh và lồi yếu. Định nghĩa1.1.2 Cho R  0 và vectơ a trong không gian định chuẩn E . Ký hiệu B R  a  là hình cầu đóng tâm a bán kính R BR (a) =  x  E : x  a  R . Kí hiệu BR là BR (0) (hình cầu đóng tâm O bán kính R). Định nghĩa1.1.3 Tập hợp A trong không gian định chuẩn E được gọi là lồi mạnh với hằng số R > 0 , nếu tồn tại tập khác rỗng A1  E sao cho: A   B R a aA1 R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 A ahttp://www.lrc-tnu.edu.vn x0 DR  x0 , x1  x1 Định nghĩa1.1.4 Giả sử trong không gian định chuẩn E cho hai điểm x0 , x1 , cho số R x1  x0 . Tập hợp 2  DR ( x0 , x1 )  B R (a) aE: x0 , x1B R ( a ) được gọi là đoạn lồi mạnh. Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa 1.1.3, 1.1.4 suy ra tập hợp DR  x0 , x1  lồi mạnh với hằng số R. Điều này giải thích tại sao ta gọi là “đoạn lồi mạnh”. Định lý1.1.2 ( [3] ) Giả sử trong không gian Hilbert H cho tập đóng A và số R > 0. Các khẳng định sau đây là tương đương: (i) Tập hợp A lồi mạnh với hằng số R. (ii) Với mọi x0 , x1  A thì x1  x0  2R và DR  x0 , x1   A . Tƣơng tự các định nghĩa trực tiếp và đối ngẫu của tập hợp lồi thì điều kiện (ii) của định lý 1.1.2 gọi là “ trực tiếp ”, còn định nghĩa 1.1.3 là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 http://www.lrc-tnu.edu.vn định nghĩa “ đối ngẫu ”. Định lý 1.1.2 thiết lập sự tƣơng đƣơng của các định nghĩa trực tiếp và đối ngẫu của tập lồi mạnh. Định nghĩa1.1.5 Tập hợp A trong không gian định chuẩn được gọi là lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R > 0, nếu với x0 , x1  A mà 0  x1  x0  2R thì x  A  DR  x0 x1  không trùng với các điểm x0 , x1 . Giả sử trong không gian định chuẩn cho hai điểm x0 , x1 và cho số R x1  x0 . Cùng với đoạn lồi mạnh DR  x0 , x1  ta định nghĩa đoạn lồi 2 mạnh không có các điểm mút.  DR  x0 , x1   DR  x0 , x1  \  x0 , x1 . Nhận xét 1.1.2 Tập hợp A trong không gian định chuẩn là lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R khi và chỉ khi với hai điểm bất kì x0 , x1  A sao cho  0  x1  x0  2R thì A  D R  x0 , x1    . Kí hiệu: int A, clA, A, Ac lần lƣợt là phần trong, bao đóng, biên, phần bù của tập hợp A . N.V. Ephimov và S.B. Schetkin đã đƣa ra khái niệm tập “A - lồi”. Các tập hợp này sẽ gọi là lồi yếu theo Ephimov - Schetkin. Định nghĩa1.1.6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tập hợp A trong không gian định chuẩn E được gọi là lồi yếu theo nghĩa Ephimov - Schetkin với hằng số R > 0 nếu tồn tại một tập hợp khác rỗng A1  E sao cho A    int B R  a   . c aA1 Tƣơng tự cũng với các định nghĩa trực tiếp và đối ngẫu của các tập lồi và lồi mạnh thì ta gọi định nghĩa của Vial là trực tiếp còn định nghĩa của Ephimov - Schetkin là định nghĩa lồi yếu đối ngẫu . A Hình 3 Hình 3 minh hoạ tập hợp lồi yếu theo Vial và theo Ephimov - Schetkin. Sau đây ta chỉ ra rằng trong không gian Hilbert H , tính đóng và tính lồi yếu theo nghĩa Vial của tập A  H kéo theo tính lồi yếu theo Ephimov - Schetkin của A nhƣng điều ngƣợc lại không đúng. 1.2 TÍNH CHẤT CỦA ĐOẠN LỒI MẠNH Mệnh đề 1.2.1 Giả sử trong không gian định chuẩn E cho các điểm x 0, x1, y0, y1 sao cho x1  x0  2R và y0 , y1  DR  x0, x1 . Khi đó, DR  y0 , y1   DR  x0 , x1  . Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lấy x  DR  y0 , y1  . Giả sử a  E sao cho, x0 , x1 B R  a  . Vì y0 , y1  DR  x0 , x1  , y0 , y1 B R  a  . nên Từ điều kiện x  DR  y0 , y1  suy ra x B R  a  . Vì vậy, x  aE:x0 , x1B R  a  B R  a   DR  x0 , x1  .  Mệnh đề 1.2.2 Trong không gian Euclide E cho hai điểm x 0, x1. Giả sử R x1  x0 . Khi đó, 2 x x  DR  x0 , x1   B R  0 1  .  2  Chứng minh Giả sử vectơ a  E sao cho x0 , x1 B R  a  . Khi đó, x0  a  R, x1  a  R . Vì vậy, 4 R 2  x1  x0  x1  a  x0  a  2 x1  a, x0  a 2 2 2  2 x1  a  2 x0  a  x0  x1  2a  4 R 2  x0  x1  2a 2 2 2 Do đó, x0  x1  2a  0 , tức là a  2 2 . x0  x1 2 Vì vậy, DR  x0 , x1   x x  B R a  B R  0 1  . a: x0 , x1B R  a   2    Định nghĩa1.2.1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 http://www.lrc-tnu.edu.vn Số x x   1  1 20 4R 2 được gọi là độ lệch tâm của đoạn lồi mạnh DR  x0 , x1  . Nhận xét 1.2.1 Độ lệch tâm của đoạn lồi mạnh thoả mãn bất đẳng thức 0    1 . Với   1 đoạn lồi mạnh trở thành một điểm. Khi   0 , theo mệnh đề 1.2.2 đoạn lồi mạnh là một hình cầu. Mệnh đề 1.2.3 Giả sử trong không gian Euclide E có chiều lớn hơn 1 cho trước vectơ x và các vectơ x 0, x1 mà 0  x1  x0  2R .Ta xác định số: x x x  x0 , x1  x0   1  1 20 ,   2 4R x1  x0 2 , 1 x x 1  1    1     1 2 0 ,        . 2 R 2  2  2 2 Với một số t bất kì, ta xác định được vectơ xt  1  t  x0  tx1 . DR ( x0 , x1 ) x x0 x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 x x x0  x1 2 x1 http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 4 Khi đó, các điều kiện sau đây tương đương: (1) x  DR  x0 , x1  ; (2) Với vectơ bất kì q  E sao cho q  1 và q, x1  x0  0 thì x0  x1   Rq  R ; 2 x ( 1.2.1) (3) Các bất đẳng thức 0    1 và x  x  R      (1.2.2) là đúng ; (4) Ta có 0    1 và x  x  R  R 2   1    x1  x0 2 ; (1.2.3) (5) t 0;1 sao cho xt  x  R  R 2  t 1  t  x1  x0 2 . Chứng minh a) Ta chứng minh rằng từ (1) suy ra (2). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử (1) đúng. Cho vectơ bất kì q  E , saocho q  1 và q, x1  x0  0 . Ta định nghĩa vectơ a x0  x1   Rq . 2 Chú ý rằng a  x0  x1  x0   Rq . 2 Do q  1 và q, x1  x0  0 ta có a  x0  2 1 2 2 x1  x0    R   R 2 , 4 tức là a  x0  R . Tƣơng tự ta có a  x1  R . Vì vậy, x0 , x1 B R  a  . Do đó và định nghĩa 1.1.4, DR  x0 , x1  B R  a  . Từ đó và điều kiện (1) suy ra x B R  a  , tức là bất đẳng thức (1.1.2) đúng. b) Ta chứng minh rằng từ (2) suy ra (3) Giả sử (2) đúng. Ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 http://www.lrc-tnu.edu.vn x  x , x1  x0  x  x0    x1  x0  , x1  x0   x  x0 , x1  x0   x1  x0  0 . 2 Nếu x  x ta xác định vectơ q  x  x x  x (1.2.4) . Trong thƣờng hợp x  x ta xác định vectơ q  E là vectơ đơn vị tuỳ ý sao cho q, x1  x0  0 . Từ (1.2.4) suy ra trong trƣờng hợp bất kì thì q, x1  x0  0, q  1 và x  x  q x  x . Hơn nữa, q, x  x0  q, x  x  x  x  0 và các vectơ x-x0, x1-x0, q đồng phẳng. Vì vậy, theo khẳng định (2) thì 1  x  x       x0  x1    Rq  R . 2  Do x  x  q x  x suy ra , 1  q x  x   R       x0  x1   R . 2    Vì q, x1  x0  0, q  1 cho nên  2 2 1  x  x   R      x1  x0  R 2 . 2   2 (1.2.5) Từ đó và từ x  x  0 ta suy ra x x R  1 0 4 2 2 2 2 2 2 2 1  1       x1  x0    R       x1  x0  R 2 , 2  2  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 1  1      . Vì vậy 0    1 . 2  4 tức là Từ (1.2.5) suy ra (1.2.2). c) Ta chứng minh rằng từ (3) suy ra (4) Giả sử điều kiện (3) thoả mãn. Bởi vì 0    1 , ta có x x   1  1 20 4R Vì vậy,   2 1 x x   1     1 2 0 2 R  2 2 . 1 1    . Từ đó và do 0    1 ta suy ra 0    1. 2 2 Chú ý rằng 2 x  x  x  x  x  x 2 2  2 x  x, x  x . Bởi vì x  x        x1  x0  cho nên x  x  x  x       x1  x0  2      x  x, x1  x0 2 2 2 Từ đó và từ (1.2.2), (1.2.4) suy ra x  x  R 2            x1  x0 . 2 2 2 2 Từ định nghĩa số  suy ra   1  1     . 2      Vì vậy, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 http://www.lrc-tnu.edu.vn x  x 2      2 2 2  2 2  1  R       x1  x0 2   2      2 2 R .   2   Do đó và do    ta suy ra x  x  R   R.  (1.2.6) Chú ý rằng R   1    x1  x0 2 2 x x R  1 0 4 2 2 2 1 2       x1  x0  2  2 1 2     R       x1  x0  2  2 2  2 2  1  2  R       x1  x0   2  2 2  2 2   2 R .   Vì vậy do (1.2.6) thì bất đẳng thức (1.2.3) đúng. d) Điều kiện (4) suy ra điều kiện (5) một cách tầm thƣờng. e) Ta chứng minh rằng từ (5) suy ra (1). Giả sử có (6) suy ra t 0;1 sao cho xt  x  R  R 2  t 1  t  x1  x0 2 (1.2.7) Giả sử vectơ a  E , thoả mãn x0 , x1 B R  a  . Khi đó, x1  a  R và x0  a  R . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chú ý rằng xt  a  1  t   x0  a   t  x1  a  2 2  1  t  x0  a  t 2 x1  a  2t 1  t  x0  a, x1  a 2 2 2  1  t  x0  a  t x1  a  t 1  t  x1  x0 . 2 Do x1  a  R và 2 2 x0  a  R , ta có xt  a  R2  t 1  t  x1  x0 . 2 2 Vì vậy, xt  a  R 2  t 1  t  x1  x0 . 2 Do đó và do (1.2.7) ta có, x  a  x  xt  xt  a  R , tức là x B R  a  . Vì vậy , x  aE:x0 , x1B R  a  B R  a   DR  x0 , x1  . Vậy (1) đúng.  Nhận xét 1.2.2 Từ mệnh đề 1.2.3 suy ra 3 tính chất sau của đoạn lồi mạnh trong không gian Euclide E : x x x x (1) DR  x0 , x1    B R  0 1  q R2  1 0 qE: q 1, q , x1  x0 0 4  2  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 2  ;   http://www.lrc-tnu.edu.vn (2) DR  x0 , x1    x  E : x  x , x  x  0  0;1 1   x1  x0 , 2 0 2 1 1    x0   x1  x  R      x1  x0 2  2 2 x x  R  1 0 4 2 (3)  DR  x0 , x1    x  E : 1  t  x0  tx1  x  R  R 2  t 1  t  x1  x0 t0;1 2 . Mệnh đề 1.2.4 Cho các vectơ x 0, x1, x trong không gian Euclide E sao cho 0  x1  x0  2R và x x x x x  0 1  R  R2  1 0 2 4 2 . (1.2.8) Khi đó,  x  DR  x0 , x1  . Chứng minh Với t  1 và vectơ xt  1  t  x0  tx1 thì từ (1.2.8) ta nhận đƣợc 2 xt  x  R  R 2  t 1  t  x1  x0 , 2 tức là phần (5) của mệnh đề 1.2.3 đúng. Vì vậy, theo phần (1) của mệnh đề 1.2.3 thì x  DR  x0 , x1  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 ; Từ (1.2.8) và 0  x1  x0  2R suy ra x  x0 và x  x1 .  Mệnh đề 1.2.5 Cho hai điểm x 0, x1 trong không gian Euclide, R  r  x1  x0 . 2 Khi đó, DR  x0 , x1   Dr  x0 , x1  . Chứng minh Vì với mỗi số t bất kì  0;1 ta có R  R 2  t 1  t  x1  x0 2  r  r 2  t 1  t  x1  x0 , 2 cho nên do (1) tƣơng đƣơng với (5) trong mệnh đề 1.2.3 thì với bất kì x  DR  x0 , x1  ta có x  Dr  x0 , x1  .  Mệnh đề 1.2.6 Trong không gian Euclide cho hai điểm x 0 , x1. Giả sử R  r  x1  x0 . 2 Khi đó, x x  DR  x0 , x1   B r  0 1  .  2  Chứng minh Suy ra từ các mệnh đề 1.2.2 và 1.2.5.  Mệnh đề 1.2.7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử trong không gian Euclide cho các điểm x0 , x1, y0 , y1, x1  x0  2 R, y0 , y1 DR  x0 , x1 . Khi đó, y1  y0  x1  x0 . Chứng minh Kí hiệu r  x1  x0 và áp dụng mệnh đề 1.2.6 . 2  Mệnh đề 1.2.8 Trong không gian Euclide cho các điểm x, x 0, x1 và giả sử x1  x0  2R, x  DR  x0 , x1  . Khi đó, x  x0  x  x1  x1  x0 . 2 2 2 Chứng minh Vì x  DR  x0 , x1  cho nên do mệnh đề 1.2.6 ta có x x x x0  x1  1 0 . 2 2 Vì vậy, x  x0  x  x1 2 2 x x x x  x 1 0  1 0 2 2 x x 2 x 1 0 2 2 2 x x x x  x 1 0  1 0 2 2 x x 2 1 0 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 2 2  x1  x0 2 .  http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -